Уравнение теплопроводности

Анимированный график изменения температуры в квадратной металлической пластине в соответствии с теплопроводностью. Высота и покраснение указывает на температуру в каждой точке. В исходном состоянии имеется равномерно горячая область в форме копытца (красный цвет), окруженная равномерно холодной областью (желтый цвет). Со временем тепло распространяется в холодную область.

В математике и физике уравнение теплопроводности представляет собой некое уравнение в частных производных. Решения уравнения теплопроводности иногда называют калорические функции . Теория уравнения теплопроводности была впервые использована для моделирования Джозефом Фурье в 1822 году с помощью моделирования того, как такое количество, как тепло, распространяется через данную область.

Как прототип параболического уравнения в частных производных, уравнение теплопроводности является одной из наиболее широко изучаемых тем в чистой математике, и его анализ считается фундаментальным для более широкого поля дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности также можно рассматривать на римановых разнообразиях, что приводит к множеству геометрических приложений. Следуя работе Суббарамия Минакшисундарам и Оке Плейжел, уравнение теплопроводности связано со спектральной геометрией. Оригинальный нелинейный вариант уравнения теплопроводности был введен в дифференциальную геометрию Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном в 1964 году, что вдохновило на введение потока Риччи от Ричарда Гамильтона в 1982 году и завершившегося доказательством гипотезы Пуанкаре Григорием Перельманом в 2003 году. Некоторые решения уравнения теплопроводности, известные как тепловые ядра используют тонкую информацию о регионе, в котором они показаны, как показано на примере их применения теореме об индексе Атьи - Зингера.

Уравнение теплопроводности, наряду с его варианты науки, также важно в многих областях и прикладная математика. В теории вероятностей уравнение теплопроводности связано с изучением случайных блужданий и броуновского движения через уравнение Фоккера - Планка. Печально известное уравнение Блэка - Шоулза из математики финансовое представляет собой вариант небольшого уравнения теплопроводности, а уравнение Шредингера из квантовой механики может рассматривать как уравнение теплопроводности в мнимом времени. В анализа изображений уравнение теплопроводности иногда используется для разрешения пикселизации и идентификации краев. После введения Робертом Рихтмайером и Джоном фон Нейманом методы «искусственной вязкости» решения уравнений теплопроводности были полезны при математической формулировке гидродинамических ударов. Решениям уравнений теплопроводности также уделяется много внимания в литературе по численному анализу , начиная с 1950-х годов с работ Джима Дугласа, Д.У. Peaceman и Henry Rachford Jr.

• 1 Формулировка уравнения
• 2 Интерпретация
  • 2.1 Физическая интерпретация уравнения
  • 2.2 Математическая интерпретация уравнения
  • 2.3 Характер решений
• 3 Конкретные примеры
  • 3.1 Тепловой поток в однородном стержне
    • 3.1.1 Учет радиационных потерь
    • 3.1.2 Неоднородная изотропная среда
  • 3.2 Трехмерная задача
  • 3.3 Внутренняя выделение тепла
• 4 Решение уравнения теплопроводности с использованием ряда Фурье
  • 4.1 Обобщение метода решения
• 5 Теплопроводность в неоднородных анизотропных средах
• 6 Основные решения
  • 6.1 Некоторые решения функции Грина в 1D
    • 6.1.1 Уравнение однородной теплопроводности
    • 6.1.2 Уравнение неоднородной теплопроводности
    • 6.1.3 Примеры
• 7 Свойство среднего значения для уравнения теплопроводности
• 8 Уравнение стационарной теплопроводности
• 9 Применения
  • 9.1 Диффузия частиц
  • 9.2 Броуновское движение
  • 9.3 Уравнение Шредингера для св ободной частицы
  • 9.4 Температуропроводность в полимере rs
  • 9.5 Другие приложения
• 10 См. также
• 11 Примечания
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

В математике, если дано открытое подмножество U в ℝ и подынтервал I в ℝ, говорят, что функция u: U × I → ℝ является решением уравнения теплопроводности, если

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; \partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; xn\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\; \}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где (x 1,..., x n, t) обозначает общую точку области. Обычно t называют "временем", а x 1,..., x n - "пространственными переменными", даже в абстрактных контекстах, где эти фразы не имеют своих интуитивный смысл. Набор пространственных часто называют просто x. Для любого заданного значения t правая часть уравнения - это лапласиан функции u (⋅, t): U → ℝ. Таким образом, уравнение теплопроводности часто записывается более компактно как

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; \Delta \; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; Delta\; u.\}$

В физическом и инженерном контексте, особенно в контексте диффузии через среду, чаще всего фиксируют декартова система координат, а затем рассмотреть конкретный случай функции u (x, y, z, t) трех пространственных чисел (x, y, z) и времени переменная t. Затем говорят, что u является решением уравнения теплопроводности, если

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; \alpha \; (\partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; y\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; z\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частично\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\})\; u\; \}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

в котором α положительное число коэффициент называется коэффициентом диффузии среды. В дополнение к другим физическим явлениям это уравнение потока тепла в однородной и изотропной среде, где u (x, y, z, t) - температура в точке (x, y, z) и время t. Если среда неоднородна и изотропна, то α не будет фиксированным коэффициентом, а будет зависеть от (x, y, z); уравнение также имело бы несколько иной вид. В и инженерной литературе для обозначения лапласиана обычно используется ∇, а не ∆.

В математике, а также в физике и технике обычно используется нотация Ньютона для производных по времени, так что $u\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\}$используется для обозначения ∂u / ∂t. Отметим также, что возможность использовать ∆ или ∇ для обозначения лапласиана без явной ссылки на пространственные переменные является отражением факта, что лапласиан не зависит от выбора системы координат. С математической точки зрения можно сказать, что лапласиан «трансляционно и вращательно инвариантен». Фактически, это (грубо говоря) простейший дифференциальный оператор, обладающий этим симметриями. Это может быть рассмотрено как настоящее (и чисто математическое) использование моделей теплопроводности при моделировании любых физических явлений.

«Константа диффузии» α часто не присутствует в математических исследованиях уравнения теплопроводности, в то время как ее значение может быть очень важным в инженерии. Это несущественная разница по следующей причине. Пусть u - функция с

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; \alpha \; ∆\; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; Delta\; u.\}$

Определите новую функцию $v\; (t,\; x)\; =\; u\; (t\; /\; \alpha ,\; x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \backslash \; v\; (т,\; х)\; =\; и\; (т\; /\; \backslash \; альфа,\; х).\; \backslash \; \backslash \}$Тогда, согласно правиламу цепочки , будет

$\partial \; \partial \; tv\; (t,\; x)\; =\; \partial \; \partial \; tu\; (t\; /\; \alpha ,\; x)\; =\; \alpha \; -\; 1\; \partial \; u\; \partial \; T\; (t\; /\; \alpha ,\; x)\; знак\; равно\; \Delta \; u\; (t\; /\; \alpha ,\; x)\; =\; \Delta \; v\; (t,\; Икс)\; (*)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; v\; (t,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; u\; (t\; /\; \backslash \; alpha,\; x)\; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; (t\; /\; \backslash \; alpha,\; x)\; =\; \backslash \; Delta\; u\; (t\; /\; \backslash \; alpha,\; x)\; =\; \backslash \; Delta\; v\; (t,\; x)\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; (*)\}$

Таким образом существует простой способ перехода между решения теплопроводности с общим значением α и решениями уравнения теплопроводности с α = 1. 1.

24 $\alpha >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha>0\}$есть еще один вариант для определения $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$са ти sfying $\partial \; \partial \; tv\; =\; \Delta \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; v\; =\; \backslash \; Delta\; v\; \backslash \; \backslash \}$как в $(\ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; (*)\}$выше, установив $v\; (t,\; x)\; =\; u\; (t,\; \alpha \; -\; 1/2\; x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \backslash \; v\; (т,\; х)\; =\; и\; (т,\; \backslash \; альфа\; ^\; \{-\; 1/2\}\; х).\; \backslash \; \backslash \}$Обратите внимание, что два способа определения новой функции $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$обсуждаемая здесь сумма, в физическом выражении, к изменению единицы измерения времени или единицы измерения длина.

Физическая интерпретация уравнения

Неформально, оператор Лапласа ∆ дает разницу между средним значением функции в окрестности точки и ее размером в таком случае. Таким образом, если u - температура, ∆ говорит о том, является ли (и насколько) материал, окружающий каждую точку, в среднем горячее или холоднее, чем материал в этой точке.

Согласно второму закону термодинамики, тепло будет течь от более горячих тел к соседним более холодным телам, пропорционально разнице температур и теплопроводности материал между ними. Когда размер тепло поступает в материал (соответственно из него), его размер увеличивается (соответственно уменьшается) пропорционально количеству тепла, деленному на количество (масса ) материала, с коэффициент пропорциональности, называемый удельной теплоемкости материала.

Комбинация этих наблюдений уравнение теплопроводности говорит, что скорость $u\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\}$, при которой материал в точке будет нагрев (или охлаждение) пропорционален тем, насколько горячее (или холоднее) окружающий материал. Коэффициент α в уравнении учитывает теплопроводность, удельнуюемкость и плотность материала.

Математическая интерпретация уравнения

Первую половину вышеупомянутого физического мышления можно представить в математической форме. Ключ в том, что для любого фиксированного x

$u\; (x)\; (0)\; =\; u\; (x)\; u\; (x)\; \prime \; (0)\; =\; 0\; u\; (x)\; ″\; (0)\; =\; 1\; n\; \Delta \; u\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; \_\; \{(x)\}\; (0)\; =\; u\; (x)\; \backslash \backslash \; u\; \_\; \{(x)\}\; \text{'}(0)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; u\; \_\; \{(x)\}\; \text{'}\text{'}\; (0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; Delta\; u\; (x)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, где u (x) (r) - одиночный -переменная функция, обозначающая среднее значение u по поверхности сферы радиуса r с центром в точке x; его можно определить следующим образом:

$u\; (x)\; (r)\; =\; 1\; \omega \; n\; -\; 1\; r\; n\; -\; 1\; \int \; \{y:\; |\; х\; -\; у\; |\; знак\; равно\; r\}\; уд\; ЧАС\; N\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{(x)\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{n-1\}\; r\; ^\; \{n-1\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; \{y:\; |\; ху\; |\; =\; r\; \backslash \}\}\; u\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{n-1\},\}$

, где ω n - 1 обозначает площадь поверхности единичного шара в n-мерном евклидовом пространстве. Это формали показывает приведенное выше утверждение о том, что значение ∆u в точке x измеряет разницу между величиной u (x) и величиной u в точках поблизости от x, в том смысле, что последнее кодируется значениями u (x) (r) для малых положительных значений r.

Следуя этому наблюдению, можно интерпретировать уравнение как налагающее бесконечно малое усреднение функции. Учитывая решение уравнения теплопроводности, значение u (x, t + τ) для небольшого положительного значения τ может быть аппроксимировано как 1 / 2n-кратное среднее значение функции u (t, t) по сфере очень маленький радиус с центром в x.

Характер решений

Решение одномерного уравнения в частных производных теплопроводности. Температура ($u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$) изначально распределяется по одномерному интервалу длины в одну единицу (x = [0,1]) с изолированными конечными точками. Распределение приближается к равновесию со временем. Поведение температуры, когда стороны одномерного стержня находятся при фиксированных температурах (в данном случае 0,8 и 0 с начальным распределением Гаусса). Температура приближается к линейной функции, потому что это стабильное решение уравнения: везде, где температура имеет ненулевую вторую пространственную производную, производную по времени также отлична от нуля.

Уравнение теплопроводности подразумевает, что пики (локальные максимумы ) of $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$будет постепенно размываться, в то время как впадины (локальные минимумы ) будут заполнены. Значение в какой-то момент останется стабильным пока оно равно среднему значению в его ближайшем окружении. В частности, если значения в окрестностях очень близки к линейной функции $A\; x\; +\; B\; y\; +\; C\; z\; +\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; Ax\; +\; By\; +\; Cz\; +\; D\}$, тогда значение в центре этой окрестности в это время не изменится (то есть производная $u\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\}$будет равна нулю).

Более тонкое следствие - принцип максимума, который гласит, что максимальное значение $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$в любой области $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$среда не будет превышать значение, которое ранее имело место в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, если только оно не находится на границе $Р\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\}$. То есть максимальная температура в области $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$может увеличиваться, только если тепло поступает извне $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Это свойство параболических свойств в частных производных, которое нетрудно доказать математически (см. Ниже).

Еще одно интересное свойство состоит в том, что даже если $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$изначально имеет резкий скачок (разрыв) значения на некоторой поверхности внутри среды, происходит немедленно сглаживается мгновенным, бесконечно коротким, но бесконечно большим потоком тепла через эту поверхность. Например, если два тела изначально имеют одинаковую температуру $u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$и $u\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{1\}\}$, соприкасаются друг с другом, точка в точке контакта использует небольшое промежуточное значение, и вокруг этой точки образует зону, в которой действует $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$будет постепенно изменяться от $u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$до $u\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{1\}\}$.

Если к Укажите среду, она будет распространяться во всех направлениях в форме a. В отличие от упругих и электромагнитных волн, скорость диффузионной волны со временем падает: по той мере, как она распространяется на большую область, градиент температуры уменьшается, и, следовательно, уменьшается и тепловой поток.

Тепловой поток в однородном стержне

Для теплового потока в однородном стержне теплопроводности и Сохранение энергии (Пушка 1984).

Согласно закон Фурье для изотропной среды скорость потока тепловой энергии на единицу площади через поверхность отрицательному градиенту температуры на ней:

$q\; =\; -\; k\; \nabla \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\; \}\; =\; -k\; \backslash ,\; \backslash \; nabla\; u\; \backslash \}$

где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- теплопроводность материал, $u\; =\; u\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; u\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- температура, а $q\; =\; q\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- новое поле , которое представляет собой направление теплового потока в точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$пространство и время $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

Если среда представляет собой тонкий стержень однородного сечения и материал, позиция представляет собой одну координату $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, тепловой поток в сторону увеличения $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$представляет собой скалярное поле $q\; =\; q\; (t,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; q\; (t,\; x)\}$, а градиент является обычной производной по отношению к $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Уравнение становится

$q\; =\; -\; k\; \partial \; u\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; -k\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$

Пусть $Q\; =\; Q\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; Q\; (x,\; t)\}$- внутренняя тепловая энергия на единицу объема стержня в каждый момент времени. Внутренняя энергия на единицу объема материала $\partial \; Q\; /\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; Q\; /\; \backslash \; partial\; t\}$, пропорционально скорости изменения его температуры, $\partial \; U\; /\; \partial \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; u\; /\; \backslash \; partial\; t\}$. То есть

$\partial \; Q\; \partial \; T\; знак\; равно\; c\; \rho \; \partial \; u\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; c\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\; \backslash \; partial\; t\}\}\}$

где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- удельная теплоемкость (при постоянном давлении, в случае газа) и $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- плотность (масса на единицу объема) материала. Этот вывод предполагает, что материал имеет постоянную массовую плотность и теплоемкость как в пространстве, так и во времени.

Применяя закон сохранения энергии к небольшому элементу среды с центром в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, можно сделать вывод, что скорость, с которой накапливается тепло при заданной точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$равна производной теплового потока в этой точке, в отрицании. То есть

$\partial \; Q\; \partial \; T\; =\; -\; \partial \; q\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$

Из приведенных выше уравнений следует, что

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; -\; 1\; c\; \rho \; \partial \; q\; \partial \; x\; =\; -\; 1\; c\; \rho \; \partial \; \partial \; x\; (-\; k\; \partial \; u\; \partial \; x)\; =\; kc\; \rho \; \partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash ;\; знак\; равно\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; \backslash ,\; \backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash ;\; знак\; равно\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; \backslash ,\; \backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; left\; (-k\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; верно)\; \backslash ;\; знак\; равно\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{c\; \backslash ,\; \backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}$

который используется уравнением теплопроводности в одном измерении с коэффициентом диффузии

$\alpha \; =\; kc\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{c\; \backslash \; rho\}\}\}$

Эта величина называется коэффициент температуропроводности среды.

Учет радиационных потерь

В уравнение может быть введен дополнительный член для учета радиационных потерь тепла. Согласно закону Стефана – Больцмана, этот член равен $\mu \; (u\; 4\; -\; v\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (u\; ^\; \{4\}\; -v\; ^\; \{4\})\}$, где $v\; =\; v\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; v\; (x,\; t)\}$- температура окружающей среды, а $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- коэффициент, который зависит от физических свойств материала. Скорость изменения внутренней энергии становится

$\partial \; Q\; \partial \; t\; =\; -\; \partial \; q\; \partial \; x\; -\; \mu \; (u\; 4\; -\; v\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \backslash \; mu\; (u\; ^\; \{4\}\; -v\; ^\; \{4\})\}$

и уравнение эволюции $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$становится

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; kc\; \rho \; \partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; -\; \mu \; c\; \rho \; (u\; 4\; -\; v\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{c\; \backslash ,\; \backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{c\; \backslash ,\; \backslash \; rho\}\}\; (u\; ^\; \{4\}\; -v\; ^\; \{4\})\}$.

Неоднородная изотропная среда

Обратите внимание, что уравнение состояния, заданное первым законом термодинамики (т.е. сохранение энергии), записывается в следующей форме (при условии отсутствия массопереноса или излучения). Эта форма является более общей и особенно полезной для распознавания того, какоесвойство (например, c p или $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$) влияет на какой термин.

$\rho \; cp\; \partial \; T\; \partial \; T\; -\; \nabla \; \cdot \; (к\; \nabla \; T)\; =\; q\; \dot{}\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; c\_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; слева\; (к\; \backslash \; набла\; Т\; \backslash \; справа)\; =\; \{\backslash \; точка\; \{q\}\}\; \_\; \{V\}\}$

где $q\; \dot{}\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{V\}\}$- объемный источник тепла.

Трехмерная задача

Особые случаи распространения тепла в изотропной и однородной среде в трехмерном пространстве пространство, это уравнение имеет вид

$\partial \; U\; \partial \; T\; знак\; равно\; \alpha \; \nabla \; 2\; u\; знак\; равно\; \alpha \; (\partial \; 2\; u\; \partial \; Икс\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; Y\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; Z\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; partial\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; =\; \backslash \; альфа\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; u\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$$=\; \alpha \; (uxx\; +\; uyy\; +\; uzz)\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; альфа\; (u\_\; \{xx\}\; +\; u\_\; \{yy\; \}\; +\; u\_\; \{zz\})\; \backslash \; quad\}$

где:

• $u\; =\; u\; (x,\; y,\; z,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; u\; (x,\; y,\; z,\; t)\}$- температура как функция пространства и времени;
• $\partial \; u\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$- скорость изменения в период времени с течением времени;
• $uxx\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{xx\}\}$, $uyy\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{yy\}\}$и $uzz\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{zz\}\}$- вторые пространственные производные (тепловое направлениях) температуры в направлениях $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$соответственно;
• $\alpha \; \equiv \; kcp\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; tfrac\; \{k\}\; \{c\_\; \{p\}\; \backslash \; rho\}\}\}$- коэффициент температуропроводности, материал - удельная величина, зависящая от теплопроводности $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, удельной теплоемкости $cp\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{p\}\}$и массовая плотность $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$.

Уравнение теплопроводности является следствием закона проводимости Фурье (см. теплопроводность ).

Если среда не является всем пространством, для однозначного решения уравнения теплопроводности нам также необходимо указать граничные условия для u. Для определения единственности решений во всех случаях необходимо предположить экспоненциальную продвижение решений.

Решения уравнения теплопроводности характеризуются новым сглаживанием начального распределения температуры потоком нагрев от более теплых к более холодным областям объекта. Как правило, множество различных состояний и начальных условий будут стремиться к одному и тому же устойчивому равновесие. Как следствие, изменить решение и сделать вывод о более ранних временах или начальных условиях из распределения тепла очень неточно, за исключением самых коротких периодов времени.

Уравнение теплопроводности прототипом параболического уравнения в частных производных.

Используя оператор Лапласа, уравнение теплопроводности можно упростить и обобщить на аналогичные уравнения в пространствах. произвольного числа измерений, как

$ut\; =\; \alpha \; \nabla \; 2\; u\; =\; \alpha \; \Delta \; u,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; u\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; Delta\; u,\; \backslash \; quad\}$

где оператор Лапласа, Δ или ∇, дивергенция градиента, берется в пространственных чисел.

Уравнение теплопроводности управляет диффузией тепла, а также другими диффузионными процессами, такими как диффузия частиц или распространение электрического действия в нервных клетках. Хотя они не являются диффузными по своей природе, некоторые задачи квантовой механики также регулируются математическим аналогом уравнения теплопроводности (см. Ниже). Его также можно использовать для моделирования некоторых явлений, финансирующих в процессы, таких как процессы Блэка - Шоулза или процессы Орнштейна-Уленбека. Уравнение и нелинейные аналоги также использовались при анализе изображений.

Уравнение теплопроводности технически нарушает специальную теорию относительности, поскольку его решения включают мгновенное распространение возмущения. Частью возмущения за пределами переднего светового конуса обычно можно спокойно пренебречь, но если необходимо развить разумную скорость для передачи тепла, следует рассмотреть гиперболическую задачу. вместо этого - как уравнение в частных производных, включающее производную второго порядка по времени. Некоторые модели нелинейной теплопроводности (также являются параболическими уравнениями) имеют решения с конечной скоростью передачи тепла.

Внутреннее тепловыделение

Функция u представляет температуру тела. В качестве альтернативы, иногда удобно размер единицы измерения и представить u как тепловую плотность среды. Плотность тепла по-прежнему соблюдается в новых системах измерения.

Предположим, что тело подчиняется уравнению единичной проводимости, кроме того, генерирует собственное тепло на единицу объема (например, в ваттах / литр - Вт / л) со скоростью, определяемой известной функцией q, изменяющейся в пространстве. и время. Тогда тепло на единицу объема u удовлетворяет уравнению

$1\; \alpha \; \partial \; u\; \partial \; t\; =\; (\partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; y\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; z\; 2)\; +\; 1\; k\; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; \}\}\; q.\}$

Например, нить накала вольфрамовой лампочки выделяет тепло, поэтому при включении она будет иметь положительное ненулевое значение q. Когда свет выключен, значение q для вольфрамовой нити будет равно нулю.

Идеальная физическая установка для теплопроводности в стержне с однородными граничными условиями.

Следующий метод решения уравнения теплопроводности был предложен Джозефом Фурье в его трактате Théorie analytique de la chaleur, опубликованном в 1822 году. Рассмотрим уравнение теплопроводности для одной пространственной переменной. Это может быть использовано для моделирования теплопроводности стержня. Уравнение:

$ut\; =\; \alpha \; uxx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; u\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; alpha\; u\_\; \{xx\}\}$

(1)

., где u = u (x, t) является функцией двух переменные x и т. Здесь

• x - пространственная переменная, поэтому x ∈ [0, L], где L - длина стержня.
• t - временная переменная, поэтому t ≥ 0.

Мы предполагаем начальное условие

$u\; (x,\; 0)\; =\; f\; (x)\; \forall \; x\; \in \; [0,\; L]\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\; x,\; 0)\; =\; f\; (x)\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; [0,\; L]\}$

(2)

где задана функция f и граничные условия

$u\; (0,\; t)\; =\; 0\; =\; u\; (L,\; t)\; \forall \; t>0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (0,\; t)\; =\; 0\; =\; u\; (L,\; t)\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; t>0\}$.

(3)

Давайте попробуем найти решение (1), которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям>), но со следующим своим: u - это произведение, в котором зависимость u от x, t разделена, то есть:

$u\; (x,\; t)\; =\; X\; (x)\; T\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; X\; (x)\; T\; (t).\}$

(4)

Этот метод решения называется разделением числа. Подстановка u bac k в уравнение (1)

$T\; \prime \; (t)\; \alpha \; T\; (t)\; =\; X\; ″\; (x)\; X\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{T\; \text{'}(t)\}\; \{\backslash \; alpha\; T\; (t)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{X\; \text{'}\text{'}\; (x)\}\; \{X\; (x)\}\}.\}$

Правая рука сторона зависит только от x, а левая часть только от t, обе части равны некоторому постоянному значению −λ. 666>T ′ (t) = - λ α T (t) {\ displaystyle T '(t) = - \ lambda \ alpha T (t)}

(5)

и

$X\; ″\; (\; x)\; =\; -\; \lambda \; X\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; -\; \backslash \; lambda\; X\; (x).\}$

(6)

Теперь мы покажем, что нетривиальные решения для (6) для значений λ ≤ 0 не могут возникнуть:

1. Предположим, что λ < 0. Then there exist real numbers B, C such that

   $X\; (x)\; =\; B\; e\; -\; \lambda \; x\; +\; C\; e\; -\; -\; \lambda \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (x)\; =\; Be\; ^\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{-\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x\}\; +\; Ce\; ^\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x\}.\}$

   От (3) получаем X (0) = 0 = X (L) и, следовательно, B = 0 = C, из чего следует, что u тождественно 0.
2. Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B, C такое, что X (x) = Bx + C.Из уравнения (3) мы заключаем так же, как в 1, что u тождественно 0.
3. Следовательно, должно быть так, что λ>0. Тогда существуют действительные числа A, B, C такие, что

   $T\; (t)\; =\; A\; e\; -\; \lambda \; \alpha \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\; =\; Ae\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; alpha\; t\}\}$

   и

   $Х\; (х)\; =\; B\; sin\; \; (\lambda \; x)\; +\; C\; cos\; \; (\lambda \; x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (x)\; =\; B\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x)\; +\; C\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x).\}$

   От (3) получаем C = 0 и что для некоторого натурального числа n

   $\lambda \; =\; n\; \pi \; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{L\}\}.\}$

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость имеет специальный вид (4). В общем, сумма решений для (1), которые удовлетворяют граничным условиям (3), также удовлетворяет (1) и (3). Мы показать можем, что решение (1), (2) и (3) дается формулой

$u\; (x,\; t)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; D\; n\; sin\; \; (n\; \pi \; x\; L)\; е\; -\; N\; 2\; \pi \; 2\; \alpha \; TL\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; D\_\; \{n\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\})\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; t\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

где

$D\; n\; знак\; равно\; 2\; L\; \int \; 0\; L\; f\; (x)\; sin\; \; (n\; \pi \; x\; L)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{L\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{L\}\; f\; (x)\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx.\}$

Обобщение метода решения

Метод решения, использованный выше, может быть значительно расширен на многие другие типы уравнений. Идея состоит в том, что оператор u xx ​​с нулевыми граничными условиями может быть представлен в терминах его собственными функциями. Это естественным образом приводит к одной из основных идей спектральной теории линейных самосопряженных операторов.

Рассмотрим линейный оператор Δu = u xx ​​. Бесконечная последовательность функций

$en\; (x)\; =\; 2\; L\; sin\; \; (n\; \pi \; x\; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{L\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\}$

для n ≥ 1 - собственные функции Δ. Действительно,

$\Delta \; e\; n\; =\; -\; n\; 2\; \pi \; 2\; L\; 2\; e\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; e\_\; \{n\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; e\_\; \{n\}.\}$

Более того, любая собственная функция f Δ с граничными условиями f (0) = f (L) = 0 имеет вид e n для некоторого n ≥ 1. Функции e n для n ≥ 1 образуют ортонормированная последовательность относительно некоторого скалярного произведения на визуально вещественно значных функций на [0, L]. Это означает, что

$⟨en,\; em⟩\; =\; \int \; 0\; L\; en\; (x)\; em\; \ast \; (x)\; dx\; =\; \delta \; mn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; e\_\; \{n\},\; e\_\; \{m\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\; 0\}\; ^\; \{L\}\; e\_\; \{n\}\; (x)\; e\_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (x)\; dx\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{mn\}\}$

Наконец, последовательность {e n}n ∈ Nохватывает линейное плотное подпространство в L ((0, L)). Это показывает, что в действительности мы диагонализовали оператор Δ.

В целом исследование теплопроводности основано на нескольких принципах. Тепловой поток - это форма потока энергии, и поэтому имеет смысл говорить о временной скорости потока тепла в область пространства.

• Скорость теплового потока в область V во времени задается зависящей от времени величиной q t (V). Мы предполагаем, что q имеет плотность Q, так что

$qt\; (V)\; =\; \int \; VQ\; (x,\; t)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{t\}\; (V)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; Q\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; quad\}$

• Тепловой поток - это зависящая от времени векторная функция H (x), характеризующаяся следующим: скорость потока тепла через бесконечно малый элемент поверхности с площадью dS и с единичным вектором нормали nis

$H\; (x)\; \cdot \; N\; (x)\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\; dS\}$

Таким образом, скорость теплового потока в V также определяется поверхностным интегралом

$qt\; (V)\; =\; -\; \int \; \partial \; VH\; (x)\; \cdot \; n\; (x)\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{t\}\; (V)\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\; dS\}$

где n (x) - это направленный наружу вектор нормали в точке x.

• Закон Фурье гласит, что поток тепловой энергии имеет следующую линейную зависимость от градиента температуры

$H\; (x)\; =\; -\; A\; (x)\; \cdot \; \nabla \; u\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; (x)\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; u\; (x)\}$

где A (x) - вещественная матрица 3 × 3, что является симметричным ric и положительно определенные.

• По теореме о расходимости предыдущий поверхностный интеграл для теплового потока в V может быть преобразован в объемный интеграл

$qt\; (V)\; =\; -\; \int \; \partial \; VH\; (x)\; \cdot \; n\; (x)\; d\; S\; =\; \int \; \partial \; VA\; (x)\; \cdot \; \nabla \; u\; (x)\; \cdot \; n\; (x)\; d\; S\; =\; \int \; V\; \sum \; i,\; j\; \partial \; xi\; (aij\; (x)\; \partial \; xju\; (x,\; т))\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; q\_\; \{t\}\; (V)\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\; dS\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; u\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\; dS\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; a\_\; \{ij\}\; (x)\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\}\}\; u\; (x,\; t)\; \{\backslash \; bigr)\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Скорость изменения температуры в точке x пропорциональна теплу, поступающему в бесконечно малый элемент объема, где константа пропорциональности зависит от константы κ

$\partial \; tu\; (x,\; t)\; знак\; равно\; \kappa \; (x)\; Q\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; kappa\; (x)\; Q\; (x,\; t)\}$

Положив эти уравнения вместе дают общее уравнение теплового потока:

$\partial \; tu\; (x,\; t)\; =\; \kappa \; (x)\; \sum \; я,\; j\; \partial \; xi\; (aij\; (x)\; \partial \; xju\; (x,\; t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; kappa\; (x)\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; a\_\; \{ij\}\; (x)\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\}\}\; u\; (x,\; t)\; \{\backslash \; bigr)\}\}$

Примечания .

• Коэффициент κ (x) является обратной величиной теплоемкости вещества при x × плотности вещества при x: κ = $1\; /\; (\rho \; cp)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; (\backslash \; rho\; c\_\; \{p\})\}$.
• В случае изотропной среды матрица A представляет собой скалярную матрицу, равную теплопроводности k.
• . В анизотропном случае, когда коэффициент матрица A не скалярна и / или если она зависит от x, то явную формулу для решения уравнения теплопроводности можно записать редко, хотя обычно это можно рассмотреть абстрактную задачу Коши и показать, что это корректно поставленная задача и / или показать некоторые качественные свойства (например, сохранение положительных исходных данных, бесконечная скорость распространения, сходимость к равновесию, сглажи) вающие свойства). Обычно это делается с помощью теории однопараметрических полугрупп : например, если A - симметричная матрица, то эллиптический оператор определяется как

$A\; u\; (x):\; =\; \sum \; я,\; j\; \partial \; xiaij\; (x)\; \partial \; xju\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; Au\; (x):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{i\}\}\; a\_\; \{ij\}\; (x)\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\}\}\; u\; (x)\}$

является самосопряженным и диссипативным, поэтому по спектральной теореме он порождает однопараметрическую полугруппу.

A фундаментальное решение, также называемое тепловым ядром, представляет решение уравнения теплопроводности, соответствующее начальному состоянию начального точечного источника тепла в известном положении. Их можно использовать для поиска общих решений уравнения теплопроводности в определенных областях; см., например, (Evans 2010) для ознакомительного лечения.

В одной функции функция Грина является решением проблемы начального значения (по у принципа Дюамеля, эквивалентному определению функций Грина как функции с дельтой функцией как решение первого уравнения)

$\{ut\; (x,\; t)\; -\; kuxx\; (x,\; t)\; =\; 0\; (x,\; t)\; \in \; R\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; =\; \delta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; (x,\; t)\; -ku\_\; \{xx\}\; (x,\; t)\; =\; 0\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; \backslash \; delta\; (x)\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где δ - Дельта-функция Дирака. Решением этой проблемы является фундаментальное решение (тепловое ядро ​​ )

$\Phi \; (x,\; t)\; =\; 1\; 4\; \pi \; kt\; exp\; \; (-\; x\; 2\; 4\; kt).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x,\; t)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right).\}$

Можно получить общие уравнения теплопроводности с одной нашей условием u (x, 0) = g (x) для −∞ < x < ∞ and 0 < t < ∞ by applying a свертка :

$u\; (x,\; t)\; =\; \int \; \Phi \; (x\; -\; y,\; t)\; g\; (y)\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; Phi\; (xy,\; t)\; g\; (y)\; dy.\}$

В пространственных пространственных фундаментальных решениях решает аналогичную задачу

$\{ut\; (Икс,\; Т)\; -\; К\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nuxixi\; (Икс,\; Т)\; знак\; равно\; 0\; (Икс,\; Т)\; \in \; RN\; \times \; (0,\; \infty )\; и\; (Икс,\; 0)\; =\; \delta \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; u\_\; \{t\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; -k\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; u\_\; \{x\_\; \{i\}\; x\_\; \{i\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; 0\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; 0)\; =\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Фундаментальное решение с переменными - это произведено ение фундаментал ьных решений по каждой модели, т. е.

$\Phi \; (x,\; t)\; =\; \Phi \; (x\; 1,\; t)\; \Phi \; (x\; 2,\; t)\dots \; \Phi \; (x\; n,\; t)\; =\; 1\; (4\; \pi \; k\; t)\; n\; exp\; \; (-\; x\; \cdot \; x\; 4\; k\; t).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; \backslash \; Phi\; (x\_\; \{1\},\; t)\; \backslash \; Phi\; (x\_\; \{2\},\; t)\; \backslash \; dots\; \backslash \; Phi\; (x\_\; \{n\},\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(4\; \backslash \; pi\; kt)\; ^\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right).\}$

Общее решение уравнений теплопроводности на R затем получается путем свертки, так что для решения задачи начальные значения с u (x, 0) = g (x ), имеем

$u\; (x,\; t)\; =\; \int \; R\; n\; \Phi \; (x\; -\; y,\; t)\; g\; (y)\; dy.\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; t)\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{\; y\})\; d\; \backslash \; mathbf\; \{y\}.\}$

Общая задача в области Ω в R :

$\{ut\; (x,\; t)\; -\; k\; \sum \; i\; =\; 1\; nuxixi\; (x,\; t)\; знак\; равно\; 0\; (x,\; t)\; \in \; \Omega \; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; x\; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; -k\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; u\_\; \{x\_\; \{i\}\; x\_\; \{i\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; 0\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; 0)\; =\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

с граничными данными Дирихле или Неймана. Функция Грина существует всегда, но если область Ω не может быть легко разложена на задачи с одной (см. Ниже). Другие методы функций Грина включают метод изображений, разделение чисел и преобразование Лапласа (Cole, 2011).

Некоторые решения функции Грина в одномерном пространстве

Здесь представлены решения элементарных функций Грина в одномерном пространстве; многие другие доступны в других местах. В некоторых из них пространственная область равна (−∞, ∞). В других случаях это полубесконечный интервал (0, ∞) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Еще один вариант состоит в том, что некоторые из них решают неоднородное уравнение

$u\; t\; =\; k\; u\; x\; x\; +\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; +\; f.\}$

где f - некоторая заданная функция от x и t.

Однородное уравнение теплопроводности

Начальная задача на (−∞, ∞)

$\{ut\; =\; kuxx\; (x,\; t)\; \in \; R\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (\; Икс)\; IC\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; IC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

$u\; (x,\; t)\; =\; 1\; 4\; \pi \; kt\; \int \; -\; \infty \; \infty \; exp\; \; (-\; (x\; -\; y)\; 2\; 4\; kt)\; g\; (y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\; (xy)\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right)\; g\; (y)\; \backslash ,\; dy\}$

Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: временной ход $\Phi \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x,\; t)\}$. Синий: временной ход $\Phi \; (x\; 0,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x\_\; \{0\},\; t)\}$для двух выбранных точек x 0 = 0,2 и x 0 = 1. Обратите внимание на разные времена нарастания / задержки и амплитуды.. Интерактивная версия.

Комментарий. Это решение представляет собой свертку по стандартным x фундаментальным решениям

$\Phi \; (x,\; t):\; =\; 1\; 4\; \pi \; kt\; exp\; \; (-\; x\; 2\; 4\; kt),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x,\; t):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right),\}$

и функция г (х). (номер функции Грина фундаментальные решения равенства X00.)

соответственно, согласно общим свойствам свертки является относительно дифференцирования, u = g ∗ Φ решением то же уравнение теплопроводности, для

$(\partial \; t\; -\; К\; \partial \; Икс\; 2)\; (\Phi \; \ast \; г)\; знак\; равно\; [(\partial \; T\; -\; К\; \partial \; Икс\; 2)\; \Phi ]\; \ast \; г\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -k\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; (\backslash \; Phi\; *\; g)\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -k\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Phi\; \backslash \; right]\; *\; g\; =\; 0.\; \}$

Кроме того,

$\Phi \; (x,\; t)\; =\; 1\; t\; \Phi \; (xt,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\}\}\},\; 1\; \backslash \; right)\}$

$\int \; -\; \infty \; \infty \; \Phi \; (x,\; t)\; dx\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; Phi\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dx\; =\; 1,\}$

, так что по общим сведениям о приближении к тождество, Φ (⋅, t) ∗ g → g при t → 0 в различных смыслах, в зависимости от конкретного г. Например, если ограниченным и непрерывным на R, то Φ (⋅, t) ∗ g равномерно сходится к g при t → 0, что означает, что u (x, t) непрерывна на R × [0, ∞) с u (x, 0) = g (x).

Начальная задача на (0, ∞) с однородными граничными условиями Дирихле

$\{ut\; =\; kuxx\; (x,\; t)\; \in \; [0,\; \infty )\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (Икс)\; IC\; U\; (0,\; t)\; =\; 0\; BC\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; IC\; \backslash \backslash \; u\; (0,\; t)\; =\; 0\; BC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

$u\; (x,\; t)\; =\; 1\; 4\; \pi \; kt\; \int \; 0\; \infty \; [ехр\; \; (-\; (Икс\; -\; Y)\; 2\; 4\; кт)\; -\; ехр\; \; (-\; (х\; +\; y)\; 2\; 4\; кт)]\; г\; (у)\; dy\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х,\; т)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; y)\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; g\; (y)\; \backslash ,\; dy\}$

Комментарий. Это решение получается из предыдущей формулы применительно к данным g (x), подходящим образом расширенным до R, чтобы быть нечетной функцией, то есть позволяя g (−x): = −g ( x) для всех x. Соответственно, решение начальной задачи на (−∞, ∞) является нечетной функцией по переменной x для всех значений t и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле u (0, t) = 0 Номер функции Грина этого решения - X10.

Начальная задача на (0, ∞) с однородными граничными условиями Неймана

$\{ut\; =\; kuxx\; (x,\; t)\; \in \; [0,\; \infty )\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (Икс)\; IC\; ux\; (0,\; t)\; =\; 0\; BC\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; IC\; \backslash \backslash \; u\_\; \{x\}\; (0,\; t)\; =\; 0\; BC\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

$u\; (x,\; t)\; =\; 1\; 4\; \pi \; kt\; \int \; 0\; \infty \; [ехр\; \; (-\; (x\; -\; y)\; 2\; 4\; kt)\; +\; exp\; \; (-\; (x\; +\; y)\; 2\; 4\; kt)]\; g\; (y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\; \}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; y)\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; g\; (y)\; \backslash ,\; dy\}$

Комментарий. Это получается решение из первой формулы решения применительно к данным g (x), соответствующим образом расширенным до R, чтобы быть четной функцией, то есть позволяя g (−x): = g ( x) для всех x. Соответственно, решение задачи на R является функцией по x для всех значений t>0 и, в частности, является гладким, оно удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана u x (0, t) = 0. Номер функции Грина этого решения равенство X20.

Задача на (0, ∞) с однородными начальными условиями и неоднородными граничными условиями Дирихле

$\{ut\; =\; kuxx\; (x,\; t)\; \in \; [0,\; \infty )\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; Знак\; равно\; 0\; IC\; U\; (0,\; T)\; =\; час\; (t)\; BC\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; (\; 0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; 0\; IC\; \backslash \backslash \; u\; (0,\; t)\; =\; h\; (t)\; BC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

$u\; (x,\; t)\; =\; \int \; 0\; tx\; 4\; \pi \; К\; (T\; -\; s)\; 3\; ехр\; \; (-\; Икс\; 2\; 4\; К\; (T\; -\; s))\; час\; (s)\; DS,\; \forall \; Икс>0\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х,\; т)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; k\; (ts)\; ^\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{4k\; (ts)\; \}\}\; \backslash \; right)\; h\; (s)\; \backslash ,\; ds,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; x>0\}$

Комментарий. Это решение представляет собой свертку по t

$\psi \; (x,\; t):\; Знак\; равно\; -\; 2\; К\; \partial \; Икс\; \Phi \; (Икс,\; T)\; знак\; равно\; Икс\; 4\; \pi \; КТ\; 3\; ехр\; \; (-\; Икс\; 2\; 4\; КТ)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; t):\; =\; -\; 2k\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; \backslash \; Phi\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\; ^\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right)\}$

и функция h (t). Φ (x, t) является фундаментальным решением

$\partial \; t\; -\; k\; \partial \; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -k\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\},\}$

функция ψ ( x, t) также является решением того же уравнения теплопроводности, как и u: = ψ ∗ h, благодаря общим свойствам свертки относительно дифференцирования. Кроме того,

$\psi \; (x,\; t)\; =\; 1\; x\; 2\; \psi \; (1,\; tx\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; \backslash \; left\; (1,\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$\int \; 0\; \infty \; \psi \; (x,\; t)\; dt\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; psi\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; =\; 1,\}$

, так что по общему фактам о приближении к тождеству ψ (x, ⋅) ∗ h → h при x → 0 в различных смыслах, в зависимости от конкретного ч. Например, если h нормальным непрерывным на R с носителем в [0, ∞), то ψ (x, ⋅) ∗ h равномерно сходится на компактах к h при x → 0, что означает, что u (x, t) непрерывна на [0, ∞) × [0, ∞) с u (0, t) = h (t).

Изображено численное решение неоднородного уравнения теплопроводности. Уравнение было решено с 0 начальными и граничными условиями и представляющим горелку.

Неоднородное уравнение теплопроводности

Задача о (-∞, ∞) однородных начальных условий

Комментарий. Это решение представляет собой свертку в R, то есть по обеим переменным x и t, фундаментальные решения

$\Phi \; (x,\; t):\; =\; 1\; 4\; \pi \; kt\; exp\; \; (-\; x\; 2\; 4\; kt)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x,\; t):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right)\}$

и функция f (x, t), обе обозначаются как полностью в целом R и идентично 0 для всех t → 0. Проверяется, что

$(\partial \; T\; -\; К\; \partial \; Икс\; 2)\; (\Phi \; \ast \; е)\; знак\; равно\; е,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -k\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; (\backslash \; Phi\; *\; f)\; =\; f,\}$

, который выражается на языке распределений, становится

$(\partial \; t\; -\; k\; \partial \; x\; 2)\; \Phi \; =\; \delta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -k\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; delta,\}$

где распределение δ - это дельта-функция Дирака, есть оценка в 0.

Проблема на (0, ∞) с однородными граничными условиями Дирихле и начальными условиям

$\{ut\; =\; kuxx\; +\; f\; (x,\; t)\; (x,\; t)\; \in \; [0,\; \infty )\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; =\; 0\; IC\; u\; (0,\; t)\; =\; 0\; BC\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; +\; f\; (x,\; t)\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; 0\; IC\; \backslash \backslash \; u\; (0,\; t)\; =\; 0\; BC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

$u\; (x,\; t)\; =\; \int \; 0\; t\; \int \; 0\; \infty \; 1\; 4\; \pi \; k\; (t\; -\; s)\; (ехр\; \; (-\; (Икс\; -\; Y)\; 2\; 4\; К\; (T\; -\; S))\; -\; ехр\; \; (-\; (Икс\; +\; Y)\; 2\; 4\; К\; (T\; -\; S)))\; е\; (Y,\; s)\; dyds\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х,\; t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; k\; (ts)\}\}\}\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\}\; \{4k\; (ts)\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; y)\; ^\; \{2\}\}\; \{\; 4k\; (ts)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; f\; (y,\; s)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; ds\}$

Комментарий. Это решение получается из предыдущей формулы применительно к данным f (x, t), подходящим образом расширенным до R × [0, ∞), чтобы быть нечетной функцией x, то есть, полагая f (−x, t): = −f (x, t) для всех x и t. Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞, ∞) является нечетной функцией по x для всех значений t и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле u (0, t) = 0.

Задача на (0, ∞)) с однородными граничными условиями Неймана и начальными условиями

$\{ut\; =\; kuxx\; +\; f\; (x,\; t)\; (x,\; t)\; \in \; [0,\; \infty )\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (Икс,\; 0)\; знак\; равно\; 0\; IC\; ux\; (0,\; t)\; знак\; равно\; 0\; BC\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; +\; f\; (x,\; t)\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; 0\; IC\; \backslash \backslash \; u\_\; \{x\}\; (0,\; t)\; =\; 0\; BC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

$u\; (x,\; t)\; =\; \int \; 0\; t\; \int \; 0\; \infty \; 1\; 4\; \pi \; k\; (t\; -\; s)\; (exp\; \; (-\; (x\; -\; y)\; 2\; 4\; k\; (t\; -\; s))\; +\; exp\; \; (-\; (x\; +\; y)\; 2\; 4\; к\; (t\; -\; s)))\; е\; (y,\; s)\; dyds\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; k\; (ts)\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\}\; \{4k\; (ts)\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; y)\; ^\; \{2\}\}\; \{4k\; (ts)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; f\; (y,\; s)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; ds\}$

Комментарий. Это решение получается из первой формулы применительно к данным f (x, t), подходящим образом расширенным до R × [0, ∞), чтобы быть четной функцией x, которая полагается на f (−x, t): = f (x, t) для всех x и t. Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞, ∞) представляет собой четную функцию x для всех значений t, в частности, будучи гладкой функцией, оно удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана u x (0, t) = 0.

Примеры

Буква-уравнение теплопроводности является линейным, можно найти решения других граничных условий, неоднородного члена и начальных условий. взяв соответствующую линейную комбинацию приведенных решений выше функции Грина.

Например, для решения

$\{ut\; =\; kuxx\; +\; f\; (x,\; t)\; \in \; R\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; IC\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; +\; f\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; IC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

пусть u = w + v, где w и v решают задачи

$\{vt\; =\; kvxx\; +\; f,\; wt\; =\; kwxx\; (x,\; t)\; \in \; R\; \times \; (0,\; \infty )\; v\; (Икс,\; 0)\; знак\; равно\; 0,\; вес\; (Икс,\; 0)\; =\; г\; (Икс)\; IC\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; v\_\; \{t\}\; =\; kv\_\; \{xx\}\; +\; f,\; \backslash ,\; w\_\; \{t\}\; =\; kw\_\; \{xx\}\; \backslash ,\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; v\; (x,\; 0)\; =\; 0,\; \backslash ,\; w\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; \backslash ,\; IC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Аналогично, чтобы решить

$\{ut\; =\; kuxx\; +\; f\; (x,\; t)\; \in \; [0,\; \infty )\; \times \; (0,\; \infty )\; u\; (x,\; 0)\; знак\; равно\; g\; (Икс)\; IC\; U\; (0,\; T)\; =\; час\; (T)\; BC\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; u\_\; \{t\}\; =\; ku\_\; \{xx\}\; +\; f\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x)\; IC\; \backslash \backslash \; u\; (0,\; t)\; =\; h\; (t)\; BC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

пусть u = w + v + r, где w, v и r решают задачи

$\{vt\; =\; kvxx\; +\; f,\; wt\; =\; kwxx,\; rt\; =\; krxx\; (x,\; t)\; \in \; [0,\; \infty )\; \times \; (0,\; \infty )\; v\; (x,\; 0)\; =\; 0,\; w\; (\; x,\; 0)\; =\; g\; (x),\; r\; (x,\; 0)\; Знак\; равно\; 0\; IC\; v\; (0,\; t)\; =\; 0,\; вес\; (0,\; t)\; =\; 0,\; r\; (0,\; t)\; =\; h\; (t)\; BC\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; v\_\; \{t\}\; =\; kv\_\; \{xx\}\; +\; f,\; \backslash ,\; w\_\; \{t\}\; =\; kw\_\; \{xx\},\; \backslash ,\; r\_\; \{t\}\; =\; kr\_\; \{xx\}\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; (0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; \backslash \; v\; (x,\; 0)\; =\; 0,\; \backslash ;\; w\; (x,\; 0)\; =\; g\; (x),\; \backslash ;\; г\; (х,\; 0)\; =\; 0\; IC\; \backslash \backslash \; v\; (0,\; t)\; =\; 0,\; \backslash ;\; w\; (0,\; t)\; =\; 0,\; \backslash ;\; r\; (0,\; t)\; =\; h\; (t)\; BC\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Решения уравнений теплопроводности

$(\partial \; T\; -\; \Delta )\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -\; \backslash \; Delta)\; u\; =\; 0\}$

удовлетворяет свойству среднего значения, аналогичным свойствам среднего значения гармоники функции, решения

$\Delta \; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; u\; =\; 0\}$,

, хотя и немного сложнее. Точно, если u решает

$(\partial \; t\; -\; \Delta )\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -\; \backslash \; Delta)\; u\; =\; 0\}$

и

$(x,\; t)\; +\; E\; \lambda \; \subset \; dom\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; t)\; +\; E\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathrm\; \{dom\}\; (u)\}$

, тогда

$u\; (x,\; t)\; =\; \lambda \; 4\; \int \; E\; \lambda \; u\; (x\; -\; y,\; t\; -\; s)\; |\; y\; |\; 2\; s\; 2\; dsdy,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{4\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{E\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}\; u\; (xy,\; ts)\; \{\backslash \; frac\; \{|\; y\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{s\; ^\; \{2\}\}\}\; ds\; \backslash ,\; dy,\}$

где E λ - «тепловой шар», то есть набор суперуровня фундаментального решения уравнения теплопроводности:

$E\; \lambda :\; знак\; равно\; \{(y,\; s):\; \Phi \; (y,\; s)>\lambda \},\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; lambda\}:\; =\; \backslash \; \{(y,\; s)\; \backslash ,:\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (y,\; s)>\backslash \; lambda\; \backslash \},\}$

$\Phi \; (x,\; t):\; =\; (4\; t\; \pi )\; -\; n\; 2\; exp\; \; (-\; |\; x\; |\; 2\; 4\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x,\; t)\; :\; =\; (4t\; \backslash \; pi)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{|\; x\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{4t\}\}\; \backslash \; right).\}$

Обратите внимание, что

$diam\; (E\; \lambda )\; =\; o\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{diam\}\; (E\; \_\; \{\backslash \; lambda\})\; =\; o\; (1)\}$

при λ → ∞, поэтому приведенная выше формула верна для любого (x, t) в (открытом) множестве dom (u) при достаточно большом λ. Это можно показать с помощью рассуждения, аналогичного аналогичного гармонических функций.

Уравнение установившейся теплопроводности по определению не зависит от времени. Другими словами, основными, что существуют такие условия, что:

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; 0\}$

Это условие зависит от времени постоянная и время, прошедшее с момента наложения граничных условий. Таким образом, условие выполняется в ситуации, когда более сложное зависящее от времени уравнение теплопроводности можно было аппроксимировать стационарным случаем. Эквивалентно стационарное состояние существует для всех случаев, когда прошло достаточно времени, чтобы тепловое поле u больше не эволюционировало во времени.

В стационарном пространстве пространственный градиент может (или не может) существовать, но если он есть, он не изменяется во времени. Таким образом, это уравнение приведенного конечного результата всех тепловых проблем, которые включаются источником (например, двигатель запускается в автомобиле), и прошло достаточно времени для того, чтобы все постоянные градиенты температуры установились в пространстве, после чего пространственные градиенты больше не меняются во времени (как и в случае с автомобилем, в котором двигатель проработал достаточно долго). Другое (тривиальное) решение включает в себя том, чтобы также исчезнуть все пространственные градиенты температуры, и в этом случае температура также станет однородной в пространстве.

Уравнение намного проще и может помочь лучше понять физику материалов без акцента на динамике процесса теплопередачи. Он широко используется для решения простых инженерных задач, предполагающих наличие равновесия температурных полей и переноса тепла со временем.

Состояние стабильного состояния:

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; 0\}$

Уравнение стационарной теплопроводности для объема, соответствующего источника тепла (неоднородный случай), представляет собой уравнение Пуассона :

$-\; k\; \nabla \; 2\; u\; =\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; -k\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; u\; =\; q\}$

где u - температура, k - теплопроводность и q - плотность теплового потока источника.

В электростатике это эквивалентно случаю, когда рассматриваемое пространство содержит электрический заряд.

Уравнение стационарной теплопроводности без источника тепла в объеме (однородный случай) - это уравнение в электростатике для объема свободного пространства, не содержащего заряда. Он описывается уравнением Лапласа :

$\nabla \; 2\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; u\; =\; 0\}$

Диффузия частиц

Можно модель частиц диффузия с помощью уравнений, включающего либо:

• объемную концентрацию частиц, обозначенную c, в случае коллективной диффузии большого количества частиц, или
• функция плотности вероятности, связанная с положением отдельных частиц, обозначенной P.

В любом случае используется уравнение теплопроводности

$ct\; =\; D\; \Delta \; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{t\}\; =\; D\; \backslash \; Delta\; c,\; \backslash \; quad\}$

или

$P\; t\; =\; D\; \Delta \; P.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{t\}\; =\; D\; \backslash \; Delta\; P.\; \backslash \; quad\}$

И c, и P - функции положения и времени. D - коэффициент диффузии, который контролирует скорость диффузионного процесса, и обычно выражается в квадрате за секунду. Если коэффициент диффузии D непостоянен, но зависит от c (или P во втором случае), тогда получается уравнение нелинейной диффузии.

Броуновское движение

Пусть случайный процесс $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$быть решением стохастического дифференциального уравнения

$\{d\; X\; t\; =\; 2\; kd\; B\; t\; X\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{\; ll\}\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; X\_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2k\}\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; B\_\; \{t\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{0\}\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right.\}$

где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- это винеровский процесс (стандартное броуновское движение). Тогда функция плотности вероятности для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$задается в любой момент $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$как

$1\; 4\; \pi \; kt\; exp\; \; (-\; x\; 2\; 4\; kt)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; kt\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{4kt\}\}\; \backslash \; right)\}$

который является решением задачи начального значения

$\{ut\; (x,\; t)\; -\; kuxx\; (x,\; t)\; =\; 0,\; (x,\; t)\; \in \; R\; \times \; (0,\; +\; \infty )\; U\; (Икс,\; 0)\; знак\; равно\; \delta \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ll\}\; u\_\; \{t\}\; (x,\; t)\; -ku\_\; \{xx\}\; (x,\; t)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; (x,\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; (0,\; +\; \backslash \; infty)\; \backslash \backslash \; u\; (x,\; 0)\; =\; \backslash \; delta\; (x)\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right.\}$

где $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- дельта-функция Дирака.

Уравнение Шредингера для свободной частицы

Простым делением Уравнение Шредингера для одиночной частицы массы м в отсутствие какого-либо приложенного силового поля можно переписать следующим образом:

$\psi \; t\; =\; i\; \hslash \; 2\; m\; \Delta \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; hbar\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; psi\}$,

, где i - im двоичная единица, ħ - это приведенная постоянная Планка, а ψ - волновая функция частицы.

Это уравнение формально аналогично уравнению диффузии частиц, которое получается с помощью следующего преобразования:

$c\; (R,\; t)\; \to \; \psi \; (R,\; t)\; D\; \to \; i\; \hslash \; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; c\; (\backslash \; mathbf\; \{R\},\; t)\; \backslash \; to\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{R\},\; t)\; \backslash \backslash \; D\; \backslash \; to\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; hbar\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; end\; \{\; выровненный\}\}\}$

Применение этого преобразования к выражениям функций Грина, определенных в случае диффузии частиц, дает функции Грина уравнения Шредингера, которые, в свою очередь, могут использоваться для получения волновая функция в любой момент через интеграл от волновой функции при t = 0:

$\psi \; (R,\; t)\; =\; \int \; \psi \; (R\; 0,\; t\; =\; 0)\; G\; (R\; -\; р\; 0,\; t)\; d\; р\; Икс\; 0\; d\; р\; Y\; 0\; d\; р\; Z\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{R\},\; t)\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{0\},\; т\; =\; 0)\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{0\},\; t)\; dR\_\; \{x\}\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; dR\_\; \{y\}\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; dR\_\; \{z\}\; ^\; \{0\; \},\}$

с

$G\; (R,\; t)\; =\; (m\; 2\; \pi \; i\; \hslash \; t)\; 3/2\; e\; -\; R\; 2\; m\; 2\; i\; \hslash \; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{R\},\; t)\; =\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; hbar\; t\}\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{3/2\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; m\}\; \{2i\; \backslash \; hbar\; t\}\}\}.\}$

Замечание: эта аналогия между квантовой механикой и диффузией носит чисто формальный характер. Физически эволюция волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, могла иметь другое происхождение, кроме диффузии.

Температуропроводность в полимерах

Непосредственным практическим применением уравнения теплопроводности в сочетании с теорией Фурье в сферических координатах является прогнозирование профилей теплопередачи и измерение температуропроводности в полимерах (Unsworth и Duarte ). Этот двойной теоретико-экспериментальный метод применим к резине, различным другим полимерным материалам, представляющим практический интерес, и микрожидкостям. Эти авторы вывели выражение для температуры в центре сферы T C

$TC\; -\; TST\; 0\; -\; TS\; =\; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; exp\; \; (-\; n\; 2\; \pi \; 2\; \alpha \; t\; L\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{C\}\; -T\_\; \{S\}\}\; \{T\_\; \{0\}\; -T\_\; \{S\}\}\}\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{-\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; t\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где T 0 - начальная температура сферы,а T S - температура на поверхности сферы радиуса L. Это уравнение также нашло применение в переносе энергии белками и тепловом моделировании в биофизике..

Дополнительные приложения

Уравнение теплопроводности возникает при моделировании ряда явлений и часто используется в финансовой математике при моделировании варианты. Дифференциальное уравнение известной модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза может быть преобразовано в уравнение теплопроводности, позволяющее относительно легко находить решения на основе знакомой математики. Многие расширения к простым моделям опционов не имеют решений в закрытой форме и поэтому должны решаться численно, чтобы получить смоделированную цену опциона. Уравнение, описывающее диффузию давления в пористой среде, идентично по форме уравнению теплопроводности. Задачи диффузии, относящиеся к Дирихле, Нейману и граничным условиям Робина, имеют аналитические решения в замкнутой форме (Thambynayagam 2011). Уравнение теплопроводности также широко используется в анализе изображений (Perona Malik 1990) и в машинном обучении в качестве движущей теории, лежащей в основе масштабного пространства или лапласиана графа методы. Уравнение теплопроводности можно эффективно решить численно, используя неявный метод Кранка – Николсона из (Crank Nicolson 1947). Этот метод можно распространить на многие модели без решения в закрытой форме, см., Например, (Wilmott, Howison Dewynne 1995).

Абстрактная форма уравнения теплопроводности на многообразиях обеспечивает основной подход к теореме об индексе Атьи – Зингера и привела к дальнейшим исследованиям уравнений теплопроводности в Риманова геометрия.

• Тепловой полином
• Укорачивание кривой потока
• Уравнение диффузии
• Релятивистская теплопроводность
• уравнение Шредингера
• преобразование Вейерштрасса

• Crank, J.; Николсон, П. (1947), «Практический метод численной оценки решений уравнений с частными производными типа теплопроводности», Труды Кембриджского философского общества, 43 (1): 50–67, Bibcode : 1947PCPS... 43... 50C, doi : 10.1017 / S0305004100023197
• Эйнштейн, Альберт (1905), «Über die von der molkularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen», Annalen der Physik, 322 (8): 549–560, Bibcode >1905AnP... 322..549E, doi : 10.1002 / andp.19053220806
• Thambynayagam, RKM (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw- Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
• Perona, P; Малик, Дж. (1990), «Масштабное пространство и обнаружение границ с использованием анизотропной диффузии» (PDF), IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12 (7): 629–639, doi : 10.1109 / 34.56205
• Ансуорт, Дж.; Дуарте, Ф. Дж. (1979), "Распространение тепла в твердой сфере и теория Фурье", Am. J. Phys., 47 (11): 891–893, Bibcode : 1979AmJPh..47..981U, doi : 10.1119 / 1.11601

Учебники

• Кэннон, Джон Розьер (1984), Одномерное уравнение теплопроводности, Энциклопедия математики и ее приложений, 23, Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Издательская компания, Advanced Book Program, ISBN 0-201-13522-1, MR 0747979, Zbl 0567.35001
• Carslaw, HS ; Jaeger, JC (1988), Проводимость тепла в твердых телах, Oxford Science Publications (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368 -9
• Коул, Кевин Д..; Бек, Джеймс V.; Хаджи-Шейх, А.; Литкоухи, Бахан (2011), Теплопроводность с использованием функций Грина, Серия вычислительных и физических процессов в механике и термических науках (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978- 1-43-981354-6
• Эванс, Лоуренс К. (2010), Уравнения в частных производных, Graduate Studies in Mathematics, 19 (2-е изд.), Providence, RI : Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4974-3
• Фридман, Авнер (1964), Уравнения в частных производных параболического типа, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc.
• John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387- 90609-6
• Уиддер, Д.В. (1975), Уравнение теплопроводности, Чистая и прикладная математика, 67, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]
• Wilmott, Paul; Ховисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995), Математика производных финансовых инструментов. Введение для студентов, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49699-3

В Викиверситете есть учебные ресурсы по уравнению тепла

Викискладе есть материалы, связанные с уравнением теплопроводности.

• Вывод уравнения теплопроводности
• Линейные уравнения теплопроводности : частные решения и краевые задачи - из EqWorld
• «Уравнение тепла». PBS Бесконечная серия. 17 ноября 2017 г. - через YouTube.