Изогнутое пространство

Изогнутое пространство часто относится к пространственной геометрии, которая не является «плоской», где плоское пространство описывается как Евклидова геометрия. Криволинейные пространства обычно можно описать римановой геометрией, хотя некоторые простые случаи можно описать и другими способами. Искривленные пространства играют важную роль в общей теории относительности, где гравитация часто визуализируется как искривленное пространство. Метрика Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера - это изогнутая метрика, которая формирует текущую основу для описания расширения пространства и формы Вселенной.

Содержание

• 1 Простой двумерный пример
• 2 Встраивание
• 3 Без встраивания
• 4 Открытый, плоский, закрытый
• 5 См. Также
• 6 Дополнительная литература
• 7 Внешние ссылки

Простой двумерный пример

Очень знакомый пример искривленного пространства - поверхность сферы. Хотя на наш знакомый взгляд сфера выглядит трехмерной, если объект вынужден лежать на поверхности, он имеет только два измерения, в которых он может двигаться. Поверхность сферы может быть полностью описана двумя измерениями, поскольку независимо от того, как поверхность может казаться шероховатой, но это все же лишь поверхность, являющаяся двухмерной внешней границей объема. Даже поверхность Земли, которая является фрактальной по сложности, по-прежнему представляет собой только двумерную границу, расположенную за пределами объема.

Вложение

В плоском пространстве сумма квадратов стороны прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Это соотношение не выполняется для искривленных пространств.

Одной из определяющих характеристик искривленного пространства является его отклонение от теоремы Пифагора. В искривленном пространстве

$dx\; 2\; +\; dy\; 2\; \ne \; dl\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; dl\; ^\; \{2\}\}$.

Пифагоровы отношения часто можно восстановить, описав пространство с дополнительным измерением. Предположим, у нас есть неевклидово трехмерное пространство с координатами $(x\; \prime ,\; y\; \prime ,\; z\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\; \text{'},\; y\text{'},\; z\; \text{'}\backslash \; right)\}$. Потому что он не плоский

$dx\; \prime \; 2\; +\; dy\; \prime \; 2\; +\; dz\; \prime \; 2\; \ne \; dl\; \prime \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; \text{'}^\; \{2\}\; +\; dy\text{'}\; ^\; \{2\}\; +\; dz\; \text{'}^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; dl\text{'}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$.

Но если мы теперь опишем трехмерное пространство с помощью четырех измерений ($x,\; y,\; z,\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y,\; z,\; w\}$) мы можем выбрать такие координаты, что

$dx\; 2\; +\; dy\; 2\; +\; dz\; 2\; +\; dw\; 2\; =\; dl\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\; +\; dz\; ^\; \{2\}\; +\; dw\; ^\; \{2\; \}\; =\; dl\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$.

Обратите внимание, что координата $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не совпадает с координатой $x\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}\}$.

Для выбора четырехмерных координат в качестве действительных дескрипторов исходного трехмерного пространства оно должно иметь такое же количество степеней свободы. Поскольку четыре координаты имеют четыре степени свободы, на них должно быть наложено ограничение. Мы можем выбрать такое ограничение, чтобы теорема Пифагора выполнялась в новом четырехмерном пространстве. То есть

$x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; w\; 2\; =\; constant\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; textrm\; \{constant\; \}\}\; \backslash ,\}$.

Константа может быть положительной или отрицательной. Для удобства мы можем выбрать константу

$\kappa \; -\; 1\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; ^\; \{-\; 1\}\; R\; ^\; \{2\}\}$, где $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$теперь положительно и $\kappa \; \equiv \; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; 1\}$.

Теперь мы можем использовать это ограничение для устранения искусственной четвертой координаты $вес\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$. Дифференциал ограничивающего уравнения равен

$xdx\; +\; ydy\; +\; zdz\; +\; wdw\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; xdx\; +\; ydy\; +\; zdz\; +\; wdw\; =\; 0\; \backslash ,\}$, что приводит к $dw\; =\; -\; w\; -\; 1\; (xdx\; +\; ydy\; +\; zdz)\; \{\backslash \; displaystyle\; dw\; =\; -w\; ^\; \{-\; 1\}\; (xdx\; +\; ydy\; +\; zdz)\; \backslash ,\}$.

Подключение $dw\; \{\backslash \; displaystyle\; dw\}$в исходное уравнение дает

$dl\; 2\; =\; dx\; 2\; +\; dy\; 2\; +\; dz\; 2\; +\; (xdx\; +\; ydy\; +\; zdz)\; 2\; \kappa \; -\; 1\; R\; 2\; -\; x\; 2\; -\; y\; 2\; -\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\}\; =\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\; +\; dz\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(xdx\; +\; ydy\; +\; zdz)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; kappa\; ^\; \{-\; 1\}\; R\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Эта форма обычно не особенно привлекательна, поэтому часто применяется преобразование координат: $x\; =\; r\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \varphi \; \{\; \backslash \; Displaystyle\; Икс\; =\; р\; \backslash \; грех\; \backslash \; тета\; \backslash \; соз\; \backslash \; фи\}$, $у\; =\; р\; грех\; \; \theta \; грех\; \; \varphi \; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; =\; г\; \backslash \; грех\; \backslash \; тета\; \backslash \; грех\; \backslash \; фи\}$, $г\; =\; р\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; =\; г\; \backslash \; соз\; \backslash \; theta\}$. С этим преобразованием координат

$dl\; 2\; =\; dr\; 2\; 1\; -\; \kappa \; r\; 2\; R\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2\; +\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dr\; ^\; \{2\}\}\; \{1-\; \backslash \; kappa\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\}$.

Без вложений

Геометрия n-мерного пространства также может быть описана с помощью римановой геометрии. изотропное и однородное пространство можно описать метрикой:

$dl\; 2\; =\; e\; -\; \lambda \; (r)\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2\; +\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; (r)\}\; \{dr\; ^\; \{2\}\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$.

Это сокращается до евклидова пространства, когда $\lambda \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\}$. Но пространство можно назвать «плоским », когда тензор Вейля имеет все нулевые компоненты. В трех измерениях это условие выполняется, когда тензор Риччи ($R\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{ab\}\}$) равен метрике, умноженной на скаляр Риччи ($R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, не путать с R из предыдущего раздела). То есть $R\; a\; b\; =\; g\; a\; b\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{ab\}\; =\; g\_\; \{ab\}\; R\}$. Вычисление этих компонентов из метрики дает, что

$\lambda \; =\; -\; 1\; 2\; ln\; \; (1\; -\; kr\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1-kr\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$где $k\; \equiv \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{2\}\}\}$.

Это дает показатель:

$dl\; 2\; знак\; равно\; dr\; 2\; 1\; -\; kr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2\; +\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dr\; ^\; \{2\}\}\; \{1-k\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\}$.

где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$может быть нулевым, положительным или отрицательным и не ограничивается ± 1.

Открытое, плоское, закрытое

изотропное и однородное пространство можно описать метрикой:

$dl\; 2\; =\; dr\; 2\; 1\; -\; \kappa \; р\; 2\; р\; 2\; +\; р\; 2\; d\; \theta \; 2\; +\; р\; 2\; грех\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dr\; ^\; \{2\}\}\; \{1-\; \backslash \; kappa\; \{\backslash \; frac\; \{\; r\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; \}$.

В пределе, когда константа кривизны ($R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$) становится бесконечно большой, возвращается плоское евклидово пространство. По сути, это то же самое, что установить $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$на ноль. Если $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$не равно нулю, пробел не евклидов. Когда $\kappa \; =\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; =\; +\; 1\}$пространство называется закрытым или эллиптическим. Когда $\kappa \; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; =\; -1\}$пространство называется открытым или гиперболическим.

треугольники, лежащие на поверхности открытого пространства, будут иметь сумма углов меньше 180 °. Сумма углов треугольников, лежащих на поверхности замкнутого пространства, превышает 180 °. Однако объем не$(4/3)\; \pi \; r\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; (4/3)\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{3\}\}$.

См. Также

• CAT ( k) пробел
• Неположительная кривизна

Дополнительная литература

• Папаставридис, Джон Г. (1999). «Общие n-мерные (римановы) поверхности». Тензорное исчисление и аналитическая динамика. Бока-Ратон: CRC Press. С. 211–218. ISBN 0-8493-8514-8.

Внешние ссылки

• Curved Spaces, симулятор многосвязных вселенных, разработанный Джеффри Уикс