Антисимметричный тензор

редактировать

тензор, равный отрицательному любой из его перестановок

В математике и теоретической физике, тензор равен антисимметричен по (или по отношению к ) подмножеству индексов, если он чередуется со знаком (+/-), когда любые два индекса подмножества поменялись местами. Подмножество индексов, как правило, должно быть либо полностью ковариантным, либо полностью контравариантным.

Например,

T ijk… = - T jik… = T jki… = - T kji… = T kij… = - T ikj… {\ displaystyle T_ {ijk \ dots} = - T_ {jik \ dots} = T_ {jki \ dots} = - T_ {kji \ dots} = T_ {kij \ dots} = - T_ {ikj \ dots}}

T_ {ijk \ dots} = -T_ {jik \ dots} = T_ {jki \ dots} = -T_ {kji \ dots} = T_ {kij \ dots} = -T_ {ikj \ dots}

выполняется, когда тензор антисимметричен относительно своего первого три индекса.

Если тензор меняет знак при замене каждой пары своих индексов, то тензор полностью (или полностью ) антисимметричный . Полностью антисимметричный ковариантный тензор порядка p может упоминаться как p-форма, а полностью антисимметричный контравариантный тензор может упоминаться как p-вектор.

Содержание

1 Антисимметричные и симметричные тензоры
2 Обозначения
3 Примеры
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Антисимметричные и симметричные тензоры

Тензор A, который антисимметричен по индексам i и j, обладает тем свойством, что сжатие с тензором B, симметричным по индексам i и j тождественно 0.

Для общего тензора U с компонентами $U ijk… {\ displaystyle U_ {ijk \ dots}}$ $U_ {ijk \ dots}$ и пары индексов i и j, U имеет симметричную и антисимметричную части, определяемые как:

$U (ij) k… = 1 2 (U ijk… + U jik…) {\ displaystyle U _ {(ij) k \ dots} = {\ frac {1} {2}} (U_ {ijk \ dots} + U_ {jik \ dots})}$ $U _ {(ij) k \ dots} = \ frac {1} {2} (U_ { ijk \ dots} + U_ {jik \ dots})$		(симметричная часть)
$U [ij] k… = 1 2 (U ijk… - U jik…) {\ displaystyle U _ {[ij] k \ dots} = {\ frac {1} {2}} (U_ {ijk \ dots} -U_ {jik \ dots})}$ $U _ {[ij] k \ dots} = \ frac {1} {2} (U_ {ijk \ dots} -U_ {jik \ dots})$		(антисимметричная часть).

Аналогичные определения можно дать и для других пар индексов. Как следует из термина «часть», тензор - это сумма его симметричной части и антисимметричной части для данной пары индексов, как в

U i j k… = U (i j) k… + U [i j] k…. {\ displaystyle U_ {ijk \ dots} = U _ {(ij) k \ dots} + U _ {[ij] k \ dots}.}

U_ {ijk \ dots} = U _ {(ij) k \ dots} + U _ {[ij] k \ dots}.

Обозначение

Обозначается сокращенное обозначение антисимметризации парой квадратных скобок. Например, в произвольных размерностях для ковариантного тензора порядка 2 M,

M [a b] = 1 2! (M ab - M ba), {\ displaystyle M _ {[ab]} = {\ frac {1} {2!}} (M_ {ab} -M_ {ba}),}

M _ {[ab]} = \ frac {1} {2!} (M_ {ab} - M_ {ba}),

и для заказа 3 ковариантный тензор T,

T [abc] = 1 3! (T a b c - T a c b + T b c a - T b a c + T c a b - T c b a). {\ displaystyle T _ {[abc]} = {\ frac {1} {3!}} (T_ {abc} -T_ {acb} + T_ {bca} -T_ {bac} + T_ {cab} -T_ {cba }).}

T _ {[abc]} = \ frac {1} {3!} (T_ {abc} -T_ {acb} + T_ {bca} - T_ {bac} + T_ {cab} -T_ {cba}).

В любых двух и трех измерениях это можно записать как

M [ab] = 1 2! δ abcd M cd, {\ displaystyle M _ {[ab]} = {\ frac {1} {2!}} \, \ delta _ {ab} ^ {cd} M_ {cd},}

M _ {[ab]} = \ frac {1} {2!} \, \ Delta_ {ab} ^ {cd} M_ {cd},

T [abc ] = 1 3! δ а б в г д е е т д е е. {\ displaystyle T _ {[abc]} = {\ frac {1} {3!}} \, \ delta _ {abc} ^ {def} T_ {def}.}

T _ {[abc]} = \ frac {1} {3!} \, \ Delta_ {abc} ^ {def} T_ {def}.

где $δ ab… cd … {\ Displaystyle \ delta _ {ab \ dots} ^ {cd \ dots}}$ $\ delta_ {ab \ dots} ^ {cd \ dots}$ - это обобщенная дельта Кронекера, и мы используем нотацию Эйнштейна для суммирование по одинаковым индексам.

В более общем смысле, независимо от количества измерений, антисимметризация по индексам p может быть выражена как

T [a 1… a p] = 1 p! δ a 1… a p b 1… b p T b 1… b p. {\ displaystyle T _ {[a_ {1} \ dots a_ {p}]} = {\ frac {1} {p!}} \ delta _ {a_ {1} \ dots a_ {p}} ^ {b_ {1 } \ dots b_ {p}} T_ {b_ {1} \ dots b_ {p}}.}

{\ displaystyle T _ {[a_ {1} \ dots a_ {p}]} = {\ frac {1} {p!}} \ delta _ {a_ {1} \ dots a_ {p}} ^ {b_ {1 } \ dots b_ {p}} T_ {b_ {1} \ dots b_ {p}}.}

В общем, каждый тензор ранга 2 можно разложить на симметричную и антисимметричную пару следующим образом:

T ij = 1 2 (T ij + T ji) + 1 2 (T ij - T ji) {\ displaystyle T_ {ij} = {\ frac {1} {2}} (T_ {ij} + T_ {ji}) + {\ frac {1} {2}} (T_ {ij} -T_ {ji})}

{\ displaystyle T_ {ij} = {\ frac {1} {2}} (T_ {ij} + T_ {ji}) + {\ frac {1} {2}} (T_ {ij} -T_ {ji})}

Это разложение в общем случае неверно для тензоров ранга 3 или выше, которые имеют более сложные симметрии.

Примеры

Полностью антисимметричные тензоры включают:

Тривиально, все скаляры и векторы (тензоры порядка 0 и 1) полностью антисимметричны (а также полностью симметричны)
электромагнитный тензор, $F μ ν {\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}$ $F _ {\ mu \ nu}$ в электромагнетизм
риманова форма объема на псевдоримановом многообразии

См. Также

Примечания

Ссылки

JA Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
R. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.

Внешние ссылки

Антисимметричный тензор - mathworld.wolfram.com