Векторная область

В трехмерной геометрии для конечной плоской поверхности скалярной площади S и единичной нормали n̂векторная область S определяется как единица измерения нормы, масштабируемая по площади:

$S\; =\; n\; ^\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; S\}$

Для ориентируемая поверхность S, состоящая из набора S i плоских фасетных областей, векторная площадь поверхности задается как

$S\; =\; \sum \; in\; ^\; i\; S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \_\; \{i\}\; S\_\; \{i\}\}$

где n̂i- единичный вектор нормали к площади S i.

Для ограниченного, ориентированные криволинейные поверхности, которые достаточно хорошо себя ведут, мы все еще можем определить векторную область. Сначала мы разбиваем поверхность на бесконечно малые элементы, каждый из которых фактически плоский. Для каждого бесконечно малого элемента площади у нас есть вектор площади, также бесконечно малый.

$d\; S\; =\; n\; ^\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; dS\}$

где n̂ - локальный единичный вектор, перпендикулярный dS.. Интегрирование дает векторную площадь поверхности.

$S\; =\; \int \; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \backslash \; int\; d\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}$

Для криволинейной или фасетной поверхности векторная область меньше по величине, чем площадь. В качестве крайнего примера, замкнутая поверхность может иметь произвольно большую площадь, но ее векторная площадь обязательно равна нулю. Поверхности, имеющие общую границу, могут иметь очень разные области, но они должны иметь одну и ту же векторную область - векторная область полностью определяется границей. Это следствия теоремы Стокса.

. Концепция вектора площади упрощает уравнение для определения потока через поверхность. Рассмотрим плоскую поверхность в однородном поле . Поток можно записать как скалярное произведение вектора поля и площади. Это намного проще, чем умножение напряженности поля на площадь поверхности и косинус угла между полем и нормалью к поверхности.

Площадь проецирования (например) на плоскость xy эквивалентна z-компоненту векторной области и задается как

$S\; z\; =\; |\; S\; |\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{z\}\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$

, где θ - угол между нормалью плоскости и осью z.

• Перекрестное произведение
• Бивектор
• Нормаль поверхности
• Интегральная поверхность

1. ^Spiegel, Murray R. (1959). Теория и проблемы векторного анализа. Обзорная серия Шаума. Макгроу Хилл. п. 25.