Ток вероятности

редактировать

В квантовой механике ток вероятности (иногда называемый вероятностью поток ) - математическая величина, описывающая поток вероятности в терминах вероятности в единицу времени на единицу площади. В частности, если описывать плотность вероятности как гетерогенную текучую среду, то ток вероятности представляет собой скорость потока этой текучей среды. Это аналогично массовым токам в гидродинамике и электрическим токам в электромагнетизме. Это реальный вектор, например, электрический плотность тока. Концепция тока вероятности - полезный формализм в квантовой механике. Ток вероятности инвариант относительно Преобразования датчика.

Содержание

1 Определение (нерелятивистский 3-ток)
- 1.1 Частица со свободным спином 0
- 1.2 Спин-0 частица в электромагнитном поле
- 1.3 Спиновая частица в электромагнитном поле
2 Связь с классической механикой
3 Мотивация
- 3.1 Уравнение непрерывности для квантовой механики
- 3.2 Передача и отражение через потенциалы
4 Примеры
- 4.1 Плоская волна
- 4.2 Частица в коробке
5 Дискретное определение
6 Ссылки

Определение (нерелятивистский 3-токовый)

Свободное вращение-0 частица

. В нерелятивистской квантовой механике ток вероятности j волновой функции $Ψ {\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ в одном измерении определяется как

j = ℏ 2 mi (Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x - Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ x), {\ displaystyle j = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial x}} - \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial x}} \ right),}

{ \ Displaystyle J = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial x}} - \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial x}} \ right),}

где $Ψ ∗ {\ displaystyle \ Psi ^ {*}}$ $\ Psi ^ {*}$ обозначает комплексное сопряжение волновой функции , пропорциональное вронскиану $W (Ψ, Ψ ∗) {\ displaystyle W (\ Psi, \ Psi ^ {*})}$ ${\ displaystyle W (\ Psi, \ Psi ^ {*})}$ .

В трех измерениях это обобщается до

j = ℏ 2 mi (Ψ ∗ ∇ Ψ - Ψ ∇ Ψ *), {\ Displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf { \ nabla} \ Psi ^ {*} \ right) \,,}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {* } \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ nabla} \ Psi ^ {*} \ right) \,,}

где ħ - приведенная постоянная Планка, m - масса частицы, Ψ - волновая функция, а ∇ обозначает оператор del или градиента .

Это можно упростить в терминах оператора кинетического импульса,

p ^ = - я ℏ ∇ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p }} = -i \ hbar \ nabla}

, чтобы получить

j = 1 2 m (Ψ ∗ p ^ Ψ - Ψ p ^ Ψ ∗). {\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}) } \ Psi ^ {*} \ right) \,.}

{\ mathbf j} = {\ frac {1} {2m}} \ left (\ Psi ^ {*} {\ mathbf {{\ hat {p}}}} \ Psi - \ Psi {\ mathbf {{\ hat {p}) }}} \ Psi ^ {*} \ right) \,.

В этих определениях используется позиционный базис (т.е. для волновой функции в позиционном пространстве ), но импульсное пространство возможно.

Частица со спином 0 в электромагнитном поле

Приведенное выше определение следует изменить для системы во внешнем электромагнитном поле. В единицах СИ, заряженная частица массы m и электрический заряд q включает член, обусловленный взаимодействием с электромагнитным полем;

j = 1 2 m [(Ψ ∗ p ^ Ψ - Ψ p ^ Ψ ∗) - 2 q A | Ψ | 2] {\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf { \ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!}

{\ mathbf j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} {\ mathbf { {\ hat {p}}}} \ Psi - \ Psi {\ mathbf {{\ hat {p}}}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q {\ mathbf {A}} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!

где A= A(r, t) - магнитный потенциал (он же «A -поле»). Член q A имеет измерения количества движения. Обратите внимание, что $p ^ = - i ℏ ∇ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p }} = -i \ hbar \ nabla}$ , здесь используется канонический импульс и не является калибровочным инвариантом, в отличие от оператора кинетического импульса $P ^ = - i ℏ ∇ - q A {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {P}} = - i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {P}} = -i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}}$ .

В гауссовых единицах :

j = 1 2 m [(Ψ ∗ p ^ Ψ - Ψ p ^ Ψ ∗) - 2 qc A | Ψ | 2] {\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf { \ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} {c}} \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!}

{\ mathbf j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ { *} {\ mathbf {{\ hat {p}}}} \ Psi - \ Psi {\ mathbf {{\ hat {p}}}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} {c}} {\ mathbf {A}} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!

где c - скорость света.

Спин-s частица в электромагнитном поле

Если частица имеет спин, она имеет соответствующий магнитный момент, поэтому необходимо добавить дополнительный член, включающий спиновое взаимодействие с электромагнитным полем. В единицах СИ:

j = 1 2 m [(Ψ ∗ p ^ Ψ - Ψ p ^ Ψ ∗) - 2 q A | Ψ | 2] + μ S s ∇ × (Ψ ∗ S Ψ) {\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] + {\ frac { \ mu _ {S}} {s}} \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} \ mathbf {S} \ Psi) \, \!}

{\ mathbf j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} {\ mathbf {{\ hat {p}}}}} \ Psi - \ Psi {\ mathbf {{\ hat {p}}}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q {\ mathbf {A}} | \ Psi | ^ {2} \ right] + {\ frac {\ mu _ {S}} {s} } \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} {\ mathbf {S}} \ Psi) \, \!

где S - это вектор спина частицы с соответствующим спиновым магнитным моментом μ S и квантовым числом спина s. В гауссовых единицах:

j = 1 2 m [(Ψ ∗ p ^ Ψ - Ψ p ^ Ψ ∗) - 2 q c A | Ψ | 2] + μ S CS ∇ × (Ψ ∗ S Ψ) {\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} {c}} \ mathbf {A} | \ Psi | ^ { 2} \ right] + {\ frac {\ mu _ {S} c} {s}} \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} \ mathbf {S} \ Psi) \, \!}

{\ mathbf j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {* } {\ mathbf {{\ hat {p}}}} \ Psi - \ Psi {\ mathbf {{\ hat {p}}}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} { c}} {\ mathbf {A}} | \ Psi | ^ {2} \ right] + {\ frac {\ mu _ {S} c} {s}} \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} { \ mathbf {S}} \ Psi) \, \!

Подключение с классической механикой

Волновая функция также может быть записана в комплексной экспоненциальной (полярной ) форме:

Ψ = R ei S / ℏ {\ displaystyle \ Psi = Re ^ {iS / \ hbar}}

\ Psi = Re ^ {{iS / \ hbar}}

где R и S - действительные функции от r и t.

Записанная таким образом плотность вероятности равна

ρ = Ψ ∗ Ψ = R 2 {\ displaystyle \ rho = \ Psi ^ {*} \ Psi = R ^ {2}}

\ rho = \ Psi ^ {*} \ Psi = R ^ {2}

и ток вероятности составляет:

j = ℏ 2 mi (Ψ ∗ ∇ Ψ - Ψ ∇ Ψ ∗) = ℏ 2 mi (R e - i S / ℏ ∇ R ei S / ℏ - R ei S / ℏ ∇ R e - i S / ℏ) = ℏ 2 mi [R e - i S / ℏ (ei S / ℏ ∇ R + i ℏ R ei S / ℏ ∇ S) - R ei S / ℏ (e - i S / ℏ ∇ R - i ℏ R e - i S / ℏ ∇ S)]. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {j} = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf { \ nabla} \ Psi ^ {*} \ right) \\ [5pt] = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {iS / \ hbar} -Re ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {- iS / \ hbar} \ right) \\ [5pt] = {\ frac {\ hbar} {2mi} } \ left [Re ^ {- iS / \ hbar} (e ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R + {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) -Re ^ {iS / \ hbar} (e ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R - {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) \ right]. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ ma thbf {j} = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ nabla} \ Psi ^ {*} \ справа) \\ [5pt] = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {iS / \ hbar} -Re ^ { iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {- iS / \ hbar} \ right) \\ [5pt] = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [Re ^ {- iS / \ hbar} (e ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R + {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) -Re ^ { iS / \ hbar} (e ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R - {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) \ right]. \ end {align}}}

Экспоненты и члены R∇R сокращаются:

= ℏ 2 mi [i ℏ R 2 ∇ S + i ℏ R 2 ∇ S]. {\ displaystyle = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S + {\ frac {i} {\ hbar }} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S \ right].}

{\ displaystyle = {\ frac { \ hbar} {2mi}} \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S + {\ frac {i} {\ hbar}} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S \ right].}

Наконец, комбинируя и сокращая константы, и заменяя R на ρ,

j = ρ ∇ S m. {\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho {\ frac {\ mathbf {\ nabla} S} {m}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho {\ frac {\ mathbf { \ nabla} S} {m}}.}

Если мы возьмем знакомую формулу для тока:

j = ρ v, {\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v},}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v},}

где v - скорость частицы (также групповая скорость волны), мы можем связать скорость с ∇S / m, что то же самое, что приравнять ∇S к классическому импульсу p = m v . Эта интерпретация соответствует теории Гамильтона – Якоби, в которой

p = ∇ S {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ nabla S}

{\ mathbf {p}} = \ nabla S

в декартовых координатах задается как ∇S, где S - основная функция Гамильтона.

Мотивация

Уравнение непрерывности для квантовой механики

Определение вероятностного тока и уравнение Шредингера можно использовать для вывода уравнения неразрывности, который имеет те же формы, что и для гидродинамики и электромагнетизма :

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ частичный t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} = 0}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf j} = 0

, где плотность вероятности $ρ {\ displaystyle \ rho \,}$ $\ rho \,$ определяется как

ρ (r, t) = | Ψ | 2 знак равно Ψ ∗ (г, T) Ψ (г, T) {\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | \ Psi | ^ {2} = \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r }, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \,}

\ rho ({\ mathbf {r}}, t) = | \ Psi | ^ {2} = \ Psi ^ {*} ({\ mathbf {r}}, t) \ Psi ({\ mathbf {r}}, t) \,

Если бы можно было проинтегрировать обе части уравнения неразрывности по объему, так что

∫ V (∂ | Ψ | 2 ∂ T) d V + ∫ V (∇ ⋅ J) d V = 0 {\ displaystyle \ int _ {V} \ left ({\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} \ right) \ mathrm {d} V + \ int _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} \ right) \ mathrm {d} V = 0}

\ int _ {V} \ left ({\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} \ right) {\ mathrm {d}} V + \ int _ {V} \ left ({\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf j} \ right) {\ mathrm {d}} V = 0

, затем теорема о расходимости означает, что уравнение неразрывности эквивалентно интегральному уравнению

∂ ∂ t ∫ V | Ψ | 2 d В + {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} | \ Psi | ^ {2} \ mathrm {d} V +}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} | \ Psi | ^ {2} {\ mathrm { d}} V +

$\ oiint$

S {\ displaystyle \ scriptstyle S}

\ scriptstyle S

j ⋅ d S = 0 {\ displaystyle \ mathbf {j} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}

{\ mathbf j} \ cdot {\ mathrm {d}} {\ mathbf {S}} = 0

где V - любой объем, а S - граница V Это закон сохранения вероятности в квантовой механике.

В частности, если Ψ - волновая функция, описывающая отдельную частицу, интеграл в первом члене предыдущего уравнения, без производной по времени, представляет собой вероятность получения значения в пределах V, когда положение частицы измеряется. Второе слагаемое - это скорость, с которой вероятность истекает из объема V. В целом уравнение утверждает, что производная по времени вероятности частицы, измеряемой в V, равна скорости, с которой вероятность перетекает в V

Передача и отражение через потенциалы

В областях, где возникает ступенчатый потенциал или потенциальный барьер, ток вероятности связан с коэффициентами передачи и отражения, соответственно Т и R; они измеряют степень отражения частиц от потенциального барьера или прохождения через него. Оба удовлетворяют:

T + R = 1, {\ displaystyle T + R = 1 \,,}

T + R = 1 \,,

где T и R могут быть определены как:

T = | дж т р а н с | | j i n c |, R = | j r e f | | j i n c |, {\ displaystyle T = {\ frac {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {trans}} |} {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} |}} \,, \ quad R = {\ frac {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {ref}} |} {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} |}} \,,}

T = {\ frac {| {\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {trans}}} |} {| {\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {inc}}} |}} \,, \ quad R = {\ frac {| {\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {ref}}} |} {| {\ mathbf {j}} _ { {\ mathrm {inc}} |}} \,,

где j inc, j ref и j trans - это падающий, отраженный и прошедший вероятностные токи соответственно, а вертикальные полосы указывают величины тока векторы. Связь между T и R может быть получена из сохранения вероятности:

j t r a n s + j r e f = j i n c. {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {\ mathrm {trans}} + \ mathbf {j} _ {\ mathrm {ref}} = \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \,.}

{\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {trans}}} + {\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {ref}}} = {\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {inc}}} \,

В терминах единичного вектора nнормали к преграде это эквивалентно:

T = | Дж т р а н с ⋅ н дж и н с п |, R = | j r e f ⋅ n j i n c ⋅ n |, {\ displaystyle T = \ left | {\ frac {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {trans}} \ cdot \ mathbf {n}} {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \ cdot \ mathbf {n}}} \ right | \,, \ qquad R = \ left | {\ frac {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {ref}} \ cdot \ mathbf {n}} {\ mathbf {j } _ {\ mathrm {inc}} \ cdot \ mathbf {n}}} \ right | \,,}

T = \ left | {\ frac {{{ \ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {trans}}} \ cdot {\ mathbf { n}}} {{\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {inc}}} \ cdot {\ mathbf {n}}}} \ right | \,, \ qquad R = \ left | {\ frac { {\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {ref}}} \ cdot {\ mathbf {n}}} {{\ mathbf {j}} _ {{\ mathrm {inc}}} \ cdot {\ mathbf {n}}}} \ справа | \,,

где абсолютные значения требуются для предотвращения отрицательных значений T и R.

Примеры

Плоская волна

Для плоской волны, распространяющейся в пространстве:

Ψ (r, t) = A ei (k ⋅ р - ω T) {\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \, Ae ^ {я (\ mathbf {k} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ omega t)}}

\ Psi ({\ mathbf {r}}, t) = \, Ae ^ {{i ({\ mathbf {k}} \ cdot {{\ mathbf {r}}} - \ omega t)}}

плотность вероятности везде постоянна;

ρ (r, t) = | А | 2 → ∂ | Ψ | 2 ∂ T знак равно 0 {\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | A | ^ {2} \ rightarrow {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = 0}

\ rho ({\ mathbf {r}}, t) = | A | ^ {2} \ rightarrow {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = 0

(то есть плоские волны - это стационарные состояния ), но ток вероятности отличен от нуля - квадрат абсолютной амплитуды волны, умноженный на скорость частицы;

j (r, t) = | А | 2 ℏ км знак равно ρ pm = ρ v {\ displaystyle \ mathbf {j} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) = \ left | A \ right | ^ {2} {\ hbar \ mathbf {k} \ over m} = \ rho {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} = \ rho \ mathbf {v}}

{\ mathbf {j}} \ left ({ \ mathbf {r}}, t \ right) = \ left | A \ right | ^ {2} {\ hbar {\ mathbf {k}} \ over m} = \ rho {\ frac {{\ mathbf {p} }} {m}} = \ rho {\ mathbf {v}}

, иллюстрирующий, что частица может двигаться, даже если ее пространственная плотность вероятности не имеет явного временная зависимость.

Частица в ящике

Для частицы в ящике, в одном пространственном измерении и длины L, ограниченной областью;

0 < x < L {\displaystyle 0

0 <x <L \, \!

собственные состояния энергии:

Ψ n = 2 L sin ⁡ (n π L x) {\ displaystyle \ Psi _ {n} = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi} {L}} x \ right)}

\ Psi _ {n} = {\ sqrt {{\ frac {2} {L}}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi} {L}} x \ right)

и ноль в другом месте. Соответствующие токи вероятности равны

jn = i ℏ 2 m (Ψ n ∗ ∂ Ψ n ∂ x - Ψ n ∂ Ψ n ∗ ∂ x) = 0 {\ displaystyle j_ {n} = {\ frac {i \ hbar } {2m}} \ left (\ Psi _ {n} ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n}} {\ partial x}} - \ Psi _ {n} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n} ^ {*}} {\ partial x}} \ right) = 0}

{\ displaystyle j_ {n} = { \ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ Psi _ {n} ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n}} {\ partial x}} - \ Psi _ {n} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n} ^ {*}} {\ partial x}} \ right) = 0}

, поскольку

Ψ n = Ψ n ∗ {\ displaystyle \ Psi _ {n} = \ Psi _ { n} ^ {*}}

\ Psi _ {n} = \ Psi _ {n} ^ {*}

Дискретное определение

Для частицы в одном измерении на $ℓ 2 (Z) {\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right)}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right)}$ , у нас есть гамильтониан $H = - Δ + V {\ displaystyle H = - \ Delta + V}$ ${\ displaystyle H = - \ Delta + V}$ , где $- Δ ≡ 2 I - S - S ∗ {\ displaystyle - \ Delta \ Equiv 2I-SS ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle - \ Delta \ Equiv 2I-SS ^ {\ ast}}$ - дискретный лапласиан, где $S {\ displaystyle S}$ $S$ - оператор сдвига вправо на $ℓ 2 (Z) {\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right)}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right)}$ . Тогда ток вероятности определяется как $j ≡ 2 ℑ {Ψ ¯ iv Ψ} {\ displaystyle j \ Equiv 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} iv \ Psi \}}$ ${\ displaystyle j \ Equiv 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} iv \ Psi \}}$ с $v {\ displaystyle v}$ $v$ оператором скорости, равным $v ≡ - i [X, H] {\ displaystyle v \ Equiv -i [X, \, H ]}$ ${ \ Displaystyle v \ Equiv -i [X, \, H]}$ и $X {\ displaystyle X}$ $X$ - оператор позиции на $ℓ 2 (Z) {\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right)}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right)}$ . Поскольку $V {\ displaystyle V}$ $V$ обычно является оператором умножения на $ℓ 2 (Z) {\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right) }$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ right)}$ , мы можем безопасно написать $- i [X, H] = - i [X, - Δ] = - i [X, - S - S ∗] = i S - i S * {\ Displaystyle -i [X, \, H] = - я [X, \, - \ Delta] = - я \ left [X, \, - SS ^ {\ ast} \ right] = iS-iS ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle -i [X, \, H] = - i [X, \, - \ Delta] = - i \ left [ X, \, - SS ^ {\ ast} \ right] = iS-iS ^ {\ ast}}$ .

В результате находим: $j (x) ≡ 2 ℑ {Ψ ¯ (x) iv Ψ (x)} = 2 ℑ {Ψ ¯ (x) ((- S Ψ) (x) + (S ∗ Ψ) (x))} знак равно 2 ℑ {Ψ ¯ (x) (- Ψ (x - 1) + Ψ (x + 1))} {\ displaystyle j \ left (x \ right) \ Equiv 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} (x) iv \ Psi (x) \} = 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} (x) \ left (( -S \ Psi) (x) + (S ^ {\ ast} \ Psi) (x) \ right) \} = 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} (x) \ left (- \ Psi (x-1) + \ Psi (x + 1) \ right) \}}$ ${\ displaystyle j \ left (x \ right) \ эквив 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} (x) iv \ Psi (x) \} = 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} (x) \ left ((- S \ Psi) (x) + (S ^ {\ ast} \ Psi) (x) \ right) \} = 2 \ Im \ {{\ bar {\ Psi}} (x) \ left (- \ Psi (x-1) + \ Psi (x + 1) \ right) \}}$

Ссылки

Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0