Альфапедия

Уравнение Дирака

редактировать

Релятивистское квантово-механическое волновое уравнение

В физике элементарных частиц, уравнение Дирака - это релятивистское волновое уравнение, выведенное британским физиком Полом Дираком в 1928 году. В его свободной форме или с учетом электромагнитных взаимодействий, он присутствует все спин-1/2 массивные частицы, такие как электроны и кварки, для которых четность равна симметрия . Она согласуется как с принципами квантовой механики, так и с теорией специальной теории относительности, и была первой теорией, которая полностью объяснила специальную теорию относительности в контексте квантовой механики. Это было подтверждено путем тщательного учета мелких деталей водорода.

Уравнение также предполагало существование новой формы антивещества, которое раньше не подозревали и не наблюдали, и что было экспериментально подтверждено несколько лет спустя. Это также обеспечило теоретическое обоснование создания нескольких составляющих волновых функций в феноменологическую теорию спина Паули. Волновые функции в теории Дирака - это класс четырех комплексных чисел (известные как оры ), два из которых напоминают волновую функцию Паули в нерелятивистском пределе, в отличие от Уравнение Шингера, которое имеет волновые функции только одного комплексного значения. Более, в пределе нулевой массы Более уравнение сводится к уравнению Вейля.

Хотя Дирак сначала не полностью осознает важность своих результатов, связанное с этим объяснение спина как следствия объединения квантовых механика и теория относительности - и возможное открытие позитрона. - представьте себя один из величайших триумфов теоретической физики. Это достижение было описано как полностью сопоставимое с работами Ньютона, Максвелла и Эйнштейна до. В контексте квантовой теории уравнение Дирака переосмысливается для описания квантовых полей, соответствующих частицам со спином 1/2.

Содержание
  • 1 Математическая формулировка
    • 1.1 Создание релятивистского уравнения Шредингера
    • 1.2 Переворот Дирака
    • 1.3 Ковариантная форма и релятивистская инвариантность
    • 1.4 Сохранение вероятности
    • 1.5 Решения
    • 1.6 Сравнение с теорией Паули
    • 1.7 Сравнение с теорией Вейля
    • 1.8 Лагранжиан Дирака
  • 2 Физическая интерпретация
    • 2.1 Идентификация наблюдаемых
    • 2.2 Теория дыр
    • 2.3 В квантовой теории поля
  • 3 Другие формулировки
    • 3.1 Как дифференциальное уравнение в одной составляющей
    • 3.2 Искривленное пространство-время
    • 3.3 Алгебра физического пространства
    • 3.4 В полярной форме
  • 4 См. Также
    • 4.1 Статьи на уравнение Дирака
    • 4.2 Другие уравнения
    • 4.3 Другие темы
  • 5 Ссылки
    • 5.1 Избранные статьи
    • 5.2 Учебники
  • 6 Внешние ссылки
Математическая формулировка

Дирак уравнение в форме, используемой предложенной Дираком, имеет следующий вид:

уравнение Дирака (исходное)

(β mc 2 + c ∑ n = ⁡ 1 3 α npn) ψ (Икс, T) знак равно я ℏ ∂ ψ (Икс, T) ∂ T {\ Displaystyle \ left (\ beta mc ^ {2} + c \ sum _ {п \ mathop {=} 1 } ^ {3} \ alpha _ {n} p_ {n} \ right) \ psi (x, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial t}}}{\ displaystyle \ left (\ beta mc ^ {2} + c \ sum _ {n \ mathop {=} 1} ^ {3} \ alpha _ {n} p_ {n} \ right) \ psi (x, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial t}}}

где ψ = ψ (x, t) - волновая функция для электрона с массой покоя m с координатами x, t пространство-время. P 1, p 2, p 3 - это компоненты импульса, понимаемые как оператор импульса в уравнении Шредингера. Кроме того, c - это скорость света, а ħ - приведенная постоянная Планка. Эти фундаментальные физические константы отражают специальную теорию относительности и квантовую механику соответственно.

Целью Дирака при составлении этого уравнения было рассмотреть поведение релятивистски движущегося электрона, таким образом, рассматривать атом в соответствии с теорией относительности. Его довольно скромная надежда заключалась в том, что введенными таким образом поправки имеют отношение к проблеме атомных спектров. До этого времени предприняли попытки сделать старую квантовую теорию атома согласованной с теорией относительности, попытки основывались на дискретизации углового момента, хранящегося в возможно некруговой орбите атома. ядро, не удалось - и новая квантовая механика Гейзенберга, Паули, Джордана, Шредингера и самого Дирака недостаточно развиты для лечения этой проблемы. Первоначальные элементы намерения Дирака были удовлетворены, его уравнение имело более глубокое значение для материалов и ввело новые математические классы объектов, которые теперь включены элементы хотя фундаментальной физики.

Новые элементы в этом уравнении матрицы 4 × 4 αkи β, а также четырехкомпонентная волновая функция ψ. В ψ есть четыре компонента, потому что его оценка в любой заданной точке конфигурационного пространства - это биспинор. Он интерпретируется как суперпозиция электрона со спином вверх , электрона со спином вверх, позитрона со спином вверх и позитрона со спином вверх (см. ниже для дальнейшего обсуждения).

Матрицы 4 × 4 α k и β все эрмитовы и инволютивны :

α i 2 = β 2 = I 4 {\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I_ {4}}\ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I_ {4}

, и все они взаимно антикоммутируют (если i и j разные):

α я α J + α J α я знак равно 0 {\ Displaystyle \ alpha _ {i} \ alpha _ {j} + \ alpha _ {j} \ alpha _ {i} = 0}\ alpha _ {i} \ alpha _ {j} + \ alpha _ {j} \ alpha _ {i} = 0
α я β + β α i = 0 {\ displaystyle \ alpha _ {i} \ beta + \ beta \ alpha _ {i} = 0}\ alpha _ {i} \ beta + \ beta \ alpha _ {i} = 0

Эти матрицы и форма волновой функции имеют глубокое математическое значение. Алгебраическая структура, представленная гамма-английскими матрицами, была создана примерно 50 лет назадским математиком У. К. Клиффорд. В свою очередь, идеи Клиффорда возникли в середине 19 века в работе немецкого математика Германа Грассмана в его Lineale Ausdehnungslehre (Теория линейных расширений). Последнее считалось почти непонятным большинством его современников. Появление чего-то столь кажущегося абстрактным в столь поздний срок и в такой прямой физической форме - одна из самых замечательных глав в истории физики.

