Связь Леви-Чивита

Концепция дифференциальной геометрии

В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, лоренцевой геометрии из общей теории относительности ), связь Леви-Чивита является уникальной связью на касательное расслоение многообразия (т.е. аффинная связь ), которое сохраняет (псевдо- ) риманов метрическая и без кручения.

основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует уникальная связь, которая удовлетворяет этим свойствам.

В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для связи Леви-Чивиты. Компоненты этой связи по отношению к системе местных координат называются символами Кристоффеля.

Содержание

• 1 История
  • 1.1 Примечание
• 2 Обозначение
• 3 Формальное определение
• 4 Фундаментальные Теорема (псевдо) римановой геометрии
• 5 символов Кристоффеля
• 6 Производная по кривой
• 7 Параллельный перенос
• 8 Пример: единичная сфера в R
• 9 См. также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

История

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита, хотя первоначально «обнаружена» Элвином Бруно Кристоффелем. Леви-Чивита вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовали символы Кристоффеля для определения понятия параллельного переноса и изучения взаимосвязи параллельного переноса с кривизной , таким образом развивая современное понятие голономии.

Понятия Леви-Чивиты внутренней производной и параллельного смещения вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, даже если исходная мотивация опиралась на на конкретном вложении

$M\; n\; \subset \; R\; n\; (n\; +\; 1)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{n\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\},\}$

, поскольку определение символов Кристоффеля имеет смысл в любом римановом многообразии. В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной вектора преобразуются как компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа. Только в 1917 году Леви-Чивита интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как касательную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве.

Замечание

В 1906 году Л. Э. Дж. Брауэр был первым математиком, который рассмотрел параллельный перенос вектора для случая пространства постоянной кривизны. В 1917 г. Леви-Чивита указал на его важность для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство, т. Е. Для случая Риманово многообразие, вложенное в «большее» объемлющее пространство. В 1918 году, независимо от Леви-Чивиты, Ян Арнольдус Схоутен получил аналогичные результаты. В том же году Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивиты.

Обозначение

• (M, g) обозначает риманов или псевдориманов. многообразие.
• TM - это касательное расслоение к M.
• g - риманова или псевдориманова метрика M.
• X, Y, Z - гладкие векторные поля на M, i. е. гладкие разделы TM.
• [X, Y] - это скобка Ли X и Y. Это снова гладкое векторное поле.

Метрика g может принимать до двух векторов или векторных полей X, Y в качестве аргументов. В первом случае выходными данными является число, (псевдо-) внутреннее произведение X и Y. Во втором случае внутреннее произведение X p, Y p берется во всех точках p на многообразии, так что g (X, Y) определяет гладкую функцию на M. Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В локальных координатах $(x\; 1,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$действие читается как

$X\; (f)\; Знак\; равно\; Икс\; я\; \partial \; \partial \; xif\; =\; Икс\; я\; \partial ,\; если\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (f)\; =\; X\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\; f\; =\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; f\}$

где Эйнштейна соглашение суммирования.

Формальное определение

аффинная связь ∇ называется связью Леви-Чивиты, если

1. сохраняет метрику, т. Е. ∇g = 0.
2. он без кручения, т.е. для любых векторных полей X и Y мы имеем we X Y - ∇ Y X = [X, Y ], где [X, Y] - скобка Ли векторных полей X и Y.

Условие 1 выше иногда упоминается как совместимость с метрикой., а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст ду Карму.

Основная теорема (псевдо) римановой геометрии

Теорема Каждое псевдориманово многообразие $(M,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; (M,\; g)\}$имеет уникальное соединение Леви Чивита $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$.

доказательство: если соединение Леви-Чивита существует, оно должно быть уникальным. Чтобы убедиться в этом, распутайте определение действия связности на тензорах и найдите

$X\; (g\; (Y,\; Z))\; =\; (\nabla \; X\; g)\; (Y,\; Z)\; +\; g\; (\nabla \; XY,\; Z)\; +\; g\; (Y,\; \nabla \; XZ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; Х\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; г\; (Y,\; Z)\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; (\backslash \; набла\; \_\; \{X\}\; г)\; (Y,\; Z)\; +\; г\; (\backslash \; набла\; \_\; \{X\}\; Y,\; Z)\; +\; г\; (Y,\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Z).\}$

Следовательно, мы можем записать условие 1 как

$X\; (g\; (Y,\; Z))\; =\; g\; (\nabla \; XY,\; Z)\; +\; g\; (Y,\; \nabla \; XZ).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (Y,\; Z)\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y,\; Z)\; +\; g\; (Y,\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Z).\}$

По симметрии метрического тензора $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$находим:

$X\; (g\; (Y,\; Z))\; +\; Y\; (g\; (Z,\; X))\; -\; Z\; (g\; (Y,\; X))\; =\; g\; (\nabla \; XY\; +\; \nabla \; YX,\; Z)\; +\; g\; (\nabla \; XZ\; -\; \nabla \; ZX,\; Y)\; +\; g\; (\nabla \; YZ\; -\; \nabla \; ZY,\; X).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (Y,\; Z)\; \{\backslash \; bigr)\}\; +\; Y\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (Z,\; X)\; \{\backslash \; bigr)\}\; -\; Z\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (Y,\; X)\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\; +\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; X,\; Z)\; +\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Z-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Z\}\; X,\; Y)\; +\; g\; (\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; Z-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Z\}\; Y,\; X).\}$

Следовательно, по условию 2 правая часть равна

$2\; g\; (\nabla \; XY,\; Z)\; -\; g\; ([\; X,\; Y],\; Z)\; +\; g\; ([X,\; Z],\; Y)\; +\; g\; ([Y,\; Z],\; X),\; \{\backslash \; displaystyle\; 2g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y,\; Z)\; -g\; ([X,\; Y],\; Z)\; +\; g\; ([X,\; Z],\; Y)\; +\; g\; ([Y,\; Z],\; X),\}$

и мы находим формулу Кошуля

$g\; (\; \nabla \; XY,\; Z)\; =\; 1\; 2\; \{X\; (g\; (Y,\; Z))\; +\; Y\; (g\; (Z,\; X))\; -\; Z\; (g\; (X,\; Y))\; +\; g\; ([X,\; Y],\; Z)\; -\; g\; ([Y,\; Z],\; X)\; -\; g\; ([X,\; Z],\; Y)\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (\backslash \; набла\; \_\; \{X\}\; Y,\; Z)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; \{\}\; X\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; г\; (Y,\; Z)\; \{\backslash \; bigr)\}\; +\; Y\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (Z,\; X)\; \{\backslash \; bigr)\}\; -\; Z\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (X,\; Y)\; \{\backslash \; bigr)\}\; +\; g\; ([X,\; Y],\; Z)\; -g\; ([\; Y,\; Z],\; X)\; -g\; ([X,\; Z],\; Y)\; \{\backslash \; Big\; \backslash \}\}.\}$

Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что $Z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Z\}$произвольно, $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$невырождено, и правая часть не зависит $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$.

Чтобы доказать существование, обратите внимание, что для данного векторного поля $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$правая часть выражение Кошуля является функционально-линейным в векторном поле $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$, а не только в реальном линейном. Следовательно, из-за невырожденности $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначаем $\nabla \; XY\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\}$, как показано слева. Подставляя формулу Кошуля, теперь проверяется, что для всех векторных полей $X,\; Y,\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; Y,\; Z\}$и всех функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$

$г\; (\nabla \; Икс\; (Y\; 1\; +\; Y\; 2),\; Z)\; знак\; равно\; г\; (\nabla \; XY\; 1,\; Z)\; +\; г\; (\nabla \; XY\; 2,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; (Y\_\; \{1\; \}\; +\; Y\_\; \{2\}),\; Z)\; =\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\_\; \{1\},\; Z)\; +\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\_\; \{2\},\; Z)\}$

$g\; (\nabla \; X\; (е\; Y),\; Z)\; знак\; равно\; Икс\; (е)\; g\; (Y,\; Z)\; +\; fg\; (\nabla \; XY,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; (fY),\; Z)\; =\; X\; (f)\; g\; (\; Y,\; Z)\; +\; fg\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y,\; Z)\}$

$g\; (\nabla \; XY,\; Z)\; +\; g\; (\nabla \; XZ,\; Y)\; =\; X\; (g\; (Y,\; Z))\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y,\; Z)\; +\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Z,\; Y)\; =\; X\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (Y,\; Z)\; \{\backslash \; bigr)\}\}$

$g\; (\nabla \; XY,\; Z)\; -\; g\; (\nabla \; YX,\; Z)\; =\; g\; ([X,\; Y],\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y,\; Z)\; -g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; X,\; Z)\; =\; g\; ([X,\; Y],\; Z).\}$

Следовательно, выражение Кошуля делает, фактически, определите связь, и эта связь совместима с метрикой и не имеет кручения, т.е. является (следовательно, связностью Леви-Чивиты).

Обратите внимание, что с небольшими вариациями это же доказательство показывает, что существует уникальное соединение, совместимое с метрикой и имеющее предписанное кручение.

символы Кристоффеля

Пусть $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$будет аффинным соединением на касательной связке. Выберите локальные координаты $x\; 1,\dots ,\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\; ^\; \{n\}\}$с базисными векторными полями координат $\partial \; 1,\dots ,\; \partial \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\}\}$и напишите $\nabla \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\}$для $\nabla \; \partial \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{j\}\}\}$. символы Кристоффеля $\Gamma \; jkl\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\}$из $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$относительно этих координат определяются как

$\nabla \; j\; \partial \; k\; =\; \Gamma \; jkl\; \partial \; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{l\}\}$

символы Кристоффеля, наоборот, определяют соединение $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$в координатной окрестности, потому что

$\nabla \; XY\; =\; \nabla \; X\; j\; \partial \; j\; Y\; =\; X\; j\; \nabla \; j\; Y\; =\; X\; j\; \nabla \; j\; (Y\; k\; \partial \; k)\; =\; X\; j\; (\partial \; j\; (Y\; k)\; \partial \; k\; +\; Y\; k\; \nabla \; j\; \partial \; k)\; =\; X\; j\; (\partial \; j\; (Y\; k)\; \partial \; k\; +\; Y\; k\; \Gamma \; jkl\; \partial \; l)\; знак\; равно\; Икс\; J\; (\partial \; J\; (Y\; l)\; +\; Y\; К\; \Gamma \; jkl)\; \partial \; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\; ^\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\}\; Y\; =\; X\; ^\; \{j\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; Y\; =\; X\; ^\; \{j\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; (Y\; ^\; \{k\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\})\; =\; X\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; частичный\; \_\; \{j\}\; (Y\; ^\; \{k\})\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}\; +\; Y\; ^\; \{k\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; X\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; (Y\; ^\; \{k\})\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}\; +\; Y\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{l\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; X\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; (Y\; ^\; \{l\})\; +\; Y\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{l\}\}$

т.е.

$(\nabla \; J\; Y)\; l\; знак\; равно\; \partial \; J\; Y\; l\; +\; \Gamma \; jkl\; Y\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; Y)\; ^\; \{l\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; Y\; ^\; \{l\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\; Y\; ^\; \{k\}\}$

Аффинная связь $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$совместима с метрикой тогда и только тогда, когда

$\partial \; i\; (g\; (\; \partial \; j,\; \partial \; k))\; =\; g\; (\nabla \; i\; \partial \; j,\; \partial \; k)\; +\; g\; (\partial \; j,\; \nabla \; i\; \partial \; k)\; =\; g\; (\Gamma \; ijl\; \partial \; l,\; \partial \; k)\; +\; g\; (\partial \; j,\; \Gamma \; ikl\; \partial \; l)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; g\; (\backslash \; partial\; \_\; \{j\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\})\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; g\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\; \},\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\})\; +\; g\; (\backslash \; partial\; \_\; \{j\},\; \backslash \; nabla\; \_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\})\; =\; g\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{l\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{l\; \},\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\})\; +\; g\; (\backslash \; partial\; \_\; \{j\},\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{l\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{l\})\}$

т.е. если и только если

$\partial \; i\; g\; j\; k\; =\; \Gamma \; i\; j\; l\; g\; l\; k\; +\; \Gamma \; i\; k\; l\; g\; j\; l.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; g\_\; \{jk\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{l\}\; g\_\; \{lk\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{l\}\; g\_\; \{jl\}.\}$

Аффинное соединение ∇ не имеет кручения тогда и только тогда, когда

$\nabla \; i\; \partial \; j\; -\; \nabla \; j\; \partial \; i\; =\; (\Gamma \; jkl\; -\; \Gamma \; kjl)\; \partial \; l\; =\; [\partial \; i,\; \partial \; j]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; =\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kj\}\; ^\; \{l\})\; \backslash \; partial\; \_\; \{l\}\; =\; [\backslash \; partial\; \_\; \{i\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}]\; =\; 0.\}$

т.е. если и только если

$\Gamma \; j\; k\; l\; =\; \Gamma \; k\; j\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kj\}\; ^\; \{l\}\}$

симметрично по двум нижним индексам.

Как проверить, взяв вместо $X,\; Y,\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; Y,\; Z\}$, координатные векторные поля $\partial \; j,\; \partial \; k,\; \partial \; l\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{l\}\}$(или вычисляет напрямую), полученное выше выражение Кошуля связи Леви-Чивита эквивалентно определение символов Кристоффеля в терминах метрики как

$\Gamma \; jkl\; =\; 1\; 2\; glr\; (\partial \; kgrj\; +\; \partial \; jgrk\; -\; \partial \; rgjk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{l\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; g\; ^\; \{lr\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{k\}\; g\_\; \{rj\}\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; g\_\; \{rk\}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\; g\_\; \{jk\}\; \backslash \; right)\}$

где, как обычно, $gij\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{ij\}\}$- это коэффициенты двойственного метрического тензора, то есть элементы обратной матрицы $gkl\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{\; kl\}\}$.

Производная по кривой

Связь Леви-Чивита (как и любая аффинная связь) также определяет производную вдоль кривых, иногда обозначаемых D.

Для гладкой кривой γ на (M, g) и вектора V вдоль γ ее производная определяется как

$D\; t\; V\; =\; \nabla \; \gamma \; \dot{}\; (t)\; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{t\}\; V\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}\; V.\}$

Формально D - это обратное соединение γ * ∇ на обратная связка γ * TM.

В частности, $\gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$представляет собой векторное поле вдоль самой кривой γ. Если $\nabla \; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально условие можно переформулировать как исчезновение обратного соединения, примененное к $\gamma \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\}$:

$(\gamma \; \ast \; \nabla )\; \gamma \; \dot{}\; \equiv \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; ^\; \{*\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \backslash \; Equiv\; 0.\}$

Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивиты некоторой метрики, то геодезические для связности это именно те геодезические из метрики, параметризованные пропорционально длине их дуги.

Параллельный перенос

В общем, параллельный перенос по кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривая. Если связность является связностью Леви-Чивиты, то эти изоморфизмы ортогональны - то есть они сохраняют скалярные произведения на различных касательных пространствах.

На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивита, связанный с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженный в полярных координатах. Метрика левого изображения соответствует стандартной евклидовой метрике $ds\; 2\; =\; dx\; 2\; +\; dy\; 2\; =\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; dx\; ^\; \{2\; \}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\; =\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}$, тогда как метрика справа имеет стандартную форму в полярных координатах и, таким образом, сохраняет вектор $\partial \; \partial \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}$касательный к окружности. Эта вторая метрика имеет сингулярность в начале координат, что можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах:

$dr\; =\; xdx\; +\; ydyx\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dr\; =\; \{\backslash \; frac\; \{xdx\; +\; ydy\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

$d\; \theta \; =\; xdy\; -\; ydxx\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{xdy-ydx\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$dr\; 2\; +\; d\; \theta \; 2\; =\; (xdx\; +\; ydy)\; 2\; x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; (xdy\; -\; ydx)\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dr\; ^\; \{\; 2\}\; +\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(xdx\; +\; ydy)\; ^\; \{2\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(xdy-ydx)\; ^\; \{2\}\}\; \{(x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Параллельные транспорты при соединениях Леви-Чивита Этот транспорт задается метрикой $ds\; 2\; =\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}$. Этот перенос задается метрикой $ds\; 2\; =\; dr\; 2\; +\; d\; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}$.

Пример: единичная сфера в R

Пусть ⟨,⟩ - обычное скалярное произведение на R . Пусть S будет единичной сферой в R . Касательное пространство к S в точке m естественным образом отождествляется с векторным подпространством R, состоящим из всех векторов, ортогональных m. Отсюда следует, что векторное поле Y на S можно рассматривать как отображение Y: S→ R, которое удовлетворяет

$⟨Y\; (m),\; m⟩\; =\; 0,\; \forall \; m\; \in \; S\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; langle\}\; Y\; (m),\; m\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \; rangle\}\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; m\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\}.\}$

Обозначим как d m Y (X) ковариантная производная карты Y в направлении вектора X. Тогда мы имеем:

Лемма: Формула

$(\nabla \; XY)\; (м)\; знак\; равно\; дм\; Y\; (Икс)\; +\; ⟨Икс\; (м),\; Y\; (м)⟩\; м\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (\backslash \; набла\; \_\; \{X\}\; Y\; \backslash \; вправо)\; (т)\; =\; d\_\; \{м\}\; Y\; (X)\; +\; \backslash \; langle\; X\; (m),\; Y\; (m)\; \backslash \; rangle\; m\}$

определяет аффинную связность на S с нулевым кручением.

Доказательство: Несложно доказать, что Удовлетворяет тождеству Лейбница и является линейным C (S ) по первой переменной. Это также несложное вычисление, показывающее, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше формула действительно определяет векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех m из S

$⟨(\nabla \; X\; Y)\; (m),\; m⟩\; =\; 0\; (1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; langle\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\; \backslash \; right)\; (m),\; m\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \; rangle\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; (1).\}$

Рассмотрим карту f, отправляет каждый m в S в ⟨Y (m), m⟩, который всегда равен 0. Отображение f постоянно, следовательно, его дифференциал равен нулю. В частности,

$dmf\; (X)\; =\; ⟨dm\; Y\; (X),\; m⟩\; +\; ⟨Y\; (m),\; X\; (m)⟩\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{m\}\; f\; (X)\; =\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; langle\}\; d\_\; \{m\}\; Y\; (X),\; m\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \; rangle\}\; +\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; langle\}\; Y\; (m),\; X\; (m)\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \; rangle\}\; =\; 0.\}$

Уравнение ( 1) выше следует. Q.E.D.

Фактически, эта связь является связью Леви-Чивиты для метрики на S, унаследованной от R . Действительно, можно проверить, что эта связь сохраняет метрику.

См. Также

• соединение Weitzenböck

Примечания

Ссылки

• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию. Академическая пресса. ISBN 0-12-116052-1.
• Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-470-49647-9.См. Стр. Том I. 158

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld: Levi-Civita Connection
• PlanetMath: Levi-Civita Connection
• Соединение Леви-Чивита в Manifold Atlas