Калибровочная теория

редактировать
Физическая теория с полями, инвариантными под действием локальных "калибровочных" групп Ли

В физике, калибровочная теория - это тип теории поля, в которой лагранжиан не изменяется (является инвариантным ) при локальные преобразования из определенных групп Ли.

Термин «калибр» относится к любому конкретному математическому формализму, регулирующему избыточные степени свободы в лагранжиане. Преобразования между возможными калибровками, называемые калибровочными преобразованиями, образуют группу Ли, называемую группой симметрии или калибровочной группой теории. С любой группой Ли связана алгебра Ли образующих групп. Для каждого генератора группы обязательно возникает соответствующее поле (обычно векторное поле ), называемое калибровочным полем. Калибровочные поля включены в лагранжиан, чтобы гарантировать его инвариантность относительно преобразований локальной группы (так называемая калибровочная инвариантность). Когда такая теория квантована, кванты калибровочных полей называются калибровочными бозонами. Если группа симметрии некоммутативна, то калибровочная теория называется неабелевой калибровочной теорией, обычным примером является теория Янга – Миллса.

Многие мощные теории в физике описываются лагранжианами, которые инвариантны относительно некоторых групп преобразований симметрии. Когда они инвариантны относительно преобразования, идентично выполняемого в каждой точке в пространстве-времени, в котором происходят физические процессы, говорят, что они обладают глобальной симметрией. Локальная симметрия, краеугольный камень калибровочных теорий, является более сильным ограничением. Фактически, глобальная симметрия - это просто локальная симметрия, параметры группы которой фиксированы в пространстве-времени (точно так же, как постоянное значение может пониматься как функция определенного параметра, выход которого всегда один и тот же).

Калибровочные теории важны как успешные теории поля, объясняющие динамику элементарных частиц. Квантовая электродинамика - это абелева калибровочная теория с группой симметрии U (1) и одно калибровочное поле, электромагнитное поле. четырехпотенциал, где фотон является калибровочным бозоном. Стандартная модель является неабелевой калибровочной теорией с группой симметрии U (1) × SU (2) × SU (3) и имеет общую двенадцати калибровочных бозонов: фотон, три слабых бозона и восемь глюонов.

Калибровочные теории также важны для объяснения гравитации в теории общая теория относительности. Его случай несколько необычен, поскольку калибровочное поле представляет собой тензор, тензор Ланцоша. Теории квантовой гравитации, начиная с теории калибровочной гравитации, также постулируют существование калибровочного бозона, известного как гравитон. Калибровочные симметрии можно рассматривать как аналоги принципа общей ковариантности общей теории относительности, в котором система координат может быть выбрана свободно при произвольных диффеоморфизмах пространства-времени. И калибровочная инвариантность, и инвариантность к диффеоморфизму отражают избыточность в описании системы. Альтернативная теория гравитации, калибровочная теория гравитации, заменяет принцип общей ковариантности истинным калибровочным принципом с новыми калибровочными полями.

Исторически эти идеи были впервые сформулированы в контексте классического электромагнетизма, а затем в общей теории относительности. Однако современное значение калибровочных симметрий впервые появилось в релятивистской квантовой механике электронов - квантовой электродинамике, подробно описанной ниже. Сегодня калибровочные теории полезны в конденсированной среде, ядерной и физике высоких энергий, а также в других областях.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Описание
    • 2.1 Глобальная и локальная симметрия
      • 2.1.1 Глобальная симметрия
      • 2.1.2 Пример глобальной симметрии
      • 2.1.3 Локальная симметрия
        • 2.1.3.1 Использование пучков волокон для описания локальных симметрий
    • 2.2 Калибровочные поля
    • 2.3 Физические эксперименты
    • 2.4 Теории континуума
    • 2.5 Квантовые теории поля
  • 3 Классическая калибровочная теория
    • 3.1 Классический электромагнетизм
    • 3.2 Пример: скалярная калибровочная теория O (n)
    • 3.3 Лагранжиан Янга – Миллса для калибровочного поля
    • 3.4 Пример: электродинамика
  • 4 Математический формализм
  • 5 Квантование калибровочных теорий
    • 5.1 Методы и цели
    • 5.2 Аномалии
  • 6 Чистая калибровка
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки
  • 9 Библиография
  • 10 Внешние ссылки

История

самой ранней теорией поля, имеющей калибровочную симметрию, была формулировка Максвелла в 1864–1865 гг. электродинамикиДинамическая теория электромагнитного поля »), которая заявил, что любое векторное поле, ротор которого обращается в нуль - и поэтому обычно может быть записано как градиент функции - может быть добавлен к векторному потенциалу, не влияя на магнитное поле. Важность этой симметрии оставалась незамеченной в самых ранних формулировках. Точно так же незамеченным Гильберт вывел уравнения поля Эйнштейна, постулируя инвариантность действия относительно общего преобразования координат. Позже Герман Вейль, пытаясь объединить общую теорию относительности и электромагнетизм, предположил, что Eichinvarianz или инвариантность при изменении масштаба (или «калибровка») также может быть локальной симметрией общей теории относительности. После разработки квантовой механики Вейль, Владимир Фок и Фриц Лондон изменили калибровку, заменив масштабный коэффициент на комплексную величину и превратил масштабное преобразование в изменение фазы, что является калибровочной симметрией U (1). Это объясняет влияние электромагнитного поля на волновую функцию заряженной квантово-механической частицы. Это была первая широко признанная калибровочная теория, популяризированная Паули в 1941 году.

В 1954 году, пытаясь разрешить некоторую большую путаницу в физике элементарных частиц, Чен Нин Ян и Роберт Миллс представили неабелевы калибровочные теории в качестве моделей для понимания сильного взаимодействия, удерживающего вместе нуклоны в атомной ядра. (Рональд Шоу, работавший под руководством Абдуса Салама, независимо ввел то же понятие в свою докторскую диссертацию.) Обобщая калибровочную инвариантность электромагнетизма, они попытались построить теорию, основанную на действии (неабелевского) Группа симметрии SU (2) на дублете изоспина из протонов и нейтронов. Это похоже на действие группы U (1) на спинорные поля в квантовой электродинамике. В физике элементарных частиц упор делался на использование квантованных калибровочных теорий.

Эта идея позже нашла применение в квантовой теории поля из слабого взаимодействия и его объединении с электромагнетизмом в электрослабая теория. Калибровочные теории стали еще более привлекательными, когда стало известно, что неабелевы калибровочные теории воспроизводят свойство, называемое асимптотической свободой. Асимптотическая свобода считалась важной характеристикой сильных взаимодействий. Это мотивировало поиски сильной калибровочной теории силы. Эта теория, теперь известная как квантовая хромодинамика, представляет собой калибровочную теорию с действием группы SU (3) на цветной триплет кварков. Стандартная модель объединяет описание электромагнетизма, слабых и сильных взаимодействий на языке калибровочной теории.

В 1970-х годах Майкл Атия начал изучать математику решений классических уравнений Янга – Миллса. В 1983 году ученик Атьи Саймон Дональдсон на основе этой работы показал, что дифференцируемая классификация гладких 4- многообразий очень отличается от их классификация от до гомеоморфизма. Майкл Фридман использовал работу Дональдсона для демонстрации экзотических Rs, то есть экзотических дифференцируемых структур на евклидовом 4-мерном пространстве. Это привело к росту интереса к калибровочной теории как таковой, независимо от ее успехов в фундаментальной физике. В 1994 году Эдвард Виттен и Натан Зайберг изобрели калибровочно-теоретические методы, основанные на суперсимметрии, которые позволили вычислить некоторые топологические инварианты ( инварианты Зайберга – Виттена ). Этот вклад в математику со стороны калибровочной теории привел к возобновлению интереса к этой области.

Важность калибровочных теорий в физике подтверждается огромным успехом математического формализма в обеспечении единой основы для описания квантовых теорий поля из электромагнетизма, слабая сила и сильная сила. Эта теория, известная как Стандартная модель, точно описывает экспериментальные предсказания относительно трех из четырех фундаментальных сил природы и является калибровочной теорией с калибровочной группой SU (3) × SU (2) × U (1). Современные теории, такие как теория струн, а также общая теория относительности, так или иначе являются калибровочными теориями.

Подробнее об истории калибровочных и квантовых теорий поля см. Пикеринг.

Описание

Глобальные и локальные симметрии

Глобальная симметрия

В физике математическое описание любой физической ситуации обычно содержит избыточные степеней свободы ; одна и та же физическая ситуация одинаково хорошо описывается многими эквивалентными математическими конфигурациями. Например, в ньютоновской динамике, если две конфигурации связаны посредством преобразования Галилея (инерциальное изменение системы отсчета), они представляют одну и ту же физическую ситуацию. Эти преобразования образуют группу «симметрий » теории, и физическая ситуация соответствует не отдельной математической конфигурации, а классу конфигураций, связанных друг с другом этой группой симметрии..

Эту идею можно обобщить, включив в нее как локальную, так и глобальную симметрию, аналогично гораздо более абстрактным «изменениям координат» в ситуации, когда нет предпочтительной системы координат «инерциальной », которая охватывает всю физическую систему. Калибровочная теория - это математическая модель, которая обладает симметриями такого рода, а также набором методов для обеспечения физических предсказаний, согласующихся с симметриями модели.

Пример глобальной симметрии

Когда величина, встречающаяся в математической конфигурации, является не просто числом, но имеет некоторое геометрическое значение, например скорость или ось вращения, ее представление в виде чисел, упорядоченных в векторе или матрице также изменяется преобразованием координат. Например, если в одном из описаний модели потока жидкости указано, что скорость жидкости в окрестности (x = 1, y = 0) составляет 1 м / с в положительном направлении x, то описание той же ситуации, в которой система координат была повернута по часовой стрелке на 90 градусов, это означает, что скорость жидкости в окрестности (x = 0, y = 1) составляет 1 м / с в положительном направлении y. Преобразование координат повлияло как на систему координат, используемую для определения местоположения измерения, так и на основу, в которой выражается его значение. Пока это преобразование выполняется глобально (влияя на базис координат одинаково в каждой точке), влияние на значения, представляющие скорость изменения некоторой величины вдоль некоторого пути в пространстве и времени, когда она проходит через точку P, является то же, что и влияние на значения, которые действительно локальны для P.

Локальная симметрия

Использование пучков волокон для описания локальной симметрии

Чтобы адекватно описать физические ситуации в более В сложных теориях часто бывает необходимо ввести «координатную основу» для некоторых объектов теории, которые не имеют такого простого отношения к координатам, используемым для обозначения точек в пространстве и времени. (В математических терминах теория включает в себя пучок волокон , в котором волокно в каждой точке базового пространства состоит из возможных баз координат для использования при описании значений объектов в этой точке.) В математической конфигурации необходимо выбрать конкретный базис координат в каждой точке (локальный участок пучка волокон) и выразить значения объектов теории (обычно «поля » в физическом смысле) используя эту основу. Две такие математические конфигурации эквивалентны (описывают одну и ту же физическую ситуацию), если они связаны преобразованием этого абстрактного координатного базиса (изменение локального сечения или калибровочное преобразование).

В большинстве калибровочных теорий набор возможных преобразований абстрактного калибровочного базиса в отдельной точке пространства и времени является конечномерной группой Ли. Простейшей такой группой является U (1), которая появляется в современной формулировке квантовой электродинамики (КЭД) посредством использования комплексных чисел. КЭД обычно считается первой и простейшей физической калибровочной теорией. Набор возможных калибровочных преобразований всей конфигурации данной калибровочной теории также образует группу, калибровочную группу теории. Элемент калибровочной группы может быть параметризован плавно изменяющейся функцией от точек пространства-времени до (конечномерной) группы Ли, так что значение функции и ее производных в каждой точке представляет действие калибровочного преобразования на волокно над этой точкой.

Калибровочное преобразование с постоянным параметром в каждой точке пространства и времени аналогично жесткому вращению геометрической системы координат; он представляет глобальную симметрию калибровочного представления. Как и в случае жесткого вращения, это калибровочное преобразование влияет на выражения, которые представляют скорость изменения вдоль пути некоторой зависящей от калибровки величины, точно так же, как и те, которые представляют действительно локальную величину. Калибровочное преобразование, параметр которого не является постоянной функцией, называется локальной симметрией ; его влияние на выражения, содержащие производную, качественно отличается от воздействия на выражения, которые не содержат. (Это аналогично неинерциальному изменению системы отсчета, которое может вызвать эффект Кориолиса.)

Измерительные поля

"калибровочно-ковариантная" версия Калибровочная теория объясняет этот эффект, вводя калибровочное поле (на математическом языке, связь Эресмана ) и формулируя все скорости изменения в терминах ковариантной производной по отношению к этой связи. Калибровочное поле становится важной частью описания математической конфигурации. Конфигурация, в которой калибровочное поле может быть устранено калибровочным преобразованием, имеет свойство, заключающееся в том, что ее напряженность поля (на математическом языке, ее кривизна ) везде равна нулю; калибровочная теория не ограничивается этими конфигурациями. Другими словами, отличительной чертой калибровочной теории является то, что калибровочное поле не просто компенсирует плохой выбор системы координат; обычно не существует калибровочного преобразования, обращающего в нуль калибровочное поле.

При анализе динамики калибровочной теории, калибровочное поле должно рассматриваться как динамическая переменная, как и другие объекты в описании физической ситуации. В дополнение к своему взаимодействию с другими объектами через ковариантную производную калибровочное поле обычно вносит вклад энергии в форме члена «собственной энергии». Уравнения калибровочной теории можно получить следующим образом:

  • исходя из наивного анзаца без калибровочного поля (в котором производные представлены в «голой» форме);
  • перечислением те глобальные симметрии теории, которые могут быть охарактеризованы непрерывным параметром (обычно абстрактным эквивалентом угла поворота);
  • вычисление поправочных членов, которые являются результатом разрешения параметра симметрии изменяться от места к месту; и
  • переосмысление этих поправочных терминов как связи с одним или несколькими калибровочными полями и придание этим полям соответствующих терминов собственной энергии и динамического поведения.

В этом смысле калибровочная теория «расширяет» глобальную симметрия к локальной симметрии и очень напоминает историческое развитие калибровочной теории гравитации, известной как общая теория относительности.

Физические эксперименты

Калибровочные теории, используемые для моделирования результатов физических экспериментов, включают:

  • ограничивая вселенную возможных конфигураций теми, которые согласуются с информацией, использованной для постановки эксперимента, а затем
  • вычисляя распределение вероятностей возможных результатов, для измерения которых предназначен эксперимент.

Мы не можем выражать математические описания «информации о настройке» и «возможных результатов измерения» или «граничных условий» эксперимента без ссылки на конкретную систему координат, включая выбор датчика. Предполагается, что адекватный эксперимент изолирован от «внешнего» влияния, что само по себе является калибровочно-зависимым утверждением. Неправильное выполнение расчетов калибровочной зависимости в граничных условиях является частым источником аномалий, а подходы к предотвращению аномалий классифицируют калибровочные теории.

Теории континуума

Две упомянутые выше калибровочные теории, электродинамика континуума и общая теория относительности, являются теориями поля континуума. Методы расчета в теории континуума неявно предполагают, что:

  • при полностью фиксированном выборе калибра, граничные условия отдельной конфигурации полностью описаны;
  • при полностью фиксированном калибре. и полный набор граничных условий, наименьшее действие определяет уникальную математическую конфигурацию и, следовательно, уникальная физическая ситуация, совместимая с этими границами
  • фиксация датчика не вносит никаких аномалий в расчет, либо из-за калибровочной зависимости при описании частичных информация о граничных условиях или неполнота теории.

Определение вероятности возможных результатов измерения осуществляется путем:

  • установления распределения вероятностей по всем физическим ситуациям, определяемым граничными условиями в соответствии с информацией о настройке
  • установление распределения вероятностей результатов измерений для каждой возможной физической ситуации
  • свертка этих двух вероятностей распределения для получения распределения возможных результатов измерений, согласующихся с информацией о настройке

Эти предположения имеют достаточную достоверность в широком диапазоне энергетических масштабов и экспериментальных условий, чтобы позволить этим теориям делатьточные прогнозы почти всех явлений, встречающихся в повседневной жизни: свет, тепло и электричество, затмения, космический полет и т. д. Они терпят неудачу в самых малых и больших масштабах из-за упущений в самих математических методах, особенно в случае турбулентности и другие хаотические явления.

Квантовые теории поля

Помимо этих классических теорий континуального поля, наиболее широко известными калибровочными теориями являются квантовые теории поля, включая квантовую электродинамику и Стандартная модель физики элементарных частиц. Отправная точка квантовой теории поля очень похожа на исходную точку ее континуального аналога: калибровочно-ковариантный интеграл действия, который характеризует «допустимые» физические ситуации в соответствии с принципом наименьшего действия. Однако континуальные и квантовые показатели различаются в том, как они обрабатывают избыточные степени свободы, представленные калибровочными преобразованиями. Теории континуума и большинство педагогических трактовок простейших квантовых теорий используют рецепт корректировки калибровки для уменьшения орбиты математических конфигураций, которые имеют стандартную физическую ситуацию, до меньшей орбиты, которая имеет меньшую калибровочную группу (глобальная группа симметрии или, возможно, даже даже тривиальная группа).

Более сложные квантовые поля теории, в частности те, которые включают калибровочную симметрию в рамках методов теории возмущений, вводя дополнительные поля (Фаддеев –Поповские призраки ) и контрчлены, мотивированные отменой аномалии, в подходе, известном как квантование BRST. Физические данные, ограниченные физическими данными, имеют ограниченные возможности физических теорией. Были разработаны математические методы, чтобы сделать калибровочные теории понятными, нашли много других приложений, от физики твердого тела и кристаллографии до низкоразмерной топологии.

Классическая калибровочная теория

Классический электромагнетизм

Исторически первым примером типовой калибровочной симметрии был классический электромагнетизм. В электростатике можно обсудить либо электрическое поле, E, либо соответствующее ему потенциал, V. Знание одного позволяет найти другое, за исключением того, что потенциалы, различающиеся на константу, V ↦ V + C {\ displaystyle V \ mapsto V + C}{\ displaystyle V \ mapsto V + C} , соответствуют одному и тому же электрическому полю. Это с тем, что электрическое связано с изменением одной точки пространства к другой, и постоянная C будет включена при вычитании. В терминах нет исчисления электрическое поле представляет собой градиент возможности, E = - ∇ V {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla V}\ mathbf {E} = - \ nabla V . Обобщая статическое электричество до электромагнетизма, у нас есть второй потенциал, тип A, с

E = - ∇ V - ∂ A ∂ t B = ∇ × A {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} = - \ nabla V - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \\\ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} \ end { align}}}{\ begin {align} \ mathbf {E} = - \ nabla V - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t }} \\\ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} \ end {align}}

Общие преобразования калибровки теперь становятся не просто V ↦ V + C {\ displaystyle V \ mapsto V + C}{\ displaystyle V \ mapsto V + C} , но

A ↦ A + ∇ е В ↦ В - ∂ е ∂ T {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} \ mapsto \ mathbf {A} + \ nabla f \\ V \ mapsto V - {\ frac {\ partial f} { \ partial t}} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} \ mapsto \ mathbf {A} + \ nabla f \\ V \ mapsto V - {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ end {a ligned}}}

где f - любая дважды дифференцируемая функция, которая зависит от положения и времени. Поля остаются прежними при калибровочном преобразовании, и поэтому уравнения Максвелла по-прежнему выполняются. То есть уравнения Максвелла владеет калибровочной симметрией.

Пример: скалярная калибровочная теория O (n)

Остальная часть этого раздела требует некоторого знакомства с классической или квантовой теорией поля, а также с использованием лагранжианы.
Определения в этом разделе: калибровочная группа, калибровочное поле, лагранжиан взаимодействия, калибровочный бозон.

Ниже показана локальная калибровочная инвариантность может быть эвристически «мотивирована», исходя из свойств глобальной симметрии, и как она приводит к взаимодействию между изначально невзаимодействующими полями.

Рассмотрим набор из n невзаимодействующих вещественных скалярных полей с равными массами m. Эта система описывается вызывает, которое представляет собой сумму (обычных) действий для каждого скалярного поля φ i {\ displaystyle \ varphi _ {i}}\ varphi _ {i}

S = ∫ d 4 Икс ∑ я знак равно 1 N [1 2 ∂ μ φ я ∂ μ φ я - 1 2 м 2 φ я 2] {\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {1} {2}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \ partial ^ {\ mu} \ varphi _ {i} - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ varphi _ {i} ^ {2} \ right]}{\ mathcal {S}} = \ int \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {1} {2}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \ partial ^ {\ mu} \ varphi _ {i} - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ varphi _ {i} ^ {2} \ right]

Лагранжиан (плотность) можно компактно записать как

L = 1 2 (∂ μ Φ) T ∂ μ Φ - 1 2 м 2 Φ T Φ {\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ mu} \ Phi) ^ {\ mathsf {T}} \ partial ^ {\ mu} \ Phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ Phi ^ {\ mathsf {T}} \ Phi}{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ mu} \ Phi) ^ {\ mathsf {T} } \ partial ^ {\ mu} \ Phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ Phi ^ {\ mathsf {T}} \ Phi}

путем введения Форма полей

Φ = (φ 1, φ 2,…, φ N) T {\ displaystyle \ \ Phi = (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}, \ ldots, \ varphi _ {n}) ^ {\ mathsf {T}}}{\ displaystyle \ \ Phi = (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}, \ ldots, \ varphi _ {n}) ^ {\ mathsf {T}}}

Термин ∂ μ Φ {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ Phi}{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ Phi} является частной производной от Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi по измерению μ {\ di splaystyle \ mu}\ mu .

Теперь ясно, что лагранжиан инвариантен относительно преобразования

Φ ↦ Φ ′ = G Φ {\ displaystyle \ \ Phi \ mapsto \ Phi '= G \ Phi}\ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi

всякий раз, когда G представляет собой постоянную матрицу, группе принадлежащую ортогональной O (n) размером n × n . Видно, что это сохраняется лагранжиан, поскольку производная от Φ ′ {\ displaystyle \ Phi '}{\displaystyle \Phi '}идентично преобразуется в Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi и обе величины появляются внутри скалярных произведений в лагранжиане (ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение).

(∂ μ Φ) ↦ (∂ μ Φ) ′ = G ∂ μ Φ {\ displaystyle \ (\ partial _ {\ mu} \ Phi) \ mapsto (\ partial _ {\ mu} \ Phi) '= G \ partial _ {\ mu} \ Phi}\ (\partial _{\mu }\Phi)\mapsto (\partial _{\mu }\Phi)'=G\partial _{\mu }\Phi

Это представляет глобальную симметрию этого конкретного лагранжиана, группу симметрии часто называют калибровочной группой ; математическим термином является структурная группа, особенно в теории G-структур. Между прочим, теорема Нётер подразумевает, что инвариантность относительно этой группы преобразований приводит к сохранению токов

J μ a = i ∂ μ Φ TT a Φ {\ displaystyle \ J _ {\ mu} ^ {a } = i \ partial _ {\ mu} \ Phi ^ {\ mathsf {T}} T ^ {a} \ Phi}{\ displaystyle \ J _ {\ mu} ^ {a} = i \ partial _ {\ mu} \ Phi ^ {\ mathsf {T}} T ^ {a} \ Phi}

где матрицы T являются генераторами группа SO (n). Для каждого генератора существует один сохраняемый ток.

Требование, чтобы этот лагранжиан имел локальную O (n) -инвариантность, требует, чтобы G-матрицы (которые ранее были постоянными) могли стать функциями пространства-времени координаты х.

В этом случае матрицы G не «проходят через» производные, когда G = G (x),

∂ μ (G Φ) ≠ G (∂ μ Φ) {\ displaystyle \ \ partial _ { \ mu} (G \ Phi) \ neq G (\ partial _ {\ mu} \ Phi)}\ \ partial _ {\ mu} (G \ Phi) \ neq G (\ partial _ {\ mu} \ Phi)

Неспособность производной коммутировать с "G" вводит дополнительный член (в соответствии с правилом произведения), что портит инвариантность лагранжиана. Чтобы исправить это, мы определяем новый оператор производной так, чтобы производная от Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi снова преобразовывалась идентично с Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi

(D μ Φ) ′ = GD μ Φ {\ displaystyle \ (D _ {\ mu} \ Phi) '= GD _ {\ mu} \ Phi}\ (D_{\mu }\Phi)'=GD_{\mu }\Phi

Эта новая «производная» называется (калибровочный) ковариант производная и принимает вид

D μ = ∂ μ - ig A μ {\ displaystyle \ D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} -igA _ {\ mu}}{ \ Displaystyle \ D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} -igA _ {\ mu}}

где g называется константой связи; величина, определяющая силу взаимодействия. После простых вычислений мы видим, что калибровочное поле A (x) должно преобразоваться следующим образом:

A μ ′ = GA μ G - 1 - ig (∂ μ G) G - 1 {\ displaystyle \ A '_ {\ mu} = GA _ {\ mu} G ^ {- 1} - {\ frac {i} {g}} (\ partial _ {\ mu} G) G ^ {- 1}}{\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}}

Калибровочное поле представляет собой алгебры Ли и поэтому может быть расширено как

A μ = ∑ a A μ a T a {\ displaystyle \ A _ {\ mu} = \ sum _ {a} A _ {\ mu} ^ {a} T ^ {a}}\ A _ {\ mu} = \ sum _ {a} A _ {\ mu} ^ {a} T ^ {a}

Следовательно, существует количество калибровочных полей, сколько генераторов алгебры Ли.

Наконец, теперь у нас есть локально калибровочно-инвариантный лагранжиан

L loc = 1 2 (D μ Φ) TD μ Φ - 1 2 м 2 Φ T Φ {\ displaystyle \ {\ mathcal {L }} _ {\ mathrm {loc}} = {\ frac {1} {2}} (D _ {\ mu} \ Phi) ^ {\ mathsf {T}} D ^ {\ mu} \ Phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ Phi ^ {\ mathsf {T}} \ Phi}{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {loc}} = {\ frac {1} {2} } (D _ {\ mu} \ Phi) ^ {\ mathsf {T}} D ^ {\ mu} \ Phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ Phi ^ {\ mathsf {T }} \ Phi}

Паули использует обозначочное преобразование первого типа для обозначения преобразования Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi , компенсирующее преобразование в A {\ displaystyle A}A называется калибровочным преобразователем второго типа.

Диаграмма Фейнмана скалярных бозонов, взаимодействующих через калибровочный бозон

Разница между этим лагранжи и исходным глобально калибровочно-инвариантным лагранжианом лагрананом взаимодействия

L int = ig 2 Φ TA μ T ∂ μ Φ + ig 2 (∂ μ Φ) TA μ Φ - g 2 2 (A μ Φ) TA μ Φ {\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} = я {\ frac {g} {2}} \ Phi ^ {\ mathsf {T}} A _ {\ mu} ^ {\ mathsf {T}} \ partial ^ {\ mu} \ Phi + i {\ frac {g} {2}} ( \ partial _ {\ mu} \ Phi) ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mu} \ Phi - {\ frac {g ^ {2}} {2}} (A_ {\ mu} \ Phi) ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mu} \ Phi}{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} = i { \ frac {g} {2}} \ Phi ^ {\ mathsf {T}} A _ {\ mu} ^ {\ mathsf {T}} \ partial ^ {\ mu} \ Phi + i {\ frac {g} { 2}} (\ partial _ {\ mu} \ Phi) ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mu} \ Phi - {\ frac {g ^ {2}} {2}} (A _ {\ mu } \ Phi) ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mu} \ Phi}

Этот термин вводит взаимодействие между скалярными полями как следствие спроса на локальные калибровочная инвариантность. Однако, чтобы сделать это взаимодействие физическим, а не полностью произвольным, медиатор A (x) должен распространяться в пространстве. В следующем разделе это путем добавления еще одного члена, L g f {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {gf}}}{\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {gf}} , к лагранжиану. В квантованной версии полученной классической теории поля кванты калибровочного поля A (x) называются калибровочными бозонами. Интерпретация лагранжиана взаимодействия в квантовой теории поля - это скалярные бозоны, взаимодействующие посредством обмена этими калибровочными бозонами.

Лагранжиан Янга - Миллса для калибровочного поля

Картина классической калибровочной теории, развитая в предыдущем разделе, почти полная, за исключением того факта, что для определения ковариантных производных D требуется знать значение измерительного поля A (x) {\ displaystyle A (x)}A (x) во всех точках пространства-времени. Вместо того, чтобы указывать значения этого поля вручную, его можно задать как решение уравнения поля. Далее требуя, чтобы лагранжиан, порождающий это уравнение поля, также был локально калибровочно-инвариантным, одна из форм лагранжиана калибровочного поля:

L gf = - 1 2 tr ⁡ (F μ ν F μ ν) = - 1 4 F a μ ν F μ ν a {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {gf}} = - {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {tr} \ left (F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ tfrac {1} {4}} F ^ {a \ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} ^ {a}}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {gf}} = - {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {tr} \ left (F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ tfrac {1} {4}} F ^ {a \ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} ^ {a}}

где F μ ν a {\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} ^ {a}}{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} ^ {a}} получаются из потенциалов A μ a {\ displaystyle A _ {\ mu} ^ {a}}A _ {\ mu} ^ {a} , являющимися компонентами A (x) {\ displaystyle A (x)}A (x) , по

F μ ν a = ∂ μ A ν a - ∂ ν A μ a + g ∑ b, cfabc A μ b A ν c {\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} ^ {a} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} ^ {a} + g \ sum _ {b, c} f ^ {abc} A _ {\ mu} ^ {b} A _ {\ nu} ^ {c} }{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ parti al _ {\ mu} A _ {\ nu} ^ {a} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} ^ {a} + g \ sum _ {b, c} f ^ {abc} A _ {\ mu} ^ {b} A _ {\ nu} ^ {c}}

и fabc {\ displaystyle f ^ {abc}}f ^ {abc} - это структурные константы алгебры Ли генератора s калибровочной группы. Эта формулировка лагранжиана называется действием Янга – Миллса . Также существуют другие калибровочно-инвариантные действия (например, нелинейная электродинамика, действие Борна – Инфельда, модель Черна – Саймонса, тета-член и т. Д..).

В этом лагранжевом члене нет поля, преобразование которого уравновешивает поле A {\ displaystyle A}A . Инвариантность этого члена относительно калибровочных преобразований является частным случаем априорной классической (геометрической) симметрии. Эта симметрия должна быть ограничена для выполнения квантования, процедура обозначена как фиксация калибровки, но даже после ограничения калибровочные преобразования могут быть возможны.

Полный лагранжиан для калибровочной теории теперь готов

L = L loc + L gf = L global + L int + L gf {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {\ text {loc}} + {\ mathcal { L}} _ {\ text {gf}} = {\ mathcal {L}} _ {\ text {global}} + {\ mathcal {L}} _ {\ text {int}} + {\ mathcal {L} } _ {\ text {gf}}}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {\ text {loc}} + {\ mathcal {L}} _ {\ text {gf}} = {\ mathcal {L}} _ {\ text {global}} + {\ mathcal {L}} _ {\ text {int}} + {\ mathcal {L}} _ {\ text {gf}}}

Пример: электродинамика

В качестве простого приложения формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим случай электродинамики, только поле электрона. Простое действие, которое генерирует уравнение Дирака электронного поля, имеет вид

S = ∫ ψ ¯ (i ℏ c γ μ ∂ μ - mc 2) ψ d 4 x {\ displaystyle {\ mathcal { S}} = \ int {\ bar {\ psi}} \ left (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -mc ^ {2} \ right) \ psi \, \ mathrm {d} ^ {4} x}{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ bar {\ psi}} \ left (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ { \ mu} -mc ^ {2} \ right) \ psi \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

Глобальная симметрия для этой системы равна

ψ ↦ ei θ ψ {\ displaystyle \ psi \ mapsto e ^ {i \ theta} \ psi}{\ displaystyle \ psi \ mapsto e ^ {i \ theta} \ psi}

калибровочная группа здесь U (1), просто повороты фазового угла поля, с конкретным вращением, определяемым постоянной θ.

«Локализация» этой симметрии подразумевает замену θ на θ (x). Тогда подходящей ковариантной производной будет

D μ = ∂ μ - т.е. ℏ A μ {\ displaystyle D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} -i {\ frac {e} {\ hbar}} A_ { \ mu}}{\ displaystyle D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} -i {\ frac {e} {\ hbar}} A _ {\ mu}}

Идентификация "заряда" e (не путать с математической константой e в описании симметрии) с обычным электрическим зарядом (это источник использования термина в калибровочных теориях), а калибровочное поле A (x) с четырьмя- векторным потенциалом из электромагнитного поля приводит к лагранжиану взаимодействия

L int знак равно е ℏ ψ ¯ (x) γ μ ψ (x) A μ (x) = J μ (x) A μ (x) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {int}} = { \ frac {e} {\ hbar}} {\ bar {\ psi}} (x) \ gamma ^ {\ mu} \ psi (x) A _ {\ mu} (x) = J ^ {\ mu} (x) A _ {\ mu} (x)}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {int}} = {\ frac {e} {\ hbar}} {\ bar {\ psi}} (x) \ gamma ^ {\ mu} \ psi (x) A _ {\ mu} (x) = J ^ {\ mu} (x) A _ {\ mu} (x)}

где J μ (x) = e ℏ ψ ¯ (x) γ μ ψ (x) {\ displaystyle J ^ {\ mu} (x) = { \ frac {e} {\ hbar}} {\ bar {\ psi}} (x) \ gamma ^ {\ mu} \ psi (x)}{\ displaystyle J ^ {\ mu} (x) = {\ frac {e } {\ hbar}} {\ bar {\ psi}} (x) \ gamma ^ {\ mu} \ psi (x)} - электрический ток четыре вектора в поле Дирака. Следовательно, принцип датчика естественным образом вводит так называемую минимальную связь электромагнитного поля с электронным полем.

Добавление лагранжиана для калибровочного поля A μ (x) {\ displaystyle A _ {\ mu} (x)}A _ {\ mu} (x) в терминах тензора напряженности поля точно так же, как в электродинамике, получаем лагранжиан, используемый в качестве отправной точки в квантовой электродинамике.

L QED = ψ ¯ (i ℏ c γ μ D μ - mc 2) ψ - 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {QED}} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -mc ^ {2} \ right) \ psi - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {QED}} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -mc ^ {2} \ right) \ psi - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

Математический формализм

Калибровочные теории обычно обсуждаются на языке дифференциальной геометрии. Математически датчик - это просто выбор (локального) раздела некоторого основного пакета. Преобразование датчика - это просто преобразование между двумя такими секциями.

Хотя в калибровочной теории преобладает изучение связей (прежде всего потому, что ее в основном изучают физики высоких энергий ), идея связи не является центральной для калибровочная теория в целом. Фактически, результат общей калибровочной теории показывает, что аффинные представления (т. Е. Аффинные модули ) калибровочных преобразований можно классифицировать как части связки струй удовлетворяющие определенным свойствам. Существуют представления, называемые физическими калибровочными преобразованиями первого типа, представления, которые преобразуются как форма связи (называемые физическими калибровочными преобразованиями второго рода, аффинными представлениями), и другие более общие представления, например, поле Б в теории Б.Ф.. Существуют более общие нелинейные представления (реализации), но они сложны. Тем не менее, нелинейные сигма-модели преобразуются нелинейно, так что есть приложения.

Если существует основной пакет P, базовое пространство которого равно space или spacetime и структурная группа - группа Ли, то сечения P образуют главное однородное пространство группы калибровочных преобразований.

Связи (калибровочная связь) определяет это расслоение, давая ковариантную производную ∇ в каждом ассоциированном векторном расслоении. Если выбран локальный фрейм (локальный базис секций), то ковариантная производная форма связи A, алгеброзначной 1-форма, называется калибровочный потенциал в физике. Очевидно, это не внутренняя, а зависящая от кадра величина. форма кривизны F, 2-форма со значениями в алгебре Ли, которая является внутренней величиной, строится из связи по формуле

F = d A + A ∧ A {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathrm {d} \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}}{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathrm {d} \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}}

, где d обозначает внешнюю производную и ∧ {\ displaystyle \ wedge}\ wedge обозначает продукт клина. (A {\ displaystyle \ mathbf {A}}\ mathbf {A} - элемент окружающей среды, охватываемого генератора T a {\ displaystyle T ^ {a}}T ^ {a} , и поэтому компоненты A {\ displaystyle \ mathbf {A}}\ mathbf {A} не коммутируют друг с другом. Следовательно, произведение клина A ∧ A {\ displaystyle \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A }}{\ displaystyle \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}} не обращается в нуль.)

Инфинитезимальные калибровочные преобразования образуют алгебру Ли, которая характеризуется гладким скаляром со значениями в алгебре Ли, ε. При таком бесконечно малом калибровочном преобразовании

δ ε A = [ε, A] - d ε {\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} \ mathbf {A} = [\ varepsilon, \ mathbf { A}] - \ mathrm {d} \ varepsilon}{\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} \ mathbf {A} = [ \ varepsilon, \ mathbf {A}] - \ mathrm {d} \ varepsilon}

где [⋅, ⋅] {\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}[\ cdot, \ cdot] - скобка Ли.

Приятно то, что если δ ε X = ε X {\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} X = \ varepsilon X}{\ displaystyle \ дельта _ {\ varepsilon} X = \ varepsilon X} , то δ ε DX = ε DX {\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} DX = \ varepsilon DX}{\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} DX = \ varepsilon DX} , где D - ковариантная производная

DX = defd X + AX ​​{\ displaystyle DX \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mathrm {d} X + \ mathbf {A} X}{\ Displaystyle DX \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mathrm {d} X + \ mathbf {A} X}

Кроме того, δ ε F = [ε, F] {\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} \ mathbf {F} = [\ varepsilon, \ mathbf {F}]}{\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} \ mathbf {F} = [\ varepsilon, \ mathbf {F}]} , что означает, что F {\ displaystyle \ mathbf {F}}\ mathbf {F} преобразуется ковариантно.

Не все калибровочные преобразования могут быть сгенерированы бесконечно малыми калибровочными преобразованиями в целом. Примером может служить базовый коллектор - это компактный коллектор без границы, так что гомотопический класс отображений из этого многообразия в группу Ли нетривиально. См. Пример инстантон.

Действие Янга – Миллса теперь задается как

1 4 g 2 ∫ Tr ⁡ [∗ F ∧ F] {\ displaystyle {\ frac {1} {4g ^ {2}}} \ int \ operatorname {Tr} [* F \ wedge F]}{\ displaystyle {\ frac {1} {4g ^ {2}}} \ int \ operatorname {Tr} [* F \ клин F]}

, где * обозначает двойную схему Ходжа, а интеграл определяется как в дифференциальной геометрии.

Величина, которая калибровочно-инвариантным (т. е. инвариантом относительно калибровочных преобразований) является петля Вильсона, которая определена над любым замкнутым путем γ следующим образом:

χ ( ρ) (п {е ∫ γ A}) {\ displaystyle \ chi ^ {(\ rho)} \ left ({\ mathcal {P}} \ left \ {e ^ {\ int _ {\ gamma} A} \ right \} \ right)}\ chi ^ {(\ rho)} \ left ({\ mathcal {P}} \ left \ {e ^ {\ int _ {\ gamma} A} \ right \} \ right)

где χ - символ комплексного представления ρ и P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}{\ mathcal {P}} представляет оператор упорядоченного пути.

Формализм калибровочной теории переносится на общую постановку. Например, достаточно запросить, чтобы векторный пакет имел соединение с метрикой ; при этом обнаруживается, что метрическая связь удовлетворяет уравнениям движения Янга-Миллса.

Квантование калибровочных теорий

Калибровочные теории можно квантовать путем специализации методов, применимых к любой квантовой теории поля. Однако из-за тонкостей, налагаемых калибровочными ограничениями (см. Раздел «Математический формализм» выше), необходимо решить множество технических проблем, которые не возникают в других теориях поля. В то же время более богатая структура калибровочных теорий позволяет упростить некоторые вычисления: например, тождества Уорда соединяют разные константы перенормировки.

Методы и цели

Первой квантованной калибровочной теорией была квантовая электродинамика (QED). Первые методы, разработанные для этого, включали фиксацию калибровки с последующим применением канонического квантования. Для решения этой проблемы также был разработан метод Гупта – Блейлера. Неабелевы калибровочные теории сейчас обрабатываются самыми разными способами. Методы квантования описаны в статье о квантовании.

. Суть квантования - это возможность вычислять квантовые амплитуды для различных процессов, допускаемых теорией. Технически они сводятся к вычислению определенных корреляционных функций в вакуумном состоянии. Это предполагает перенормировку теории.

Когда действующая связь теории достаточно мала, все требуемые величины могут быть вычислены в теории возмущений. Схемы квантования, предназначенные для упрощения таких вычислений (такие как каноническое квантование ), могут называться схемами пертурбативного квантования . В настоящее время некоторые из этих методов позволяют проводить наиболее точные экспериментальные проверки калибровочных теорий.

Однако в большинстве калибровочных теорий есть много интересных вопросов, которые не являются пертурбативными. Схемы квантования, подходящие для этих задач (такие как калибровочная теория на решетке ), могут называться схемами непертурбативного квантования . Точные вычисления в таких схемах часто требуют суперкомпьютеров, и поэтому в настоящее время они менее развиты, чем другие схемы.

Аномалии

Некоторые из симметрий классической теории не соблюдаются в квантовой теории; явление, называемое аномалией. Среди наиболее известных:

Чистая калибровка

Чистая калибровка - это набор полученных конфигураций поля. с помощью калибровочного преобразования конфигурации нулевого поля, т. е. калибровочного преобразования нуля. Итак, это особая «калибровочная орбита» в пространстве конфигурации поля.

Таким образом, в абелевом случае, где A μ (x) → A μ ′ (x) = A μ (x) + ∂ μ f (x) {\ displaystyle A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A '_ {\ mu} (x) = A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x)}A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x), чистая калибровка - это просто набор конфигураций полей A μ ′ (x) = ∂ μ f (x) {\ displaystyle A '_ {\ mu} (x) = \ partial _ {\ mu} f (x)}A'_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x)для всех f (x).

См. Также

Литература

Библиография

Обычные читатели
  • Шумм, Брюс (2004) Глубокие дела. Издательство Университета Джона Хопкинса. Esp. гл. 8. Серьезная попытка физика объяснить калибровочную теорию и Стандартную модель с помощью небольшой формальной математики.
Тексты
  • Greiner, Walter; Мюллер, Берндт (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий. Спрингер. ISBN 3-540-67672-4.
  • Cheng, T.-P.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц. Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851961-3.
  • Фрэмптон, П. (2008). Калибровочные теории поля (3-е изд.). Wiley-VCH.
  • Кейн, Г.Л. (1987). Современная физика элементарных частиц. Книги Персея. ISBN 0-201-11749-5.
Статьи

Внешние ссылки

Викицитатник содержит цитаты, относящиеся к: Теория калибровки
Последняя правка сделана 2021-05-21 13:08:14
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте