Центр масс (релятивистский)

В физике, релятивистский центр масс относится к математическому и физические концепции, которые определяют центр масс системы частиц в релятивистской механике и релятивистской квантовой механике.

• 1 Введение
• 2 Группа теоретическое определение
• 3 Три коллективные переменные как 4-величины в системе отсчета
• 4 Мировая трубка Мёллера нековариантности
• 5 См. также
• 6 Ссылки

В нерелятивистской физике существует уникальное и четко определенное понятие центра масс вектора, трехмерного вектора (сокращенно «3-вектор»), Изолированная система массивных частиц внутри 3-х пространств инерциальной системы отсчета пространства-времени Галилея. Однако такого понятия не существует в специальной теории относительности внутри трех пространств инерциальной системы отсчета пространства-времени Минковского.

В любой жестко вращающейся системе отсчета (включая частный случай инерциальной системы отсчета Галилея) с координаты $(t,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t,\; x)\}$, центр масс Ньютона для N частиц массы $mi\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{i\}\}$и 3-позиционный $x\; \to \; i\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; (t)\}$- это 3-вектор

$x\; \to \; (NR)\; (T)\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; смесь\; \to \; я\; (T)\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; mi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{(nr)\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash ,\; m\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; (t)\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash ,\; m\_\; \{\; i\}\}\}\}$

как для свободных, так и для взаимодействующих частиц.

В специальной релятивистской инерциальной системе отсчета в пространстве-времени Минковского с четырьмя векторными координатами $x\; \mu \; =\; (x\; 0,\; x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (x\; ^\; \{0\},\; x)\}$коллективной переменной со всеми свойствами центра масс Ньютона не существует. Основные свойства нерелятивистского центра масс:

i) вместе с полным импульсом он образует каноническую пару,

ii) он трансформируется при вращениях как трехвектор, и

iii) это позиция, связанная с пространственным распределением масс составляющих.

Интересно, что следующие три предложения относительно релятивистского центра масс появляются в литературе прошлого века индивидуально принимают эти три свойства:

1. Центр спина Ньютона – Вигнера – Прайса или канонический центр масс (это классический аналог квантового оператора положения Ньютона – Вигнера). Это 3-вектор $x\; ~\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\}\}$, удовлетворяющий тем же каноническим условиям, что и центр масс Ньютона, а именно исчезающий Скобки Пуассона $\{x\; ~\; i,\; x\; ~\; j\}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{i\},\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; 0\}$в фазовом пространстве. Однако не существует 4-вектора $x\; ~\; \mu \; =\; (x\; ~\; o,\; x\; ~\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{\; o\},\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\})\}$имея его как космическую часть, так что он не идентифицирует мировую линию, а только псевдо-мировую линию, в зависимости от выбранной инерциальной системы отсчета.
2. Центр инерции Фоккера – Прайса $Y\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Y\}\}\}$. Это пространственная часть 4-вектора $Y\; \mu \; =\; (Y\; 0,\; Y\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (Y\; ^\; \{0\},\; \{\backslash \; vec\; \{Y\}\})\}$, так что он определяет мировую линию, но не является каноническим, т.е. $\{Y\; i,\; Y\; j\}\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{Y\; ^\; \{i\},\; Y\; ^\; \{j\}\; \backslash \}\; \backslash \; not\; =\; 0\}$.
3. Центр энергии Меллера $R\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{R\}\}\}$, определяемый как центр масс Ньютона с массами покоя $mi\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{i\}\}$частиц, замененных их релятивистскими энергиями. Это не канонично, т.е. $\{R\; i,\; R\; j\}\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{R\; ^\; \{i\},\; R\; ^\; \{j\}\; \backslash \}\; \backslash \; not\; =\; 0\}$, ни пространственная часть 4-вектора, то есть он идентифицирует только зависящую от системы отсчета псевдомировую линию.

Эти три коллективные переменные имеют одинаковую постоянную 3-скорость, и все они коллапсируют в центр масс Ньютона в не- релятивистский предел. В 1970-е годы по этой проблеме велись большие дискуссии, но окончательного вывода не было.

В нерелятивистской механике выражение в фазовом пространстве десяти генераторов из группы Галилея изолированной системы N частицы с 3-мя положениями $x\; \to \; i\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; (t)\}\}$, 3-импульсы $p\; \to \; i\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; (t)\}\}$и массы $mi\; (i\; =\; 1..\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{i\}\; (i\; =\; 1..N)\}$в инерциальной системе координат с координатами $(t,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t,\; x)\}$are $(V\; (T)\; знак\; равно\; В\; (Икс\; \to \; я\; (T)\; -\; Икс\; \to \; J\; (T))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (V\; (T)\; =\; V\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{я\}\; (т)\; -\; \{\backslash \; vec\; \{\; x\}\}\; \_\; \{j\}\; (t))\}$- межчастичный потенциал )

$EG\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; p\; \to \; i\; 2\; (t)\; 2\; mi\; +\; V\; (t),\; П\; \to \; г\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; п\; \to \; я\; (т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\_\; \{G\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\{\backslash \; vec\; \{p\}\; \}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; (t)\}\; \{2m\_\; \{i\}\}\}\; +\; V\; (t),\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; \_\; \{G\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\; N\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; (t),\}$

$J\; \to \; G\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; x\; \to \; i\; (t)\; \times \; p\; \to \; i\; (t),\; K\; \to \; G\; =\; P\; \to \; t\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; mix\; \to \; i\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{J\}\}\; \_\; \{G\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{p\; \}\}\; \_\; \{i\}\; (t),\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; vec\; \{K\}\}\; \_\; \{G\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; \backslash ,\; t-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash ,\; m\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; (t).\}$

Это константы движения, порождающие преобразования, соединяющие инерциальные системы отсчета. Следовательно, при $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$теоретико-групповое определение центра масс Ньютона:

$x\; \to \; (nr)\; =\; -\; K\; \to \; GM,\; M\; =\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; mi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{(nr)\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{K\}\}\; \_\; \{G\}\}\; \{M\}\},\; M\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; m\_\; \{i\}\}$

В специальной теории относительности инерциальные системы отсчета связаны преобразованиями, порождаемыми группой Пуанкаре. Форма его десяти генераторов $P\; \mu ,\; J\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{\backslash \; mu\},\; J\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$для изолированной системы из N частиц с действием - Взаимодействие на расстоянии очень сложно, зависит от того, как частицы параметризованы в фазовом пространстве, и известно явно только для определенных классов взаимодействий. Однако десять величин $P\; \mu ,\; J\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{\backslash \; mu\},\; J\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$являются константами движения и, когда $P\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}$- временноподобный 4-вектор, можно определить два инварианта Казимира данного представления группы Пуанкаре. Эти две константы движения определяют инвариантную массу $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и остальное вращение $S\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\}$изолированной системы частиц. Релятивистское соотношение энергии-импульса :

$M\; 2\; c\; 2\; =\; (P\; 0)\; 2\; -\; P\; \to \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; =\; (P\; ^\; \{\; 0\})\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; ^\; \{2\},\}$

где $P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{0\}\}$- нулевой компонент четыре импульса, полная релятивистская энергия системы частиц, и псевдовектор Паули – Любанского :

$W\; \mu \; =\; 1\; 2\; \epsilon \; \mu \; \nu \; \kappa \; \lambda \; P\; \nu \; J\; \kappa \; \lambda \; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \backslash \; kappa\; \backslash \; lambda\}\; P\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; J\; \_\; \{\backslash \; kappa\; \backslash \; lambda\}\}$

$W\; \to \; |\; P\; \to \; =\; 0\; =\; M\; c\; S\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{W\}\}\; |\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; =\; 0\}\; =\; Mc\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\},\}$

$W\; 2\; =\; M\; 2\; c\; 2\; S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{2\}\; =\; M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; S\; ^\; \{2\}\}$

Можно показать, что в инерциальной системе координат с координатами $x\; \mu \; =\; (x\; 0,\; x\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (x\; ^\; \{0\},\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\})\}$предыдущие три коллективные переменные 1), 2) и 3) являются единственными, которые могут быть выражены только через $P\; \mu ,\; J\; \mu \; \nu ,\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{\backslash \; mu\},\; J\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\},\; M\}$и $S\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\}$с

$J\; i\; =\; 1\; 2\; \sum \; jk\; ϵ\; ijk\; J\; jk,\; K\; i\; =\; J\; 0\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{jk\}\; \backslash ,\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{ijk\}\; \backslash ,\; J\; ^\; \{jk\},\; K\; ^\; \{i\}\; =\; J\; ^\; \{0i\}\}$

в $x\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{0\}\; =\; 0\}$:

$R\; \to \; =\; -\; K\; \to \; M\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{R\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{K\}\}\; \{Mc\}\}\}$

$x\; ~\; \to \; =\; -\; K\; \to \; M\; 2\; c\; 2\; -\; P\; \to \; 2\; +\; J\; \to \; \times \; P\; \to \; M\; 2\; c\; 2\; -\; P\; \to \; 2\; (M\; c\; +\; M\; 2\; c\; 2\; -\; P\; \to \; 2)\; +\; K\; \to \; \cdot \; P\; \to \; P\; \to \; M\; c\; M\; 2\; c\; 2\; -\; P\; \to \; 2\; (M\; c\; +\; M\; 2\; c\; 2\; -\; P\; \to \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{K\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; ve\; c\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{J\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; (Mc\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{K\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\}\; \{Mc\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{\; P\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; (Mc\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}\})\}\}$

$Y\; \to \; =\; (\; M\; c\; +\; M\; 2\; c\; 2\; -\; P\; \to \; 2)\; x\; ~\; \to \; -\; M\; c\; R\; \to \; M\; 2\; c\; 2\; -\; P\; \to \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(Mc\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\}\; -\; Mc\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{R\}\}\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{M\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

Поскольку генераторы Пуанкаре зависят от всех компонентов изолированной системы, даже если они на больших пространственных расстояниях этот результат показывает, что релятивистские коллективные переменные являются глобальными (не определенными локально) величинами. Следовательно, все они являются неизмеримыми величинами, по крайней мере, при локальных измерениях. Это говорит о том, что могут возникнуть проблемы также с измерением центра масс Ньютона местными методами.

Инерционные системы покоя изолированной системы могут быть геометрически определены как инерциальные системы отсчета, пространственные 3-пространства которых ортогональны сохраняющийся временноподобный 4-импульс системы: они различаются только выбором начала инерциального наблюдателя 4-координат $x\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}$. В качестве начала координат выбирается 4-вектор центра инерции Фоккера – Прайса $Y\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}$, так как это 4-вектор, так что это единственный коллективный переменная, которую можно использовать для инерциального наблюдателя. Если $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- это собственное время атомных часов, переносимых инерциальным наблюдателем, и $\sigma \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$3-координаты в остальных 3-пространствах $\Sigma \; \to \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$, положения пространства-времени в этих трех пространствах можно описать в произвольной инерциальной системе отсчета с вложениями,

$z\; W\; \mu \; (\tau ,\; \sigma \; \to )\; =\; Y\; \mu \; (\tau )\; +\; \sum \; r\; =\; 1\; 3\; ϵ\; р\; \mu \; (час\; \to )\; \sigma \; р,\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\_\; \{W\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau,\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\})\; =\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; r\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{r\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\{\backslash \; vec\; \{h\}\})\; \backslash \; sigma\; ^\; \{r\},\}$

где $h\; \to \; =\; P\; \to \; /\; M\; с\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; /\; Mc\}$. Времяподобный 4-вектор $h\; \mu \; =\; P\; \mu \; /\; M\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; P\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; /\; Mc\}$и три пространственных 4 -векторы $ϵ\; r\; \mu \; (h\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{r\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\{\backslash \; vec\; \{h\}\})\}$- столбцы бустов Вигнера для времениподобные орбиты группы Пуанкаре. Как следствие, 3-координаты $\sigma \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$определяют 3-вектора Вигнера спина 1, которые преобразуются под действием вращения Вигнера, когда выполняется Преобразование Лоренца. Следовательно, из-за этой ковариации Вигнера эти привилегированные 3-пространства отдыха (названные 3-пространствами Вигнера $\Sigma \; (W)\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{(W)\; \backslash \; tau\}\}$) можно показать, что они внутренне определены и не зависят от описывающего их инерциального наблюдателя. Они позволяют описывать релятивистские связанные состояния без наличия относительных времен их составляющих, возбуждения которых никогда не наблюдались в спектроскопии.

В этой структуре можно описать три коллективные переменные с помощью 4-х величин $x\; ~\; \mu \; (\tau ),\; Y\; \mu \; (\tau ),\; R\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\; x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau),\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau),\; R\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$, такие что $\tau \; =\; h\; \mu \; Икс\; ~\; \mu \; (\tau )\; знак\; равно\; час\; \mu \; Y\; \mu \; (\tau )\; знак\; равно\; час\; \mu \; р\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тау\; =\; ч\; \_\; \{\backslash \; му\}\; \{\backslash \; тильда\; \{х\}\}\; ^\; \{\backslash \; му\}\; (\backslash \; тау)\; =\; h\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\; =\; h\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; R\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$. Можно показать, что они имеют следующие выражения в терминах $\tau ,\; z\; \to \; =\; M\; cx\; ~\; \to \; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau,\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\; =\; Mc\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; tilde\; \{\; x\}\}\}\; (0)\}$(данные Якоби в $\tau \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; 0\}$для канонического центра масс), $час\; \to ,\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\},\; M\}$и $S\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\}$

$x\; ~\; \mu \; (\tau )\; =\; (x\; ~\; 0\; (\tau );\; x\; \to \; ~\; (\tau ))\; =\; (1\; +\; h\; \to \; 2\; (\tau \; +\; h\; \to \; \cdot \; z\; \to \; M\; c);\; z\; \to \; M\; c\; +\; (\tau \; +\; h\; \to \; \cdot \; z\; \to \; M\; c)\; час\; \to )\; знак\; равно\; Z\; W\; \mu \; (\tau ,\; \sigma \; \to \; ~)\; =\; Y\; \mu \; (\tau )\; +\; (0,\; -\; S\; \to \; \times \; час\; \to \; M\; c\; (1\; +\; 1\; +\; час\; \to \; 2))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; tau);\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\}\; (\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; (\backslash \; tau\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\; z\}\}\}\; \{Mc\}\});\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\; \{Mc\}\}\; +\; (\backslash \; tau\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\}\; \{Mc\}\})\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; z\_\; \{W\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau,\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\})\; =\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\; +\; \backslash \; left\; (0,\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}\; \{Mc\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h)\; \}\}\; ^\; \{2\}\}\})\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$,

$Y\; \mu \; (\tau )\; =\; (x\; ~\; 0\; (\tau );\; Y\; \to \; (\tau ))\; =\; (1\; +\; h\; \to \; 2\; (\tau \; +\; h\; \to \; \cdot \; z\; \to \; M\; c);\; z\; \to \; M\; c\; +\; (\tau \; +\; h\; \to \; \cdot \; z\; \to \; M\; c)\; h\; \to \; +\; S\; \to \; \times \; h\; \to \; M\; с\; (1\; +\; 1\; +\; час\; \to \; 2))\; знак\; равно\; Z\; W\; \mu \; (\tau ,\; 0\; \to ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tilde\; \{\; x\}\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; tau);\; \{\backslash \; vec\; \{Y\}\}\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; (\; \backslash \; tau\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\}\; \{Mc\}\});\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\; \{Mc\}\}\; +\; (\backslash \; tau\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\}\; \{Mc\}\})\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{S\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{\; h\}\}\}\; \{Mc\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\})\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; z\_\; \{W\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau,\; \{\backslash \; vec\; \{0\}\})\; \backslash \; end\; \{align\}\},\}$

$R\; \mu \; (\tau )\; =\; (x\; ~\; 0\; (\tau );\; R\; \to \; (\tau ))\; =\; (1\; +\; h\; \to \; 2\; (\tau \; +\; h\; \to \; \cdot \; z\; \to \; M\; c);\; z\; \to \; M\; c\; +\; (\tau \; +\; h\; \to \; \cdot \; z\; \to \; M\; c)\; h\; \to \; -\; S\; \to \; \times \; h\; \to \; M\; c\; 1\; +\; h\; \to \; 2\; (1\; +\; 1\; +\; h\; \to \; 2))\; знак\; равно\; Z\; W\; \mu \; (\tau ,\; \sigma \; \to \; R)\; =\; Y\; \mu \; (\tau )\; +\; (0;\; -\; S\; \to \; \times \; h\; \to \; M\; c\; 1\; +\; h\; \to \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; tau);\; \{\backslash \; vec\; \{R\}\}\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \{\; \backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; (\backslash \; tau\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\}\; \{Mc\}\});\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{\; z\}\}\; \{Mc\}\}\; +\; (\backslash \; tau\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; ve\; c\; \{h\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{z\}\}\}\; \{Mc\}\})\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}\; \{Mc\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\})\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \backslash \; =\; z\_\; \{W\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau,\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \_\; \{R\})\; =\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\; +\; \backslash \; left\; (0;\; \{\backslash \; frac\; \{\; -\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}\; \{Mc\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

Положения канонического центра масс и центра энергии в привилегированном 3-пространстве Вигнера

$\sigma \; \to \; ~\; =\; -\; S\; \to \; \times \; h\; \to \; M\; c\; (1\; +\; 1\; +\; h\; \to \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}\; \{Mc\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\}\})\}\}\}$

и

$\sigma \; \to \; R\; =\; -\; S\; \to \; \times \; h\; \to \; M\; c\; 1\; +\; h\; \to \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\; \}\}\; \_\; \{R\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}\; \{Mc\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; ^\; \{2\}\; \}\}\}\}\}$.

Псевдомира канонического центра масс всегда ближе к центру инерции, чем к центру энергии.

Мёллер показал, что если в произвольной инерциальной системе отсчета нарисовать все псевдомирные линии $x\; ~\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$и $R\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$связанных со всеми возможными инерциальными системами отсчета, затем они заполняют мировую трубку вокруг 4-вектора $Y\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$с помощью поперечный инвариантный радиус Меллера $\rho \; =\; |\; S\; \to \; |\; /\; M\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; |\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\; |\; /\; Mc\}$определяется двумя Казимирами изолированной системы. Эта мировая трубка описывает область нековариантности релятивистских коллективных переменных и устанавливает теоретический предел для локализации релятивистских частиц. Это можно увидеть, взяв разницу между $Y\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$и $R\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$или $x\; ~\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$. В обоих случаях разница имеет только пространственный компонент, перпендикулярный обоим $S\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{S\}\}\}$и $h\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\; \}\}$и величиной в диапазоне от нуля до радиуса Мёллера, поскольку трехскоростная система изолированных частиц в произвольной инерциальной системе отсчета изменяется от 0 до c. Поскольку различие имеет только пространственный компонент, очевидно, что объем соответствует нековариационной мировой трубе вокруг 4-вектора Фоккера-Прайса $Y\; \mu \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; tau)\}$.

Поскольку радиус Мёллера порядка длины волны Комптона изолированной системы, невозможно исследовать ее внутреннюю часть без создания пар, а именно без учета релятивистской квантовой механики. Более того, мировая трубка является остатком энергетических условий общей теории относительности в плоском решении Минковского: если материальное тело имеет материальный радиус меньше, чем его радиус Мёллера, то в некоторой системе отсчета плотность энергии тела не определена. положительный, даже если общая энергия положительна.

Разница между тремя релятивистскими коллективными переменными и нековариационной мировой трубкой - это глобальные (не определенные локально) эффекты, вызванные сигнатурой Лоренца пространства-времени Минковского и исчезающие в не- релятивистский предел.

• Барицентрическая система координат
• Система отсчета центра импульса
• Релятивистский угловой момент
• Теория представлений группы Лоренца
• Теория представлений группы Пуанкаре