Галилеевская инвариантность

Приближение малых скоростей для специальной теории относительности

Галилеевская инвариантность или Галилеевская теория относительности утверждает, что законы движения одинаковы во всех инерциальных кадрах. Галилео Галилей впервые описал этот принцип в 1632 году в своем Диалоге о двух главных мировых системах, используя пример корабля, движущегося с постоянной скоростью, без раскачки, на гладкое море; любой наблюдатель под палубой не сможет определить, движется ли корабль или стоит.

Содержание

• 1 Формулировка
  • 1.1 Теория Ньютона и специальная теория относительности
  • 1.2 Электромагнетизм
• 2 Работа, кинетическая энергия и импульс
• 3 См. Также
• 4 Примечания и ссылки

Формулировка

В частности, термин галилеевская инвариантность сегодня обычно относится к этому принципу в применении к механике Ньютона, то есть законы Ньютона действуют во всех связанных друг с другом системах отсчета. преобразованием Галилея. Другими словами, все кадры, связанные друг с другом таким преобразованием, являются инерционными (то есть уравнение движения Ньютона справедливо в этих системах отсчета). В этом контексте это иногда называют ньютоновской теорией относительности.

Среди аксиом теории Ньютона:

1. Существует абсолютное пространство, в котором верны законы Ньютона. Инерциальная система отсчета - это система отсчета, находящаяся в относительном равномерном движении в абсолютном пространстве.
2. Все инерциальные системы отсчета имеют единое всемирное время.

Относительность Галилея может быть показана следующим образом. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета S и S '. Физическое событие в S будет иметь координаты положения r = (x, y, z) и время t в S, а также r '= (x', y ', z') и время t 'в S'. Согласно второй аксиоме, приведенной выше, можно синхронизировать часы в двух кадрах и принять t = t '. Предположим, что S 'находится в относительном равномерном движении относительно S со скоростью v. Рассмотрим точечный объект, положение которого задается функциями r' (t) в S 'и r (t) в S. Мы видим, что

$r\; \prime \; (t)\; =\; r\; (t)\; -\; vt.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \text{'}(t)\; =\; r\; (t)\; -vt.\; \backslash ,\}$

Скорость частицы определяется производной по времени от положения:

$u\; \prime \; (t)\; =\; ddtr\; \prime \; (t)\; =\; ddtr\; (t)\; -\; v\; =\; u\; (t)\; -\; v.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}(t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; r\text{'}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; r\; (t)\; -v\; =\; u\; (t)\; -v.\}$

Другое различие дает ускорение в двух кадрах:

$a\; \prime \; (t)\; =\; ddtu\; \prime \; (t)\; =\; ddtu\; (t)\; -\; 0\; =\; a\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \text{'}(t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; u\text{'}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; u\; (t)\; -0\; =\; a\; (t).\}$

Именно этот простой, но важный результат следует из теории относительности Галилея. Предполагая, что масса инвариантна во всех инерциальных системах отсчета, приведенное выше уравнение показывает, что законы механики Ньютона, если они действительны в одной системе отсчета, должны выполняться для всех систем. Но предполагается, что это справедливо в абсолютном пространстве, следовательно, применима теория относительности Галилея.

Теория Ньютона и специальная теория относительности

Можно провести сравнение между теорией относительности Ньютона и специальной теорией относительности.

Некоторые из допущений и свойств теории Ньютона:

1. Существование бесконечного множества инерциальных систем отсчета. Каждый кадр имеет бесконечный размер (вся вселенная может быть покрыта множеством линейно эквивалентных кадров). Любые два кадра могут находиться в относительном равномерном движении. (Релятивистская природа механики, выведенная выше, показывает, что предположение об абсолютном пространстве не является необходимым.)
2. Инерциальные системы отсчета могут двигаться во всех возможных относительных формах равномерного движения.
3. Существует универсальное, или абсолютное, понятие времени.
4. Две инерциальные системы отсчета связаны посредством преобразования Галилея.
5. Во всех инерциальных системах отсчета соблюдаются законы Ньютона и гравитация.

Для сравнения, соответствующие утверждения из специальной теории относительности:

1. Существование также бесконечного множества неинерциальных систем отсчета, каждая из которых привязана к (и физически определяется) уникальным набором пространственно-временных координат. Каждый кадр может иметь бесконечный размер, но его определение всегда определяется локально контекстными физическими условиями. Любые два кадра могут находиться в относительном неравномерном движении (при условии, что это условие относительного движения подразумевает релятивистский динамический эффект - а позже, механический эффект в общей теории относительности - между двумя кадрами).
2. Вместо того, чтобы свободно допускать все условия относительного равномерного движения между системами отсчета, относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета становится ограниченной сверху скоростью света.
3. Вместо всемирного времени каждая инерциальная система отсчета обладает своим собственным понятием
4. Преобразования Галилея заменены преобразованиями Лоренца.
5. Во всех инерциальных системах отсчета все законы физики одинаковы.

Обратите внимание, что обе теории предполагают существование инерциальных систем отсчета. На практике размеры рамок, в которых они остаются действительными, сильно различаются в зависимости от гравитационных приливных сил.

В соответствующем контексте местная ньютоновская инерциальная система отсчета, в которой теория Ньютона остается хорошей моделью, простирается примерно до 10 световых лет.

В специальной теории относительности рассматриваются каюты Эйнштейна, каюты, которые свободно падают в гравитационном поле. Согласно мысленному эксперименту Эйнштейна, человек в такой кабине не испытывает (в хорошем приближении) гравитации, и поэтому кабина является приблизительной инерциальной системой. Однако следует предположить, что размер кабины достаточно мал, чтобы гравитационное поле было примерно параллельным внутри ее. Это может значительно уменьшить размеры таких приблизительных кадров по сравнению с ньютоновскими. Например, искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли, можно рассматривать как кабину. Однако достаточно чувствительные инструменты в такой ситуации могли бы обнаружить «микрогравитацию», поскольку «силовые линии» гравитационного поля Земли сходятся.

В общем, конвергенция гравитационных полей во Вселенной диктует масштаб, в котором можно рассматривать такие (локальные) инерциальные системы отсчета. Например, космический корабль, падающий в черную дыру или нейтронную звезду, будет (на определенном расстоянии) подвергнуться воздействию настолько сильных приливных сил, что он будет раздавлен по ширине и разорван по длине. Для сравнения, однако, такие силы могут быть только неудобными для космонавтов внутри (сжимая их суставы, затрудняя вытягивание конечностей в любом направлении, перпендикулярном гравитационному полю звезды). При дальнейшем уменьшении масштаба силы на таком расстоянии могут почти не оказывать никакого влияния на мышь. Это иллюстрирует идею о том, что все свободно падающие системы отсчета являются локально инерционными (без ускорения и гравитации), если масштаб выбран правильно.

Электромагнетизм

Уравнения Максвелла, управляющие электромагнетизмом, обладают другая симметрия, лоренц-инвариантность, при которой на длину и время влияет изменение скорости, которое затем математически описывается преобразованием Лоренца.

Альберт Эйнштейн <Основная идея 44>при формулировке специальной теории относительности заключалась в том, что для полного согласования с электромагнетизмом механика также должна быть пересмотрена таким образом, чтобы лоренц-инвариантность заменяла галилееву инвариантность. При низких относительных скоростях, характерных для повседневной жизни, лоренц-инвариантность и галилеевская инвариантность почти одинаковы, но для относительных скоростей, близких к скорости света, они сильно различаются.

Работа, кинетическая энергия и импульс

Поскольку расстояние, пройденное при приложении силы к объекту, зависит от инерциальной системы отсчета, то же самое делает работа. Благодаря закону взаимных действий Ньютона возникает сила противодействия; он действительно работает в зависимости от инерциальной системы отсчета противоположным образом. Общая проделанная работа не зависит от инерциальной системы отсчета.

Соответственно кинетическая энергия объекта и даже изменение этой энергии из-за изменения скорости зависит от инерциальной системы отсчета. Полная кинетическая энергия изолированной системы также зависит от инерциальной системы отсчета: она представляет собой сумму полной кинетической энергии в центре импульса и кинетической энергии полной масса имела бы, если бы она была сосредоточена в центре масс. Из-за сохранения импульса последний не изменяется со временем, поэтому изменения во времени полной кинетической энергии не зависят от инерциальной системы отсчета.

Напротив, хотя импульс объекта также зависит от инерциальной системы отсчета, его изменение из-за изменения скорости не зависит.

См. Также

• Абсолютное время и пространство
• Сверхсветовое движение
• Галилеевская ковариация

Примечания и ссылки

1. ^McComb, W. D. (1999). Динамика и относительность. Оксфорд [и др.]: Oxford University Press. С. 22–24. ISBN 0-19-850112-9.
2. ^ Тейлор и Уиллер Исследование черных дыр - Введение в общую теорию относительности, глава 2, 2000 г., стр. 2: 6.