Альфапедия

Релятивистская квантовая механика

редактировать
Квантовая механика с учетом частиц, близких к скорости света или со скоростью света

В физике, релятивистская квантовая механика (RQM) - это любая ковариантная формулировка Пуанкаре квантовой механики (QM). Эта теория применима к массивным частицам, распространяющимся со всеми скоростями до тех, которые сопоставимы со скоростью скорости света c, и может вместить безмассовые частицы. Теория имеет применение в физике высоких энергий, физике частиц частиц и физике ускорителей, а также в атомной физике, ии и физика конденсированного состояния. Нерелятивистская квантовая механика относится к математической формулировке квантовой механики, применяемой в контексте теории относительности Галилея, более конкретно квантованию формулы классической замены механики путем динамической переменные операторами. Релятивистская квантовая механика (RQM) - это квантовая механика, применяемая с специальной теорией относительности. Хотя более ранние формулировки, такие как изображение Шредингера и изображение Гейзенберга, изначально были сформулированы на нерелятивистском фоне, некоторые из них (например, формализм Дирака или интеграла по путям) также работают со теорией относительности.

Основные особенности, общие для всех RQM, включают: предсказание антивещества, спинового магнитного момента элементарного спина 1/2 фермионы, тонкая структура и квантовая динамика заряженных частиц в электромагнитных полях. Ключевым результатом является уравнение Дирака, из которого эти прогнозы составляют автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике необходимо искусственно вводить члены в гамильтонов оператор, чтобы достичь согласия с экспериментальными наблюдениями.

Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) RQM является релятивистская квантовая теория поля (QFT), в которой элементарные частицы интерпретируются как кванты поля. Уникальным следствием QFT, которое было протестировано на RQM, является нарушение сохранения числа частиц, например, в создание материи и аннигиляции.

В этой статье написаны в знакомом Обозначение 3D другие исчисления и использование шляп для операторов (не обязательно в литературе), и где могут быть собраны пространственные и временные компоненты, отображается нотация тензорного индекса также (часто в литературе), кроме того, используется соглашение о суммировании Эйнштейна. Здесь используются единицы СИ ; Гауссовы единицы и натуральные единицы - распространенные альтернативы. Все уравнения в позиционном представлении; для представления импульса уравнения должны быть преобразованы Фурье - см. пространство положения и импульса.

Содержание

  • 1 Объединение специальной теории относительности и квантовой механики
    • 1.1 Пространство и время
    • 1.2 Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы
    • 1.3 Уравнения Клейна - Гордона и Дирака для свободных частиц
    • 1.4 Плотности и токи
  • 2 Спиновые и электромагнитно частицы
    • 2.1 Спин 0
    • 2.2 Спин 1/2
    • 2.3 Спиральность и киральность
    • 2.4 Высшие спины
  • 3 Оператор скорости
  • 4 Релятивистские квантовые лагранжианы
  • 5 Релятивистский квантовый угловой момент
    • 5.1 Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия
  • 6 История
    • 6.1 Релятивистское описание частиц в квантовых лагранжих
    • 6.2 Эксперименты
    • 6.3 Квантовая нелокальность и релятивистская локальность
    • 6.4 Лэмбовский сдвиг
    • 6.5 Развитие квантовой электродинамики
  • 7 См. Также
    • 7.1 Атомная физика и химия
    • 7.2 Математическая физика
    • 7.3 Физика элементарных частиц и квантовая теория поля
  • 8 Сноски
  • 9 Ссылки
    • 9.1 Избранные книги
    • 9.2 Теория групп в квантовой физике
    • 9.3 Избранные статьи
  • 10 Дополнительная литература
    • 10.1 Релятивистская квантовая механика и поле теории
    • 10.2 Квантовая теория и приложения в целом
  • 11 Внешние ссылки

Сочетание специальной теории относительности и квантовой механики

Один из подходов - изменить картину Шредингера, чтобы она соответствовала специальная теория относительности.

A постулат квантовой механики состоит в том, что временная эволюция любая квантовой системы задается уравнением Шредингера :

i ℏ ∂ ∂ t ψ = H ^ ψ {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ hat {H}} \ psi}i \ hbar \ f rac {\ partial} {\ partial t} \ psi = \ hat {H} \ psi

с использованием подходящего гамильтонова оператора Ĥ, соответствующей системы. Решением является комплексная -значная волновая функция ψ(r, t), функция события положения 3D rчастицы в момент времени t, описывающая поведение системы.

Каждая частица имеет неотрицательное квантовое число спина s. Число 2s является целым числом, нечетным для фермионов и четным для бозонов. Каждый s имеет 2s + 1 квантовых чисел z-проекции; σ = s, s - 1,..., −s + 1, −s. Это дискретная переменная, которую требует волновая функция; ψ (r, t, σ).

Исторически, в начале 1920-х годов Паули, Крониг, Уленбек и Гоудсмит были первыми, кто использовал эту концепцию. спина. Включение спина в волновую функцию включает в себя принцип исключения Паули (1925) и более общую теорему спиновой статистики (1939) из-за Фирца, переформулированную Паули год спустя. Это объяснение разнообразного поведения и явлений субатомных частиц : от электронных конфигураций ядер, ядер (и, следовательно, всех элементов на периодическая таблица и их химия ), конфигурациям кварков и цветному заряду (отсюда и свойства барионов и мезонов ).

Фундаментальное предсказание специального теории относительности - это релятивистское соотношение энергии-импульса ; для частиц с массой покоя м и в системе отсчета с энергией E и 3- импульсом pс величиной в терминах скалярного произведения p = p ⋅ p {\ displaystyle p = {\ sqrt {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p}}}}{\displaystyle p={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}, это :

E 2 = c 2 p ⋅ p + (mc 2) 2. {\ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} + (mc ^ { 2}) ^ {2} \,.}E ^ {2} = c ^ {2} {\ mathbf {p}} \ cdot {\ mathbf {p}} + (mc ^ {2}) ^ {2} \,.

Эти использовались вместе с операторами энергии и импульса соответственно:

E ^ = i ℏ ∂ ∂ T, п ^ = - я ℏ ∇, {\ Displaystyle {\ Hat {E}} = я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \,, \ quad {\ hat {\ mathbf {p}}} = - я \ hbar \ nabla \,,}\ hat {E} = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \,, \ quad \ hat { \ mathbf {p}} = -i \ hbar \ nabla \,,

для построения релятивистского волнового уравнения (RWE): дифференциальное уравнение в частных производных, согласованное с вычислением энергия-импульс и решаемое относительно ψ для предсказания квантовой динамики частиц. Для того чтобы пространство и время были уравновешены, как в теории относительности, порядки и времени частных производственных должны быть одинаковыми, а в идеале - как можно более низкими, чтобы никакие начальные значения производных не нуждались в быть уточненными. Это важно для вероятностных интерпретаций, проиллюстрированных ниже. Наинизший возможный порядок любого дифференциального уравнения - это первый (производные нулевого порядка не образуют дифференциальное уравнение).

Картинка Гейзенберга - это другая функция QM, в этом случае волновая функция ψ не зависит от времени, а операторы A (t) содержат временную зависимость, управляемую формулу движения:

ddt A Знак равно 1 я ℏ [A, H ^] + ∂ ∂ TA, {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A = {\ frac {1} {i \ hbar}} [A, {\ hat {H }}] + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} A \,,}\ frac {d} {dt} A = \ frac {1} {i \ hbar} [A, \ hat {H}] + \ frac {\ partial} {\ partial t} A \,,

Это уравнение также верно в RQM при условии, что операторы Гейзенберга могут для согласования с SR.

Исторически, примерно в 1926 году, Шредингер и Гейзенберг показывают, что волновая механика и матричная механика эквивалентны, что позже было развито Дираком с Использование теория трансформации.

Более современный подход к RWE, впервые представленный во время разработки RWE для частиц любого спина, заключается в применении представлений группы Лоренца.

Пространство и время

В классическая механика и нерелятивистской КМ время - это абсолютная величина для всех наблюдателей и частиц c Всегда согласен, «тикает» на заднем плане независимо от места. Таким образом, в нерелятивистской КМ для системы многих частиц ψ(r1, r2, r3,..., t, σ 1, σ 2, σ 3...).

В релятивистской механике, пространственные координаты и координаты времени не являются абсолютными; Любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять разные места и время событий. Координаты и времени естественным образом объединяются в четырехмерное пространственно-временное положение X= (ct, r ), соответствующие событиям, а энергия и 3-импульс естественным образом объединяются в четыре импульса P= (E / c, p ) динамические частицы, измеренные в некоторой системе отсчета, изменяются согласно преобразованию Лоренца как один измеряет в другом кадре, увеличенном и / или повернутом относительно рассматриваемого кадра. Производные операторы и, следовательно, операторы энергии и 3-напряжения неинвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца (r, t) → Λ (r, t) в габ Минковского, все одночастичные квантовые состояния ψ σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца :

ψ σ (r, t) → D (Λ) ψ σ (Λ - 1 ( г, T)) {\ Displaystyle \ psi _ {\ sigma} (\ mathbf {r}, t) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi _ {\ sigma} (\ Lambda ^ {- 1} (\ mathbf { r}, t))}\ psi _ {\ sigma} (\ mathbf {r}, t) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi _ {\ sigma} (\ Lambda ^ {- 1} (\ mathbf {r}, t))

где D (Λ) - представительное представление, другими словами, квадратная матрица (2s + 1) × (2s + 1) . Опять же, ψ рассматривается как вектор-столбец , существуют компоненты с (2s + 1) допустимыми значениями σ. Квантовые числа s и σ, а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие квантовые числа, подавления. Одно значение может встречаться более одного раза в зависимости от представления.

Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы

классический гамильтониан для частиц с потенциалом - это кинетическая энергия p·p/ 2m плюс потенциальная энергия V(r, t), действующим квантовым оператором наении Шредингера :

H ^ = p ^ ⋅ p ^ 2 m + V (r, t) {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {\ mathbf {p}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}}} {2m}} + V (\ mathbf {r}, t)}\hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r}, t)

и подстановка Это в приведенное выше уравнение Шредингера дает нерелятивистское уравнение КМ для волновой функции: процедура представляет собой прямую замену простого выражения. Напротив, в RQM это не так просто; уравнение энергии-импульса квадратично по энергии и импульсу, что приводит к затруднениям. Наивная постановка:

H ^ = E ^ = c 2 p ^ ⋅ p ^ + (mc 2) 2 ⇒ i ℏ ∂ ∂ t ψ = c 2 p ^ ⋅ p ^ + (mc 2) 2 ψ {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {E}} = {\ sqrt {c ^ {2} {\ hat {\ mathbf {p}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} + (mc ^ {2}) ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ sqrt {c ^ {2} {\ hat {\ mathbf {p}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} + (mc ^ {2}) ^ {2}}} \, \ psi}\ hat {H} = \ hat {E} = \ sqrt {c ^ 2 \ hat {\ m athbf {p}} \ cdot \ hat {\ mathbf {p}} + (mc ^ 2) ^ 2} \ quad \ Rightarrow \ quad i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi = \ sqrt {c ^ 2 \ hat {\ mathbf {p}} \ cdot \ hat {\ mathbf {p }} + (mc ^ 2) ^ 2} \, \ psi

бесполезен по нескольким причинам. Квадратный корень операторов нельзя использовать в его нынешнем виде; его нужно было бы разложить в ряд степеней, прежде чем оператор импульса, возведенный в степени в каждом члене, мог воздействовать на ψ. В результате степенного ряда пространственных и временных производных полностью асимметричны: бесконечный порядок по пространственным производным, но только первый порядок по временной производной, что неэлегантно и громоздко. Опять же, существует проблема неинвариантности оператора энергии, приравниваемого к квадратному корню, который также не является инвариантным. Другая проблема, менее очевидная и более серьезная, заключается в том, что она может быть нелокальной и может даже нарушать причинно-следственную связь : если частица изначально локализована в точке r0, так что ψ (r0, t = 0) конечен и равен нулю где-либо еще, тогда в любом более поздний момент уравнение предсказывает делокализацию ψ (r, t) ≠ 0 везде, даже для | r |>ct, что означает, что частица могла прибыть в точку раньше, чем импульс света. Это должно быть исправлено дополнительным ограничением ψ (| r |>ct, t) = 0.

Существует также проблема включения спина в гамильтониан, которого нет. t предсказание нерелятивистской теории Шредингера. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, квантованные в комплекте μ B, магнетон Бора :

μ ^ S = - g μ B ℏ S ^, | μ S | Знак равно - г μ В σ, {\ Displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ mu}}} _ {S} = - {\ frac {g \ mu _ {B}} {\ hbar}} {\ hat { \ mathbf {S}}} \,, \ quad \ left | {\ boldsymbol {\ mu}} _ {S} \ right | = -g \ mu _ {B} \ sigma \,,}\ hat {\ boldsymbol {\ mu}} _ S = - \ frac {g \ mu_B} {\ hbar} \ hat {\ mathbf {S}} \,, \ quad \ left | \ boldsymbol {\ mu} _S \ right | = - g \ mu_B \ sigma \,,

где g - (спин) g-фактор для частиц и S оператор вращения , поэтому они взаимодействуют с электромагнитными полями. Для частиц во внешнем магнитном поле Bчлен взаимодействия

H ^ B = - B ⋅ μ ^ S {\ displaystyle {\ hat {H}} _ {B} = - \ mathbf {B} \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {\ mu}}} _ {S}}\ hat {H} _B = - \ mathbf {B} \ cdot \ hat {\ boldsymbol {\ mu}} _ S

нужно добавить к вышеуказанному нерелятивистскому гамильтониану. Наоборот; релятивистский гамильтониан автоматически вводит спин как требование релятивистского отношения энергии-импульса.

Релятивистские гамильтони аналогны гамильтонианам нерелятивистской КМ в следующем отношении; есть термины, включающие масса покоя и члены взаимодействия с внешними приложенными полями, аналогичные классическому члену потенциальной энергии, а также термины импульса, подобного классическому термину кинетической энергии. Основное отличие состоит в том, что релятивистские гамильтони содержат спиновые операторы в форме которых матриц, в матричное умножение проходит по спиновому индексу σ, так что в целом релятивистский гамильтониан:

H ^ Знак равно ЧАС ^ (г, т, п ^, S ^) {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} (\ mathbf {r}, t, {\ hat {\ mathbf {p}) }}, {\ hat {\ mathbf {S}}})}\ hat {H} = \ hat {H} (\ mathbf {r}, t, \ hat {\ mathbf {p}}, \ hat {\ mathbf {S}})

является функцией пространства, времени, а также импульсов оператора и вращения.

Уравнения Клейна - Гордона и Дирака для свободных частиц

Подстановка энергии и импульса непосредственно в соотношении энергия-импульс на первый взгляд может быть привлекательным, чтобы получить Клейн– Уравнение Гордона :

E ^ 2 ψ знак равно c 2 p ^ ⋅ p ^ ψ + (mc 2) 2 ψ, {\ displaystyle {\ hat {E}} ^ {2} \ psi = c ^ {2} {\ hat {\ mathbf {p}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} \ psi + (mc ^ {2}) ^ {2} \ psi \,,}\hat{E} ^2 \psi = c^2\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}\psi + (mc^2)^2\psi \,,

и был открыт многие люди из-за простого метода его получения, особенно Шредингером в 1925 году, чем он нашел нерелятивистское уравнение, названное его именем, и Кляйном и Гордоном в 1927 году, которые включили в уравнение электромагнитные воздействия. Это релятивистски инвариантный, но одно это уравнение не является достаточным основанием для RQM по нескольким причинам; одно состоит в том, что состояния с отрицательной энергией являются решениями, другое - это плотность (приведенная ниже), и это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно разложить на множители в виде:

(E ^ - c α ⋅ p ^ - β mc 2) (E ^ + c α ⋅ p ^ + β mc 2) ψ = 0, {\ displaystyle \ left ( {\ hat {E}} - c {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} - \ beta mc ^ {2} \ right) \ left ({\ hat {E} } + c {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} + \ beta mc ^ {2} \ right) \ psi = 0 \,,}\ left (\ hat {E} - c \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot \ hat {\ mathbf {p} } - \ beta mc ^ 2 \ right) \ left (\ hat {E} + c \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot \ hat {\ mathbf {p}} + \ beta mc ^ 2 \ right) \ psi = 0 \,

где α = (α 1, α 2, α 3) и β не просто числа или архитектуры, а 4 × 4 эрмитова матрицы необходимые для антикоммутации для i ≠ j:

α i β = - β α i, α i α j = - α j α i, {\ displaystyle \ alpha _ {i} \ beta = - \ beta \ alpha _ {i}, \ quad \ alpha _ {i} \ alpha _ {j} = - \ alpha _ {j} \ alpha _ {i} \,,}\ alpha _ {i} \ beta = - \ beta \ alpha _ {i}, \ quad \ alpha _ {i} \ alpha _ {j } = - \ alpha _ {j} \ alpha _ {i} \,,

и возводится в квадрат единичной матрицы :

α i 2 = β 2 = I, {\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I \,,}\ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I \,,

так что члены со смешанными производными второго порядка сокращ, а производные второго порядка остаются в простра нстве и времени. Первый множитель:

(E ^ - c α ⋅ p ^ - β MC 2) ψ = 0 ⇔ H ^ = c α ⋅ p ^ + β MC 2 {\ displaystyle \ left ({\ hat {E}} - c {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} - \ beta mc ^ {2} \ right) \ psi = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ hat {H}} = c {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} + \ beta mc ^ {2}}\ left (\ hat {E} - c \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot \ hat {\ mathbf {p}} - \ beta mc ^ 2 \ right) \ psi = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ hat {H} = c \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot \ hat {\ mathbf {p}} + \ beta mc ^ 2

- это уравнение Дирака. Другой фактор - это тоже уравнение Дирака, но для частиц отрицательной массы. Каждый фактор релятивистски инвариантен. Рассуждения могут быть сделаны наоборот: предложите гамильтониан в приведенной выше форме, как это сделал Дирак в 1928 году, затем умножьте уравнение на другой множитель операторов E + c α· p+ βmc и сравните уравнение с KG, укажите ограничение на α и β. Уравнение положительной массы можно использовать без непрерывности. Матрицы, умножающие ψ, предполагают, что это не скалярная волновая функция, как разрешено в уравнении KG, а должна быть четырехкомпонентной сущностью. Уравнение Дирака по-прежнему предсказывает решения с отрицательной энергией, поэтому Дирак постулировал, что состояния с отрицательной энергией всегда заняты, потому что согласно принципу Паули, электронные переходы с положительных уровней энергии на отрицательные в отрицательные в Атомы были бы запрещены. Подробнее см. море Дирака.

Плотности и токи

В нерелятивистской квантовой механике квадратный модуль волновой функции ψ дает функцию плотности вероятности ρ = | ψ |. Это Копенгагенская интерпретация, около 1927 года. В RQM, в то время как ψ (r, t) является волновой функцией, вероятностная интерпретация не такая, как в нерелятивистской КМ. Некоторые RWE не предсказывают плотность вероятности ρ или ток вероятности j(на самом деле означает плотность тока вероятности), потому что они не являются положительно определенными функциями пространства и времени. Уравнение Дирака выполняет:

ρ = ψ † ψ, j = ψ † γ 0 γ ψ ⇌ J μ = ψ † γ 0 γ μ ψ {\ displaystyle \ rho = \ psi ^ {\ dagger} \ psi, \ quad \ mathbf {j} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} {\ boldsymbol {\ gamma}} \ psi \ quad \ rightleftharpoons \ quad J ^ {\ mu} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}\ rho = \ psi ^ {\ dagger} \ psi, \ quad {\ mathbf { j}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} {\ boldsymbol {\ gamma}} \ psi \ quad \ rightleftharpoons \ quad J ^ {\ mu} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu} \ psi

где кинжал обозначает эрмитово сопряженное соединение (авторы обычно пишут ψ = ψγ для Сопряженное по Дираку ), а J - вероятностная четырехтоковая, тогда как уравнение Клейна – Гордона не дает:

ρ = i ℏ 2 mc 2 (ψ ∗ ∂ ψ ∂ t - ψ ∂ ψ ∗ ∂ t), j = - i ℏ 2 m (ψ ∗ ∇ ψ - ψ ∇ ψ ∗) ⇌ J μ = i ℏ 2 m (ψ ∗ ∂ μ ψ - ψ ∂ μ ψ ∗) {\ displaystyle \ rho = {\ frac {я \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ left (\ psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} - \ psi {\ frac {\ partial \ psi ^ {*}} {\ partial t}} \ right) \,, \ quad \ mathbf {j} = - {\ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ psi ^ {*} \ nabla \ psi - \ psi \ nabla \ psi ^ {*} \ right) \ quad \ rightleftharpoons \ quad J ^ {\ mu} = {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ psi ^ {*} \ partial ^ {\ mu} \ psi - \ psi \ part ial ^ {\ mu} \ psi ^ {*})}\ rho = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ left (\ psi ^ {{*}} {\ fra c {\ partial \ psi} {\ partial t}} - \ psi {\ frac {\ partial \ psi ^ {*}} {\ partial t}} \ right) \,, \ quad {\ mathbf {j}} = - {\ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ psi ^ {*} \ nabla \ psi - \ psi \ nabla \ psi ^ {*} \ right) \ quad \ rightleftharpoons \ quad J ^ {\ mu} = {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ psi ^ {*} \ частичное ^ {\ mu} \ psi - \ psi \ partial ^ {\ mu} \ psi ^ {*})

где ∂ - четыре градиента. Поскольку начальные значения ψ и ∂ψ / ∂t могут быть выбраны произвольно, плотность может быть отрицательной.

Вместо этого то, что кажется на первый взгляд, "плотность вероятности" и "ток вероятности" следует интерпретировать заново как плотность заряда и плотность тока при умножении на электрический заряд. Тогда волновая функция ψ вообще не будет волновой функцией, а будет интерпретироваться как поле. Плотность и ток электрического заряда всегда удовлетворяют уравнению неразрывности :

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 ⇌ ∂ μ J μ = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0 \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0 \,,}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {J}}=0\quad \rightleftharpoons \quad \partial _{\mu }J^{\mu }=0\,,

поскольку заряд сохраненное количество. Плотность вероятности и ток также удовлетворяют уравнению неразрывности, поскольку вероятность сохраняется, однако это возможно только при отсутствии взаимодействий.

Спиновые и электромагнитно взаимодействующие частицы

Учет взаимодействий в RWE обычно затруднен. Минимальная связь - это простой способ включить электромагнитное взаимодействие. Для одной заряженной частицы с электрическим зарядом q в электромагнитном поле, заданном векторным магнитным потенциалом A(r, t), определяемым магнитным полем B = ∇ × A и электрический скалярный потенциал ϕ(r, t), это:

E ^ → E ^ - q ϕ, p ^ → p ^ - q A ⇌ P ^ μ → P ^ μ - q A μ {\ displaystyle {\ hat {E}} \ rightarrow {\ hat {E}} - q \ phi \,, \ quad {\ hat {\ mathbf {p}}} \ rightarrow {\ hat {\ mathbf {p}}} - q \ mathbf {A} \ quad \ rightleftharpoons \ quad {\ hat {P}} _ {\ mu} \ rightarrow {\ hat {P}} _ {\ mu} -qA_ { \ mu}}\ hat {E } \правая стрелка \ hat {E} - q \ phi \, \ quad \ hat {\ mathbf {p}} \ rightarrow \ hat {\ mathbf {p}} - q \ mathbf {A} \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ hat {P } _ \ mu \ rightarrow \ hat {P} _ \ mu -q A_ \ mu

где P μ - это четырехимпульс, которому соответствует оператор 4-импульса, и A μ четырехпотенциальный. В дальнейшем нерелятивистский предел относится к предельным случаям:

E - e ϕ ≈ mc 2, p ≈ mv, {\ displaystyle Ee \ phi \ приблизительно mc ^ {2} \,, \ quad \ mathbf {p} \ about m \ mathbf {v} \,,}Ээ \ фи \ приблизительно mc ^ {2} \,, \ quad {\ mathbf {p}} \ приблизительно m {\ mathbf {v}} \,,

то есть полная энергия частицы приблизительно равна энергии покоя для малых электрических потенциалов, а импульс приблизительно равен классическому импульсу.

Спин 0

В RQM уравнение KG допускает минимальное задание связи;

(E ^ - q ϕ) 2 ψ = c 2 (p ^ - q A) 2 ψ + (mc 2) 2 ψ ⇌ [(P ^ μ - q A μ) (P ^ μ - q A μ) - (mc) 2] ψ = 0. {\ displaystyle {({\ hat {E}} - q \ phi)} ^ {2} \ psi = c ^ {2} {({\ hat {\ mathbf { p}}} - q \ mathbf {A})} ^ {2} \ psi + (mc ^ {2}) ^ {2} \ psi \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ left [{({\ hat {P} } _ {\ mu} -qA _ {\ mu})} {({\ hat {P}} ^ {\ mu} -qA ^ {\ mu})} - {(mc)} ^ {2} \ right] \ psi = 0.}{\ displaystyle {({\ hat {E}} - q \ phi)} ^ {2} \ psi = c ^ {2} {({\ hat {\ mathbf {p}}} - q \ mathbf {A})} ^ {2} \ psi + (mc ^ {2}) ^ {2} \ psi \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ left [{({\ hat {P}} _ {\ mu} -qA _ {\ mu})} {({\ hat {P}} ^ {\ mu} -qA ^ {\ mu})} - {(mc)} ^ {2 } \ right] \ psi = 0.}

В случае, когда заряд равен нулю, уравнение тривиально сводится к уравнению свободного КГ, поэтому ниже предполагается ненулевой заряд. Это скалярное уравнение, инвариантное относительно неприводимого одномерного скалярного (0,0) представления группы Лоренца. Это означает, что все его решения будут принадлежать прямой сумме (0,0) представлений. Решения, не принадлежащие неприводимому (0,0) представлению, будут иметь две или более независимых компоненты. Такие решения, вообще говоря, не могут описывать частицы с ненулевым спином, поскольку спиновые компоненты не являются независимыми. Для этого необходимо будет наложить другое ограничение, например уравнение Дирака для спина 1/2, см. ниже. Таким образом, если система удовлетворяет только уравнению КГ, ее можно интерпретировать только как систему с нулевым спином.

Электромагнитное поле рассматривается классически в соответствии с уравнениями Максвелла, и частица описывается волновой функцией, решением уравнения КГ. Уравнение в его нынешнем виде не всегда очень полезно, потому что массивные бесспиновые частицы, такие как π-мезоны, испытывают гораздо более сильное взаимодействие в дополнение к электромагнитному взаимодействию. Однако он правильно описывает заряженные бесспиновые бозоны в отсутствие других взаимодействий.

Уравнение КГ применимо к бесспиновым заряженным бозонам во внешнем электромагнитном потенциале. Таким образом, уравнение не может быть применено к описанию атомов, поскольку электрон является частицей со спином 1/2. В нерелятивистском пределе уравнение сводится к уравнению Шредингера для бесспиновой заряженной частицы в электромагнитном поле:

(i ℏ ∂ ∂ t - q ϕ) ψ = 1 2 m (p ^ - q A) 2 ψ ⇔ H ^ = 1 2 m (p ^ - q A) 2 + q ϕ. {\ displaystyle \ left (я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - q \ phi \ right) \ psi = {\ frac {1} {2m}} {({\ hat {\ mathbf {p}}} - q \ mathbf {A})} ^ {2} \ psi \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2m}} {({\ hat { \ mathbf {p}}} - q \ mathbf {A})} ^ {2} + q \ phi.}\ left (i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t } - q \ phi \ right) \ psi = \ frac {1} {2m} {(\ hat {\ mathbf {p}} - q \ mathbf {A})} ^ 2 \ psi \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ шляпа {H} = \ frac {1} {2m} {(\ hat {\ mathbf {p}} - q \ mathbf {A})} ^ 2 + q \ phi.

Спин 1/2

Нерелятивистски спин был феноменологически введенное в уравнение Паули Паули в 1927 году для частиц в электромагнитном поле :

(i ℏ ∂ ∂ t - q ϕ) ψ = [1 2 m (σ ⋅ (п - q A)) 2] ψ ⇔ H ^ = 1 2 м (σ ⋅ (p - q A)) 2 + q ϕ {\ displaystyle \ left (я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial}) {\ partial t}} - q \ phi \ right) \ psi = \ left [{\ frac {1} {2m}} {({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}))} ^ {2} \ right] \ psi \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2m}} {({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}))} ^ {2} + q \ phi}\ left (i \ hba r \ frac {\ partial} {\ partial t} - q \ phi \ right) \ psi = \ left [\ frac {1} {2m} {(\ boldsymbol {\ sigma} \ cdot (\ mathbf {p} - q \ mathbf {A}))} ^ 2 \ right] \ psi \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ hat {H} = \ frac {1} {2m} {(\ boldsymbol {\ sigma} \ cdot (\ mathbf { p} - q \ mathbf {A}))} ^ 2 + q \ phi

посредством 2 × 2 матриц Паули, а ψ не просто с калярная волновая функция, как в нерелятивистском уравнении Шредингера, bu ta двухкомпонентное спинорное поле :

ψ = (ψ ↑ ψ ↓) {\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ uparrow} \\\ psi _ {\ downarrow} \ end {pmatrix}}}\ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{\ uparrow}} \\\ psi _ {{\ downarrow}} \ end {pmatrix}}

где нижние индексы ↑ и ↓ относятся к состояниям «раскрутка вверх» (σ = +1/2) и «спад вниз» (σ = −1/2).

В RQM уравнение Дирака может также включать минимальную связь, переписанную сверху;

(i ℏ ∂ ∂ t - q ϕ) ψ = γ 0 [c γ ⋅ (p ^ - q A) - mc 2] ψ ⇌ [γ μ (P ^ μ - q A μ) - mc 2] ψ знак равно 0 {\ displaystyle \ left (я \ HBAR {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - q \ phi \ right) \ psi = \ gamma ^ {0} \ left [c {\ boldsymbol {\ гамма}} \ cdot {({\ hat {\ mathbf {p}}} - q \ mathbf {A})} - mc ^ {2} \ right] \ psi \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ left [\ gamma ^ {\ mu} ({\ hat {P}} _ {\ mu} -qA _ {\ mu}) - mc ^ {2} \ right] \ psi = 0}\ left (i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} -q \ phi \ right) \ psi = \ gamma ^ 0 \ left [c \ boldsymbol {\ gamma } \ cdot {(\ hat {\ mathbf {p}} - q \ mathbf {A})} - mc ^ 2 \ right] \ psi \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ left [\ gamma ^ \ mu (\ hat { P} _ \ mu - q A_ \ mu) - mc ^ 2 \ right] \ psi = 0

и было первым уравнением, точно предсказывающим вращение, следствие гамма-матриц 4 × 4 γ = β, γ = (γ 1, γ 2, γ 3) = β α = (βα 1, βα 2, βα 3). Имеется единичная матрица 4 × 4 , предварительно умножающая оператор энергии (включая член потенциальной энергии), обычно не записываемая для простоты и ясности (т.е. обрабатываемая как число 1). Здесь ψ - четырехкомпонентное спинорное поле, которое условно разбивается на два двухкомпонентных спинора в виде:

ψ = (ψ + ψ -) = (ψ + ↑ ψ + ↓ ψ - ↑ ψ - ↓) {\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {+} \\\ psi _ {-} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {+ \ uparrow} \\\ psi _ {+ \ downarrow} \\\ psi _ {- \ uparrow} \\\ psi _ {- \ downarrow} \ end {pmatrix}}}\ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{+}} \\\ psi _ {{-} } \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{+ \ uparrow}} \\\ psi _ {{+ \ downarrow}} \\\ psi _ {{- \ uparrow}} \\ \ psi _ {{- \ downarrow}} \ end {pmatrix}}

2-спинор ψ + соответствует частице с 4-импульсом (E, p ), зарядом q и двумя спиновыми состояниями (σ = ± 1/2, как и раньше). Другой 2-спинор ψ - соответствует аналогичной частице с такой же массой и спиновым состоянием, но с отрицательным 4-импульсом - (E, p ) и отрицательным зарядом −q, что есть, состояния с отрицательной энергией, обращенный во времени импульс и отрицательный заряд. Это была первая интерпретация и предсказание частицы и соответствующей античастицы. См. спинор Дирака и биспинор для дальнейшего описания этих спиноров. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака сводится к уравнению Паули (как см. уравнение Дирака ). Когда применяется одноэлектронный атом или ион, устанавливая для A= 0и ϕ соответствующий электростатический потенциал, дополнительные релятивистские термины включают в себя спин-орбитальное взаимодействие, электрон гиромагнитное отношение и термин Дарвина. В обычном КМ эти термины должны вводиться вручную и обрабатываться с использованием теории возмущений. Положительные энергии точно объясняют тонкую структуру.

Внутри RQM для безмассовых частиц уравнение Дирака сводится к:

(E ^ c + σ ⋅ p ^) ψ + = 0, (E ^ c - σ ⋅ p ^) ψ - = 0 ⇌ σ μ P ^ μ ψ + знак равно 0, σ μ P ^ μ ψ - = 0, {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ hat {E}} {c}} + {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} \ right) \ psi _ {+} = 0 \,, \ quad \ left ({\ frac {\ hat {E}} {c}} - {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} \ right) \ psi _ {-} = 0 \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ sigma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} \ psi _ {+} = 0 \,, \ quad \ sigma _ {\ mu} {\ hat {P}} ^ {\ mu} \ psi _ {-} = 0 \,,}\ left (\ frac {\ hat {E}} {c} + \ boldsymbol {\ sigma} \ cdot \ hat {\ mathbf {p}} \ right) \ psi _ {+} = 0 \,, \ quad \ left (\ frac {\ hat {E}} {c} - \ boldsymbol {\ sigma} \ cdot \ hat {\ mathbf {p}} \ right) \ psi _ {-} = 0 \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ sigma ^ \ mu \ hat {P} _ \ mu \ psi _ {+} = 0 \,, \ quad \ sigma_ \ mu \ hat {P} ^ \ mu \ psi _ {-} = 0 \,,

первым из которых является уравнение Вейля, значительное упрощение, применимое для безмассовых нейтрино. На этот раз имеется единичная матрица 2 × 2 , предварительно умножающая оператор энергии, который обычно не записывается. В RQM полезно принять это как нулевую матрицу Паули σ 0, которая связана с оператором энергии (производная по времени), так же, как другие три матрицы связаны с оператором импульса (пространственные производные).

Матрицы Паули и гамма были введены здесь в теоретической физике, а не в чистой математике как таковой. У них есть приложения к кватернионам и к SO (2) и SO(3) группам Ли, потому что они удовлетворяют важным коммутатор [,] и антикоммутатор [,] + соотношения соответственно:

[σ a, σ b] = 2 i ε abc σ ​​c, [σ a, σ b] + знак равно 2 δ ab σ 0 {\ displaystyle \ left [\ sigma _ {a}, \ sigma _ {b} \ right] = 2i \ varepsilon _ {abc} \ sigma _ {c} \,, \ quad \ left [\ sigma _ {a}, \ sigma _ {b} \ right] _ {+} = 2 \ delta _ {ab} \ sigma _ {0}}\ left [\ sigma _ {a}, \ sigma _ {b} \ right] = 2i \ varepsilon _ {{abc}} \ sigma _ {c} \,, \ quad \ left [\ sigma _ {a}, \ sigma _ {b} \ right] _ {{+}} = 2 \ delta _ {{ab}} \ sigma _ {0}

где ε abc - это трехмерный символ Леви-Чивиты. Гамма-матрицы образуют базис в алгебре Клиффорда и связаны с компонентами плоского пространства-времени метрики Минковского η в антикоммутационном отношении:

[ γ α, γ β] + знак равно γ α γ β + γ β γ α = 2 η α β, {\ displaystyle \ left [\ gamma ^ {\ alpha}, \ gamma ^ {\ beta} \ right] _ {+ } = \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta} + \ gamma ^ {\ beta} \ gamma ^ {\ alpha} = 2 \ eta ^ {\ alpha \ beta} \,,}\ left [\ gamma ^ {\ alpha}, \ gam ma ^ {\ beta} \ right] _ {{+}} = \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta} + \ gamma ^ {\ beta} \ gamma ^ {\ alpha} = 2 \ eta ^ {{\ alpha \ beta}} \,,

( Это можно расширить до искривленного пространства-времени путем введения vierbeins, но это не является предметом специальной теории относительности).

В 1929 году было обнаружено, что уравнение Брейта описывает два или более электромагнитно взаимодействующих массивных фермиона со спином 1/2 с релятивистскими поправками первого порядка; одна из первых попыток описания такой релятивистской квантовой системы многих частиц. Однако это все еще только приближение, а гамильтониан включает в себя множество длинных и сложных сумм.

Спиральность и хиральность

Оператор спиральности определяется посредством;

h ^ = S ^ ⋅ p ^ | p | Знак равно S ^ ⋅ cp ^ E 2 - (m 0 c 2) 2 {\ displaystyle {\ hat {h}} = {\ hat {\ mathbf {S}}} \ cdot {\ frac {\ hat {\ mathbf {\ mathbf { p}}} {| \ mathbf {p} |}} = {\ hat {\ mathbf {S}}} \ cdot {\ frac {c {\ hat {\ mathbf {p}}}} {\ sqrt {E ^ {2} - (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}}}}\ hat {h} = \ hat {\ mathbf {S}} \ cdot \ frac {\ hat {\ mathbf {p}}} {| \ mathbf {p} |} = \ hat {\ mathbf {S}} \ cdot \ frac {c \ hat {\ mathbf {p}}} {\ sqrt {E ^ 2 - (m_0c ^ 2) ^ 2}}

где p - оператор импульса, S - оператор вращения for a particle of spin s, E is the total energy of the particle, and m0its rest mass. Helicity indicates the orientations of the spin and translational momentum vectors. Helicity is frame-dependent because of the 3-momentum in the definition, and is quantized due to spin quantization, which has discrete positive values for parallel alignment, and negative values for antiparallel alignment.

An automatic occurrence in the Dirac equation (and the Weyl equation) is the projection of the spin 1/2 operator on the 3-momentum (times c), σ· c p, which is the helicity (for the spin 1/2 case) times E 2 − ( m 0 c 2) 2 {\displaystyle {\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}{\ sqrt {E ^ {2} - (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}} .

For massless particles the helicity simplifies to:

h ^ = S ^ ⋅ c p ^ E {\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{E}}}\ hat {h} = \ hat {\ mathbf {S}} \ cdot \ frac {c \ hat {\ mathbf {p}}} {E}

Higher spins

The Dirac equation can only describe particles of spin 1/2. Beyond the Dirac equation, RWEs have been applied to free particles of various spins. In 1936, Dirac extended his equation to all fermions, three years later Fierz and Pauli rederived the same equation. The Bargmann–Wigner equations were found in 1948 using Lorentz group theory, applicable for all free particles with any spin. Considering the factorization of the KG equation above, and more rigorously by Lorentz group theory, it becomes apparent to introduce spin in the form of matrices.

The wavefunctions are multicomponent spinor fields, which can be represented as column vectors of functions of space and time:

ψ ( r, t) = [ ψ σ = s ( r, t) ψ σ = s − 1 ( r, t) ⋮ ψ σ = − s + 1 ( r, t) ψ σ = − s ( r, t) ] ⇌ ψ ( r, t) † = [ ψ σ = s ( r, t) ⋆ ψ σ = s − 1 ( r, t) ⋆ ⋯ ψ σ = − s + 1 ( r, t) ⋆ ψ σ = − s ( r, t) ⋆ ] {\displaystyle \psi (\mathbf {r},t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r},t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r},t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r},t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r},t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r},t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r},t)}^{\star }{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r},t)}^{\star }\cdots {\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r},t)}^{\star }{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r},t)}^{\star }\end{bmatrix}}}\psi (\mathbf {r}, t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r},t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r},t)\ \\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r},t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r},t)\end{ bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r},t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r},t)}^{\star }{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r},t)}^{\star }\cdots {\psi _{\sigma =- s+1}(\mathbf {r},t)}^{\star }{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r},t)}^{\star }\end{bmatrix }}

where the expression on the right is the Hermitian conjugate. For a massive particle of spin s, there are 2s + 1 components for the particle, and another 2s + 1 for the corresponding antiparticle (there are 2s + 1 possible σ values in each case), alt вместе формируя 2 (2s + 1) -компонентное спинорное поле:

ψ (r, t) = [ψ +, σ = s (r, t) ψ +, σ = s - 1 (r, t) ⋮ ψ +, σ = - s + 1 (r, t) ψ +, σ = - s (r, t) ψ -, σ = s (r, t) ψ -, σ = s - 1 (r, t). ⋮ ψ -, σ = - s + 1 (r, t) ψ -, σ = - s (r, t)] ⇌ ψ (r, t) † [ψ +, σ = s (r, t) ⋆ ψ +, σ знак равно s - 1 (г, t) ⋆ ⋯ ψ -, σ знак равно - s (r, t) ⋆] {\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ begin {bmatrix} \ psi _ {+, \, \ sigma = s} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {+, \, \ sigma = s-1} (\ mathbf {r}, t) \\\ vdots \\\ psi _ {+, \, \ sigma = -s + 1} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {+, \, \ sigma = -s} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {-, \, \ sigma = s} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {-, \, \ sigma = s-1} (\ mathbf {r}, t) \\\ vdots \\\ psi _ {-, \, \ sigma = -s + 1} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {-, \, \ sigma = -s} (\ mathbf {r}, t) \ end {bmatrix}} \ quad \ rightleftha rpoons \ quad {\ psi (\ mathbf {r}, t)} ^ {\ dagger} {\ begin {bmatrix} {\ psi _ {+, \, \ sigma = s} (\ mathbf {r}, t)} ^ {\ star} {\ psi _ {+, \, \ sigma = s-1} (\ mathbf {r}, t)} ^ {\ star} \ cdots {\ psi _ {-, \, \ sigma = -s} ( \ mathbf {r}, t)} ^ {\ star} \ end {bmatrix}}}\ psi ({\ mathbf {r}}, t) = {\ begin {bmatrix} \ psi _ {{+, \, \ sigma = s}} ({\ mathbf {r}}, t) \\\ psi _ {{+, \, \ sigma = s-1}} ({\ mathbf {r}}, t) \\\ vdots \\\ psi _ {{+, \, \ sigma = -s + 1}} ( {\ mathbf {r}}, t) \\\ psi _ {{+, \, \ sigma = -s}} ({\ mathbf {r}}, t) \\\ psi _ {{-, \, \ sigma = s}} ({\ mathbf {r}}, t) \\\ psi _ {{-, \, \ sigma = s-1}} ({\ mathbf {r}}, t) \\\ vdots \\\ psi _ {{-, \, \ sigma = -s + 1}} ({\ mathbf {r}}, t) \\\ psi _ {{-, \, \ sigma = -s}} ({\ mathbf {r}}, t) \ end {bmatrix}} \ quad \ rightleftharpoons \ quad {\ psi ({\ mathbf {r}}, t)} ^ {\ dagger} {\ begin {bmatrix} { \ psi _ {{+, \, \ sigma = s}} ({\ mathbf {r}}, t)} ^ {\ star} {\ psi _ {{+, \, \ sigma = s-1} } ({\ mathbf {r}}, t)} ^ {\ star} \ cdots {\ psi _ {{-, \, \ sigma = -s}} ({\ mathbf {r}}, t) } ^ {\ star} \ end {bmatrix}}

