Пространство положения и импульса

Физические пространства, представляющие положение и импульс, преобразование Фурье двойственно

В физике и geometry, есть два тесно связанных векторных пространства, обычно трехмерных, но в целом может быть любое конечное число измерений.

Позиционное пространство (также реальное пространство или координата пробел ) - это набор всех векторов позиций rв пространстве, и имеет размеры из длины. Вектор положения определяет точку в пространстве. Если вектор положения точечной частицы изменяется со временем, он будет отслеживать путь, траекторию частицы. Пространство импульса - это набор всех векторов импульса p, которые может иметь физическая система. Вектор импульса частицы соответствует ее движению в единицах [масса] [длина] [время].

Математически двойственность между положением и импульсом является примером дуальности Понтрягина. В частности, если функция задана в пространстве позиций, f (r ), то ее преобразование Фурье получает функцию в пространстве импульсов, φ (стр ). И наоборот, обратное преобразование импульсной пространственной функции - это позиционная пространственная функция.

Эти величины и идеи выходят за рамки всей классической и квантовой физики, и физическая система может быть описана с использованием либо положений составляющих частиц, либо их импульсов, обе формулировки эквивалентно предоставляют одинаковую информацию о рассматриваемой системе.. Еще одно количество полезно определить в контексте волн. Волновой вектор k(или просто «k -вектор») имеет размерность обратной длины, что делает его аналогом угловой частоты ω который имеет размерность обратного времени. Набор всех волновых векторов - это k-пространство . Обычно r интуитивно понятнее и проще, чем k, хотя может быть и обратное, например, в физике твердого тела.

Квантовая механика предоставляет два основные примеры двойственности между положением и импульсом, принцип неопределенности Гейзенберга ΔxΔp ≥ ħ / 2, утверждающий, что положение и импульс не могут быть одновременно известны с произвольной точностью, и соотношение де Бройля p= ħ k, в котором говорится, что импульс и волновой вектор свободной частицы пропорциональны друг другу. В этом контексте, когда это однозначно, термины «импульс » и «волновой вектор» используются взаимозаменяемо. Однако в кристалле соотношение де Бройля неверно.

Содержание

• 1 Позиционные и импульсные пространства в классической механике
  • 1.1 Лагранжева механика
  • 1.2 Гамильтонова механика
• 2 Позиционные и импульсные пространства в квантовой механике
• 3 Связь между пространством и обратным пространством
  • 3.1 Функции и операторы в пространстве позиций
  • 3.2 Функции и операторы в пространстве импульсов
• 4 Унитарная эквивалентность между оператором положения и импульса
• 5 Взаимное пространство и кристаллы
• 6 См. Также
• 7 Сноски
• 8 Ссылки

Позиционные и импульсные пространства в классической механике

Лагранжева механика

Чаще всего в лагранжевой механике лагранжиан L (q, d q / dt, t) находится в конфигурационном пространстве, где q = (q 1, q 2,..., q n) представляет собой n- кортеж из обобщенных координат. Уравнения Эйлера – Лагранжа движения:

$d\; d\; t\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; L\; \partial \; q\; i,\; q\; \dot{}\; i\; \equiv \; d\; q\; i\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{dq\_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; \backslash ,.\}$

(Одна точка указывает на производная по времени ). Вводя определение канонического импульса для каждой обобщенной координаты

$pi\; =\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{\; i\}\}\}\; \backslash ,,\}$

уравнения Эйлера – Лагранжа принимают вид

$p\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; L\; \partial \; qi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Лагранжиан может быть выражен в импульсном пространстве также, L '(p, d p / dt, t), где p = (p 1, p 2,..., p n) представляет собой набор из n обобщенных импульсов. преобразование Лежандра выполняется для изменения переменных в полном дифференциале лагранжиана обобщенного координатного пространства;

$d\; L\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (\partial \; L\; \partial \; qidqi\; +\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; idq\; \dot{}\; i)\; +\; \partial \; L\; \partial \; tdt\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (p\; \dot{}\; idqi\; +\; pidq\; \dot{}\; i)\; +\; \partial \; L\; \partial \; tdt,\; \{\backslash \; displaystyle\; dL\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; dq\_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial)\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; d\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; dt\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (\{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; dq\_\; \{i\}\; +\; p\_\; \{i\}\; d\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; dt\; \backslash ,,\}$

где определение обобщенного импульса и уравнения Эйлера – Лагранжа заменили частные производные L. правило произведения для дифференциалов позволяет обмен дифференциалами в обобщенных координатах и ​​скоростях для дифференциалов в обобщенных импульсах и их производных по времени,

$p\; \dot{}\; idqi\; =\; d\; (qip\; \dot{}\; i)\; -\; qidp\; \dot{}\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{\; i\}\; dq\_\; \{i\}\; =\; d\; (q\_\; \{i\}\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\})\; -\; q\_\; \{i\}\; d\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}$

$pidq\; \dot{}\; i\; =\; d\; (q\; \dot{}\; ipi)\; -\; q\; \dot{}\; idpi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; d\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; d\; (\{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\})\; -\; \{\; \backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; dp\_\; \{i\}\}$

который после замены упрощается и перестраивается в

$d\; [L\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (qip\; \dot{}\; i\; +\; q\; \dot{}\; ipi)]\; =\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (q\; \dot{}\; idpi\; +\; qidp\; \dot{}\; i)\; +\; \partial \; L\; \partial \; tdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; left\; [L-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (q\_\; \{i\}\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; p\_)\; \{i\})\; \backslash \; right]\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (\{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; dp\_\; \{i\}\; +\; q\_\; \{i\}\; d\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; dt\; \backslash ,.\}$

Теперь полный дифференциал лагранжиана импульсного пространства L ′ равен

$d\; L\; \prime \; =\; \sum \; i\; Знак\; равно\; 1\; N\; (\partial \; L\; \prime \; \partial \; pidpi\; +\; \partial \; L\; \prime \; \partial \; p\; \dot{}\; idp\; \dot{}\; i)\; +\; \partial \; L\; \prime \; \partial \; tdt\; \{\backslash \; displaystyle\; dL\; \text{'}=\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; dp\_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; d\; \{\backslash \; dot\; \{\; p\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; dt\}$

, поэтому при сравнении дифференциалов лагранжианов, импульсов и их производных по времени, импульс пространственный лагранжиан L ′ и обобщенные координаты, полученные из L ′, равны соответственно

$L\; \prime \; =\; L\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (qip\; \dot{}\; i\; +\; q\; \dot{}\; ipi),\; -\; q\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; L\; \prime \; \partial \; pi,\; -\; qi\; =\; \partial \; L\; \prime \; \partial \; p\; \dot{}\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \text{'}=\; L-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (q\_\; \{i\}\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{\; i\})\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; -\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; -q\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Объединение двух последних уравнений дает уравнения Эйлера – Лагранжа для импульсного пространства

$ddt\; \partial \; L\; \prime \; \partial \; p\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; L\; \prime \; \partial \; pi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Преимущество преобразования Лежандра состоит в том, что в процессе получается связь между новой и старой функциями и их переменными. И координатная, и импульсная формы уравнения эквивалентны и содержат одинаковую информацию о динамике системы. Эта форма может быть более полезной, когда импульс или угловой момент входит в лагранжиан.

Гамильтонова механика

В гамильтоновой механике, в отличие от лагранжевой механики, которая использует либо все координаты, либо импульсы, гамильтоновы уравнения движения размещают координаты и импульсы на равных основаниях. Для системы с гамильтонианом H (q, p, t) уравнения следующие:

$q\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; H\; \partial \; p\; i,\; p\; \dot{}\; i\; =\; -\; \partial \; H\; \partial \; q\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Позиционные и импульсные пространства в квантовой механике

В квантовой механике частица описывается квантовым состоянием. Это квантовое состояние может быть представлено как суперпозиция (то есть линейная комбинация как взвешенная сумма ) базисных состояний. В принципе, можно свободно выбирать набор базовых состояний, если они охватывают пространство. Если выбрать собственные функции оператора положения в качестве набора базисных функций, о состоянии говорят как о волновой функции $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$(r) в позиционном пространстве (наше обычное понятие space в терминах length ). Знакомое уравнение Шредингера в терминах позиции r является примером квантовой механики в позиционном представлении.

Путем выбора собственных функций другого оператора в виде набора базисных функций можно получить несколько различных представлений одного и того же состояния. Если выбрать собственные функции оператора импульса в качестве набора базисных функций, результирующая волновая функция $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$(k) называется волновой функцией в импульсном пространстве..

Особенностью квантовой механики является то, что фазовые пространства могут быть разных типов: с дискретной переменной, роторной и непрерывной переменной. В таблице ниже приведены некоторые отношения, задействованные в трех типах фазовых пространств.

Сравнение и сводка отношений между сопряженными переменными в фазовых пространствах дискретной переменной (DV), ротора (ROT) и непрерывной переменной (CV) (взято из arXiv: 1709.04460). Наиболее физически релевантные фазовые пространства состоят из комбинаций этих трех. Каждое фазовое пространство состоит из позиции и импульса, возможные значения которых берутся из локально компактной абелевой группы и ее двойственной. Квантово-механическое состояние может быть полностью представлено в терминах любых переменных, и преобразование, используемое для перехода между пространством положения и пространством импульса, в каждом из трех случаев является вариантом преобразования Фурье. В таблице используются обозначения скобок, а также математическая терминология, описывающая канонические коммутационные отношения (CCR).

Связь между пространством и обратным пространством

Импульсное представление волновой функции очень тесно связано с Преобразование Фурье и концепция частотной области. Поскольку квантово-механическая частица имеет частоту, пропорциональную импульсу (приведенное выше уравнение де Бройля), описание частицы как суммы ее компонентов импульса эквивалентно описанию ее как суммы частотных компонентов (то есть преобразование Фурье). Это становится ясно, когда мы спрашиваем себя, как мы можем перейти от одного представления к другому.

Функции и операторы в позиционном пространстве

Предположим, у нас есть трехмерная волновая функция в позиционном пространстве $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$(r), то мы можем записать эти функции как взвешенную сумму ортогональных базисных функций $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$j(r):

$\psi \; (r)\; =\; \sum \; j\; \varphi \; j\; \psi \; j\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$

или, в непрерывном случае, как интеграл

$\psi \; (r)\; =\; \int \; K\; -\; пространство\; \varphi \; (k)\; \psi \; K\; (r)\; d\; 3\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \{\backslash \; rm\; \{-space\}\}\}\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$

Ясно, что если мы укажем набор функций $\psi \; k\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$, скажем, как набор собственных функций оператора импульса, функция $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$(k) содержит всю информацию, необходимую для восстановления $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$(r) и является поэтому re альтернативное описание состояния $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$.

В квантовой механике оператор импульса задается как

$p\; ^\; =\; -\; i\; \hslash \; \partial \; \partial \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; =\; -i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$

(см. матричное исчисление для обозначения знаменателя) с соответствующим доменом . собственные функции :

$\psi \; k\; (r)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; 3\; eik\; \cdot \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\})\; ^\; \{3\}\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}$

и собственные значения ħk. Итак,

$\psi \; (r)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; 3\; \int \; K\; -\; пространство\; \varphi \; (k)\; eik\; \cdot \; rd\; 3\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\{\; \backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\})\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \{\backslash \; rm\; \{-space\}\}\}\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$

, и мы видим, что представление импульса связано с представлением положения с помощью преобразования Фурье.

Функции и операторы в импульсном пространстве

И наоборот, трехмерная волновая функция в импульсном пространстве $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$(k) как взвешенная сумма ортогональных базисных функций $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$j(k):

$\varphi \; (k)\; =\; \sum \; j\; \psi \; j\; \varphi \; j\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\}$

или в виде интеграла:

$\varphi \; (k)\; =\; \int \; r\; -\; пространство\; \psi \; (r)\; \varphi \; r\; (k)\; d\; 3\; р\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \{\backslash \; rm\; \{-space\}\}\}\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; phi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$

оператор позиции задается как

$р\; ^\; знак\; равно\; я\; \hslash \; \partial \; \partial \; п\; знак\; равно\; я\; \partial \; \partial \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\; =\; я\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; =\; я\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}\}$

с собственными функциями

$\varphi \; r\; (k)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; 3\; e\; -\; ik\; \cdot \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\})\; ^\; \{3\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}$

и собственные значения r. Таким образом, аналогичное разложение $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$(k) может быть выполнено в терминах собственных функций этого оператора, которое оказывается обратным преобразованием Фурье:

$\varphi \; (k)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; 3\; \int \; r\; -\; пространство\; \psi \; (r)\; e\; -\; ik\; \cdot \; rd\; 3\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}))\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \{\backslash \; rm\; \{-space\}\}\}\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\; \}\}\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$

Унитарная эквивалентность между оператором положения и импульса

r и p операторы унитарно эквивалентны, причем унитарный оператор явно задается преобразованием Фурье. Таким образом, они имеют одинаковый спектр. На физическом языке действие p на волновые функции импульсного пространства аналогично действию r на волновые функции пространственного положения (под изображением изображения преобразования Фурье).

Взаимное пространство и кристаллы

Для электрона (или другой частицы ) в кристалле его значение k почти всегда связано с его импульсом кристалла, а не с его нормальным импульсом. Следовательно, k и p не просто пропорциональны, но играют разные роли. См. Пример в теории возмущений k · p. Импульс кристалла подобен волновой огибающей, которая описывает, как волна изменяется от одной элементарной ячейки к другой, но не дает никакой информации о том, как волна изменяется в каждой элементарной ячейке.

Когда k относится к импульсу кристалла, а не к истинному импульсу, концепция k -пространства по-прежнему имеет смысл и чрезвычайно полезна, но она по-разному отличается от некристаллическое k -пространство, рассмотренное выше. Например, в k -пространстве кристалла существует бесконечный набор точек, называемых обратной решеткой , которые «эквивалентны» k= 0(это аналог псевдоним ). Аналогично, «первая зона Бриллюэна » представляет собой конечный объем k -пространства, так что каждое возможное k «эквивалентно» ровно одной точке в этом область.

Подробнее см. обратная решетка.

См. Также

• Фазовое пространство
• Взаимное пространство
• Конфигурационное пространство

Сноски

Ссылки