Биномиальный ряд

Биномиальный ряд - это Ряд Тейлора для функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, заданной как $f\; (x)\; =\; (1\; +\; x)\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; (1\; +\; x)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$, где $\alpha \; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$- произвольное комплексное число. Явно

$(1\; +\; x)\; \alpha \; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (\alpha \; k)\; x\; k\; (1)\; =\; 1\; +\; \alpha \; x\; +\; \alpha \; (\alpha \; -\; 1)\; 2!\; Икс\; 2\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (1\; +\; x)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}\; \backslash ;\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (1)\; \backslash \backslash \; =\; 1+\; \backslash \; alpha\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; (\backslash \; alpha\; -1)\}\; \{2!\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

а биномиальный ряд - это степенной ряд в правой части (1), выраженный через (обобщенные) биномиальные коэффициенты

$(\alpha \; К):\; знак\; равно\; \alpha \; (\alpha \; -\; 1)\; (\alpha \; -\; 2)\; \cdots \; (\alpha \; -\; К\; +\; 1)\; К!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; (\backslash \; alpha\; -1)\; (\backslash \; alpha\; -2)\; \backslash \; cdots\; (\backslash \; alpha\; -k\; +\; 1)\}\; \{k!\}\}.\}$

• 1 Особые случаи
• 2 Сходимость
  • 2.1 Условия сходимости
  • 2.2 Тождества, которые будут использоваться в доказательстве
  • 2.3 Доказательство
• 3 Суммирование биномиального ряда
• 4 История
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Если α - неотрицательное целое число n, то (n + 2) -й член и все последующие члены в серии равны 0, поскольку каждая содержит множитель (n - n); таким образом, в этом случае ряд конечен и дает алгебраическую биномиальную формулу.

Следующий вариант справедлив для произвольного комплексного β, но особенно полезен для обработки отрицательных целочисленных показателей в (1):

$1\; (1\; -\; z)\; \beta \; +\; 1\; знак\; равно\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (k\; +\; \beta \; k)\; zk.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-z)\; ^\; \{\backslash \; beta\; +1\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{k\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; select\; k\}\; z\; ^\; \{k\; \}.\}$

Чтобы доказать это, подставьте x = −z в (1) и примените тождество биномиальных коэффициентов, а именно:

$(-\; \beta \; -\; 1\; k)\; =\; (-\; 1)\; k\; (k\; +\; \beta \; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{-\; \backslash \; beta\; -1\; \backslash \; choose\; k\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \{k\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; choose\; k\}.\}$

Условия сходимости

Сходится ли (1) зависит от значений комплексных чисел α и x. Точнее:

1. Если | x | < 1, the series converges абсолютно для любого комплексного числа α.
2. Если | x | = 1, ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо Re (α)>0, либо α = 0.
3. Если | x | = 1 и x ≠ −1, ряд сходится тогда и только тогда, когда Re (α)>−1.
4. Если x = −1, ряд сходится тогда и только тогда, когда либо Re (α)>0, либо α = 0.
5. Если | x |>1, ряд расходится, если α не является целым неотрицательным числом (в этом случае ряд является конечной суммой).

В частности, если $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$не является целым неотрицательным числом, ситуация на границе диска сходимости, $|\; х\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; =\; 1\}$, резюмируется следующим образом:

• Если Re (α)>0, ряд сходится абсолютно.
• Если -1 < Re(α) ≤ 0, the series converges условно, если x ≠ −1, и расходится, если x = −1.
• Если Re (α) ≤ −1, ряд расходится.

Тождества, которые будут использоваться в доказательстве

Для любого комплексного числа α выполняется следующее:

$(\alpha \; 0)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; 0\}\; =\; 1,\}$

$(\alpha \; k\; +\; 1)\; =\; (\alpha \; k)\; \alpha \; -\; kk\; +\; 1,\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; select\; k\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; -k\}\; \{k\; +\; 1\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (2)\}$

$(\alpha \; k\; -\; 1)\; +\; (\alpha \; k)\; =\; (\alpha \; +\; 1\; k).\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k-1\}\; +\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}\; =\; \{\backslash \; alpha\; +1\; \backslash \; choose\; k\}.\; \backslash \; Qquad\; \backslash \; qquad\; (3)\}$

Если не $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- неотрицательное целое число (в этом случае биномиальные коэффициенты исчезают, поскольку $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$больше, чем $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$) полезное асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в нотации Ландау :

$(\alpha \; k)\; =\; (-\; 1)\; k\; \Gamma \; (-\; \alpha )\; k\; 1\; +\; \alpha \; (1\; +\; o\; (1))\; при\; k\; \to \; \infty .\; (4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (-\; \backslash \; alpha)\; k\; ^\; \{1+\; \backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash ,\; (1+\; o\; (1)),\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{as\}\}\; k\; \backslash \; to\; \backslash \; infty.\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (4)\}$

Это по существу эквивалентно определению Эйлера гамма-функции :

$\Gamma \; (z)\; =\; lim\; k\; \to \; \infty \; k!\; kzz\; (z\; +\; 1)\; \cdots \; (z\; +\; к),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{k!\; \backslash ;\; k\; ^\; \{z\}\}\; \{z\; \backslash ;\; (z\; +\; 1)\; \backslash \; cdots\; (z\; +\; k)\}\},\; \backslash \; qquad\}$

и сразу следует более грубые оценки

$mk\; 1\; +\; Re\; \alpha \; \le \; |\; (\alpha \; k)\; |\; \le \; М\; К\; 1\; +\; Re\; \alpha ,\; (5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{k\; ^\; \{1+\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; select\; k\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{k\; ^\; \{1+\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\}\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (5)\}$

для некоторых положительных констант m и M.

Вышеупомянутая формула для обобщенного биномиального коэффициента может быть переписана как

$(\alpha \; k)\; =\; \prod \; j\; =\; 1\; k\; (\alpha \; +\; 1\; j\; -\; 1).\; (6)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\; \{j\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right).\; \backslash \; Qquad\; \backslash \; qquad\; (6)\}$

Доказательство

Чтобы доказать (i) и (v), примените критерий отношения и используйте формулу (2) выше, чтобы показать, что всякий раз, когда $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$не является неотрицательным целым числом, радиус сходимости равен 1. Часть (ii) следует из формулы (5) по сравнению с р-ряд

$\sum \; К\; =\; 1\; \infty \; 1\; кп,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{p\}\}\},\; \backslash \; qquad\; \}$

с $p\; =\; 1\; +\; Re\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; text\; \{Re\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\}$. Чтобы доказать (iii), сначала используйте формулу (3), чтобы получить

$(1\; +\; x)\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (\alpha \; k)\; xk\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (\alpha \; +\; 1\; k)\; xk\; +\; (\alpha \; n)\; xn\; +\; 1,\; (7)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; x)\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; select\; k\}\; \backslash ;\; x\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; alpha\; +1\; \backslash \; choose\; k\}\; \backslash ;\; x\; ^\; \{k\}\; +\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n\}\; \backslash ;\; x\; ^\; \{n\; +\; 1\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (7)\}$

, а затем снова используйте (ii) и формулу (5), чтобы доказать сходимость правой части, когда $Re\; \alpha >-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Re\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha>-1\; \}$предполагается. С другой стороны, ряд не сходится, если $|\; x\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; =\; 1\}$и $Re\; \alpha \; \le \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Re\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; leq\; -1\}$, снова по формуле (5). В качестве альтернативы, мы можем заметить, что для всех $j,\; |\; \alpha \; +\; 1\; j\; -\; 1\; |\; \ge \; 1\; -\; Re\; \alpha \; +\; 1\; j\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; j,\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\; \{j\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; geq\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{Re\; \}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; +1\}\; \{j\}\}\; \backslash \; geq\; 1\}$. Таким образом, по формуле (6) для всех $k,\; |\; (\alpha \; k)\; |\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k,\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; select\; k\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; geq\; 1\}$. Это завершает доказательство (iii). Обращаясь к (iv), мы используем тождество (7) выше с $x\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -1\}$и $\alpha \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; -1\}.$вместо $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$вместе с формулой (4), чтобы получить

$\sum \; k\; =\; 0\; n\; (\alpha \; k)\; (-\; 1)\; К\; знак\; равно\; (\alpha \; -\; 1\; N)\; (-\; 1)\; N\; знак\; равно\; 1\; \Gamma \; (-\; \alpha \; +\; 1)\; N\; \alpha \; (1\; +\; о\; (1))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}\; \backslash ;\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; alpha\; -1\; \backslash \; choose\; n\}\; \backslash ;\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (-\; \backslash \; альфа\; +1)\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; (1\; +\; o\; (1))\}$

как $n\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$. Утверждение (iv) теперь следует из асимптотического поведения последовательности $n\; -\; \alpha \; =\; e\; -\; \alpha \; log\; \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; \backslash \; log\; (n)\; \}\}$. (Точно, $|\; е\; -\; \alpha \; журнал\; \; N\; |\; =\; е\; -\; Re\; \alpha \; журнал\; \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; big\; |\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; \backslash \; log\; n\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; text\; \{Re\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \backslash ,\; \backslash \; log\; n\}\}$обязательно сходится к $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$, если $Re\; \alpha >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Re\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha>0\}$и расходится до $+\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; +\; \backslash \; infty\}$, если . Если $Re\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Re\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$, то $n\; -\; \alpha \; =\; e\; -\; i\; Im\; \alpha \; log\; \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; =\; e\; ^\; \{-\; i\; \{\backslash \; text\; \{Im\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; log\; n\}\}$сходится тогда и только тогда, когда последовательность $Im\; \alpha \; log\; \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Im\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; log\; n\}$сходится $mod\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{mod\}\}\; \backslash ;\; 2\; \backslash \; pi\}$, что, безусловно, верно, если $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$, но ложно, если $Im\; \alpha \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Im\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; neq\; 0\}$: в последнем случае последовательность плотная $mod\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{mod\}\}\; \backslash ;\; 2\; \backslash \; pi\}$из-за того, что $log\; \; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; n\}$расходится, а $log\; \; (n\; +\; 1)\; -\; log\; \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (n\; +\; 1)\; -\; \backslash \; log\; n\}$сходится до нуля).

Обычный аргумент для вычисления суммы биномиального ряда выглядит следующим образом. Почленно дифференцируя биномиальный ряд внутри круга сходимости | x | < 1 and using formula (1), one has that the sum of the series is an аналитическая функция, решающая обыкновенное дифференциальное уравнение (1 + x) u '(x) = αu (x) с начальными данными u (0) = 1. Единственным решением этой задачи является функция u (x) = (1 + x), который, следовательно, является суммой биномиального ряда, по крайней мере, для | x | < 1. The equality extends to |x| = 1 whenever the series converges, as a consequence of Теорема Абеля и по непрерывности (1 + x).

Первые результаты, касающиеся биномиальных рядов для показателей, отличных от положительных целых чисел, были даны сэром Исааком Ньютоном при исследовании областей, заключенных под определенными кривыми. Джон Уоллис основывается на этой работе, рассматривая выражения вида y = (1 - x), где m - дробь. Он обнаружил, что (записанные современными терминами) последовательные коэффициенты c k из (−x) можно найти, умножив предыдущий коэффициент на $m\; -\; (k\; -\; 1)\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{m-\; (k-1)\}\; \{k\}\}\}$(как в случае целочисленных показателей), тем самым неявно давая формулу для этих коэффициентов. Он явно пишет следующие экземпляры

$(1\; -\; x\; 2)\; 1/2\; =\; 1\; -\; x\; 2\; 2\; -\; x\; 4\; 8\; -\; x\; 6\; 16\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{1/2\; \}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{4\}\}\; \{8\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{6\}\}\; \{16\}\}\; \backslash \; cdots\; \}$

$(1\; -\; x\; 2)\; 3/2\; =\; 1\; -\; 3\; x\; 2\; 2\; +\; 3\; x\; 4\; 8\; +\; x\; 6\; 16\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3/2\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3x\; ^\; \{4\}\}\; \{8\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{6\}\}\; \{16\}\}\; \backslash \; cdots\}$

$(1\; -\; x\; 2)\; 1/3\; =\; 1\; -\; x\; 2\; 3\; -\; x\; 4\; 9\; -\; 5\; x\; 6\; 81\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{1/3\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{4\}\}\; \{9\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{5x\; ^\; \{6\}\}\; \{81\}\}\; \backslash \; cdots\}$

Биномиальный ряд поэтому иногда упоминается как биномиальная теорема Ньютона. Ньютон не дает никаких доказательств и не уточняет природу ряда; скорее всего, он проверил примеры, трактующие ряд как (опять же в современной терминологии) формальный степенной ряд. Позже Нильс Хенрик Абель обсудил этот предмет в мемуарах, особо затронув вопросы конвергенции.

.

• Биномиальная теорема
• Таблица ньютоновских рядов
• Биномиальная аппроксимация