с нижним индексом +, указывающим частицу, и нижним индексом - для античастицы. Однако для безмассовых частиц со спином s всегда существуют только двухкомпонентные спинорные поля; один предназначен для частицы в одном состоянии спиральности, соответствующем + s, а другой - для античастицы в состоянии противоположной спиральности, соответствующем −s:

ψ (r, t) = (ψ + (r, t) ψ - ( р, т)) {\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {+} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {-} ( \ mathbf {r}, t) \ end {pmatrix}}}\psi ({\mathbf {r}},t)={\begin{pmatrix}\psi _{{+}}({\mathbf {r}},t)\\\psi _{{-}}({\mathbf {r}},t)\end{pmatrix}}

Согласно релятивистскому соотношению энергия-импульс, все безмассовые частицы движутся со скоростью света, поэтому частицы, движущиеся со скоростью света, также описываются двумя -компонентные спиноры. Исторически Эли Картан обнаружил наиболее общую форму спиноров в 1913 году, до спиноров, обнаруженных в RWE после 1927 года.

Для уравнений, описывающих высшие - спиновые частицы, включение взаимодействий далеко не так просто минимальное сцепление, они приводят к неверным прогнозам и непоследовательность. Для спина больше / 2 RWE не фиксируется массой, спином и электрическим зарядом частиц; электромагнитные моменты (электрические дипольные моменты и магнитные дипольные моменты ), допускаемые квантовым числом спинов, являются произвольными. (Теоретически, магнитный заряд также будет организмов). Например, со спином 1/2 допускает только магнитный диполь, но для частиц со спином 1 также возможны магнитные квадруполи и электрические диполи. Для получения дополнительной информации по этой теме см. мультипольное расширение и (например) Седрик Лорсе (2009).

Оператор скорости

Оператор скорости Шредингера / Паули может быть определен для массивной части, используя классическое определение p = m v и подставляя квантовые операторы обычным Способ:

v ^ = 1 mp ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} = {\ frac {1} {m}} {\ hat {\ mathbf {p}}}}\ hat {\ mathbf {v}} = \ frac {1} {m} \ hat {\ mathbf {p}}

, у которого есть собственные значения, принимающие любое значение. В RQM, теории Дирака, это:

v ^ = i ℏ [H ^, r ^] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} = {\ frac {i} {\ hbar}} \ left [{\ hat {H}}, {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right]}\ hat {\ mathbf {v}} = \frac{i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\mathbf{r}}\right]

которые должны иметь собственные значения между ± c. См. преобразование Фолди - Ваутхойзена для получения более подробной теоретической информации.

Релятивистские квантовые лагранжианы

Гамильтоновы операторы в картине Шредингера - один из подходов к формированию дифференциальных уравнений для ψ. Эквивалентная альтернатива - определить лагранжиан (на деле означает лагранжиана ), а сгенерировать дифференциальное уравнение с помощью теоретико-полевого уравнения Эйлера - Лагранжа :

∂ μ (∂ L ∂ (∂ μ ψ)) - ∂ L ∂ ψ знак равно 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0 \,}\ partial _ {\ mu} \ left ( {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0 \,

Для некоторых лагранжиан RWE может быть найдено осмотром. Например, лагранжиан Дирака:

L = ψ ¯ (γ μ P μ - mc) ψ {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ overline {\ psi}} (\ gamma ^ {\ mu} P _ {\ mu} -mc) \ psi}{\ mathcal {L}} = \ overline {\ psi} (\ gamma ^ {\ mu} P _ {\ mu} -mc) \ psi

и лагранжиан Клейна - Гордона равенство:

L = - ℏ 2 m η μ ν ∂ μ ψ ∗ ∂ ν ψ - mc 2 ψ ∗ ψ. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ psi ^ {*} \ частичное _ {\ nu} \ psi -mc ^ {2} \ psi ^ {*} \ psi \,.}{\ mathcal { L}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ eta ^ {{\ mu \ nu}} \ partial _ {{\ mu}} \ psi ^ {{*}} \ partial _ {{\ nu}} \ psi -mc ^ {2} \ psi ^ {{*}} \ psi \,.

возможно Это не для всех RWE; И это одна из причин, по которой теоретический подход к группе Лоренца важен и привлекателен: фундаментальная инвариантность и симметрии в пространстве и времени пропаганда RWE с использованием соответствующих представлений групп. Лагранжевый подход с полевой интерпретацией ψ является предметом QFT, а не RQM: формулировка интеграла по путям Фейнмана использует инвариантные лагранжианы, а не гамильтоновы операторы, поскольку последние могут стать сложными, см. (Например) Вайнберг (1995).

Релятивистский квантовый угловой момент

В нерелятивистской КМ, оператор углового момента формируется из определения классического псевдовектора L= r× p. В RQM операторы положения и импульса вставляются непосредственно там, где они появляются в тензоре орбитального релятивистского углового момента, определяемом из четырехмерного положения и импульса частиц, что эквивалентно бивектору в формелизм внешней алгебры :

M α β знак равно Икс α P β - Икс β P α = 2 Икс [α P β] ⇌ M = X ∧ P, {\ displaystyle M ^ {\ alpha \ beta} = X ^ { \ alpha} P ^ {\ beta} -X ^ {\ beta} P ^ {\ alpha} = 2X ^ {[\ alpha} P ^ {\ beta]} \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ mathbf {M} = \ mathbf {X} \ wedge \ mathbf {P} \,,}M ^ {{\ alpha \ beta}} = X ^ {\ alpha} P ^ {\ beta} -X ^ {\ beta} P ^ {\ alpha} = 2X ^ {{[\ alpha}} P ^ {{\ beta]}} \ quad \ rightleftharpoons \ quad {\ mathbf {M}} = {\ mathbf {X}} \ wedge {\ mathbf {P} } \,,

, которые в сумме составляют шесть компонентов: три - это нерелятивистские 3-орбитальные угловые моменты; M = L, M = L, M = L, а остальные три M, M, M являются повышающими центра масс вращающегося объекта. Для частиц со спином необходимо добавить дополнительный релятивистско-квантовый член. Для частиц с массой покоя m тензор полного углового момента равенство:

J α β = 2 X [α P β] + 1 m 2 ε α β γ δ W γ p δ ⇌ J = X ∧ P + 1 м 2 ⋆ (W ∧ P) {\ Displaystyle J ^ {\ alpha \ beta} = 2X ^ {[\ alpha} P ^ {\ beta]} + {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ varepsilon ^ { \ alpha \ beta \ gamma \ delta} W _ {\ gamma} p _ {\ delta} \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ mathbf {J} = \ mathbf {X} \ wedge \ mathbf {P} + {\ frac { 1} {m ^ {2}}} \ star (\ mathbf {W} \ wedge \ mathbf {P})}J ^ {{\ alpha \ beta}} = 2X ^ {{[\ alpha}} P ^ {{\ beta]}} + {\ frac {1} { m ^ {2}}} \ varepsilon ^ {{\ alpha \ beta \ gamma \ delta}} W _ {\ gamma} p _ {\ delta} \ quad \ rightleftharpoons \ quad {\ mathbf {J}} = {\ mathbf { X}} \ wedge {\ mathbf {P}} + {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ star ({\ mathbf {W}} \ wedge {\ mathbf {P}})

, где звездочка обозначает дуал Ходжа, а

W α знак равно 1 2 ε α β γ δ M β γ п δ ⇌ W знак равно ⋆ (M ∧ P) {\ Displaystyle W _ {\ alpha} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} M ^ {\ beta \ gamma} p ^ {\ delta} \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ mathbf {W} = \ star (\ mathbf {M} \ wedge \ mathbf {P})}W _ {\ alpha} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {{\ alpha \ beta \ гамма \ delta}} M ^ {{\ beta \ gamma}} p ^ {\ delta} \ quad \ rightleftharpoons \ quad {\ mathbf {W}} = \ star ({\ mathbf {M}} \ wedge {\ mathbf {P}})

- псевдовектор Паули - Любанского. Подробнее о релятивистском спине см. (Например) Трошин и Тюрин (1994).

Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия

В 1926 году прецессия Томаса была открыта: релятивистские поправки к спину элементарных частиц с применением в спин-орбитальном взаимодействии атомах и вращении макроскопических объектов. В 1939 году Вигнер вывел прецессию Томаса.

В классическом электромагнетизме и теории относительности, электрон движется со скоростью v через электрическое поле E, но не магнитное поле B, будет в своей системе отсчета испытывать преобразованное по Лоренцу магнитное поле B′:

B ′ = E × vc 2 1 - (v / c) 2. {\ displaystyle \ mathbf {B} ' = {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {v}} {c ^ {2} {\ sqrt {1- \ left (v / c \ right) ^ {2}}}}} \,. }{\mathbf {B}}'={\frac {{\mathbf {E}}\times {\mathbf {v}}}{c^{2}{\sqrt {1-\left(v/c\right)^{2}}}}}\,.

В нерелятивистском пределе v << c:

B ′ = E × vc 2, {\ displaystyle \ mathbf {B} '= {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {v}} {c ^ { 2}}} \,,}{\mathbf {B}}'={\frac {{\mathbf {E}}\times {\mathbf {v}}}{c^{2}}}\,,

так что гамильтониан нерелятивистского спинового воздействия принимает следующий вид:

H ^ = - B ′ ⋅ μ ^ S = - (B + E × vc 2) ⋅ μ ^ S, { \ displaystyle {\ hat {H}} = - \ mathbf {B} '\ cdot {\ hat {\ boldsymbol {\ mu}}} _ {S} = - \ left (\ mathbf {B} + {\ frac { \ mathbf {E} \ times \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {\ mu}}} _ {S} \,,}\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,

где первый член уже является нерелятивистским взаимодействием магнитного момента, второй член - релятивистской поправкой порядка (v / c) ², но это не согласуется с экспериментальными атомными спектрами на коэффициент ⁄ 2. Л. Томас указывает, что существует второй релятивистский эффект: создающая электрическое поле, перпендикулярная скорость электрона, вызывает дополнительное ускорение электрона перпендикулярно мгновенной скорости, поэтому электрон движется по искривленной траектории. Электронная система движется во вращающейся системе отсчета. Можно показать, что конечный результат этого эффекта состоит в том, что спин-орбитальное взаимодействие уменьшается вдвое, как если бы магнитное поле, испытываемое электроном, имеет только половину значения, релятивистская поправка в гамильтониане составляет:

H ^ = - B ′ ⋅ μ ^ S знак равно - (В + E × v 2 с 2) ⋅ μ ^ S. {\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ mathbf {B} '\ cdot {\ hat {\ boldsymbol {\ mu }}} _ {S} = - \ left (\ mathbf {B} + {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {v}} {2c ^ {2}}} \ right) \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {\ mu}}} _ {S} \,.}\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{2c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,.

В случае RQM коэффициент ⁄ 2 предсказывается уравнением Дирака.

История

События, которые привели к RQM и установили его, и продолжение в квантовую электродинамику (QED), резюмируются ниже [см., Например, Р. Резник и Р. Эйсберг (1985) и П. У. Аткинс (1974)]. Более полувека экспериментальных и теоретических исследований с 1890-х до 1950-х годов в новой и загадочной квантовой теории, когда она зарождалась и появлялась, что явлений не может быть объяснен одной лишь КМ. SR, обнаруженный на рубеже 20-го века, был признан другим средством, ведущим к унификации: RQM. Теоретические предсказания и эксперименты в основном сосредоточены на недавно открытом атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц ; с учетом спектроскопии, дифракции и рассеяния частиц, а также электронов и ядер внутри атомов и молекул. Многочисленные результаты приписываются эффектам вращения.

Релятивистское описание частиц в квантовых явлениях

Альберт Эйнштейн в 1905 году объяснил фотоэлектрический эффект ; описание частиц света как фотонов. В 1916 г. Зоммерфельд объясняет тонкую текстуру ; расщепление спектральных линий элементов из-за релятивистских поправок первого порядка. Эффект Комптона 1923 г. предоставил больше доказательств применимости специальной теории относительности; в данном случае - к частичному описанию рассеяния фотонов на электронах. де Бройль расширяет дуальность волна-цента до материи : соотношения де Бройля, которые согласуются со специальной теорией относительности и квантовой механикой. К 1927 году Дэвиссон и Гермер и отдельно Г. Томсон успешно дифрагирует электроны, экспериментальное доказательство дуальности волна-частица.

Эксперименты

Квантовая нелокальность и релятивистская локальность

В 1935 г.; Эйнштейн, Розен, Подольский опубликовали статью, касающуюся квантовой запутанности частиц, ставя под сомнение квантовую нелокальность и очевидное нарушение способности, поддерживаемое в СТО. : могут частицы взаимодействовать мгновенно на произвольных расстояниях. Это было заблуждением, поскольку информация не может быть передана в запутанных состояниях; скорее один наблюдатель должен послать сигнал другому, который не может сообщать c). QM не нарушает SR. В 1959 г. Бом и Ааронов публикуют статью об эффекте Ааронова - Бома, в которой ставят под сомнение статус электромагнитных потенциалов в КМ. Формулировки тензора ЭМ поля и ЭМ 4-дополнительно применимы в СТО, но в КМ потенциалы входят в гамильтониан (см. Выше) и влияют на движение заряженных частиц даже в области где поля равны нулю. В 1964 году теорема Белла была опубликована в статье о парадоксе ЭПР, показывающей, что КМ не может быть выведена из теорий локальных скрытых чисел, если локальность должна сохраняться.

Лэмбовский сдвиг

В 1947 году был обнаружен Лэмбовский сдвиг: небольшая разница в содержании S ​⁄2и P ​⁄2, обусловленная влиянием электрона и вакуума.. Лэмб и Ретерфорд экспериментально измеряют стимулированные радиочастотные переходы уровней S ​⁄2и P ​⁄2с помощью микроволнового излучения. Объяснение сдвига Лэмба представлено в Бете. Статьи об эффекте были опубликованы в начале 1950-х.

Развитие квантовой электродинамики

См. Также

Атомная физика и химия

Математическая физика

Физика элементарных частиц и квантовая теория поля

Сноски

Ссылки

Избранные книги

Теория групп в квантовой физике

Избранные статьи

Дополнительная литература

Релятивистская квантовая механика и теория поля

Квантовая теория и приложения в целом

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-03 12:18:40
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте