Спиновое квантовое число

Квантовое число, параметризующее спин и угловой момент

В атомной физике спиновый квант число - это квантовое число, которое описывает собственный угловой момент (или спиновый угловой момент, или просто спин ) данной частицы. Спиновое квантовое число обозначается буквой s и является четвертым из набора квантовых чисел (главное квантовое число, азимутальное квантовое число, магнитное квантовое число и спиновое квантовое число), которые полностью описывают квантовое состояние электрона. Название происходит от физического вращения электрона вокруг оси, предложенного Уленбеком и Гоудсмитом. Однако эта упрощенная картина быстро стала физически невозможной и заменена более абстрактным квантово-механическим описанием.

Содержание

• 1 Вывод
• 2 Алгебра
• 3 История
• 4 Спин электрона
• 5 Обнаружение спина
  • 5.1 Эксперимент Штерна – Герлаха
• 6 Уровни энергии по шкале Дирака уравнение
• 7 Полный спин атома или молекулы
• 8 См. также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Вывод

В качестве решения некоторого уравнения в частных производных, квантованный угловой момент (см. квантовое число углового момента ) можно записать как:

$\Vert \; s\; \Vert \; =\; s\; (s\; +\; 1)\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Vert\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \backslash \; Vert\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{s\; \backslash ,\; (s\; +\; 1)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; hbar\}$

где

$s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\}$- квантованный вектор спина

$\Vert \; s\; \Vert \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Vert\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \backslash \; Vert\}$- норма вектора спина,

$s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- квантовое число спина связанный со спиновым угловым моментом

$\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- приведенная постоянная Планка.

При произвольном направлении z (обычно определяемом внешним магнитным полем) spi n z-проекция задается как

$sz\; =\; ms\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{z\}\; =\; m\_\; \{s\}\; \backslash ,\; \backslash \; hbar\}$

, где m s - вторичное вращение квантовое число в диапазоне от −s до + s с шагом единицы. Это генерирует 2 s + 1 различных значений m s.

. Допустимые значения для s являются неотрицательными целыми числами или полуцелыми числами. Фермионы (такие как электрон, протон или нейтрон ) имеют полуцелые значения, тогда как бозоны ( например, фотон, мезоны ) имеют целочисленные значения спина.

Алгебра

Алгебраическая теория спина является точной копией углового момента в теории квантовой механики. Прежде всего, спин удовлетворяет фундаментальному коммутационному отношению:

$[S\; i,\; S\; j]\; =\; i\; \hslash \; ϵ\; ijk\; S\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; [S\_\; \{i\},\; S\_\; \{j\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{\; ijk\}\; S\_\; \{k\}\}$,

$[S\; i,\; S\; 2]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [S\_\; \{i\},\; S\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; =\; 0\}$

где $ϵ\; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{ijk\}\}$- (антисимметричный) символ Леви-Чивиты. Это означает, что невозможно знать две координаты вращения одновременно из-за ограничения принципа неопределенности.

Затем собственные векторы для $S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\}$и $S\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\}$удовлетворяют:

$S\; 2\; |\; s,\; m\; s⟩\; =\; \hslash \; 2\; s\; (s\; +\; 1)\; |\; s,\; мс⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\; |\; s,\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; hbar\}\; ^\; \{2\}\; s\; (s\; +\; 1)\; |\; s,\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; rangle\}$

$S\; z\; |\; s,\; m\; s⟩\; =\; \hslash \; m\; s\; |\; s,\; m\; s⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\; |\; s,\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; hbar\; m\_\; \{s\}\; |\; s,\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; rangle\}$

$S\; \pm \; |\; s,\; m\; s⟩\; =\; \hslash \; s\; (s\; +\; 1)\; -\; m\; s\; (m\; s\; \pm \; 1)\; |\; s,\; мс\; \pm \; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; |\; s,\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; sqrt\; \{s\; (s\; +\; 1)\; -m\_\; \{s\}\; (m\_\; \{s\}\; \backslash \; pm\; 1)\; \}\}\; |\; s,\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; pm\; 1\; \backslash \; rangle\}$

где $S\; \pm \; =\; S\; x\; \pm \; i\; S\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; =\; S\_\; \{x\}\; \backslash \; pm\; iS\_\; \{y\}\; \}$- это операторы создания и уничтожения (или «подъема» и «опускания», или «вверх» и «вниз»).

История

Ранние попытки объяснить поведение электронов в атомах были сосредоточены на решении волнового уравнения Шредингера для атома водорода, простейший возможный случай, когда один электрон связан с атомным ядром. Это помогло объяснить многие особенности атомных спектров.

. Решения требовали, чтобы каждое возможное состояние электрона описывалось тремя «квантовыми числами». Они были идентифицированы как, соответственно, номер электронной «оболочки» n, «орбитальное» число l и число «орбитального углового момента» m. Угловой момент - это так называемая «классическая» концепция измерения количества движения массы при круговом движении вокруг точки. Номера оболочек начинаются с 1 и бесконечно увеличиваются. Каждая оболочка с номером n содержит n² орбиталей. Каждая орбиталь характеризуется своим номером l, где l принимает целые значения от 0 до n − 1, и своим числом углового момента m, где m принимает целые значения от + l до −l. Посредством различных приближений и расширений физики смогли расширить свою работу с водородом на более сложные атомы, содержащие много электронов.

Атомные спектры измеряют излучение, поглощаемое или испускаемое электронами , «перескакивающее» из одного «состояния» в другое, где состояние представлено значениями n, l, И м. Так называемое «Правило перехода » ограничивает возможные «прыжки». Как правило, скачок или «переход» разрешен только в том случае, если в процессе меняются все три числа. Это связано с тем, что переход может вызвать излучение или поглощение электромагнитного излучения, только если он включает изменение электромагнитного диполя атома.

Однако на заре квантовой механики было признано, что атомные спектры, измеренные во внешнем магнитном поле (см. эффект Зеемана ), не могут быть предсказаны с помощью простого n, л и м.

В январе 1925 года, когда Ральф Крониг был еще аспирантом Колумбийского университета, он впервые предложил спин электрона после того, как услышал Вольфганга Паули в Тюбингене. Вернер Гейзенберг и Паули сразу возненавидели эту идею. Они только что исключили все мыслимые действия из квантовой механики. Теперь Крониг предлагал заставить электрон вращаться в пространстве. Паули особенно высмеял идею вращения, заявив, что «это действительно очень умно, но, конечно, не имеет ничего общего с реальностью». Столкнувшись с такой критикой, Крониг решил не публиковать свою теорию, и идея электронного спина должна была подождать, пока другие возьмут кредит. Ральф Крониг выдвинул идею вращения электрона за несколько месяцев до Джорджа Уленбека и Сэмюэля Гоудсмита. Большинство учебников приписывают открытие этим двум голландским физикам.

Паули впоследствии предложил (также в 1925 году) новую квантовую степень свободы (или квантовое число ) с двумя возможными значениями, чтобы устранить несоответствия между наблюдаемыми молекулярными спектрами и развивающейся теорией квантовая механика.

Вскоре после этого Уленбек и Гаудсмит определили новую степень свободы Паули как электрон спин.

Электронный спин

Спиновый угловой момент характеризуется квантовым числом ; s = 1/2 специально для электронов. Аналогично другим квантованным угловым моментам , L, можно получить выражение для полного спинового углового момента:

$S\; =\; \hslash \; 1\; 2\; (1\; 2\; +\; 1)\; =\; 3\; 2\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; hbar\}$

где

$\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- приведенная постоянная Планка.

Тонкая структура спектров водорода наблюдается в виде дублета, соответствующего две возможности для z-компоненты углового момента, где для любого заданного направления z:

$S\; z\; =\; \pm \; 1\; 2\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\_\; \{z\}\}\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; hbar\}$

, решение которого имеет только две возможные z-компоненты для электрона. В электроне две разные ориентации спина иногда называют «вращением вверх» или «спином вниз».

Свойство спина электрона привело бы к возникновению магнитного момента, который был необходимым условием для четвертого квантового числа. Спиновый магнитный момент электрона определяется формулой:

$\mu \; s\; =\; -\; e\; 2\; mg\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{s\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{2m\}\}\; gS\}$

где

e - заряд электрона.

g - g-фактор Ланде

и по уравнению:

$\mu \; z\; =\; \pm \; 1\; 2\; g\; \mu \; B\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{z\}\}\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; g\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{B\}\}\}$

где $\mu \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{B\}\}$- магнетон Бора.

Когда атомы имеют четное количество электронов, спин каждого электрона на каждой орбитали имеет ориентацию, противоположную ориентации его ближайшего соседа (ей). Однако многие атомы имеют нечетное количество электронов или расположение электронов, в котором существует неравное количество ориентаций «со спином вверх» и «со спином вниз». Утверждается, что эти атомы или электроны имеют неспаренные спины, которые обнаруживаются в электронно-спиновом резонансе.

Обнаружение спина

Когда линии спектра водорода исследуются с очень высоким разрешением, обнаруживается, что они близко расположенные дублеты. Это расщепление называется тонкой структурой и было одним из первых экспериментальных свидетельств электронного спина. Прямое наблюдение собственного углового момента электрона было достигнуто в эксперименте Штерна – Герлаха.

Эксперимент Штерна – Герлаха

Теория пространственного квантования спинового момента импульса электронов атомов находящийся в магнитном поле требовал экспериментального подтверждения. В 1920 (за два года до создания теоретического описания спина) Отто Штерн и Уолтер Герлах наблюдали это в эксперименте, который они проводили.

Атомы серебра были испарены в электрической печи в вакууме. С помощью тонких щелей атомы направлялись в плоский пучок, и пучок пропускался через неоднородное магнитное поле до столкновения с металлической пластиной. Законы классической физики предсказывают, что скопление конденсированных атомов серебра на пластине должно образовывать тонкую сплошную линию той же формы, что и исходный луч. Однако неоднородное магнитное поле привело к разделению луча в двух отдельных направлениях, в результате чего на металлической пластине образовались две линии.

Это явление можно объяснить с помощью пространственного квантования спинового момента количества движения. В атомах электроны спарены так, что один вращается вверх, а другой вниз, нейтрализуя влияние их спина на действие атома в целом. Но в валентной оболочке атомов серебра есть единственный электрон, спин которого неуравновешен.

Несбалансированный спин создает спиновый магнитный момент, заставляя электрон действовать как очень маленький магнит. Когда атомы проходят через неоднородное магнитное поле, силовой момент в магнитном поле влияет на диполь электрона до тех пор, пока его положение не совпадает с направлением более сильного поля. Затем атом будет притягиваться к более сильному магнитному полю или от него на определенную величину, в зависимости от значения спина валентного электрона. Когда спин электрона равен +1/2, атом удаляется от более сильного поля, а когда спин равен -1/2, атом движется к нему. Таким образом, пучок атомов серебра разделяется при прохождении через неоднородное магнитное поле в соответствии со спином валентного электрона каждого атома.

В 1927 Фиппс и Тейлор провели аналогичный эксперимент, используя атомы водорода, с аналогичными результатами. Позже ученые провели эксперименты с другими атомами, имеющими только один электрон в валентной оболочке: (медь, золото, натрий, калий ). Каждый раз на металлической пластине образовывались две линии.

ядро ​​атома также может иметь спин, но протоны и нейтроны намного тяжелее электронов (примерно в 1836 раз), а магнитный дипольный момент обратно пропорционален массе. Таким образом, ядерный магнитный дипольный момент намного меньше, чем у всего атома. Этот небольшой магнитный диполь позже был измерен Штерном, Фришем и Истерманом.

Уровни энергии из уравнения Дирака

В 1928 году Поль Дирак разработал релятивистское волновое уравнение, теперь называемое уравнением Дирака, который правильно предсказал спиновый магнитный момент и в то же время рассматривал электрон как точечную частицу. При решении уравнения Дирака для уровней энергии электрона в атоме водорода все четыре квантовых числа, включая s, возникли естественным образом и хорошо согласуются с экспериментом.

Общий спин атома или молекулы

Для некоторых атомов спины нескольких неспаренных электронов (s 1, s 2,...) связаны с образованием общего спинового квантового числа S. Это происходит особенно в легких атомах (или в молекулах, образованных только из легких атомов), когда спин-орбитальная связь слаба по сравнению со связью между спинами или взаимодействием между орбитальными угловыми моментами, ситуация известна как LS-связь, потому что L и S являются константами движения. Здесь L - квантовое число полного орбитального углового момента.

Для атомов с четко определенным S кратность состояния определяется как (2S + 1). Это равно количеству различных возможных значений полного (орбитального плюс спин) углового момента J для данной комбинации (L, S) при условии, что S ≤ L (типичный случай). Например, если S = ​​1, есть три состояния, которые образуют триплет . Собственные значения S z для этих трех состояний равны + 1ħ, 0 и -1ħ. Символ члена состояния атома указывает его значения L, S и J.

См. Также

• Квантовое число полного углового момента
• Вращательная спектроскопия
• Базовый квант механика

Ссылки

Внешние ссылки

• Полное рассмотрение спина, включая происхождение, эволюцию теории вращения и детали уравнений вращения