Асимптотический анализ

редактировать

Описание предельного поведения функции

В математическом анализе, асимптотика Анализ, также известный как асимптотика, представляет собой метод описания ограничивающего поведения.

В качестве иллюстрации предположим, что нас интересуют свойства функции f (n), когда n становится очень большим. Если f (n) = n + 3n, то, когда n становится очень большим, член 3n становится незначимым по сравнению с n. Функция f (n) называется «асимптотически эквивалентной n при n → ∞». Это часто символически записывается как f (n) ~ n, что читается как «f (n) асимптотичен n».

Примером важного асимптотического результата является теорема о простых числах. Пусть π (x) обозначает функцию подсчета простых чисел (которая не имеет прямого отношения к константе pi ), то есть π (x) - это количество простых чисел, которые меньше или равны x. Тогда теорема утверждает, что

π (x) ∼ x ln ⁡ x. {\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}}.}

\ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}}.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Примеры асимптотических формул
4 Конструкция
- 4.1 Общие положения
- 4.2 Асимптотика двух различных многочленов
5 Асимптотическое разложение
- 5.1 Примеры асимптотических разложений
- 5.2 Рабочий пример
6 Асимптотическое распределение
7 Приложения
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Определение

Формально, учитывая функции f (x) и g (x), мы определяем бинарное отношение

е (x) ∼ g (x) (как x → ∞) {\ displaystyle f (x) \ sim g (x) \ quad ({\ text {as}} x \ to \ infty)}

{\ displaystyle f (x) \ sim g (x) \ quad ( {\ text {as}} x \ to \ infty)}

если и только если (де Брюйн 1981, §1.4)

lim x → ∞ f (x) g (x) = 1. {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}

Символ ~ - это тильда. Отношение является отношением эквивалентности на множестве функций от x; функции f и g называются асимптотически эквивалентными. домен для f и g может быть любым набором, для которого определен предел: например, действительные числа, комплексные числа, положительные целые числа.

То же обозначение используется и для других способов перехода к пределу: например, x → 0, x ↓ 0, | x | → 0. Способ предельного перехода часто явно не указывается, если это понятно из контекста.

Хотя приведенное выше определение широко используется в литературе, это проблематично, если g (x) бесконечно часто равен нулю, когда x стремится к предельному значению. По этой причине некоторые авторы используют альтернативное определение. Альтернативное определение в небольшой нотации состоит в том, что f ~ g тогда и только тогда, когда

f (x) = g (x) (1 + o (x)). {\ displaystyle f (x) = g (x) (1 + o (x)).}

{\ displaystyle f (x) = g (x) (1 + o (x)).}

Это определение эквивалентно предыдущему определению, если g (x) не равно нулю в некоторой окрестности предельного значения.

Свойства

Если $f ∼ g {\ displaystyle f \ sim g}$ $f \ sim g$ и $a ∼ b {\ displaystyle a \ sim b}$ $a \ sim b$ , то при некоторых мягких условиях выполняется следующее.

$fr ∼ gr {\ displaystyle f ^ {r} \ sim g ^ {r}}$ ${\ displaystyle f ^ {r} \ sim g ^ {r}}$ , для каждого действительного r
$log ⁡ (f) ∼ log ⁡ (g) {\ displaystyle \ log (f) \ sim \ log (g)}$ ${\ displaystyle \ log (f) \ sim \ log (g)}$
$f × a ∼ g × b {\ displaystyle f \ times a \ sim g \ times b}$ ${\ displaystyle f \ times a \ sim g \ times b}$
$f / a ∼ g / b {\ displaystyle f / a \ sim g / b}$ ${\ displaystyle f / a \ sim g / b}$

Такие свойства позволяют свободно обмениваться асимптотически эквивалентными функциями во многих алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

Факториал

n! ∼ 2 π N (ne) n {\ displaystyle n! \ Sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}}

{\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}}

- это приближение Стирлинга

Функция разделения

Для положительного целого числа n функция распределения p (n) дает количество способов записать целое число n как сумму положительных целых чисел, где порядок дополнений не рассматривается.

п (п) ∼ 1 4 N 3 е π 2 N 3 {\ Displaystyle р (п) \ sim {\ frac {1} {4n {\ sqrt {3}}}} e ^ {\ pi {\ sqrt {\ frac {2n} {3}}}}}

{\ displaystyle p (n) \ sim {\ frac {1} {4n {\ sqrt {3}}}} e ^ {\ pi {\ sqrt {\ frac {2n} {3}}}}}

функция Эйри

Функция Эйри, Ai (x), является решением дифференциального уравнения y '' - xy = 0; он имеет множество приложений в физике.

Ai ⁡ (x) ∼ e - 2 3 x 3 2 2 π x 1/4 {\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x) \ sim {\ frac {e ^ {- {\ frac {2} { 3}} x ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} x ^ {1/4}}}}

{\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x) \ sim {\ frac {e ^ {- {\ frac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} x ^ {1/4}}}}

Функции Ганкеля

H α (1) (z) ∼ 2 π zei (z - 2 π α - π 4) H α (2) (z) ∼ 2 π ze - i (z - 2 π α - π 4) {\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (z) \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {i \ left (z - {\ frac {2 \ pi \ альфа - \ pi} {4}} \ right)} \\ H _ {\ alpha} ^ {(2)} (z) \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {-i \ left (z - {\ frac {2 \ pi \ alpha - \ pi} {4}} \ right)} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (z) \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {i \ left (z - {\ frac {2 \ pi \ alpha - \ pi} {4}} \ right)} \\ H _ {\ alpha} ^ {(2)} (z) \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {- i \ left (z - {\ frac {2 \ pi \ alpha - \ pi} {4}} \ right)} \ end {align}}}

Строительство

Общие

Рассмотрим:

час (x) = f (x) (1 - F (x)) + g (x) F (x) {\ displaystyle h (x) = f (x) (1-F (x)) + g (x) F (x)}

{\ displaystyle h (x) = f (x) (1-F ( x)) + g (x) F (x)}

где $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ и $g (x) {\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ - вещественные аналитические функции, а $F (x) {\ displaystyle F (x)}$ $F(x)$ - Кумулятивная функция распределения.

Тогда $h (x) {\ displaystyle h (x)}$ $час (x)$ асимптотичен $f ( x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ as $x → (- ∞) {\ displaystyle x \ to (- \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ to (- \ infty)}$ и асимптотика до $g (x) {\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ as $x → (+ ∞) {\ displaystyle x \ to (+ \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ to (+ \ infty)}$ .

Асимптотика двух разных многочленов

Предположим, нам нужна функция с действительным знаком, которая асимптотична $(a 0 + a 1 x) {\ displaystyle (a_ {0} + a_ {1} x)}$ ${\ displaystyle (a_ {0} + a_ {1} x)}$ как $x → (- ∞) {\ displaystyle x \ to (- \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ to (- \ infty)}$ и асимптотичен $(b 0 + b 1 x) {\ displaystyle (b_ {0}) + b_ {1} x)}$ ${\ displaystyle ( b_ {0} + b_ {1} x)}$ как $x → (+ ∞) {\ displaystyle x \ to (+ \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ to (+ \ infty)}$ . Тогда

час (x) = (a 0 + a 1 x) (1 - F (x)) + (b 0 + b 1 x) F (x) {\ displaystyle h (x) = (a_ {0 } + a_ {1} x) (1-F (x)) + (b_ {0} + b_ {1} x) F (x)}

{\ displaystyle h (x) = (a_ {0} + a_ {1} x) (1-F ( х)) + (b_ {0} + b_ {1} x) F (x)}

сделает это.

Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f (x) на практике является выражением этой функции в терминах серии , частичные суммы из которых не обязательно сходятся, но такие, что взятие любой начальной частичной суммы дает асимптотическую формулу для f. Идея состоит в том, что последовательные члены обеспечивают все более точное описание порядка роста f.

В символах это означает, что мы имеем $f ∼ g 1, {\ displaystyle f \ sim g_ {1},}$ ${\ displaystyle f \ sim g_ {1},}$ , но также $f - g 1 ∼ g 2 {\ displaystyle f-g_ {1} \ sim g_ {2}}$ $f - g_1 \ sim g_2$ и $f - g 1 - ⋯ - gk - 1 ∼ gk {\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-1} \ sim g_ {k}}$ $f - g_1 - \ cdots - g_ {k-1} \ sim g_ {k}$ для каждого фиксированного k. С учетом определения символа $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ последнее уравнение означает $f - (g 1 + ⋯ + gk) = o (gk) {\ displaystyle f- (g_ {1} + \ cdots + g_ {k}) = o (g_ {k})}$ $е - (g_1 + \ cdots + g_k) = о (g_k)$ в маленькой нотации o, т. е. $f - (г 1 + ⋯ + gk) {\ displaystyle f- (g_ {1} + \ cdots + g_ {k})}$ $f - (g_1 + \ cdots + g_k)$ намного меньше, чем $gk. {\ displaystyle g_ {k}.}$ ${\ displaystyle g_ {k}.}$

Отношение $f - g 1 - ⋯ - gk - 1 ∼ gk {\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-1} \ sim g_ {k}}$ $f - g_1 - \ cdots - g_ {k-1} \ sim g_ {k}$ принимает свое полное значение, если $gk + 1 = o (gk) {\ displaystyle g_ {k + 1} = o (g_ {k})}$ ${\ displaystyle g_ {k + 1} = o (g_ {k})}$ для всех k, что означает, что $gk {\ displaystyle g_ {k}}$ $g_ {k}$ образуют асимптотическую шкалу. В этом случае некоторые авторы могут оскорбительно написать $f ∼ g 1 + ⋯ + gk {\ displaystyle f \ sim g_ {1} + \ cdots + g_ {k}}$ $f \ sim g_1 + \ cdots + g_k$ для обозначения утверждения $f - (g 1 + ⋯ + gk) = o (gk). {\ displaystyle f- (g_ {1} + \ cdots + g_ {k}) = o (g_ {k}).}$ ${ \ Displaystyle f- (g_ {1} + \ cdots + g_ {k}) = o (g_ {k}).}$ Однако следует быть осторожным, чтобы это не стандартное использование $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ символ, и что он не соответствует определению, данному в § Определение.

В данной ситуации это отношение $gk = o ( gk - 1) {\ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1})}$ $g_ {k} = o (g_ {k-1})$ фактически следует из объединения шагов k и k − 1; вычитая $f - g 1 - ⋯ - gk - 2 = gk - 1 + o (gk - 1) {\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-2} = g_ {k- 1} + o (g_ {k-1})}$ $f - g_1 - \ cdots - g_ {k-2} = g_ {k-1} + o (g_ {k-1})$ из $f - g 1 - ⋯ - gk - 2 - gk - 1 = gk + o (gk), {\ displaystyle f- g_ {1} - \ cdots -g_ {k-2} -g_ {k-1} = g_ {k} + o (g_ {k}),}$ ${\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-2} -g_ {k-1} = g_ {k} + o (g_ {k}),}$ получается $gk + o (gk) = o (gk - 1), {\ displaystyle g_ {k} + o (g_ {k}) = o (g_ {k-1}),}$ ${\ displaystyle g_ {k} + o (g_ {k}) = o (g_ {k-1}),}$ т.е. $g k = o (g k - 1). {\ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1}).}$ ${\ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1}).}$

В случае, если асимптотическое разложение не сходится, для любого конкретного значения аргумента будет определенная частичная сумма, которая обеспечивает наилучшее приближение а добавление дополнительных условий снизит точность. Эта оптимальная частичная сумма обычно будет содержать больше членов по мере приближения аргумента к предельному значению.

Примеры асимптотических разложений

Гамма-функция

exxx 2 π x Γ (x + 1) ∼ 1 + 1 12 x + 1 288 x 2 - 139 51840 x 3 - ⋯ (x → ∞) {\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x + 1) \ sim 1 + {\ frac {1} { 12x}} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ to \ infty)}

{\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x + 1) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x}} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ to \ infty)}

Экспоненциальный интеграл

xex E 1 (x) ∼ n знак равно 0 ∞ (- 1) nn! xn (x → ∞) {\ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n! } {x ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

{\ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

Функция ошибок

π xex 2 erfc (x) ∼ 1 + ∑ n = 1 ∞ (- 1) n (2 n - 1)! ! п! (2 Икс 2) N (Икс → ∞) {\ Displaystyle {\ sqrt {\ pi}} xe ^ {x ^ {2}} {\ rm {erfc}} (х) \ sim 1+ \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {n! (2x ^ {2}) ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}} xe ^ {x ^ {2}} {\ rm {erfc}} (x) \ sim 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {n! (2x ^ {2}) ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

где (2n - 1) !! является двойным факториалом.

Рабочий пример

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое вынуждает принимать значения вне области сходимости. Например, мы можем начать с обычного ряда

1 1 - w = ∑ n = 0 ∞ wn {\ displaystyle {\ frac {1} {1-w}} = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} w ^ {n}}

{\ frac {1} {1-w}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} w ^ {n}

Выражение слева действительно на всей комплексной плоскости $w ≠ 1 {\ displaystyle w \ neq 1}$ $ш \ ne 1$ , а правая часть сходится только для $| w | < 1 {\displaystyle |w|<1}$ $| w | <1$ . Умножение на $e - w / t {\ displaystyle e ^ {- w / t}}$ $e ^ {- w / t}$ и интегрирование обеих сторон дает

∫ 0 ∞ e - wt 1 - wdw = ∑ n = 0 ∞ tn + 1 ∫ 0 ∞ е - uundu {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- {\ frac {w} {t}}}} {1-w}} \, dw = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} u ^ {n} \, du}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- {\ frac {w} {t}}}} {1-w}} \, dw = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} u ^ {n} \, du}

Интеграл в левой части может быть выражен через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части после замены $u = w / t {\ displaystyle u = w / t}$ $u = w / t$ может быть распознан как гамма-функция. Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение

e - 1 t Ei ⁡ (1 t) = ∑ n = 0 ∞ n! tn + 1 {\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {t}}} \ operatorname {Ei} \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) = \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} n! \; t ^ {n + 1}}

{\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {t}}} \ operatorname {Ei} \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n! \; t ^ {n + 1}}

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении t. Однако, сохраняя t маленьким и усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению $Ei ⁡ (1 / t) {\ displaystyle \ operatorname {Ei} (1 / т)}$ $\operatorname{Ei}(1/t)$ . Подставив $x = - 1 / t {\ displaystyle x = -1 / t}$ ${\ displaystyle x = -1 / t}$ и отметив, что $Ei ⁡ (x) = - E 1 (- x) {\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$ приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье.

Асимптотическое распределение

В математической статистике асимптотическое распределение - это гипотетическое распределение, которое в некотором смысле является " предельное »распределение последовательности распределений. Распределение - это упорядоченный набор случайных величин Z i для i = 1,..., n для некоторого положительного целого числа n. Асимптотическое распределение позволяет i иметь неограниченный диапазон, то есть n бесконечно.

Особым случаем асимптотического распределения является то, что поздние записи стремятся к нулю, то есть Z i стремятся к 0, когда i стремится к бесконечности. Некоторые примеры «асимптотического распределения» относятся только к этому частному случаю.

Это основано на понятии асимптотической функции, которая чисто приближается к постоянному значению (асимптоте), когда независимая переменная стремится к бесконечности; "чистый" в этом смысле означает, что для любой желаемой близости эпсилон существует некоторое значение независимой переменной, после которого функция никогда не отличается от константы более чем на эпсилон.

Асимптота - это прямая линия, к которой приближается кривая, но никогда не пересекает и не пересекает ее. Неформально можно говорить о кривой, пересекающей асимптоту «на бесконечности», хотя это не точное определение. В уравнении $y = 1 x, {\ displaystyle y = {\ frac {1} {x}},}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {x}}, }$ y становится произвольно малым по величине с увеличением x.

Приложения

Асимптотический анализ используется в нескольких математических науках. В статистике асимптотическая теория обеспечивает предельные аппроксимации распределения вероятностей для выборочной статистики, например, отношения правдоподобия статистика и ожидаемое значение отклонения . Однако асимптотическая теория не предоставляет метода оценки распределений выборочной статистики по конечной выборке. Неасимптотические границы обеспечиваются методами теории приближений.

Примеры приложений следующие.

В прикладной математике асимптотический анализ используется для построения численных методов для аппроксимации уравнения решений.
В математической статистике и теория вероятностей, асимптотики используются в анализе долгосрочного или большой выборки поведения случайных величин и оценок.
в информатике в анализ алгоритмов с учетом производительности алгоритмов.
поведение физических систем, примером является статистическая механика.
в аварии анализ при выявлении причины сбоев посредством моделирования количества сбоев с большим количеством сбоев в заданном времени и пространстве.

Асимптотический анализ является ключевым инструментом для изучения обычных и частичных дифференциальные уравнения, возникающие при математическом моделировании реальных явлений. Наглядным примером является вывод уравнений пограничного слоя из полных уравнений Навье-Стокса, управляющих потоком жидкости. Во многих случаях асимптотическое разложение зависит от малого параметра ε: в случае пограничного слоя это безразмерное отношение толщины пограничного слоя к типичному масштабу длины задачи. В самом деле, приложения асимптотического анализа в математическом моделировании часто сосредотачиваются вокруг безразмерного параметра, который, как было показано или предположительно, мал благодаря рассмотрению масштабов рассматриваемой проблемы.

Асимптотические разложения обычно возникают при приближении некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала, метод наискорейшего спуска ) или в аппроксимация вероятностных распределений (ряд Эджворта ). Графы Фейнмана в квантовой теории поля - еще один пример асимптотических разложений, которые часто не сходятся.

См. Также

Примечания

^, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
^Эстрада и Канвал (2002, §1.2)
^ Ховисон, С. (2005), Практическая прикладная математика, Кембридж University Press

Ссылки

Balser, W. (1994), От дивергентных степенных рядов к аналитическим функциям, Springer-Verlag, ISBN 9783540485940
де Брюйн, Н.Г. (1981), Асимптотические методы в анализе, Dover Publications, ISBN 9780486642215
Estrada, R.; Канвал, Р.П. (2002), Дистрибутивный подход к асимптотике, Биркхойзер, ISBN 9780817681302
Миллер, PD (2006), Прикладной асимптотический анализ, Американское математическое общество, ISBN 9780821840788
Мюррей, Дж. Д. (1984), Асимптотический анализ, Springer, ISBN 9781461211228
Париж, РБ; Каминский, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса, Cambridge University Press

Внешние ссылки

Асимптотический анализ - главная страница публикуемого журнала Автор IOS Press
Статья об анализе временных рядов с использованием асимптотического распределения