Уравнение неразрывности

редактировать

A уравнение неразрывности в физике - это уравнение, которое описывает перенос некоторой величины. Он особенно прост и эффективен при применении к сохраняемому количеству, но его можно обобщить для применения к любому обширному количеству. Поскольку масса, энергия, импульс, электрический заряд и другие естественные величины сохраняются при соответствующих соответствующих условиях, различные физические явления можно описать уравнениями неразрывности.

Уравнения неразрывности - более сильная, локальная форма законов сохранения. Например, слабая версия закона сохранения энергии гласит, что энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, то есть общее количество энергии во Вселенной фиксировано. Это утверждение не исключает возможности того, что некоторое количество энергии могло исчезнуть из одной точки, одновременно появившись в другой точке. Более сильное утверждение заключается в том, что энергия сохраняется локально: энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, а также не может «телепортироваться » из одного места в другое - она может перемещаться только непрерывным потоком. Уравнение неразрывности - это математический способ выразить такое утверждение. Например, уравнение непрерывности для электрического заряда утверждает, что количество электрического заряда в любом объеме пространства может изменяться только на величину электрического тока, протекающего в этот объем или из него через его границы.

Уравнения непрерывности в более общем плане могут включать термины «источник» и «сток», которые позволяют им описывать величины, которые часто, но не всегда сохраняются, например плотность молекулярных частиц, которые могут быть созданы или разрушены химические реакции. В повседневном примере есть уравнение непрерывности для количества живых людей; у него есть «исходный термин» для объяснения рождения людей и «поглотительный термин» для объяснения смерти людей.

Любое уравнение неразрывности может быть выражено в «интегральной форме» (в терминах интеграла потока ), который применяется к любой конечной области, или в «дифференциальной форме» (в терминах оператора расхождения ), который применяется в точке.

Уравнения неразрывности лежат в основе более конкретных уравнений переноса, таких как уравнение конвекции-диффузии, уравнение переноса Больцмана и Навье – Стокса уравнения.

Потоки, управляемые уравнениями неразрывности, могут быть визуализированы с помощью диаграммы Санки.

Содержание

1 Общее уравнение
- 1.1 Определение потока
- 1.2 Интегральная форма
- 1.3 Дифференциальная форма
2 Электромагнетизм
3 Гидродинамика
4 Энергия и тепло
5 Распределения вероятностей
6 Квантовая механика
7 Релятивистская версия
- 7.1 Специальная теория относительности
- 7.2 Общая теория относительности
8 Физика элементарных частиц
9 Теорема Нётер
10 См. Также
11 Ссылки
12 Дополнительная литература

Общее уравнение

Определение потока

Уравнение неразрывности полезно когда можно определить поток . Чтобы определить поток, сначала должна быть величина q, которая может течь или перемещаться, например масса, энергия, электрический заряд, импульс, количество молекул и т. д. Пусть ρ будет объемной плотностью этого количества, то есть количеством q на единицу объема.

Путь движения этой величины q описывается ее потоком . Поток q - это векторное поле , которое мы обозначаем как j . Вот несколько примеров и свойств потока:

Размер потока - это «количество q, протекающее в единицу времени через единицу площади». Например, в уравнении неразрывности массы для текущей воды, если 1 грамм воды в секунду протекает через трубу с площадью поперечного сечения 1 см, то средний массовый поток j внутри трубы равен (1 грамм / секунда) / см, а его направление - вдоль трубы в том направлении, в котором течет вода. За пределами трубы, где нет воды, поток равен нулю.
Если есть поле скорости u, которое описывает соответствующий поток - другими словами, если вся величина q равна точка x движется со скоростью u(x) - тогда поток по определению равен плотности, умноженной на поле скорости:

j = ρ u {\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {u}}

\ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {u}

Например, если в уравнении неразрывности массы для текущей воды, u - это скорость воды в каждой точке, а ρ - плотность воды в каждой точке, то j будет поток массы.

В хорошо известном примере поток электрического заряда - это плотность электрического тока.

Иллюстрация того, как поток j величины q проходит через открытую поверхность S. (d S - это дифференциальная векторная площадь ).

Если существует воображаемая поверхность S, то поверхность интеграл потока по S равен количеству q, которое проходит через поверхность S в единицу времени:

$(Оцените, что q течет через воображаемую поверхность S) = ∬ S j ⋅ d S {\ displaystyle ({\ text {Оцените, что}} q {\ text {течет через воображаемую поверхность}} S) = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {S}}$ ${\ displaystyle ({\ text {Оцените это}} q {\ text {течет через воображаемую поверхность}} S) = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {S}}$

, в котором ∬ SdS- это поверхностный интеграл.

(обратите внимание, что понятие, которое здесь называется "потоком", альтернативно называется "плотностью потока "в некоторой литературе, в этом контексте" поток "означает поверхностный интеграл плотности потока. Подробнее см. В основной статье Flux.)

Интегральная форма

Интегральная форма уравнения неразрывности гласит:

Количество q в области увеличивается, когда дополнительный q течет внутрь через поверхность области, и уменьшается, когда он течет наружу;
Количество q в области увеличивается, когда новый q создается внутри области, и уменьшается, когда q разрушается;
Помимо этих двух процессов, нет другого способа изменить количество q в области.

Математически, интегральная форма уравнения неразрывности, выражающая скорость увеличения q в объеме V равно:

$dqdt + {\ displaystyle {\ frac {dq} {dt}} +}$ $\ frac {dq} {dt} +$ $\ oiint$ $S {\ displaystyle \ scriptstyle S}$ $\ scriptstyle S$ $j ⋅ d S = Σ {\ displaystyle \ mathbf {j } \ cdot d \ mathbf {S} = \ Sigma}$ $\ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {S} = \ Sigma$

где

В интегральной форме уравнения неразрывности S - это любая замкнутая поверхность, которая полностью охватывает объем V, как и любой из поверхности слева. S не может быть поверхностью с границами, как те, что справа. (Поверхности синие, границы красные.)

S - любая воображаемая замкнутая поверхность, которая охватывает объем V,
$\ oiint$ S d S обозначает поверхность интеграл по этой замкнутой поверхности,
q - общая величина количества в объеме V,
j- поток q,
t - время,
Σ - это чистая скорость, с которой q генерируется внутри объема V. Когда q генерируется, он называется источником q, и это делает Σ более положительным. Когда q разрушается, это называется стоком q, и это делает Σ более отрицательным. Этот член иногда записывается как $d q / d t | gen {\ displaystyle dq / dt | _ {\ rm {gen}}}$ ${\ displaystyle dq / dt | _ {\ rm {gen}}}$ или полное изменение q в результате его генерации или разрушения внутри контрольного объема.

В простом примере V может быть здание, а q может быть количеством людей в здании. Поверхность S будет состоять из стен, дверей, крыши и фундамента здания. Тогда уравнение непрерывности утверждает, что количество людей в здании увеличивается, когда люди входят в здание (поток внутрь через поверхность), уменьшается, когда люди выходят из здания (поток наружу через поверхность), увеличивается, когда кто-то в здании дает рождения (источник, Σ>0) и уменьшается, когда кто-то в здании умирает (раковина, Σ < 0).

Дифференциальная форма

Согласно теореме о расходимости, общее уравнение неразрывности может также можно записать в "дифференциальной форме":

$∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = σ {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j } = \ sigma \,}$ $\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = \ sigma \,$

где

∇⋅ - дивергенция,,
ρ - количество количества q на единицу объема,
j- поток q,
t - время,
σ - образование q на единицу объема за единицу времени. Термины, которые генерируют q (т.е. σ>0) или удаляют q (т.е. σ < 0) are referred to as a "sources" and "sinks" respectively.

Это общее уравнение может использоваться для вывести любое уравнение неразрывности, начиная от простого уравнения непрерывности объема до такой сложности, как уравнения Навье – Стокса. Это уравнение также обобщает уравнение переноса. Другие уравнения в физике, такие как закон электрического поля Гаусса и закон Гаусса для гравитации, имеют математическую форму, аналогичную уравнению неразрывности, но обычно не упоминаются этим термином «уравнение неразрывности», поскольку j в этих случаях не представляет собой поток реальной физической величины.

В случае, если q является сохраненной величиной, которая не может быть создана или уничтожена (например, энергия ), σ = 0, и уравнения становятся:

∂ ρ ∂ T + ∇ ⋅ J знак равно 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \,}

\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ набла \ cdot \ mathbf {j} = 0 \,

Электромагнетизм

В электромагнитной теории уравнение неразрывности представляет собой эмпирический закон, выражающий (локальное) сохранение заряда. Математически это автоматическое следствие уравнений Максвелла, хотя сохранение заряда является более фундаментальным, чем уравнения Максвелла. В нем говорится, что расходимость плотности тока J(в амперах на квадратный метр) равна отрицательной скорости изменения плотности заряда ρ (в кулонах на кубический метр),

∇ ⋅ J = - ∂ ρ ∂ t {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = - {\ partial \ rho \ over \ partial t}}

\ nabla \ cdot \ mathbf {J} = - {\ partial \ rho \ over \ partial t}

Согласованность с уравнениями Максвелла
Одно из уравнений Максвелла, закон Ампера (с поправкой Максвелла), гласит, что $∇ × H = J + ∂ D ∂ т. {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}.}$ $\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}.$ Принимая во внимание расхождение обеих сторон ( дивергенция и частная производная по времени коммутации) приводит к $∇ ⋅ (∇ × H) = ∇ ⋅ J + ∂ (∇ ⋅ D) ∂ t, {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H }) = \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ partial t}},}$ $\ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + \ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ partial t},$ но расходимость завитка равна нулю, так что $∇ ⋅ J + ∂ (∇ ⋅ D) ∂ T = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D}))} {\ partial t}} = 0.}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {J} + \ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ partial t} = 0.$ Но закон Гаусса (другое уравнение Максвелла) гласит, что $∇ ⋅ D = ρ, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho, \,}$ $\ набла \ cdot \ mathbf {D} = \ rho, \,$ который можно подставить в предыдущее уравнение, чтобы получить уравнение неразрывности $∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { J} + {\ partial \ rho \ over \ partial t} = 0. \,}$ $\ набла \ cdot \ mathbf {J} + {\ partial \ rho \ over \ partial t} = 0. \,$

Согласованность с уравнениями Максвелла

Одно из уравнений Максвелла, закон Ампера (с поправкой Максвелла), гласит, что

∇ × H = J + ∂ D ∂ т. {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}.}

\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}.

Принимая во внимание расхождение обеих сторон ( дивергенция и частная производная по времени коммутации) приводит к

∇ ⋅ (∇ × H) = ∇ ⋅ J + ∂ (∇ ⋅ D) ∂ t, {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H }) = \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ partial t}},}

\ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + \ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ partial t},

но расходимость завитка равна нулю, так что

∇ ⋅ J + ∂ (∇ ⋅ D) ∂ T = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D}))} {\ partial t}} = 0.}

\ nabla \ cdot \ mathbf {J} + \ frac {\ partial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ partial t} = 0.

Но закон Гаусса (другое уравнение Максвелла) гласит, что

∇ ⋅ D = ρ, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho, \,}

\ набла \ cdot \ mathbf {D} = \ rho, \,

который можно подставить в предыдущее уравнение, чтобы получить уравнение неразрывности

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { J} + {\ partial \ rho \ over \ partial t} = 0. \,}

\ набла \ cdot \ mathbf {J} + {\ partial \ rho \ over \ partial t} = 0. \,

Ток - это движение заряда. Уравнение неразрывности говорит, что если заряд движется из дифференциального объема (т. Е. Дивергенция плотности тока положительна), то количество заряда в этом объеме будет уменьшаться, поэтому скорость изменения плотности заряда будет отрицательной. Следовательно, уравнение неразрывности сводится к сохранению заряда.

Если магнитные монополи существуют, было бы уравнение неразрывности для монопольных токов, см. Статью о монополях для получения справочной информации и двойственности между электрическим и магнитным токами.

Гидродинамика

В гидродинамике уравнение неразрывности утверждает, что скорость, с которой масса входит в систему, равна скорости, с которой масса покидает систему, плюс накопление массы в системе. Дифференциальная форма уравнения неразрывности:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

где

Производную по времени можно понимать как накопление (или потерю) массы в системе, в то время как член дивергенция представляет разницу между входящим потоком и выходящим потоком. В этом контексте это уравнение также является одним из уравнений Эйлера (гидродинамика). Уравнения Навье – Стокса образуют векторное уравнение неразрывности, описывающее сохранение количества движения.

. Если жидкость несжимаема (ρ постоянна, не зависит от пространства и времени), уравнение неразрывности массы упрощается в уравнение непрерывности объема:

∇ ⋅ u = 0, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0,}

\ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0,

, что означает, что расходимость поля скорости ноль везде. Физически это эквивалентно тому, что скорость расширения локального объема равна нулю, следовательно, поток воды через сходящуюся трубу будет регулироваться исключительно за счет увеличения его скорости, поскольку вода в значительной степени несжимаема.

Энергия и тепло

Сохранение энергии говорит, что энергия не может быть создана или уничтожена. (См. ниже для нюансов, связанных с общей теорией относительности.) Следовательно, существует уравнение непрерывности для потока энергии:

∂ u ∂ t + ∇ ⋅ q = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ частичное u} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {q} = 0}

\ frac {\ partial u} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {q} = 0

где

u, локальная плотность энергии (энергия на единицу объема),
q, поток энергии (передача энергии на единицу площади поперечного сечения в единицу времени) как вектор,

Важным практическим примером является поток тепла. Когда тепло течет внутри твердого тела, уравнение неразрывности можно объединить с законом Фурье (тепловой поток пропорционален градиенту температуры), чтобы получить уравнение теплопроводности. Уравнение теплового потока также может иметь исходные условия: хотя энергия не может быть создана или разрушена, тепло может быть создано из других типов энергии, например, посредством трения или джоулевого нагрева.

Распределения вероятностей

Если существует величина, которая непрерывно движется в соответствии со стохастическим (случайным) процессом, например, местоположение единственной растворенной молекулы с броуновским движением, то существует уравнение неразрывности для ее распределение вероятностей. Поток в этом случае - это вероятность на единицу площади в единицу времени, что частица проходит через поверхность. Согласно уравнению неразрывности, отрицательная дивергенция этого потока равна скорости изменения плотности вероятности . Уравнение неразрывности отражает тот факт, что молекула всегда где-то - интеграл ее распределения вероятностей всегда равен 1 - и что она движется непрерывным движением (без телепортации ).

Квантовая механика

Квантовая механика - это еще одна область, в которой существует уравнение неразрывности, связанное с сохранением вероятности. Для членов уравнения требуются следующие определения, и они немного менее очевидны, чем другие примеры, приведенные выше, поэтому они описаны здесь:

Волновая функция Ψ для одиночной частицы в позиционное пространство (а не импульсное пространство ), то есть функция положения r и времени t, Ψ = Ψ (r, t).
Функция плотности вероятности равна
$ρ (r, t) = Ψ ∗ (r, t) Ψ (r, t) = | Ψ (r, t) | 2. {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) = | \ Psi (\ mathbf {r }, t) | ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) = | \ Psi (\ mathbf {r}, t) | ^ {2}.}$
Вероятность нахождения частицы внутри V в момент t обозначается и определяется как
$P = P r ∈ V (t) = ∫ V Ψ ∗ Ψ d V = ∫ V | Ψ | 2 дн В. {\ Displaystyle P = P _ {\ mathbf {r} \ in V} (t) = \ int _ {V} \ Psi ^ {*} \ Psi dV = \ int _ {V} | \ Psi | ^ {2} dV.}$ ${\ displaystyle P = P _ {\ mathbf {r} \ in V} (t) = \ int _ {V} \ Psi ^ {*} \ Psi dV = \ int _ {V} | \ Psi | ^ {2} dV.}$
ток вероятности (он же поток вероятности) равен
$j (r, t) = ℏ 2 mi [Ψ ∗ (∇ Ψ) - Ψ (∇ Ψ ∗)]. {\ displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi ^ {*} \ left (\ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {*} \ right) \ right].}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi ^ {*} \ left (\ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {*} \ right) \ right].}$

С этими определениями уравнение неразрывности имеет следующий вид:

∇ ⋅ j + ∂ ρ ∂ t = 0 ⇌ ∇ ⋅ j + ∂ | Ψ | 2 ∂ T знак равно 0. {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0 ~ \ rightleftharpoons ~ \ nabla \ cdot \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial \ rho} { \ partial t}} = 0 ~ \ rightleftharpoons ~ \ nabla \ cdot \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = 0.}

Любая форма может быть указана в кавычках. Интуитивно вышеупомянутые величины показывают, что это представляет собой поток вероятности. Вероятность найти частицу в некоторой позиции r и во время t течет как жидкость ; отсюда термин «ток вероятности», векторное поле . Сама частица не течет детерминированно в этом векторном поле.

Согласованность с уравнением Шредингера
Для этого вывода см., Например. Трехмерное зависящее от времени уравнение Шредингера и его комплексно-сопряженное (i → −i всюду) соответственно: $- ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t, - ℏ 2 2 м ∇ 2 Ψ ∗ + U Ψ ∗ = - i ℏ ∂ Ψ ∗ ∂ t, {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}}, \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2} } {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} + U \ Psi ^ {} = - i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi ^ {}} {\ partial t}}, \\\ конец {выровнено}}}$ ${\ displaystyle {\ begin в {выровненном} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t }}, \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} + U \ Psi ^ {} = - i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi ^ {}} {\ partial t}}, \\\ конец {выровнено}}}$ где U - потенциальная функция. частная производная функции ρ по t: $∂ ρ ∂ t = ∂ \| Ψ \| 2 ∂ t = ∂ ∂ t (Ψ ∗ Ψ) = Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t + Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t. {\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial \| \ Psi \| ^ {2}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ частичный t}} \ left (\ Psi ^ {} \ Psi \ right) = \ Psi ^ {} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} + \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {}} {\ partial t}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t }} = {\ frac {\ partial \| \ Psi \| ^ {2}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ Psi ^ {} \ Psi \ справа) = \ Psi ^ {} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} + \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {}} {\ partial t}}.}$ Умножение уравнения Шредингера на Ψ , затем решение для Ψ ∂Ψ / ∂t и аналогичное умножение комплексно сопряженного уравнения Шредингера на, затем решение для Ψ ∂ Ψ * / ∂t; $Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t = 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ ∗ 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ ∗ Ψ], Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t = - 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ 2 m ∇ 2 Ψ * + U Ψ Ψ ], {\ Displaystyle {\ begin {align} \ Psi ^ {} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ frac {1} {я \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {} \ Psi \ right], \\\ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {}} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} + U \ Psi \ Psi ^ {} \ right], \\\ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi ^ {} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {} \ Psi \ right], \\\ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {}} { \ partial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} + U \ Psi \ Psi ^ {} \ right], \\\ конец {выровнено}}}$ заменяя на производная по времени от ρ: $∂ ρ ∂ t = 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ ∗ 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ ∗ Ψ] - 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ 2 m ∇ 2 Ψ ∗ + U Ψ Ψ ∗] = 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ ∗ 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ ∗ Ψ] + 1 i ℏ [+ ℏ 2 Ψ 2 m ∇ 2 Ψ ∗ - U Ψ ∗ Ψ] = - 1 я ℏ ℏ 2 Ψ ∗ 2 м ∇ 2 Ψ + 1 я ℏ ℏ 2 Ψ 2 м ∇ 2 Ψ ∗ = ℏ 2 им [Ψ ∇ 2 Ψ ∗ - Ψ ∗ ∇ 2 Ψ] {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {} \ Psi \ right] - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ { 2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} + U \ Psi \ Psi ^ {} \ right] \\ = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [ - {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {} \ Psi \ right] + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [+ {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} - U \ Psi ^ {} \ Psi \ right] \\ [2pt] = - {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} \\ [2pt] = {\ frac {\ hbar} {2im}} \ left [\ Psi \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} - \ Psi ^ {} \ nabla ^ {2} \ Psi \ right] \\\ конец {выровнено}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac { \ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {} \ Psi \ right] - {\ frac {1} {i \ hbar} } \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} + U \ Psi \ Psi ^ {} \ right] \\ = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi^ {} \ Psi \ right] + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [+ {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} - U \ Psi ^ {} \ Psi \ right] \\ [2pt] = - {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} \\ [2pt] = {\ frac {\ hbar} {2im}} \ left [\ Psi \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} - \ Psi ^ {* } \ nabla ^ {2} \ Psi \ right] \\\ конец {выровнено}}}$ Операторы лапласа (∇) в приведенном выше результате предполагают, что правая часть - это дивергенция j, а обратный порядок членов подразумевает, что это отрицание j, в целом: $∇ ⋅ j = ∇ ⋅ [ℏ 2 mi (Ψ ∗ (∇ Ψ) - Ψ (∇ Ψ ∗))] = ℏ 2 миль [Ψ ∗ (∇ 2 Ψ) - Ψ (∇ 2 Ψ ∗)] = - ℏ 2 миль [Ψ (∇ 2 Ψ ∗) - Ψ ∗ (∇ 2 Ψ)] {\ Displaystyle {\ begin {выровнено } \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = \ nabla \ cdot \ left [{\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {} \ l eft (\ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {} \ right) \ right) \ right] \\ = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [ \ Psi ^ {} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} \ right) \ right] \\ = - { \ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} \ right) - \ Psi ^ {} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) \ right] \\\ конец {выровнено}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = \ набла \ cdot \ left [{\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {} \ left (\ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {}) \ right) \ right) \ right] \\ = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi ^ {} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {} \ right) \ right] \\ = - {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi \ left (\ nabla ^ {2 } \ Psi ^ {} \ right) - \ Psi ^ {} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) \ right] \\\ конец {выровнено}}}$ , поэтому уравнение неразрывности: $∂ ρ ∂ t = - ∇ ⋅ j ⇒ ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} \\\ Rightarrow {} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \\\ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} \\\ Rightarrow {} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \\\ конец {выровнено}}}$ Интегральная форма аналогична общему уравнению.

Согласованность с уравнением Шредингера

Для этого вывода см., Например. Трехмерное зависящее от времени уравнение Шредингера и его комплексно-сопряженное (i → −i всюду) соответственно:

- ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t, - ℏ 2 2 м ∇ 2 Ψ ∗ + U Ψ ∗ = - i ℏ ∂ Ψ ∗ ∂ t, {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}}, \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2} } {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi ^ {*} = - i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial t}}, \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin в {выровненном} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t }}, \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi ^ {*} = - i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial t}}, \\\ конец {выровнено}}}

где U - потенциальная функция. частная производная функции ρ по t:

∂ ρ ∂ t = ∂ | Ψ | 2 ∂ t = ∂ ∂ t (Ψ ∗ Ψ) = Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t + Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t. {\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ частичный t}} \ left (\ Psi ^ {*} \ Psi \ right) = \ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} + \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t }} = {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ Psi ^ {*} \ Psi \ справа) = \ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} + \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial t}}.}

Умножение уравнения Шредингера на Ψ *, затем решение для Ψ * ∂Ψ / ∂t и аналогичное умножение комплексно сопряженного уравнения Шредингера на, затем решение для Ψ ∂ Ψ * / ∂t;

Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t = 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ ∗ 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ ∗ Ψ], Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t = - 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ 2 m ∇ 2 Ψ * + U Ψ Ψ *], {\ Displaystyle {\ begin {align} \ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ frac {1} {я \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right], \\\ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi \ Psi ^ {*} \ right], \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right], \\\ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} { \ partial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi \ Psi ^ {*} \ right], \\\ конец {выровнено}}}

заменяя на производная по времени от ρ:

∂ ρ ∂ t = 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ ∗ 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ ∗ Ψ] - 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ 2 m ∇ 2 Ψ ∗ + U Ψ Ψ ∗] = 1 i ℏ [- ℏ 2 Ψ ∗ 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ ∗ Ψ] + 1 i ℏ [+ ℏ 2 Ψ 2 m ∇ 2 Ψ ∗ - U Ψ ∗ Ψ] = - 1 я ℏ ℏ 2 Ψ ∗ 2 м ∇ 2 Ψ + 1 я ℏ ℏ 2 Ψ 2 м ∇ 2 Ψ ∗ = ℏ 2 им [Ψ ∇ 2 Ψ ∗ - Ψ ∗ ∇ 2 Ψ] {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ { 2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi \ Psi ^ {*} \ right] \\ = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [ - {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [+ {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} - U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] \\ [2pt] = - {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \\ [2pt] = {\ frac {\ hbar} {2im}} \ left [\ Psi \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} - \ Psi ^ {*} \ nabla ^ {2} \ Psi \ right] \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac { \ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] - {\ frac {1} {i \ hbar} } \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi \ Psi ^ {*} \ right] \\ = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi^ {*} \ Psi \ right] + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [+ {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} - U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] \\ [2pt] = - {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \\ [2pt] = {\ frac {\ hbar} {2im}} \ left [\ Psi \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} - \ Psi ^ {* } \ nabla ^ {2} \ Psi \ right] \\\ конец {выровнено}}}

Операторы лапласа (∇) в приведенном выше результате предполагают, что правая часть - это дивергенция j, а обратный порядок членов подразумевает, что это отрицание j, в целом:

∇ ⋅ j = ∇ ⋅ [ℏ 2 mi (Ψ ∗ (∇ Ψ) - Ψ (∇ Ψ ∗))] = ℏ 2 миль [Ψ ∗ (∇ 2 Ψ) - Ψ (∇ 2 Ψ ∗)] = - ℏ 2 миль [Ψ (∇ 2 Ψ ∗) - Ψ ∗ (∇ 2 Ψ)] {\ Displaystyle {\ begin {выровнено } \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = \ nabla \ cdot \ left [{\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ l eft (\ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {*} \ right) \ right) \ right] \\ = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [ \ Psi ^ {*} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \ right) \ right] \\ = - { \ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \ right) - \ Psi ^ {*} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) \ right] \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = \ набла \ cdot \ left [{\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ left (\ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {*}) \ right) \ right) \ right] \\ = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi ^ {*} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \ right) \ right] \\ = - {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi \ left (\ nabla ^ {2 } \ Psi ^ {*} \ right) - \ Psi ^ {*} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) \ right] \\\ конец {выровнено}}}

, поэтому уравнение неразрывности:

∂ ρ ∂ t = - ∇ ⋅ j ⇒ ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} \\\ Rightarrow {} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} \\\ Rightarrow {} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \\\ конец {выровнено}}}

Интегральная форма аналогична общему уравнению.

Релятивистская версия

Специальная теория относительности

Обозначения и инструменты специальной теории относительности, особенно 4-вектора и 4-градиенты, предлагает удобный способ написать любое уравнение неразрывности.

Плотность величины ρ и ее ток j можно объединить в 4-вектор, который называется 4-током :

J = ( c ρ, jx, jy, jz) {\ displaystyle J = \ left (c \ rho, j_ {x}, j_ {y}, j_ {z} \ right)}

{\ displaystyle J = \ left (c \ rho, j_ {x}, j_ {y}, j_ {z} \ right)}

, где c - скорость света. 4- дивергенция этого тока:

∂ μ J μ = c ∂ ρ ∂ ct + ∇ ⋅ j {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = c {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial ct}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j}}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = c {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial ct}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j}}

, где ∂ μ - это 4-градиент и μ - это индекс , обозначающий пространство-время измерение. Тогда уравнение неразрывности имеет следующий вид:

∂ μ J μ = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

\ partial_ \ mu J ^ \ mu = 0

в обычном случае, когда нет источников или стоков, что есть для идеально сохраняемых величин, таких как энергия или заряд. Это уравнение неразрывности явно ("очевидно") инвариант Лоренца.

Примеры уравнений неразрывности, часто записываемых в такой форме, включают сохранение электрического заряда

∂ μ J μ = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

\ partial_ \ mu J ^ \ mu = 0

где J - электрический 4-токовый ; и сохранение энергии-импульса

∂ ν T μ ν = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = 0}

\ partial_ \ nu T ^ {\ mu \ nu} = 0

, где T - тензор энергии-импульса.

Общая теория относительности

В общей теории относительности, где пространство-время искривлено, уравнение неразрывности (в дифференциальной форме) для энергии, заряда или других сохраняемых величин включает ковариантную дивергенцию вместо обычного расхождения.

Например, тензор энергии-импульса представляет собой тензорное поле второго порядка , содержащее плотности энергии-импульса, потоки энергии-импульса и напряжения сдвига массово-энергетическое распределение. Дифференциальная форма сохранения энергии-импульса в общей теории относительности утверждает, что ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю:

T μ ν; μ = 0. {\ displaystyle {T ^ {\ mu}} _ {\ nu; \ mu} = 0.}

{\ displaystyle {T ^ {\ mu}} _ {\ nu; \ mu} = 0.}

Это важное ограничение на форму, которую принимают уравнения поля Эйнштейна общая теория относительности.

Однако обычная дивергенция тензора энергии-импульса не обязательно обращается в нуль:

∂ μ T μ ν = - Γ μ λ μ T λ ν - Γ μ λ ν T μ λ, {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = - \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ mu} T ^ {\ lambda \ nu} - \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ nu} T ^ {\ mu \ lambda},}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = - \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ mu} T ^ {\ lambda \ nu} - \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ nu} T ^ {\ mu \ lambda},}

Правая часть строго равна нулю только для плоской геометрии.

Как следствие, интегральную форму уравнения неразрывности трудно определить и не обязательно справедливо для области, в которой пространство-время существенно искривлено (например, вокруг черной дыры или во всей вселенной).

Физика элементарных частиц

Кварки и глюоны имеют цветной заряд, который всегда сохраняется, как электрический заряд, и существует уравнение непрерывности для таких токов цветного заряда (явные выражения для токов даны в тензоре напряжённости глюонного поля ).

В физике элементарных частиц есть много других величин, которые часто или всегда сохраняются: барионное число (пропорционально количеству кварков минус количество антикварков), электронное число, мю число, тау-число, изоспин и другие. Каждый из них имеет соответствующее уравнение неразрывности, возможно, включая члены источника / стока.

Теорема Нётер

Одной из причин того, что уравнения сохранения часто встречаются в физике, является теорема Нётер. Это означает, что всякий раз, когда законы физики имеют непрерывную симметрию, существует уравнение неразрывности для некоторой сохраняющейся физической величины. Три самых известных примера:

Законы физики инвариантны относительно перевода времени - например, законы физики сегодня такие же, как и вчера. Эта симметрия приводит к уравнению непрерывности для сохранения энергии.
. Законы физики инвариантны по отношению к перемещению в пространстве - например, законы физики в Бразилии такие же, как законы физики в Аргентине. Эта симметрия приводит к уравнению непрерывности для сохранения импульса.
Законы физики инвариантны относительно ориентации - например, плавая в космическом пространстве, вы не можете сделать никаких измерений, чтобы сказать, "какой путь вверх". "; законы физики одинаковы независимо от того, как вы ориентируетесь. Эта симметрия приводит к уравнению неразрывности для сохранения углового момента.

См. теорему Нётер для доказательств и деталей.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Hydrodynamics, H. Lamb, Cambridge University Press, (2006) оцифровка 6-го издания 1932 г.) ISBN 978-0-521-45868-9
Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3
Электромагнетизм (2-е издание), I.S. Грант, У. Р. Филлипс, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
Gravitation, J.A. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн, W.H. Freeman Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0