Таким единым символическим уравнением уравнение распадается на четыре линейных уравнения в частных производных первого порядка для величин четырех составляющих волновую функцию. Уравнение может быть записано более явно в единицах Планка как:

i ∂ t [ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4] = - i ∂ x [ψ 4 ψ 3 ψ 2 ψ 1] + ∂ Y [- ψ 4 ψ 3 - ψ 2 ψ 1] - я ∂ Z [ψ 3 - ψ 4 ψ 1 - ψ 2] + м [ψ 1 ψ 2 - ψ 3 - ψ 4] {\ displaystyle i \ partial _ {t} {\ begin {bmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\\ psi _ {3} \\\ psi _ {4} \ end {bmatrix}} = - i \ partial _ {x} {\ begin {bmatrix} \ psi _ {4} \\\ psi _ {3} \\\ psi _ {2} \\\ psi _ {1} \ end {bmatrix}} + \ partial _ {y} {\ begin {bmatrix} - \ psi _ {4} \\\ psi _ {3} \\ - \ psi _ {2} \\\ psi _ {1} \ end {bmatrix}} - i \ частичный _ {z} {\ begin {bmatrix} \ psi _ {3} \\ - \ psi _ {4} \\\ psi _ {1} \\ - \ psi _ {2} \ end {bmatrix}} + m {\ begin {bmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\ - \ psi _ {3} \\ - \ psi _ {4} \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle i \ partial _ {t} {\ begin {bmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\\ psi _ {3} \\\ psi _ {4 } \ end {bmatrix}} = - i \ partial _ {x} {\ begin {bmatrix} \ psi _ {4} \\\ psi _ {3} \\\ psi _ {2} \\\ psi _ { 1} \ end {bmatrix}} + \ partial _ {y} {\ begin {bmatrix} - \ psi _ {4} \\\ psi _ {3} \\ - \ psi _ {2} \\\ psi _ {1} \ end {bmatrix}} - i \ partial _ {z} {\ begin {bmatrix} \ psi _ {3} \\ - \ psi _ {4} \\\ psi _ {1} \\ - \ psi _ {2} \ end {bmatrix}} + m {\ begin {bmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\ - \ psi _ {3} \\ - \ psi _ {4 } \ end {bmatrix}}}

что проясняет, что это система из четырех дифференциальных функций в частных производных с четырьмя неизвестными функциями.

Делаем уравнение Шредингера релятивистским

Уравнение Дирака внешне похоже на уравнение Шредингера для массивной свободной частицы :

- ℏ 2 2 м ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ т ϕ. {\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ phi = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ phi.}- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ phi = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ phi.

Левая часть представляет собой квадрат изображения импульса, деленный на удвоенную массу, которая является нерелятивистской кинетической энергией. Рассматривает пространство как единое целое, релятивистское обобщение этого пространства требует, чтобы производные и временные входилиметрично, как в уравнениях Максвелла, которые управляют поведением света, - уравнения должны быть дифференциальными. того же порядка в космическом времени. В теории относительности импульса и энергии - это пространственная и временная части пространства-времени, четырехимпульса, и они связаны релятивистски инвариантным движением

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\ displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}}{\ displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}}

, в котором говорится, что длина этой четырех- лета пропорционален массе покоя м. Подставляющие операторные эквиваленты энергии и импульса из теории Шредингера, мы получаем уравнение Клейна - Гордона, описывающее распространение волн, построенное из релятивистски инвариантных объектов,

(- 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2) ϕ знак равно m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\ displaystyle \ left (- {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2})))))}} + \ nabla ^ {2} \ right) \ phi = {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ phi}\ left (- {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} + \ nabla ^ {2} \ right) \ phi = {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ phi

с Функция ϕ являющейся релятивистским скаляром: комплексным числом, имеющим одно и то же числовое значение во всех системах отсчета. И пространственные, и временные производные входят во второй порядок. Это имеет важное значение для интерпретации уравнения. Задайте начальные значения как самой волновой функции, так и ее первой производной по времени для решения задач задач. В данном состоянии не может быть другая роль в игре . В теории Шредингера плотность вероятности дается положительно определенным выражением

ρ = ϕ ∗ ϕ {\ displaystyle \ rho = \ phi ^ {*} \ phi \,}\ rho = \ phi ^ {*} \ phi \,

, и эта плотность конвектируется согласно вектору тока вероятности

J знак равно - я ℏ 2 м (ϕ ∗ ∇ ϕ - ϕ ∇ ϕ ∗) {\ Displaystyle J = - {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ phi ^ {*} \ nabla \ phi - \ phi \ nabla \ phi ^ {*})}J = - {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ phi ^ {*} \ nabla \ phi - \ phi \ nabla \ phi ^ {*})

с сохранением вероятности тока и плотности при следующих из условий неразрывности:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot J + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = факт.}\ nabla \ cdot J + {\ frac {\ partial \ rho} {\ частичное t}} = 0.

То, что плотность положительно определена в соответствии с этим уравнением неразрывности, означает, что мы можем интегрировать плотность в определенной области и установить общее в 1, и это условие будет поддерживаться период сохранения. Собственная релятивистская теория с током плотности вероятности также должна разделять это свойство. Теперь, если мы хотим сохранить понятие конвективной плотности, мы должны обобщить выражение Шредингера для плотности и тока, чтобы производные по пространству и времени снова входили симметрично по отношению к скалярной волновой функции. Нам разрешено сохранить выражение Шредингера для тока, но мы должны заменить вероятности симметрично сформированным выражением

ρ = i ℏ 2 m c 2 (ψ ∗ ∂ t ψ - ψ ∂ t ψ ∗). {\ displaystyle \ rho = {\ frac {я \ hbar} {2mc ^ {2}}} (\ psi ^ {*} \ partial _ {t} \ psi - \ psi \ partial _ {t} \ psi ^ { *}).}{\ displaystyl e \ rho = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} (\ psi ^ {*} \ partial _ {t} \ psi - \ psi \ partial _ {t} \ psi ^ {*}).}

, который теперь становится 4-м компонентом пространства-времени, и вся вероятность 4-плотности тока имеет релятивистски ковариантное выражение

J μ = i ℏ 2 m (ψ ∗ ∂ μ ψ - ψ ∂ μ ψ ∗) {\ Displaystyle J ^ {\ mu} = {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ psi ^ {*} \ partial ^ {\ mu} \ psi - \ psi \ partial ^ {\ mu} \ psi ^ {*})}J ^ {\ mu} = {\ frac { i \ hbar} {2m}} (\ psi ^ {*} \ partial ^ {\ mu} \ psi - \ psi \ partial ^ {\ mu} \ psi ^ {*})

Уравнение неразрывности прежнего прежнего. Теперь все совместимо с теорией относительности, но мы сразу видим, что выражение для плотности больше не является положительно определенным - начальные значения ψ и ∂ t ψ могут быть выбраны произвольно, и плотность, таким образом образом, может стать отрицательной, что невозможно законной плотности вероятности. Таким образом, мы можем получить обобщенное уравнение Шредингера наивном предположении, что волновая функция является релятивистским скаляром, а уравнение, оно удовлетворяет второго порядка по времени.

Хотя это уравнение не является удачным релятивистским обобщением уравнения Шредингера, оно возрождается в контексте квантовой теории поля, где оно как известно уравнение Клейна - Гордона. и есть поле бесспиновых частиц (например, пи-мезон или бозон Хиггса ). Исторически сложилось так, что сам Шредингер пришел к этому уравнению до того, что носило его имя, но оно отбросил его имя. В контексте квантовой теории поля под неопределенной плотностью понимаемая плотность заряда, которая может быть положительной или отрицательной, а не плотность вероятности.

Переворот Дирака

Таким образом, Дирак решил попробовать уравнение первого порядка как в пространстве, так и во времени. Можно, например, формально (т.е. путем злоупотребления обозначением ) взять релятивистское выражение для энергии

E = cp 2 + m 2 c 2, {\ displaystyle E = c {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2} c ^ {2}} \,,}E = c {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2} c ^ {2}}} \,,

заменить его операционным эквивалентом, развернуть квадратный корень в бесконечной серии из производных операторов, задайте задачу на собственные значения, а решите уравнение формально с помощью итераций. Большинство физиков мало верили в такой процесс, даже если это было технически возможно.

Как гласит история, Дирак смотрел в камин в Кембридже, обдумывая эту проблему, когда ему пришла в голову идея извлечь квадратный корень из волнового оператора следующим образом:

∇ 2 - 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = (A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + ic D ∂ t) (A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + ic D ∂ t). {\ displaystyle \ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} = \ left (A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ partial _ {z} + {\ frac {i} {c}} D \ partial _ {t} \ right) \ left (A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ partial _ {z} + {\ frac {i} {c}} D \ partial _ {t} \ right).}\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} } {\ partial t ^ {2}}} = \ left (A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ partial _ {z} + {\ frac {i} {c}} D \ partial _ {t} \ right) \ left (A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ par tial _ {z} + {\ frac {i} {c}} D \ partial_ {t} \ right).

При умножении правого мы видим, что для того, чтобы все перекрестные члены, такие как ∂ x∂y, исчезли, предположить, что

AB + BA = 0,… {\ displaystyle AB + BA = 0, \; \ ldots}AB + BA = 0, \; \ ldots

с

A 2 = B 2 =… = 1. {\ displaystyle A ^ {2} = B ^ {2} = \ ldots = 1. \,}A ^ {2} = B ^ {2} = \ ldots = 1. \,

Дирак, который только что было активно участвуя в разработке основанной матричной механики Гейзенберга , сразу понял, что эти учащиеся могут быть выполнены, если A, B, C и D являются матрицами, что подразумевает, что волновая функция имеет несколько компонентов. Это сразу же объяснило появление двухкомпонентных волновых функций в феноменологической теории спина Паули, что до того момента считалось загадочным даже для самого Паули. Как в простой теории Шредингера, так и для создания системы с необходимыми свойствами матриц. Четырехкомпонентная волновая функция представляет собой новый класс математических объектов в физических теориях, которые здесь впервые появляются.

Эти факторизацию в терминах матриц, теперь можно сразу записать уравнение

(A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + ic D ∂ t) = κ ψ {\ displaystyle \ left (A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ partial _ {z} + {\ frac {i} {c}} D \ partial _ {t} \ right) \ psi = \ kappa \ psi}\ left (A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ partial _ {z } + {\ frac {i} {c}} D \ partial _ {t} \ right) \ psi = \ kappa \ psi

с κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa , обращим определению. Применяя снова матричный оператор к обеим сторонам, получаем

(∇ 2 - 1 c 2 ∂ t 2) ψ = κ 2 ψ. {\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2} \ right) \ psi = \ kappa ^ {2} \ psi.}\ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2} \ right) \ psi = \ kappa ^ { 2} \ psi.

Взяв κ = mc ℏ {\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {mc} {\ hbar}}}{\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {mc} {\ hbar}}} , мы обнаруживаем, что все компоненты волновой функции по отдельности удовлетворяют релятивистскому использованию энергии - импульс. Таким образом, искомое уравнение первого порядка как по пространству, так и по времени:

(A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + ic D ∂ t - mc ℏ) ψ = 0. {\ displaystyle \ left ( A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ partial _ {z} + {\ frac {i} {c}} D \ partial _ {t} - {\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) \ psi = 0.}\ left (A \ partial _ {x} + B \ partial _ {y} + C \ partial _ {z} + {\ frac {i} {c}} D \ partial _ {t} - {\ frac {mc} {\ hbar}} \ справа) \ psi = 0.

Настройка

A = i β α 1, B = i β α 2, C = i β α 3, D = β, {\ displaystyle A = i \ beta \ alpha _ {1} \,, \, B = i \ beta \ alpha _ {2} \,, \, C = i \ beta \ alpha _ {3} \,, \, D = \ beta \,,}{\ Displaystyle А = я \ бета \ альфа _ {1} \,, \, В = я \ бета \ альфа _ {2} \,, \, С = я \ бета \ альфа _ {3} \,, \, D = \ beta \,, }

и поскольку D 2 = β 2 = I 4, {\ displaystyle D ^ {2} = \ beta ^ {2} = I_ {4} \,,}{ \ Displaystyle D ^ {2} = \ beta ^ {2} = I_ {4} \,,}

мы получаем уравнение Дирака, как написано выше.

Ковариантная форма и релятивистская инвариантность

Чтобы использовать релятивистскую инвариантность уравнения, полезно преобразовать его в форму, в которой производные по пространству и времени появляются на равные условия. Новые сформированные следующим образом:

D = γ 0, {\ displaystyle D = \ gamma ^ {0} \,,}{\ Displaystyle D = \ gamma ^ {0} \,,}
A = i γ 1, B = i γ 2, C = i γ 3, { \ displaystyle A = i \ gamma ^ {1} \,, \, B = i \ gamma ^ {2} \,, \, C = i \ gamma ^ {3} \,,}{\ displaystyle A = i \ gamma ^ {1} \,, \, B = i \ gamma ^ {2} \,, \, C = i \ gamma ^ {3} \,,}

и уравнение принимает Формула определения ковариантных компонентов 4-градиента и особенно то, что ∂ 0 = 1 / c∂ t)

уравнение Дирака

i ℏ γ μ ∂ μ ψ - mc ψ = 0 {\ displaystyle i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -mc \ psi = 0}i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -mc \ psi = 0

, где имеется подразумеваемое суммирование по значениям дважды повторяемого индекса μ = 0, 1, 2, 3 и ∂ μ - это 4-градиент. На практике часто записывают гамма-матрицы в терминах подматриц 2 × 2, взятых из матриц Паули и единичной матрицы 2 × 2 . Явно стандартным представлением является

γ 0 = (I 2 0 0 - I 2), γ 1 = (0 σ Икс - σ Икс 0), γ 2 знак равно (0 σ Y - σ Y 0), γ 3 знак равно (0 σ Z - σ Z 0). {\ Displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I_ {2} 0 \\ 0 -I_ {2} \ end {pmatrix}}, \ gamma ^ {1} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 \ sigma _ {x} \\ - \ sigma _ {x} 0 \ end {array}} \ right), \ gamma ^ {2} = \ left ({\ begin { array} {cccc} 0 \ sigma _ {y} \\ - \ sigma _ {y} 0 \ end {array}} \ right), \ gamma ^ {3} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 \ sigma _ {z} \ \ - \ sigma _ {z} 0 \ end {array}} \ справа). \,}{\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I_ {2} 0 \\ 0 -I_ {2} \ end {pmatrix}}, \ gamma ^ {1} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 \ sigma _ {x} \\ - \ sigma _ {x} 0 \ end {array}} \ right), \ gamma ^ {2} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 \ sigma _ {y} \\ - \ sigma _ {y} 0 \ end {array}} \ right), \ gamma ^ {3} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 \ sigma _ {z} \\ - \ sigma _ {z} 0 \ end {array}} \ right). \,}

Полная система резюмируется с помощью метрики формы Минковского в рисов-времени в

{γ μ, γ ν} = 2 η μ ν I 4 {\ displaystyle \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} I_ {4} \,}{\ displaystyle \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} I_ {4 } \,}

где квадратное выражение

{a, b} = ab + ba {\ displaystyle \ {a, b \} = ab + ba}\ {a, b \} = ab + ba

обозначает антикоммутатор. Это определяющие соотношения алгебры Клиффорда над псевдоортогональным 4-мерным пространством с метрической сигнатурой (+ - - -). Специальная алгебра Клиффорда, используемая в уравнении Дирака, сегодня известна как алгебра Дирака. Хотя в уравнении было выражено его таковым, в ретроспективе введение геометрической алгебры огромный шаг вперед в развитии квантовой теории.

Уравнение Дирака теперь может быть интерпретировано как уравнение собственные значения, где масса покоя пропорциональна собственному значению 4-приложения импульса, константа проявости, проявляющаяся скорость света:

P op ψ = mc ψ. {\ Displaystyle P _ {\ mathrm {op}} \ psi = mc \ psi. \,}P _ { \ mathrm {op}} \ psi = mc \ psi. \,

Использование ∂ / = def γ μ ∂ μ {\ displaystyle {\ partial \! \! \! /} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu}}{\ displaystyle {\ partial \! \! \! /} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu}} (∂ / {\ displaystyle {\ partial \! \! \! {\ big /}}}{\ partial \! \! \! {\ Big /}} произносит как «d-слэш»), согласно слэш-нотации Фейнмана, уравнение Дирака принимает следующий вид:

i ℏ ∂ / ψ - mc ψ знак равно 0. {\ Displaystyle я \ HBAR {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ psi -mc \ psi = 0.}{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \! \! \! {\ Big /}} \ psi -mc \ psi = 0.}

На практике физики часто используют такие единицы измерения, что ħ = c = 1, известная как натуральная единица. Затем уравнение принимает простую форму

уравнение Дирака (натуральные единицы)

(i ∂ / - m) ψ = 0 {\ displaystyle (i {\ partial \! \! \! {\ Big /}} - m) \ psi = 0 \,}(i {\ partial \! \! \! {\ Big /}} - m) \ psi = 0 \,

Фундаментальная теорема утверждает, что если даны два различных набора матриц, удовлетворяют м Клиффорда, то они связаны с каждым другим - преобразованием подобия :

γ μ ′ = S - 1 γ μ S. {\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ prime} = S ^ {- 1} \ gamma ^ {\ mu} S.}\ gamma ^ {\ mu \ prime} = S ^ {- 1} \ gamma ^ {\ mu} S.

Если, кроме того, все матрицы унитарны, как и Множество Дирака, то есть само S унитарно ;

γ μ ′ = U † γ μ U. {\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ prime} = U ^ {\ dagger} \ gamma ^ {\ mu} U.}\ gamma ^ {\ mu \ prime} = U ^ {\ dagger} \ gamma ^ { \ mu} U.

Преобразование уникально с точностью до мультипликативного множителя значения 1. Давайте теперь представьте, что преобразование Лоренца было выполнено для пространственных и временных координат, а также для производных операторов, которые образуют ковариантный вектор. Чтобы оператор γ∂ μ оставался инвариантным, гаммы должны преобразовываться между собой как контравариантный вектор относительно своего пространственно-временного индекса. Эти новые гаммы сами по себе удовлетворяют соотношениям Клиффорда из-за ортогональности преобразования Лоренца. Согласно теореме основного преобразования, мы заменили новое старым, приведим унитарному преобразованию. В новой системе рассчета, учитывая, что масса покоя является релятивистским скаляром, уравнение Дирака примет вид

(i U † γ μ U ∂ μ ′ - m) ψ (x ′, t ′) = 0 {\ displaystyle (iU ^ {\ dagger} \ gamma ^ {\ mu} U \ partial _ {\ mu} ^ {\ prime} -m) \ psi (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime}) = 0}(iU ^ {\ dagger} \ gamma ^ {\ mu} U \ partial _ {\ mu} ^ {\ prime} -m) \ psi (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime}) = 0
U † (я γ μ ∂ μ ′ - м) U ψ (x ′, t ′) = 0. {\ displaystyle U ^ {\ dagger} (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} ^ {\ prime} -m) U \ psi (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime}) = 0.}U ^ {\ dagger} (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} ^ {\ prime} -m) U \ psi (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime}) = 0.

Если мы теперь определим преобразованный спинор

ψ ′ = U ψ {\ displaystyle \ psi ^ {\ prime} = U \ psi}\ psi ^ {\ prime} = U \ psi

, тогда у нас есть преобразованное уравнение Дирака таким образом, который демонстрирует явную релятивистскую инвариантность :

(i γ μ ∂ μ ′ - m) ψ ′ (x ′, T ′) = 0. {\ Displaystyle (я \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} ^ {\ prime} -m) \ psi ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime}) = 0.}(i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} ^ {\ prime} -m) \ psi ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime}) = 0.

Таким образом, если мы остановимся на каком-либо унитарном представлении гамм, это будет окончательно при усло вии, ​​что мы преобразуем спинор в соответствии с унитарным преобразованием, которое соответствует данному Лоренц трансформирование. Различные представления матриц Дирака сосредоточить на конкретных характеристиках среды физиологические функции Дирака (см. Ниже). Представление, показанное здесь, известно, как стандартное представление - в нем две верхние волновые функции переходят в 2-спинорную волновую функцию Паули в пределе низких энергий и малых скоростей по сравнению со светом.

Приведенные выше соображения раскрывают происхождение гамм в геометрии, возвращаясь к исходной мотивации Грассмана - они представляют собой фиксированный базис единичных векторов в пространстве-времени. Аналогично, произведения гамм, такие как γ μγν, аналогично элементы ориентированной поверхности и так далее. Имея это в виду, мы можем найти форму единого пространства в пространстве времени в терминах гамм следующим образом. По определению это

V = 1 4! ϵ μ ν α β γ μ γ ν γ α γ β. {\ displaystyle V = {\ frac {1} {4!}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}.}V = {\ frac {1} {4!}} \ Epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ бета} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}.

Чтобы это было инвариантом, символ эпсилон должен быть тензором и, следовательно, должен содержать множитель √g, где g - определитель метрического тензора . Это отрицательно отрицательно, этот фактор является мнимым. Таким образом,

V = я γ 0 γ 1 γ 2 γ 3. {\ displaystyle V = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}. \}V = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}. \

Эта матрице присваивается специальный символ γ из-за его важности, когда один рассматривает неправильные преобразования пространства-времени, то есть те, которые изменяют ориентацию базисных векторов. В стандартном представлении это

γ 5 = (0 I 2 I 2 0). {\ displaystyle \ gamma _ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 I_ {2} \\ I_ {2} 0 \ end {pmatrix}}.}\ gamma _ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 I_ {2} \\ I_ {2} 0 \ end {pmatrix}}.

Эта матрица также будет антикоммутировать с другими четырьмя Матрицы Дирака:

γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} + \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {5} = 0}\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} + \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {5} = 0

Он играет ведущую роль, когда возникают вопросы о четности, потому что элемент объема как направленная величина меняет знак при отражении в пространстве-времени. Таким образом, извлечение положительного квадратного корня, приведенного выше, равносильно выбору пространства о хиральности-времени.

Сохранение вероятностного тока

Определение определения сопряженного спинора

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\ displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}{\ bar {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0 }

, где ψ - сопряженное транспонирование ψ, и заметив, что

(γ μ) † γ 0 = γ 0 γ μ {\ displaystyle (\ gamma ^ {\ mu}) ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} = \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu} \,}(\ gamma ^ {\ mu}) ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} = \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu} \, ,

получаем, взяв эрмитово сопряженное уравнение Дирака и умноженное справа на γ, сопряженное уравнение:

ψ ¯ (i γ μ ∂ μ + m) = 0 {\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m) = 0 \,}{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (я \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} + m) = 0 \,}

, где ∂ μ считается действующим налево. Умноженное уравнение Дирака на ψ слева и сопряженное уравнение на ψ справа и вычитая, сохранение закона тока Дирака:

∂ μ (ψ ¯ γ μ ψ) = 0. {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left (\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left) {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) = 0.}\ partial _ {\ mu} \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) = 0.

Теперь мы видим огромное преимущество уравнения первого порядка по сравнению с той, которую пробовал Шредингер - это сохраняющаяся плотность тока, необходимая для релятивистской инвариантности, только теперь ее 4-компонентный компонент положительно определен и, таким образом, соответствует роли плотности вероятности:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ. {\ displaystyle J ^ {0} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {0} \ psi = \ psi ^ {\ dagger} \ psi.}J ^ {0} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {0} \ psi = \ psi ^ {\ dagger} \ psi.

Теперь плотность вероятности теперь отображается как четвертый компонент релятивистского вектора, а не простого скаляра, как в уравнении Шредингера, он будет подвержен обычным эффектам преобразований Лоренца, таким как замедление времени. Таким образом, например, атомные процессы, которые наблюдаются как скорость, обязательно будут корректироваться в соответствии с теорией относительности, в то время как процессы, связанные с измерением энергии и импульса, которые сами по себе образуют релятивистский вектор. релятивистскую ковариацию наблюдаемых значений.

Решения

См. спинор Дирака для получения подробной информации о решениях уравнения Дирака. Обратите внимание, что, поскольку оператор Дирака действует на 4-кортежи интегрируемых с квадратом функциями, его решения должны быть членами того же гильбертова пространства. Тот факт, что энергии решений не имеют нижней границы, является неожиданным - подробнее см. Раздел теория дырок ниже.

Сравнение с теорией Паули

Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна-Герлаха. Пучок элементов проходит через сильное неоднородное магнитное, которое разделяется на N частей в зависимости от собственного углового момента элементов. Было обнаружено, что для элементов серебра луч был разделен на две части - поэтому основное состояние не могло быть целым числом, потому что даже если собственный угловой момент атомы были как можно меньше, 1, пучок был бы разделен на три части, соответствующие атомам с L z = -1, 0, +1. Вывод состоит в том, что чистый собственный угловой момент металла равен ⁄ 2. . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление, введя двухкомпонентную функцию и соответствующий поправочный член в гамильтониан <128.>, представляющий полуклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, как в единицах СИ : (Обратите внимание, что жирные символы означают евклидовы поверхности в 3 размеры, тогда как Минковского четырехвектор Aμможно определить как A μ = (ϕ / c, - A) {\ displaystyle A _ {\ mu} = (\ phi / c, - \ mathbf {A})}{\ displaystyle A _ {\ mu} = (\ phi / c, - \ mathbf {A})} .)

H = 1 2 m (σ ⋅ (p - e A)) 2 + e ϕ. {\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ right) ^ {2} + e \ phi.}H = {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ вправо) ^ {2} + e \ phi.

Здесь A и ϕ {\ displaystyle \ phi}\ фи включить компоненты электромагнитного четырехпотенциала в своих стандартных единицах СИ, а три сигмы - это матрицы Паули. При возведении в квадрат первого члена обнаруживается остаточное взаимодействие с магнитным полем, наряду с обычным классическим гамильтонианом заряженной частицы, используемой с приложенным полем в единицах СИ :

H = 1 2 м (p - e A) 2 + е ϕ - е ℏ 2 м σ B. {\ Displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) ^ {2} + e \ phi - {\ frac {e \ hbar} {2m}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B}.}H = {\ frac {1} {2m}} \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) ^ {2} + e \ phi - {\ frac {е \ hbar} {2m}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B}.

Этот гамильтониан теперь является матрицей 2 × 2, поэтому уравнение Шредингера на его основу использовать двухкомпонентную волновую функцию. При введении внешнего электромагнитного 4-фактора в уравнение Дирака другим образом, как минимальная связь, он принимает вид:

(γ μ (i ℏ ∂ μ - e A μ) - mc) ψ = 0. {\ displaystyle (\ gamma ^ {\ mu} (i \ hbar \ partial _ {\ mu} -eA _ {\ mu}) - mc) \ psi = 0 \,.}{\ displaystyle (\ gamma ^ {\ mu} (я \ hbar \ partial _ {\ mu} -eA _ {\ mu}) -mc) \ psi = 0 \,.}

Второе применение оператора Дирака теперь будет воспроизводить член Паули точно так же, как и раньше, потому что пространственные матрицы Дирака, умноженные на i, имеют те же свойства возведения в квадрат и коммутацию, что и матрицы Паули. Более того, значение гиромагнитного отношения электрона, стоящего перед новым членом Паули, объясняется из первых принципов. Это было крупным достижением уравнения Дирака, которое вселило в физиков большее в его правильность. Однако есть еще кое-что. Теорию Паули можно рассматривать как низкоэнергетический предел теории Дирака следующим образом. Сначала уравнение записывается в связанные уравнения для 2-спиноров с восстановленными единицами СИ:

((mc 2 - E + e ϕ) c σ ⋅ (p - e A) - c σ ⋅ (p - e A) (mc 2 + E - e ϕ)) (ψ + ψ -) = (0 0). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} (mc ^ {2} -E + e \ phi) c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \\ - c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ left (mc ^ {2} + Ee \ phi \ right) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {+} \\\ psi _ {-} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}. }{\ begin {pmatrix} (mc ^ {2} -E + e \ phi) c {\ boldsymbol { \ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \\ - c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ left (mc ^ {2} + Ee \ phi \ right) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {+} \\\ psi _ {-} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \ \ 0 \ end {pmatrix}}.

так

(E - e ϕ) ψ + - c σ ⋅ (p - e A) ψ - = mc 2 ψ + {\ displaystyle (Ee \ phi) \ psi _ {+} - c { \ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {-} = mc ^ {2} \ psi _ {+}}(Ee \ phi) \ psi _ {+} - c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {-} = mc ^ {2} \ psi _ {+}
- (E - е ϕ) ψ - + c σ ⋅ (п - e A) ψ + = mc 2 ψ - {\ displaystyle - (Ee \ phi) \ psi _ {-} + c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {+} = mc ^ {2} \ psi _ {-}}- (Ee \ phi) \ psi _ {-} + c {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {+} = mc ^ {2} \ psi _ {-}

Предполагаемая, что поле слабое и движение нерелятивистского электрона, полная энергия электрона примерно равна его энергия покоя, импульс goi ng к классическому значению,

E - e ϕ ≈ mc 2 {\ displaystyle Ee \ phi \ приблизительно mc ^ {2}}Ee \ phi \ приблизительно mc ^ {2}
p ≈ mv {\ displaystyle \ mathbf {p} \ приблизительно m \ mathbf {v}}\ mathbf {p} \ приблизительно m \ mathbf {v}

и поэтому второе уравнение можно записать в виде

ψ - ≈ 1 2 mc σ ⋅ (p - e A) ψ + {\ displaystyle \ psi _ {-} \ приблизительно {\ frac {1} {2mc}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {+}}\ psi _ { -} \ приблизительно { \ frac {1} {2mc}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ psi _ {+}

порядок v / c - таким образом, при типичных энергиях и скоростях нижних компонентов спинора Дирака в стандартном представлении значительно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первом уравнении дает после некоторой перестановки

(E - mc 2) ψ + = 1 2 m [σ ⋅ (p - e A)] 2 ψ + + e ϕ ψ + {\ displaystyle (E- mc ^ {2}) \ psi _ {+} = {\ frac {1} {2m}} \ left [{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A}) \ right) \ right] ^ {2} \ psi _ {+} + e \ phi \ psi _ {+}}(E-mc ^ {2}) \ psi _ {+} = {\ frac {1} {2m}} \ left [{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} -e \ mathbf {A} \ right) \ right] ^ {2} \ psi _ {+ } + е \ phi \ psi _ {+}

Оператор слева представляет частицы, уменьшенную на ее энергию покоя, которая является классической энергией, поэтому мы восстановим теорию Паули, если отождествим его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать при низких энергиях и скоростях. Это также было большим триумфом для нового уравнения, поскольку оно прослеживало загадочное i, которое появляется в нем, и необходимость сложной волновой функции обратно к геометрии пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя на первый взгляд имеет форму уравнения диффузии , на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что это разделение спинора Дирака на большие и малые компоненты явно зависит от низкоэнергетического приближения. Весь спинор Дирака представляет собой неприводимое целое, и компоненты, которыми мы только что пренебрегли, чтобы прийти к теории Паули, принесут новые явления в релятивистском режиме - антивещество и идею сотворения и аннигиляция частиц.

Сравнение с теорией Вейля

В пределе m → 0 уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля, которое описывает релятивистский безмассовый спин- ⁄ 2 частицы.

Лагранжиан Дирака

И уравнение Дирака, и сопряженное уравнение Дирака могут быть получены из (варьирования) действия с определенной плотностью лагранжиана, которая определяется как:

L = я ℏ с ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ - mc 2 ψ ¯ ψ {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ hbar c {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -mc ^ {2} {\ overline {\ psi}} \ psi}{\ mathcal {L}} = i \ hbar c {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -mc ^ {2} {\ overline {\ psi}} \ psi

Если изменить это относительно ψ, то получится присоединенное уравнение Дирака. Между тем, если изменить это относительно ψ, получится уравнение Дирака.

Определенная Физическая интерпретация

Идентификация наблюдаемых

Критический физический вопрос в квантовой теории: какие физически наблюдаемые величины теорией? Согласно условиям постулатам квантовой механики, такие значения эрмитовыми операторами, которые находятся в гильбертовом пространстве возможных состояний системы. В таком случае собственные возможности этих операторов являются возможными исходными измерения. величины. В теории Шредингера простейшим таким объектом является общий гамильтониан, который представляет полную энергию системы. Если мы хотим сохранить эту интерпретацию при переходе к теории Дирака, мы должны принять гамильтониан как

H = γ 0 [m c 2 + c γ k (p k - q A k)] + q A 0. {\ displaystyle H = \ gamma ^ {0} \ left [mc ^ {2} + c \ gamma ^ {k} \ left (p_ {k} -qA_ {k} \ right) \ right] + qA ^ {0 }.}{\ displaystyle H = \ гамма ^ {0} \ left [mc ^ {2} + c \ gamma ^ {k} \ left (p_ {k} -qA_ {k} \ right) \ right] + qA ^ {0}.}

где, как всегда, имеется подразумеваемое суммирование по дважды повторяемому индексу k = 1, 2, 3. Это выглядит многообещающим, потому что мы видим, наблюдая за частица, а в случае A = 0 - энергия заряда, помещенного в электрический потенциал qA. А как насчет члена с векторным потенциалом? В классической электродинамике энергия заряда, движущегося в приложенном потенциале, равна

H = c (p - q A) 2 + m 2 c 2 + q A 0. {\ displaystyle H = c {\ sqrt {\ left (p-qA \ right) ^ {2} + m ^ {2} c ^ {2}}} + qA ^ {0}.}{\ displaystyle H = c {\ sqrt {\ left (p-qA \ right) ^ {2} + m ^ {2} c ^ {2}}} + qA ^ {0}.}

Таким образом, Гамильтониан Дирака фундаментально отличается от своего классического аналога, и мы должны очень внимательно относиться к правильному определению того, что наблюдается в его теории. Большая часть явно парадоксального поведения, подразумеваемое уравнение Дирака, сводится к неверной идентификации этих наблюдаемых.

Теория дыр

Отрицательные E-решения уравнения проблематичны, поскольку предполагалось, что частица обладает положительной энергией. С математической точки зрения, однако, у нас нет причин отказываться от решений с отрицательной энергией. Мы не можем просто использовать их, поскольку только мы учтем взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, помещенный в собственное состояние с положительной энергией, распадется на собственные состояния с отрицательной энергией с более низкой энергией. Настоящие электроны, очевидно, не ведут себя подобным образом, иначе они бы исчезли, испуская энергия в виде фотонов.

. Чтобы справиться с этой проблемой, Дирак ввел гипотезу, известную как теория дырок, что вакуум является квантовым состоянием многих тел, в заняты все собственные состояния электронов с отрицательной энергией. Это описание вакуума как «моря» электронов называется морем Дирака. Принцип запрета запрета Паули запрещает электронам занимать одно и то же состояние, любой дополнительный электрон будет вынужден занимать собственное состояние с положительной энергией, а электронам с положительной энергией будет запрещено распадаться на собственные состояния с отрицательной энергией.

. от времени теории Дирака. Этот вывод можно сделать из объяснения теории дыр, приведенного в предыдущем абзаце. Последние результаты опубликованы в журнале Nature [R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Zaehringer, E. Solano, R. Blatt, and C. Roos, Nature 463, 68-71 (2010)], в которой характеристика Zitterbewegung моделировалась в эксперименте с захваченными ионами. Этот эксперимент влияет на интерпретацию дыр, если кто-то делает вывод, что физико-лабораторный эксперимент - это не просто проверка математической правильности решения уравнения Дирака, но измерение реального эффекта, обнаруживаемость которого в электронной физике все еще недостижима.

Дирак далее рассуждал, что если собственные состояния с отрицательной энергией заполнены полностью незанятое собственное состояние - называемое дырой - будет вести себя как положительно заряженная частица. Дырка обладает положительной энергией, поскольку энергия требуется для создания пары части-дырка из вакуума. Как отмечалось выше, Дирак указал, что дырка может быть протоном, но Герман Вейль указал, что дырка должна вести себя так, как если бы она имела ту же массу, что и электрон, тогда как протон более чем в 1800 раз тяжелее. В конечном итоге дыра была идентифицирована как позитрон, экспериментально обнаруженный Карлом Андерсоном в 1932 году.

Не совсем удовлетворительно описывать «вакуум», используя бесконечное море. электронов отрицательной энергии. Бесконечно отрицательные вклады моря электронов с отрицательной энергией должны быть компенсированы бесконечной положительной «голой» энергией, а вклад в плотность заряда и ток, исходящий от моря электронов с отрицательной энергией, в точности компенсируется бесконечным положительным "желе " фон, так что чистая плотность электрического тока вакуума равна нулю. В квантовой теории поля, преобразование Боголюбова на операторы рождения и уничтожения (превращение занятого состояния электрона с отрицательной энергией в свободное состояние позитрона с положительной энергией и незанятое электронное состояние с отрицательной энергией в занятое состояние позитрона с положительной энергией) позволяет нам обойти формулизм моря Дирака, хотя формально он эквивалентен ему.

в некоторых приложениях физики конденсированного состояния являются основными принципами теории дыр. Море электронов проводимости в электрическом проводнике, называемом морем Ферми, содержит электроны с энергией до химического потенциала система. Незаполненное состояние в море Ферми ведет себя как положительно заряженный электрон, хотя его называют «дыркой», а не «позитроном». Отрицательный заряд моря Ферми уравновешивается положительно заряженной ионной решеткой материала.

В квантовой теории поля

В квантовых теориях поля, таких как квантовая электродинамика, поле Дирака подвергается процессу секунд квантование, которое разрешает некоторые парадоксальные особенности уравнения.

Другие формулировки

Уравнение Дирака может быть сформулировано другими способами.

Как дифференциальное уравнение с одной действующей компонентой

В общем случае (если некоторая линейная функция электромагнитного поля не обращается в нуль тождественно исключение), три из четырех компонентов спинорной функции в уравнении Дирака может алгебраически получить, получив эквивалентное уравнение в частных производных четвертого порядка только для одного компонента. Кроме того, этот оставшийся компонент можно сделать реальным с помощью калибровочного преобразования.

Искривленное пространство-время

В этой статье было разработано уравнение Дирака для плоского пространства-времени в соответствии со специальной теорией относительности. Можно указать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени.

Алгебра физического

В этой статье Дирака было разработано с использованием четырех векторов и операторов Шредингера. Уравнение Дирака в алгебре физического пространства использует алгебру Клиффорда над действительными числами, тип геометрической алгебры.

В полярной форме

Для спинора Дирака можно показать, что всегда можно найти локальные преобразования Лоренца, для которых спинор записан в так называемой полярной форме, т. Е. форма, проявляющая только две физические степени свободы, задаваемые скалярными и псевдоскалярными билинейными величинами: уравнение спинорного поля Дирака всегда можно записать в полярной форме, которая является определяющей все производные скалярной и псевдоскалярной величин. сами скалярные билинейные величины. В этой формулировке уравнение спинорного вектора Дирака (которое представляет собой четыре уравнения комплексных уравнений, а значит, все восемь уравнений) преобразуется в эквивалентную систему двух физических уравнений (которые являются двумя 4-мерными уравнениями, и, таким образом, снова восемь равных в целом)). Это так называемая полярная форма уравнения Дирака.

См. Также

Уравнение Дирака появляется на полу Вестминстерского аббатства на мемориальной доске, посвященной жизни Поля Дирака., который был представлен 13 ноября 1995 г.

Статьи по уравнению Дирака

Другие уравнения

Другие темы

Ссылки

Выбранный

Учебники

Внешние ссылки
Викицитатник содержит цитаты, связанные с: уравнением Дирака

Последняя правка сделана 2021-05-17 07:22:56
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте