Прямоугольный потенциальный барьер

редактировать

Область, где потенциал имеет локальный максимум

В квантовой механике прямоугольный (или, иногда, квадрат ) потенциальный барьер - это стандартная одномерная задача, которая демонстрирует явления волново-механического туннелирования (также называется «квантовым туннелированием») и волново-механическим отражением. Задача состоит в решении одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы, сталкивающейся с прямоугольным потенциальным энергетическим барьером. Обычно предполагается, как и здесь, что свободная частица ударяется о барьер слева.

Хотя классически частица, ведущая себя как точечная масса, будет отражаться, частица, которая на самом деле ведет себя как волна материи, имеет ненулевую вероятность проникнуть через барьер и продолжить свое движение как волна. с другой стороны. В классической волновой физике этот эффект известен как затухающая волна связи. Вероятность того, что частица пройдет через барьер, определяется коэффициентом пропускания , тогда как вероятность того, что она отражается, определяется коэффициентом отражения . Волновое уравнение Шредингера позволяет рассчитать эти коэффициенты.

Содержание

1 Расчет
2 E = V 0
3 Пропускание и отражение
4 Анализ полученных выражений
- 4.1 E < V0
- _V0 ">4.2 E>V 0
- 4.3 E = V 0
5 Замечания и приложения
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Расчет

Рассеяние на конечном потенциальном барьере высотой

V 0 {\ displaystyle V_ {0}}

V_ {0}

. Показаны амплитуды и направление движущихся влево и вправо волн. Красным цветом обозначены волны, используемые для получения амплитуды отражения и передачи.

E>V 0 { \ displaystyle E>V_ {0}}

E>V_ {0}

для этой иллюстрации.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции $ψ (x) {\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi ( x)$ читает

H ψ (x) = [- ℏ 2 2 md 2 dx 2 + V (x)] ψ (x) = E ψ (x) {\ displaystyle H \ psi (x) = \ left [- {\ гидроразрыв {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ fra c {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V (x) \ right] \ psi (x) = E \ psi (x)}

H \ psi (x) = \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ fr ac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V (x) \ right] \ psi (x) = E \ psi (x)

где $H {\ displaystyle H}$ $H$ - гамильтониан, $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ - (уменьшенная) постоянная Планка, $m {\ displaystyle m}$ $m$ - это масса, $E {\ displaystyle E}$ $E$ энергия частицы и

V (x) = V 0 [Θ (x) - Θ (x - a)] {\ displaystyle V (x) = V_ {0} [\ Theta (x) - \ Theta (xa)]}

V (x) = V_ {0} [\ Theta (x) - \ Theta (xa)]

- потенциал барьера с высотой $V 0>0 {\ displaystyle V_ {0}>0}$ $V_{0}>0$ и шириной $a {\ displaystyle a}$ $a$ . $Θ (x) = 0, x < 0 ; Θ ( x) = 1, x>0 {\ displaystyle \ Theta (x) = 0, \; x <0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$ $\Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0$

- это ступенчатая функция Хевисайда, т.е.

V (x) = {0 if x < 0 V 0 if 0 < x < a 0 if a < x {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0{\text{if }}x<0\\V_{0}{\text{if }}0

Барьер расположен между

x = 0 {\ displaystyle x = 0}

x = 0

x = a {\ displaystyle x = a}

x = a

. Барьер можно переместить в любую позицию

x {\ displaystyle x}

x

без изменения результатов. Первый член гамильтониана,

- ℏ 2 2 md 2 dx 2 ψ {\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi}

- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi

- кинетическая энергия.

Барьер делит пространство на три части ( $x < 0, 0 < x < a, x>a {\ displaystyle x <0,0 a}$ $x<0,0<x<a,x>a$ ). В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица является квази- свободно, а решение уравнения Шредингера может быть записано как суперпозиция левых и правых движущихся волн (см. свободная частица ). Если $E>V 0 {\ displaystyle E>V_ {0}}$ $E>V_ {0}$

ψ L (x) = A reik 0 x + A le - ik 0 xx < 0 {\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}\quad x<0}

\ psi _ {L} (x) = A_ {r} e ^ {{ik_ {0} x}} + A_ {l} e ^ {{- ik_ {0} x}} \ quad x <0

ψ C (x) = B reik 1 x + B le - ik 1 x 0 < x < a {\displaystyle \psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}\quad 0

ψ R (x) = C reik 0 x + C le - ik 0 xx>a {\ displaystyle \ psi _ {R} (x) = C_ {r} e ^ {ik_ {0} x} + C_ { l} e ^ {- ik_ {0} x} \ quad x>a}

\psi _{R}(x)=C_{r}e^{{ik_{0}x}}+C_{l}e^{{-ik_{0}x}}\quad x>a

где волновые числа связаны с энергией через

k 0 = 2 м E / ℏ 2 x < 0 o r x>a {\ displaystyle k_ {0} = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}} \ quad \ quad \ quad \ quad x <0\quad or\quad x>a}

$k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{{2}}}}\quad \quad \quad \quad x<0\quad or\quad x>a$

k 1 = 2 м (E - V 0) / ℏ 2 0 < x < a {\displaystyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}\quad 0 .

Индекс

r {\ displaystyle r}

r

l {\ displaystyle l}

l

на коэффициенты

A {\ displaystyle A}

A

B {\ displaystyle B}

B

обозначает направление вектора скорости. Обратите внимание, что если энергия частицы ниже высоты барьера,

k 1 {\ displaystyle k_ {1}}

k_ {1}

становится мнимым, а волновая функция экспоненциально затухает внутри барьера. Тем не менее, мы сохраняем обозначение r / l, хотя в этом случае волны больше не распространяются. Здесь мы приняли

E ≠ V 0 {\ displaystyle E \ neq V_ {0}}

E \ neq V_ {0}

. Случай

E = V 0 {\ displaystyle E = V_ {0}}

E = V_ {0}

рассматривается ниже.

Коэффициенты $A, B, C {\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ должны быть найдены из граничных условий волновой функции при $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ и $x = a {\ displaystyle x = a}$ $x = a$ . Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными везде, поэтому

ψ L (0) = ψ C (0) {\ displaystyle \ psi _ {L} (0) = \ psi _ { C} (0)}

\ psi _ {L} (0) = \ psi _ {C} (0)

ddx ψ L (0) = ddx ψ C (0) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {L} (0) = {\ frac {d } {dx}} \ psi _ {C} (0)}

{\ frac {d} {dx}} \ psi _ {L} (0) = {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {C} ( 0)

ψ C (a) = ψ R (a) {\ displaystyle \ psi _ {C} (a) = \ psi _ {R} (a)}

\ psi _ {C} (a) = \ psi _ {R} (a)

ddx ψ C (a) = ddx ψ R (a) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {C} (a) = {\ frac {d} {dx} } \ psi _ {R} (a)}

{\ frac {d} {dx}} \ psi _ {C} (a) = {\ frac {d} {dx }} \ psi _ {R} (a)

Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

A r + A l = B r + B l {\ displaystyle A_ {r} + A_ {l} = B_ {r} + B_ {l}}

A_ {r} + A_ {l} = B_ {r} + B_ {l}

ik 0 (A r - A l) = ik 1 (B r - B l) {\ displaystyle ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = ik_ {1} (B_ {r} -B_ {l})}

ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = ik_ { 1} (B_ {r} -B_ {l})

B reiak 1 + B le - iak 1 = C reiak 0 + C le - iak 0 {\ displaystyle B_ { r} e ^ {iak_ {1}} + B_ {l} e ^ {- iak_ {1}} = C_ {r} e ^ {iak_ {0}} + C_ {l} e ^ {- iak_ {0} }}

B_ {r} e ^ {{iak_ {1}}} + B_ {l} e ^ {{- iak_ {1}}} = C_ {r} e ^ {{iak_ {0}}} + C_ {l} e ^ {{- iak_ {0}}}

ik 1 (B reiak 1 - B le - iak 1) = ik 0 (C reiak 0 - C le - iak 0) {\ displaystyle ik_ {1} (B_ {r} e ^ {iak_ {1}} - B_ {l} e ^ {- iak_ {1}}) = ik_ {0} (C_ {r} e ^ {iak_ {0}} - C_ {l} e ^ {- iak_ { 0}})}

ik_ {1} (B_ {r} e ^ {{iak_ {1}}} - B_ {l} e ^ {{- iak_ {1}}}) = ik_ {0} (C_ {r} e ^ {{iak_ {0}}} - C_ {l} e ^ {{- iak_ {0}}) })

E = V 0

Если энергия равна высоте барьера, второй дифференциал волновой функции внутри области барьера равен 0, и, следовательно, решения уравнения Шредингера больше не экспоненциальные, а линейные функции пространственной координаты

ψ C (x) = B 1 + B 2 x 0 < x < a. {\displaystyle \psi _{C}(x)=B_{1}+B_{2}x\quad 0

Полное решение уравнения Шредингера находится так же, как и выше, путем сопоставления волновых функций и их производных в

x = 0 {\ displaystyle x = 0}

x = 0

x = a {\ displaystyle x = a}

x = a

. Это приводит к следующим ограничениям на коэффициенты:

A r + A l = B 1 {\ displaystyle A_ {r} + A_ {l} = B_ {1} \, \!}

A_ {r} + A_ {l} = B_ {1} \, \!

ik 0 (A р - A l) знак равно B 2 {\ displaystyle ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = B_ {2} \, \!}

ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = B_ {2} \, \!

B 1 + B 2 a = C reiak 0 + C le - iak 0 {\ displaystyle B_ {1} + B_ {2} a = C_ {r} e ^ {iak_ {0}} + C_ {l} e ^ {- iak_ {0}}}

B_ {1} + B_ {2} a = C_ {r} e ^ {{iak_ {0}}} + C_ {l} e ^ {{- iak_ {0}}}

B 2 = ik 0 (C reiak 0 - C le - iak 0) {\ displaystyle B_ {2} = ik_ {0} (C_ {r} e ^ {iak_ {0}} - C_ {l} e ^ {- iak_ {0}})}

B_ {2} = ik_ {0} (C_ {r} e ^ {{iak_ {0}} } -C_ {l} e ^ {{- iak_ {0 }}})

Передача и отражение

Здесь поучительно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией $E {\ displaystyle E}$ $E$ , превышающей высоту барьера $V 0 {\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ , всегда будет преодолевать барьер, и классическая частица с $E < V 0 {\displaystyle E$ $E <V_ {0}$ , падающая на барьер, всегда будет отражаться.

Чтобы изучить квантовый случай, рассмотрим следующую ситуацию: частица, падающая на барьер с левой стороны ( $A r {\ displaystyle A_ {r}}$ $A_ {r}$ ). Он может быть отражен ( $A l {\ displaystyle A_ {l}}$ $A_{l}$ ) или передан ( $C r {\ displaystyle C_ {r}}$ $C_ {r}$ ).

Чтобы найти амплитуды отражения и передачи при падении слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения $A r = 1 {\ displaystyle A_ {r} = 1}$ $A_ {r} = 1$ ( входящая частица), $A l = r {\ displaystyle A_ {l} = r}$ $A_ {l} = r$ (отражение), $C l {\ displaystyle C_ {l}}$ $C_ {l}$ = 0 (нет входящей частицы справа) и $C r = t {\ displaystyle C_ {r} = t}$ $C_ {r} = t$ (передача). Затем мы исключаем из уравнения коэффициенты $B l, B r {\ displaystyle B_ {l}, B_ {r}}$ $B_ {l }, B_ {r}$ и решаем для $r {\ displaystyle r}$ $r$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ .