Решение уравнения Шредингера для ступенчатого потенциала

В квантовой механике и теории рассеяния -мерный ступенчатый потенциал - это идеализированная система, используемая для моделирования падающих, отраженных и проходящих волн материи. Задача состоит в решении не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы со ступенчатым потенциалом в одном измерении. Обычно потенциал моделируется как ступенчатая функция Хевисайда.

• 1 Расчет
  • 1.1 Уравнение Шредингера и потенциальная функция
  • 1.2 Решение
  • 1.3 Граничные условия
• 2 Пропускание и отражение
• 3 Анализ выражений
  • 3.1 Энергия меньше высоты ступеньки (E < V0)
  • _V0) ">3.2 Энергия больше высоты ступени (E>V 0)
• 4 Отрицательные ступеньки
• 5 Классический предел
• 6 Релятивистский расчет
• 7 Приложения
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Источники
• 11 Дополнительная литература

Уравнение Шредингера и потенциальная функция

Рассеяние при конечном потенциальном шаге высоты V 0, показано зеленым цветом. Показаны амплитуды и направление движущихся влево и вправо волн. Желтый - падающая волна, синий - отражается и проходит, красный - нет. E>V 0 для этого рисунка.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции $\psi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\}$равно

$H\; \psi \; (Икс)\; знак\; равно\; [-\; \hslash \; 2\; 2\; md\; 2\; dx\; 2\; +\; V\; (x)]\; \psi \; (x)\; =\; E\; \psi \; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; V\; (x)\; \backslash \; right]\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; E\; \backslash \; psi\; (x),\}$

где H - гамильтониан, ħ - приведенная постоянная Планка, m - масса , E - энергия частицы. Потенциал ступени - это просто произведение V 0, высоты барьера и ступенчатой ​​функции Хевисайда :

Барьер расположен при x = 0, хотя любая позиция x 0 может быть выбрана без изменения результатов, просто сдвигая позицию шага на −x 0.

Первый член в гамильтониане, $-\; \hslash \; 2\; 2\; мкр\; 2\; dx\; 2\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; psi\}$- кинетическая энергия частицы.

Решение

Шаг делит пространство на две части: x < 0 and x>0. В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица квазисвободна, и решение уравнения Шредингера можно записать как суперпозицию левых и правых движущихся волн (см. свободная частица )

,

$\psi \; 2\; (x)\; =\; (B\; \to \; eik\; 2\; x\; +\; B\; \leftarrow \; e\; -\; ik\; 2\; x)\; x>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{2\}\; (x)\; =\; \backslash \; left\; (B\; \_\; \{\backslash \; rightarrow\}\; e\; ^\; \{ik\_\; \{2\}\; x\}\; +\; B\; \_\; \{\backslash \; leftarrow\}\; e\; ^\; \{-\; ik\_\; \{2\}\; x\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; x>0\}$

где нижние индексы 1 и 2 обозначают области x < 0 and x>0 соответственно, нижние индексы (→) и (←) на амплитудах A и B обозначают направление вектора скорости частицы: вправо и слева соответственно.

волновые векторы в соответствующих регионах, равные

$k\; 1\; =\; 2\; м\; E\; /\; \hslash \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2mE\; /\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\}\}$,

$k\; 2\; =\; 2\; м\; (E\; -\; V\; 0)\; /\; \hslash \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2m\; (E-V\_\; \{0\})\; /\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\}\}$

оба имеют ту же форму, что и отношение Де Бройля (в одном измерении)

$p\; =\; \hslash \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \backslash \; hbar\; k\}$.

Граничные условия

Коэффициенты A, B должны быть найдены из граничных условий волновой функции при x = 0. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными везде, поэтому:

$\psi \; 1\; (0)\; =\; \psi \; 2\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{1\}\; (0)\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{2\}\; (0)\}$,

$ddx\; \psi \; 1\; (x)\; |\; x\; =\; 0\; =\; d\; d\; x\; \psi \; 2\; (x)\; |\; Икс\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{1\}\; (x)\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{x\; =\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{2\}\; (x)\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{x\; =\; 0\}\}$.

Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

$(A\; \to \; +\; A\; \leftarrow )\; =\; (B\; \to \; +\; B\; \leftarrow )\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \_\; \{\backslash \; rightarrow\}\; +\; A\; \_\; \{\backslash \; leftarrow\})\; =\; (B\; \_\; \{\backslash \; rightarrow\}\; +\; B\; \_\; \{\backslash \; leftarrow\})\}$

$k\; 1\; (A\; \to \; -\; A\; \leftarrow )\; =\; k\; 2\; (B\; \to \; -\; B\; \leftarrow )\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{1\}\; (A\; \_\; \{\backslash \; rightarrow\}\; -A\; \_\; \{\backslash \; leftarrow\})\; =\; k\_\; \{2\}\; (B\; \_\; \{\backslash \; rightarrow\}\; -B\; \_\; \{\backslash \; leftarrow\})\}$

Полезно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией E, превышающей высоту барьера V 0, будет замедляться, но никогда не отразится от барьера, в то время как классическая частица с E < V0 падает на барьер слева всегда будет отражаться. Как только мы найдем квантово-механический результат, мы вернемся к вопросу о том, как восстановить классический предел.

Для изучения квантового случая рассмотрим следующую ситуацию: частица, падающая на барьер с левой стороны A →. Он может быть отражен (A ←) или передан (B →). Здесь и далее предположим, что E>V 0.

Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания для падения слева, мы положили в приведенных выше уравнениях A → = 1 (падающая частица), A ← = √R (отражение), B ← = 0 (нет входящей частицы справа) и B → = √Tk 1/k2(пропускание). Затем мы решаем для T и R.

Результат:

$T\; =\; 2\; k\; 1\; k\; 2\; k\; 1\; +\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{k\_\; \{1\}\; k\_\; \{2\}\}\}\}\; \{k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\}\}\}$

$R\; =\; k\; 1\; -\; k\; 2\; k\; 1\; +\; k\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{R\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{1\}\; -k\_\; \{2\}\}\; \{k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\}\}.\}$

Модель симметрична относительно преобразование четности и в то же время меняют местами k 1 и k 2. Следовательно, для падения справа у нас есть амплитуды для прохождения и отражения

$T\; \prime \; =\; T\; =\; 2\; k\; 1\; k\; 2\; k\; 1\; +\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\; \text{'}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\_\; \{1\}\; k\_\; \{2\}\}\}\}\; \{k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\}\}\}$

$R\; \prime \; =\; -\; R\; =\; k\; 2\; -\; k\; 1\; k\; 1\; +\; к\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{R\; \text{'}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{R\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{2\}\; -k\_\; \{1\}\}\; \{k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\}\}.\}$

Вероятность отражения и передачи при ступенчатом потенциале Хевисайда. Пунктиром: классический результат. Сплошные линии: квантовая механика. Для E < V0 классическая и квантовая задачи дают одинаковый результат.

Энергия меньше высоты ступеньки (E < V0)

Для энергий E < V0 волновая функция справа от ступенька экспоненциально затухает на расстоянии $1\; /\; (k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; (k\_\; \{2\})\}$.

Энергия, превышающая высоту ступеньки (E>V 0)

В этом диапазоне энергий передача и коэффициент отражения отличаются от классического случая. Они одинаковы для падения слева и справа:

$T\; =\; |\; T\; \prime \; |\; =\; 4\; k\; 1\; \ast \; k\; 2\; (k\; 1\; +\; k\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; |\; T\; \text{'}|\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4k\_\; \{1\}\; *\; k\_\; \{2\}\}\; \{(k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$R\; =\; |\; R\; \prime \; |\; =\; 1\; -\; T\; знак\; равно\; (К\; 1\; -\; К\; 2)\; 2\; (К\; 1\; +\; К\; 2)\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; =\; |\; R\; \text{'}|\; =\; 1-T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(k\_\; \{1\}\; -k\_\; \{2\})\; ^\; \{2\; \}\}\; \{(k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$

В пределе больших энергий E ≫ V 0 имеем k 1 ≈ k 2 и восстанавливается классический результат T = 1, R = 0.

Таким образом, существует конечная вероятность отражения частицы с энергией, превышающей высоту ступеньки..

• В случае большого положительного E и небольшого положительного шага T почти равно 1.
• Но в случае небольшого положительного E и большого отрицательного V, тогда R почти 1.

Другими словами, квантовая частица отражается от большого перепада потенциала (так же, как и от большой ступеньки потенциала). Это имеет смысл с точки зрения рассогласования импеданса, но кажется классически нелогичным...

Результат, полученный для R, зависит только от отношения E / V 0. На первый взгляд это кажется нарушением принципа соответствия, поскольку мы получаем конечную вероятность отражения независимо от значения постоянной Планка или массы частицы. Например, мы, кажется, предсказываем, что, когда шарик катится к краю стола, может быть большая вероятность того, что он отразится, а не упадет. Согласованность с классической механикой восстанавливается путем устранения нефизического предположения о том, что ступенчатый потенциал разрывен. Когда ступенчатая функция заменяется рампой, которая охватывает некоторое конечное расстояние w, вероятность отражения приближается к нулю в пределе $wk\; \to \; inf\; \{\backslash \; displaystyle\; wk\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; inf\}$, где k - волновое число частицы.

Релятивистский расчет свободной частицы, сталкивающейся со ступенчатым потенциалом, может быть получен с помощью релятивистской квантовой механики. Для случая 1/2 фермионов, таких как электроны и нейтрино, решения уравнения Дирака для высоких энергетических барьеров дают коэффициенты пропускания и отражения, которые не являются ограниченный. Это явление известно как парадокс Клейна. Кажущийся парадокс исчезает в контексте квантовой теории поля.

Шаговый потенциал Хевисайда в основном служит упражнением во вводной квантовой механике, поскольку решение требует понимания множества квантово-механических концепций. : нормализация волновой функции, непрерывность, амплитуды падения / отражения / прохождения и вероятности.

Проблема, аналогичная рассмотренной, возникает в физике границ раздела нормальный металл сверхпроводник. Квазичастицы рассеиваются на парном потенциале, который в простейшей модели можно предположить имеющим ступенчатую форму. Решение этой проблемы похоже на решение обсуждаемого ступенчатого потенциала Хевисайда. В случае сверхпроводника с нормальным металлом это вызывает андреевское отражение.

• Прямоугольный потенциальный барьер
• Конечная потенциальная яма
• Бесконечная потенциальная яма
• Дельта-потенциальный барьер (QM)
• Конечный потенциальный барьер (QM)

• Демистификация квантовой механики, D. McMahon, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
• Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
• Элементарная квантовая механика, NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5
• Стационарные состояния, A. Holden, College Physics Monographs ( USA), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3
• Квантовая механика, Э. Заарур, Я. Пелег, Р. Пнини, Очерки Шаума, Мак Гроу Хилл (США), 1998, ISBN 007-0540187

• Новая квантовая вселенная, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1.
• Квантовая теория поля, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
• Квантовая механика, Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6