Криволинейные координаты

редактировать

Система координат, направления которой меняются в пространстве

Криволинейная (вверху), аффинная (справа) и декартовы (слева) координаты в двухмерном пространстве

В геометрии, криволинейные координаты - это система координат для евклидова пространства, в которой координатные линии могут быть искривлены. Эти координаты могут быть получены из набора декартовых координат с помощью преобразования, которое локально обратимо (взаимно-однозначное отображение) в каждой точке. Это означает, что можно преобразовать точку, заданную в декартовой системе координат, в ее криволинейные координаты и обратно. Название «криволинейные координаты», придуманное французским математиком Ламе, происходит от того факта, что координатные поверхности криволинейных систем искривлены.

Хорошо известными примерами криволинейных систем координат в трехмерном евклидовом пространстве (R ) являются цилиндрические и сферические полярные координаты. Декартова координатная поверхность в этом пространстве является координатной плоскостью ; например, z = 0 определяет плоскость x-y. В том же пространстве координатная поверхность r = 1 в сферических полярных координатах является поверхностью единичной сферы, которая изогнута. Формализм криволинейных координат обеспечивает единое и общее описание стандартных систем координат.

Криволинейные координаты часто используются для определения местоположения или распределения физических величин, которые могут быть, например, скалярами, векторами или тензорами <312.>. Математические выражения, включающие эти величины в векторном исчислении и тензорном анализе (например, градиент, расхождение, curl, и лапласиан ) можно преобразовать из одной системы координат в другую в соответствии с правилами преобразования для скаляров, векторов и тензоров. Такие выражения затем становятся справедливыми для любой криволинейной системы координат.

Криволинейная система координат может быть проще в использовании, чем декартова система координат для некоторых приложений. Движение частиц под действием центральных сил обычно легче решить в сферических полярных координатах, чем в декартовых координатах; это верно для многих физических задач со сферической симметрией , определенной в R . Уравнения с граничными условиями, которые следуют за координатными поверхностями для конкретной криволинейной системы координат, может быть проще решить в этой системе. В то время как можно описать движение частицы в прямоугольном ящике с помощью декартовых координат, движение в сфере проще со сферическими координатами. Сферические координаты являются наиболее распространенными криволинейными системами координат и используются в науках о Земле, картографии, квантовой механике, теории относительности и инженерия.

Содержание

1 Ортогональные криволинейные координаты в трех измерениях
- 1.1 Координаты, базис и векторы
2 Векторное исчисление
- 2.1 Дифференциальные элементы,
3 Ковариантные и контравариантные базы
4 Интегрирование
- 4.1 Построение ковариантного базиса в одном измерении
- 4.2 Построение ковариантного базиса в трех измерениях
- 4.3 Якобиан преобразования
5 Обобщение до n измерений
6 Преобразование координат
7 Векторная и тензорная алгебра в трехмерных криволинейных координатах
8 Тензоры в криволинейных координатах
- 8.1 Метрический тензор в ортогональных криволинейных координатах
  - 8.1.1 Связь с коэффициентами Ламе
  - 8.1.2 Пример: полярные координаты
- 8.2 Переменный тензор
- 8.3 Символы Кристоффеля
- 8.4 Работа с вектором s
9 Векторное и тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах
- 9.1 Геометрические элементы
- 9.2 Интегрирование
- 9.3 Дифференциация
10 Фиктивные силы в общих криволинейных координатах
11 См. также
12 Ссылки
13 Дополнительная литература
14 Внешние ссылки

Ортогональные криволинейные координаты в трех измерениях

Координаты, базис и векторы

Рис. 1 - Координатные поверхности, координатные линии и оси координат общих криволинейных координат.

Рис. 2 - Координатные поверхности, координатные линии и координатные оси сферических координат. Поверхности: r - сферы, θ - конусы, φ - полуплоскости; Линии: r - прямые балки, θ - вертикальные полукруги, φ - горизонтальные круги; Оси: r - прямые балки, θ - касательные к вертикальным полукругам, φ - касательные к горизонтальным окружностям

А пока рассмотрим трехмерное пространство. Точка P в трехмерном пространстве (или ее вектор положения r) может быть определена с использованием декартовых координат (x, y, z) [эквивалентно написано (x, x, x)] с помощью $r = xex + yey + zez {\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {e} _ {x} + y \ mathbf {e} _ {y} + z \ mathbf {e} _ {z}}$ $\ mathbf {r} = x \ mathbf {e} _x + y \ mathbf {e} _y + z \ mathbf {e} _z$ , где ex, ey, ez- стандартные базисные векторы.

Его также можно определить по его криволинейным координатам (q, q, q), если эта тройка чисел однозначно определяет одну точку. Тогда связь между координатами задается обратимыми функциями преобразования:

x = f 1 (q 1, q 2, q 3), y = f 2 (q 1, q 2, q 3), z = f 3 (q 1, q 2, q 3) {\ displaystyle x = f ^ {1} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}), \, y = f ^ {2} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}), \, z = f ^ {3} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}

x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})

q 1 знак равно г 1 (Икс, Y, Z), Q 2 = г 2 (Икс, Y, Z), Q 3 = G 3 (Икс, Y, Z) {\ Displaystyle д ^ {1} = г ^ {1} (x, y, z), \, q ^ {2} = g ^ {2} (x, y, z), \, q ^ {3} = g ^ {3} (x, y, z)}

{\ displaystyle q ^ {1} = g ^ {1} (x, y, z), \, q ^ {2} = g ^ {2} (x, y, z), \, q ^ {3} = g ^ {3} (x, y, z)}

Поверхности q = constant, q = constant, q = constant называются координатными поверхностями ; а пространственные кривые, образованные их попарным пересечением, называются координатными кривыми . Оси координат определены касательными к координатным кривым на пересечении трех поверхностей. В общем, они не являются фиксированными направлениями в пространстве, как это бывает для простых декартовых координат, и, таким образом, обычно нет естественной глобальной основы для криволинейных координат.

В декартовой системе стандартные базисные векторы могут быть получены из производной положения точки P относительно локальной координаты

e x = ∂ r ∂ x; e y = ∂ r ∂ y; е z знак равно ∂ r ∂ z. {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial x}}; \; \ mathbf {e} _ {y} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial y}}; \; \ mathbf {e} _ {z} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial z}}.}

\ mathbf {e} _x = \ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial x}; \; \ mathbf {e} _y = \ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial y}; \; \ mathbf {e} _z = \ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial z}.

Применение те же производные криволинейной системы локально в точке P определяют естественные базисные векторы:

h 1 = ∂ r ∂ q 1; h 2 = ∂ r ∂ q 2; ч 3 знак равно ∂ r ∂ q 3. {\ displaystyle \ mathbf {h} _ {1} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_ {1}}}; \; \ mathbf {h} _ {2} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_ {2}}}; \; \ mathbf {h} _ {3} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_ {3} }}.}

\ mathbf {h} _1 = \ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_1}; \; \ mathbf {h} _2 = \ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_2}; \; \ mathbf {h} _3 = \ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_3}.

Такой базис, векторы которого меняют свое направление и / или величину от точки к точке, называется локальным базисом . Все базы, связанные с криволинейными координатами, обязательно локальны. Базисные векторы, одинаковые во всех точках, являются глобальными базисами и могут быть связаны только с линейными или аффинными системами координат.

В этой статье e зарезервирован для стандартный базис (декартово) и h или b для криволинейного базиса.

Они могут не иметь единичной длины, а также могут быть не ортогональными. В случае, если они ортогональны во всех точках, где производные четко определены, мы определяем коэффициенты Ламе (после Габриэль Ламе ) как

h 1 = | ч 1 | ; h 2 = | ч 2 | ; h 3 = | ч 3 | {\ displaystyle h_ {1} = | \ mathbf {h} _ {1} |; \; h_ {2} = | \ mathbf {h} _ {2} |; \; h_ {3} = | \ mathbf { h} _ {3} |}

h_1 = |\mathbf{h}_1|; \; h_2 = |\mathbf{h}_2|; \; h_3 = |\mathbf{h}_3|

и криволинейные ортонормированные базисные векторы на

b 1 = h 1 h 1; b 2 = h 2 h 2; б 3 = ч 3 ч 3. {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} = {\ dfrac {\ mathbf {h} _ {1}} {h_ {1}}}; \; \ mathbf {b} _ {2} = {\ dfrac {\ mathbf {h} _ {2}} {h_ {2}}}; \; \ mathbf {b} _ {3} = {\ dfrac {\ mathbf {h} _ {3}} {h_ {3} }}.}

\ mathbf {b} _1 = \ dfrac {\ mathbf {h} _1} {h_1}; \; \ mathbf {b} _2 = \ dfrac {\ mathbf {h} _2} {h_2}; \; \ mathbf {b} _3 = \ dfrac {\ mathbf {h} _3} {h_3}.

Эти базисные векторы вполне могут зависеть от положения P; поэтому необходимо, чтобы они не считались постоянными для региона. (Технически они образуют основу для касательного пучка для $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ в P, и поэтому являются локальными для P.)

В общем случае криволинейные координаты позволяют естественным базисным векторам hiне все взаимно перпендикулярны друг другу и не обязательно иметь единичную длину: они могут иметь произвольную величину и направление. Использование ортогонального базиса упрощает векторные манипуляции по сравнению с неортогональным. Однако в некоторых областях физики и инженерии, в частности механики жидкости и механики сплошных сред, требуются неортогональные основы для описания деформаций и жидкости. транспорт для учета сложных зависимостей физических величин от направления. Обсуждение общего случая появится позже на этой странице.

Векторное исчисление

Дифференциальные элементы,

В ортогональных криволинейных координатах, поскольку изменение полного дифференциала в r составляет

dr = ∂ r ∂ q 1 dq 1 + ∂ r ∂ q 2 dq 2 + ∂ r ∂ q 3 dq 3 = h 1 dq 1 b 1 + h 2 dq 2 b 2 + h 3 dq 3 b 3 {\ displaystyle d \ mathbf {r} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {1}}} dq ^ {1} + {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {2}}} dq ^ {2} + {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {3}}} dq ^ {3} = h_ {1} dq ^ {1} \ mathbf {b} _ {1} + h_ {2} dq ^ {2} \ mathbf {b} _ {2} + h_ {3} dq ^ {3} \ mathbf {b} _ {3}}

{\ displaystyle d \ mathbf { r} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {1}}} dq ^ {1} + {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {2 }}} dq ^ {2} + {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {3}}} dq ^ {3} = h_ {1} dq ^ {1} \ mathbf {b } _ {1} + h_ {2} dq ^ {2} \ mathbf {b} _ {2} + h_ {3} dq ^ {3} \ mathbf {b} _ {3}}

поэтому коэффициенты масштабирования равны $hi = | ∂ r ∂ q i | {\ displaystyle h_ {i} = \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}} \ right |}$ ${\ displaystyle h_ {i} = \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf { r}} {\ partial q ^ {i}}} \ right |}$

В неортогональных координатах длина $dr = dq 1 час 1 + dq 2 час 2 + dq 3 час 3 {\ displaystyle d \ mathbf {r} = dq ^ {1} \ mathbf {h} _ {1} + dq ^ {2} \ mathbf { h} _ {2} + dq ^ {3} \ mathbf {h} _ {3}}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {r} = dq ^ {1} \ mathbf {h} _ {1} + dq ^ {2} \ mathbf {h} _ {2} + dq ^ {3} \ mathbf {h} _ {3}}$ - положительный квадратный корень из $dr ⋅ dr = dqidqjhi ⋅ hj {\ displaystyle d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r} = dq ^ {i} dq ^ {j} \ mathbf {h} _ {i} \ cdot \ mathbf {h} _ {j}}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r} = dq ^ {i} dq ^ {j} \ mathbf {h} _ {i} \ cdot \ mathbf {h} _ {j}}$ ( с соглашением о суммировании Эйнштейна ). Шесть независимых скалярных произведений g ij=hi.hjестественных базисных векторов обобщают три масштабных коэффициента, определенных выше для ортогональных координат. Девять g ij являются компонентами метрического тензора , который имеет только три ненулевых компонента в ортогональных координатах: g 11=h1h1, g 22=h2h2, g 33=h3h3.

Ковариантный и контравариантные базы

Вектор v(красный ), представленный • векторным базисом (желтый, слева: e1, e2, e3), касательными векторами к координатным кривым (черный ) и • ковекторный базис или кобазис (синий, справа: e, e, e), векторы нормалей к координатным поверхностям (серый ) в целом (не обязательно ортогональные ), криволинейные координаты (q, q, q). Базис и кобазис не совпадают, если система координат не ортогональна.

Пространственные градиенты, расстояния, производные по времени и масштабные коэффициенты взаимосвязаны в системе координат двумя группами базисных векторов:

базисные векторы, которые локально касаются связанная с ними линия координат:
$bi = ∂ r ∂ qi {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}}}$ $\mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$
, который преобразует как ковариантные векторы (обозначенные пониженными индексами) или
базисные векторы, локально нормальные к изоповерхности, созданной другими координатами:
$bi = ∇ qi {\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = \ nabla q ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = \ nabla q ^ {i}}$
, который преобразует как контравариантные векторы (обозначены повышенными индексами), ∇ - это del operator.

Следовательно, общая криволинейная система координат имеет два набора базисных векторов для каждой точки: {b1, b2, b3} - ковариантный базис, а {b, b, b} - контравариантный (также известный как взаимный) базис.. Типы ковариантных и контравариантных базисных векторов имеют одинаковое направление для ортогональных криволинейных систем координат, но, как обычно, имеют инвертированные единицы относительно друг друга.

Обратите внимание на следующее важное равенство:

bi ⋅ bj = δ ji {\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = \ delta _ {j } ^ {i}}

\ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} _j = \ delta ^ i_j

где $δ ji {\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$ $\ delta ^ i_j$ обозначает обобщенную дельту Кронекера.

Доказательство
В декартовой системе координат $(ex, ey, ez) {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {x}, \ mathbf {e} _ {y}, \ mathbf {e} _ {z})}$ $(\ mathbf {e} _x, \ mathbf {e} _y, \ mathbf {e} _z)$ , мы можем записать скалярное произведение как: $bi ⋅ bj = (∂ x ∂ qi, ∂ y ∂ qi, ∂ z ∂ qi) ⋅ (∂ qj ∂ x, ∂ qj ∂ y, ∂ qj ∂ z) знак равно ∂ x ∂ qi ∂ qj ∂ x + ∂ y ∂ qi ∂ qj ∂ y + ∂ z ∂ qi ∂ qj ∂ z {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b } ^ {j} = ({\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial z } {\ partial q_ {i}}}) \ cdot ({\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial z}}) = {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j }} {\ partial z}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {j} = ({\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {i}} }) \ cdot ({\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j } } {\ partial z}}) = {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac { \ partial q_ {j}} {\ partial z}}}$ Рассмотрим бесконечно малое смещение $dr = dx ⋅ ex + dy ⋅ ey + dz ⋅ ez {\ displaystyle d \ mathbf {r} = dx \ cdot \ mathbf {e} _ {x} + dy \ cdot \ mathbf {e} _ {y} + dz \ cdot \ mathbf {e} _ {z}}$ $d \ mathbf {r} = dx \ cdot \ mathbf {e} _x + dy \ cdot \ mathbf { e} _y + dz \ cdot \ mathbf {e} _z$ . Пусть dq 1, dq 2 и dq 3 обозначают соответствующие бесконечно малые изменения в криволинейных координатах q 1, q 2 и q 3 соответственно. Согласно цепному правилу, dq 1 можно выразить как: $dq 1 = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ ydy + ∂ q 1 ∂ zdz = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ y (∂ y ∂ q 1 dq 1 + ∂ y ∂ q 2 dq 2 + ∂ y ∂ q 3 dq 3) + ∂ q 1 ∂ z (∂ z ∂ q 1 dq 1 + ∂ z ∂ q 2 dq 2 + ∂ z ∂ q 3 dq 3) {\ displaystyle dq_ {1} = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac {\ partial q_ {1 }} {\ partial y}} dy + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} dz = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac { \ partial q_ {1}} {\ partial y}} ({\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} dq_ {1} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2 }}} dq_ {2} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {3}}} dq_ {3}) + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} ({ \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} dq_ {1} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} dq_ {2} + {\ dfrac {\ partial z} } {\ partial q_ {3}}} dq_ {3})}$ $dq_1 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} dy + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} dz = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} (\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} dq_1 + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_2} dq_2 + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_3} dq_3) + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} (\ dfrac {\ частичный z} {\ partial q_1} dq_1 + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} dq_2 + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_3} dq_3)$ Если смещение d r таково, что dq 2 = dq 3 = 0, т.е. вектор положения r перемещается на бесконечно малую величину вдоль оси координат q 2 = const и q 3 = const, тогда: $dq 1 = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 1 dq 1 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 1 dq 1 {\ displaystyle dq_ {1} = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} } {\ partial q_ {1}}} dq_ {1} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} dq_ {1}}$ $dq_1 = \ dfrac {\ частичный q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} dq_1 + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac { \ partial z} {\ partial q_1} dq_1$ Разделив на dq 1 и взяв предел dq 1 → 0: $1 = ∂ q 1 ∂ x ∂ x ∂ q 1 + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 1 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 1 = ∂ x ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ x + ∂ y ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ y + ∂ z ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ Z {\ Displaystyle 1 = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ частичный z} {\ partial q_ {1}}} = {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ p artial z}}}$ $1 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} \ dfrac {\ partial x } {\ partial q_1} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac {\ partial z } {\ partial q_1} = \ dfrac {\ partial x} {\ partial q_1} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_1} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z}$ или эквивалентно: $b 1 ⋅ b 1 = 1 {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 1}$ Теперь, если смещение d r таково, что dq 1 = dq 3 = 0, то есть вектор положения r перемещается на бесконечно малую величину величина по оси координат q 1 = const и q 3 = const, тогда: $0 = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 2 dq 2 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 2 dq 2 {\ displaystyle 0 = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} { \ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2}}} dq_ {2} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} dq_ {2}}$ $0 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y } {\ partial q_2} dq_2 + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} dq_2$ Деление на dq 2 и принятие предела dq 2 → 0: $0 = ∂ q 1 ∂ x ∂ x ∂ q 2 + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 2 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 2 = ∂ x ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ x + ∂ y ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ Y + ∂ Z ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ Z {\ displaystyle 0 = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ { 2}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} {\ p artial q_ {2}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} = {\ dfrac {\ partial x } {\ partial q_ {2}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2}}} {\ dfrac {\ частичный q_ {1}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}}}$ $0 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q_2} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_2} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} = \ dfrac {\ partial x} {\ partial q_2} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_2} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z}$ или эквивалентно: $b 2 ⋅ b 1 = 0 {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {2} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {2} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 0}$ И так далее для другой точки продукты. Альтернативное доказательство: $δ jidqj = dqi = ∇ qi ⋅ dr = bi ⋅ ∂ r ∂ qjdqj = bi ⋅ bjdqj {\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} dq ^ {j} = dq ^ {i} = \ nabla q ^ {i} \ cdot d \ mathbf {r} = \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {j }}} dq ^ {j} = \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} dq ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} dq ^ {j } = dq ^ {i} = \ nabla q ^ {i} \ cdot d \ mathbf {r} = \ mathbf {b} ^ {i } \ cdot {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {j}}} dq ^ {j} = \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j } dq ^ {j}}$ и соглашение о суммировании Эйнштейна является подразумевается.

Доказательство

В декартовой системе координат $(ex, ey, ez) {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {x}, \ mathbf {e} _ {y}, \ mathbf {e} _ {z})}$ $(\ mathbf {e} _x, \ mathbf {e} _y, \ mathbf {e} _z)$ , мы можем записать скалярное произведение как:

bi ⋅ bj = (∂ x ∂ qi, ∂ y ∂ qi, ∂ z ∂ qi) ⋅ (∂ qj ∂ x, ∂ qj ∂ y, ∂ qj ∂ z) знак равно ∂ x ∂ qi ∂ qj ∂ x + ∂ y ∂ qi ∂ qj ∂ y + ∂ z ∂ qi ∂ qj ∂ z {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b } ^ {j} = ({\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial z } {\ partial q_ {i}}}) \ cdot ({\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial z}}) = {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j }} {\ partial z}}}

{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {j} = ({\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}}, {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {i}} }) \ cdot ({\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}}, {\ dfrac {\ partial q_ {j } } {\ partial z}}) = {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac {\ partial q_ {j}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {i}}} {\ dfrac { \ partial q_ {j}} {\ partial z}}}

Рассмотрим бесконечно малое смещение $dr = dx ⋅ ex + dy ⋅ ey + dz ⋅ ez {\ displaystyle d \ mathbf {r} = dx \ cdot \ mathbf {e} _ {x} + dy \ cdot \ mathbf {e} _ {y} + dz \ cdot \ mathbf {e} _ {z}}$ $d \ mathbf {r} = dx \ cdot \ mathbf {e} _x + dy \ cdot \ mathbf { e} _y + dz \ cdot \ mathbf {e} _z$ . Пусть dq 1, dq 2 и dq 3 обозначают соответствующие бесконечно малые изменения в криволинейных координатах q 1, q 2 и q 3 соответственно.

Согласно цепному правилу, dq 1 можно выразить как:

dq 1 = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ ydy + ∂ q 1 ∂ zdz = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ y (∂ y ∂ q 1 dq 1 + ∂ y ∂ q 2 dq 2 + ∂ y ∂ q 3 dq 3) + ∂ q 1 ∂ z (∂ z ∂ q 1 dq 1 + ∂ z ∂ q 2 dq 2 + ∂ z ∂ q 3 dq 3) {\ displaystyle dq_ {1} = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac {\ partial q_ {1 }} {\ partial y}} dy + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} dz = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac { \ partial q_ {1}} {\ partial y}} ({\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} dq_ {1} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2 }}} dq_ {2} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {3}}} dq_ {3}) + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} ({ \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} dq_ {1} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} dq_ {2} + {\ dfrac {\ partial z} } {\ partial q_ {3}}} dq_ {3})}

dq_1 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} dy + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} dz = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} (\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} dq_1 + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_2} dq_2 + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_3} dq_3) + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} (\ dfrac {\ частичный z} {\ partial q_1} dq_1 + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} dq_2 + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_3} dq_3)

Если смещение d r таково, что dq 2 = dq 3 = 0, т.е. вектор положения r перемещается на бесконечно малую величину вдоль оси координат q 2 = const и q 3 = const, тогда:

dq 1 = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 1 dq 1 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 1 dq 1 {\ displaystyle dq_ {1} = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} } {\ partial q_ {1}}} dq_ {1} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} dq_ {1}}

dq_1 = \ dfrac {\ частичный q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} dq_1 + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac { \ partial z} {\ partial q_1} dq_1

Разделив на dq 1 и взяв предел dq 1 → 0:

1 = ∂ q 1 ∂ x ∂ x ∂ q 1 + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 1 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 1 = ∂ x ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ x + ∂ y ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ y + ∂ z ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ Z {\ Displaystyle 1 = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ частичный z} {\ partial q_ {1}}} = {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ p artial z}}}

1 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} \ dfrac {\ partial x } {\ partial q_1} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac {\ partial z } {\ partial q_1} = \ dfrac {\ partial x} {\ partial q_1} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_1} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_1} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z}

или эквивалентно:

b 1 ⋅ b 1 = 1 {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 1}

{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 1}

Теперь, если смещение d r таково, что dq 1 = dq 3 = 0, то есть вектор положения r перемещается на бесконечно малую величину величина по оси координат q 1 = const и q 3 = const, тогда:

0 = ∂ q 1 ∂ xdx + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 2 dq 2 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 2 dq 2 {\ displaystyle 0 = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} dx + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} { \ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2}}} dq_ {2} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} dq_ {2}}

0 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} dx + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y } {\ partial q_2} dq_2 + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} dq_2

Деление на dq 2 и принятие предела dq 2 → 0:

0 = ∂ q 1 ∂ x ∂ x ∂ q 2 + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 2 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 2 = ∂ x ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ x + ∂ y ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ Y + ∂ Z ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ Z {\ displaystyle 0 = {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial q_ { 2}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial y}} {\ dfrac {\ partial y} {\ p artial q_ {2}}} + {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} = {\ dfrac {\ partial x } {\ partial q_ {2}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial x}} + {\ dfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2}}} {\ dfrac {\ частичный q_ {1}} {\ partial y}} + {\ dfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2}}} {\ dfrac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}}}

0 = \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q_2} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_2} + \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z} \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} = \ dfrac {\ partial x} {\ partial q_2} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial x} + \ dfrac {\ partial y} {\ partial q_2} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial z} {\ partial q_2} \ dfrac {\ partial q_1} {\ partial z}

или эквивалентно:

b 2 ⋅ b 1 = 0 {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {2} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {2} \ cdot \ mathbf {b} ^ {1} = 0}

И так далее для другой точки продукты.

Альтернативное доказательство:

δ jidqj = dqi = ∇ qi ⋅ dr = bi ⋅ ∂ r ∂ qjdqj = bi ⋅ bjdqj {\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} dq ^ {j} = dq ^ {i} = \ nabla q ^ {i} \ cdot d \ mathbf {r} = \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {j }}} dq ^ {j} = \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} dq ^ {j}}

{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} dq ^ {j } = dq ^ {i} = \ nabla q ^ {i} \ cdot d \ mathbf {r} = \ mathbf {b} ^ {i } \ cdot {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {j}}} dq ^ {j} = \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j } dq ^ {j}}

и соглашение о суммировании Эйнштейна является подразумевается.

Вектор v может быть задан в терминах любого базиса, т. Е.

v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 {\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {1} \ mathbf {b} _ {1} + v ^ {2} \ mathbf {b} _ {2} + v ^ {3} \ mathbf {b} _ {3} = v_ {1} \ mathbf {b} ^ {1} + v_ {2} \ mathbf {b} ^ {2} + v_ {3} \ mathbf {b} ^ {3 }}

\ mathbf {v} = v ^ 1 \ mathbf {b} _1 + v ^ 2 \ mathbf {b} _2 + v ^ 3 \ mathbf {b} _3 = v_1 \ mathbf {b } ^ 1 + v_2 \ mathbf {b} ^ 2 + v_3 \ mathbf {b} ^ 3

Используя соглашение Эйнштейна о суммировании, базисные векторы связаны с компонентами следующим образом:

v ⋅ ​​bi = vkbk ⋅ bi = vk δ ki = vi {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k} \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k} \ delta _ {k} ^ {i} = v ^ { i}}

\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k \ delta ^ i_k = v ^ i

v ⋅ ​​bi = vkbk ⋅ bi = vk δ ik = vi {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} \ mathbf {b} ^ { k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} \ delta _ {i} ^ {k} = v_ {i}}

\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k \ mathbf {b} ^ k \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k \ delta_i ^ k = v_i

v ⋅ ​​bi = vkbk ⋅ bi = gkivk {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v ^ {k} \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ki} v ^ {k}}

\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v ^ k \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} _i = g_ {ki} v ^ k

v ⋅ ​​bi = vkbk ⋅ bi = gkivk {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v_ {k} \ mathbf {b} ^ {k }\CD ot \ mathbf {b} ^ {i} = g ^ {ki} v_ {k}}

\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}^i = v_k\mathbf{b}^k\cdot\mathbf{b}^i = g^{ki}v_k

где g - метрический тензор (см. ниже).

Вектор может быть задан с ковариантными координатами (пониженные индексы, записываются v k) или контравариантными координатами (повышенные индексы, пишутся v). Из приведенных выше векторных сумм можно видеть, что контравариантные координаты связаны с ковариантными базисными векторами, а ковариантные координаты связаны с контравариантными базисными векторами.

Ключевой особенностью представления векторов и тензоров в терминах индексированных компонентов и базисных векторов является инвариантность в том смысле, что компоненты вектора, которые преобразуются ковариантным образом (или контравариантным способом), соединяются с базисными векторами, контравариантным (или ковариантным) способом.

Интегрирование

Построение ковариантного базиса в одном измерении

Рис. 3 - Преобразование локального ковариантного базиса в случае общих криволинейных координат

Рассмотрим одномерную кривую, показанную на рис. 3. В точке P, взятой за начало , x является одним из декартовых координаты, а q - одна из криволинейных координат. Локальный (неединичный) базисный вектор - это b1(обозначен как h1выше, с b зарезервирован для единичных векторов), и он построен на оси q, которая является касательной к этой координатной линии в точке точка P. Ось q и, следовательно, вектор b1образуют угол $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ с декартовой осью x и декартовым базисным вектором e1.

. из треугольника PAB следует, что

cos ⁡ α = | e 1 | | b 1 | ⇒ | e 1 | = | b 1 | соз ⁡ α {\ Displaystyle \ соз \ альфа = {\ cfrac {| \ mathbf {е} _ {1} |} {| \ mathbf {b} _ {1} |}} \ quad \ Rightarrow \ quad | \ mathbf {e} _ {1} | = | \ mathbf {b} _ {1} | \ cos \ alpha}

\ cos \ alpha = \ cfrac {| \ mathbf {e} _1 |} {| \ mathbf {b} _1 |} \ quad \ Стрелка вправо \ quad | \ mathbf {e} _1 | = | \ mathbf {b} _1 | \ cos \ alpha

где | e1|, | b1| - величины двух базисных векторов, т.е. скалярные точки пересечения PB и PA. PA также является проекцией b1на ось x.

Однако этот метод преобразования базисных векторов с использованием направленных косинусов неприменим к криволинейным координатам по следующим причинам:

При увеличении расстояния от P угол между изогнутой линией q и декартовой осью x все больше отклоняется from $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ .
На расстоянии PB истинный угол - это угол, который касательная в точке C образует с осью x, а последний угол явно отличается от $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ .

Углы, которые линия q и эта ось образуют с осью x, становятся ближе по значению по мере приближения к точке P и становятся точно равными в точке P.

Пусть точка E должна быть расположена очень близко к P, так близко, что расстояние PE бесконечно мало. Тогда ПЭ, измеренный на оси q, практически совпадает с ПЭ, измеренным на линии q. В то же время отношение PD / PE (PD - проекция PE на ось x) становится почти точно равным $cos ⁡ α {\ displaystyle \ cos \ alpha}$ $\cos \alpha$ .

Пусть бесконечно малое пересекает PD и PE обозначаютсясоответственно как dx и dq. Тогда

cos ⁡ α = d x d q 1 = | e 1 | | b 1 | {\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ cfrac {dx} {dq ^ {1}}} = {\ frac {| \ mathbf {e} _ {1} |} {| \ mathbf {b} _ {1} |}}}

\cos \alpha = \cfrac{dx}{dq^1} = \frac{|\mathbf{e}_1|}{|\mathbf{b}_1|}

Таким образом, измененные косинусы могут быть заменены в преобразователях более точными соотношениями между бесконечно малыми точками пересечения координат. Отсюда следует, что составляющая (проекция) b1на ось x равна

p 1 = b 1 ⋅ e 1 | e 1 | = | b 1 | | e 1 | | e 1 | cos ⁡ α = | b 1 | d x d q 1 ⇒ p 1 | b 1 | = dxdq 1 {\ displaystyle p ^ {1} = \ mathbf {b} _ {1} \ cdot {\ cfrac {\ mathbf {e} _ {1}} {| \ mathbf {e} _ {1} |}} = | \ mathbf {b} _ {1} | {\ cfrac {| \ mathbf {e} _ {1} |} {| \ mathbf {e} _ {1} |}} \ cos \ alpha = | \ mathbf {b} _ {1} | {\ cfrac {dx} {dq ^ {1}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ cfrac {p ^ {1}} {| \ mathbf {b} _ {1} |}} = {\ cfrac {dx} {dq ^ {1}}}}

p ^ 1 = \ mathbf {b} _1 \ cdot \ cfrac {\ mathbf {e} _1} {| \ mathbf {e} _1 |} = | \ mathbf {b} _1 | \ cfrac {| \ mathbf {e} _1 |} {| \ mathbf {e} _1 |} \ cos \ alpha = | \ mathbf {b} _1 | \ cfrac {dx} {dq ^ 1} \ quad \ Rightarrow \ quad \ cfrac {p ^ 1} {| \ mathbf {b} _1 |} = \ cfrac {dx} {dq ^ 1}

Если q = q (x 1, x 2, x 3) и x i = x i (q, q, q) являются гладкими (непрерывно дифференцируемыми) функции, коэффициенты преобразования могут быть записаны как $∂ qi ∂ xj {\ displaystyle {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial x_ {j}}}}$ $\cfrac{\partial q^i}{\partial x_j}$ и $∂ xi ∂ qj {\ displaystyle {\ cfrac {\ partial x_ {i}} {\ partial q ^ {j}}}}$ $\ cfrac {\ partial x_i} {\ partial q ^ j}$ . То есть эти отношения являются частными производными системами, принадлежащими одной системе, по отношению к координатам, принадлежащим другой системе.

Построение ковариантного базиса в трех измерениях

Проделав то же самое для координат в двух других измерений, b1можно выразить как:

b 1 = p 1 e 1 + п 2 е 2 + п 3 е 3 знак равно ∂ Икс 1 ∂ q 1 е 1 + ∂ Икс 2 ∂ Q 1 е 2 + ∂ Икс 3 ∂ q 1 е 3 {\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {1} = p ^ { 1} \ mathbf {e} _ {1} + p ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} + p ^ {3} \ mathbf {e} _ {3} = {\ cfrac {\ partial x_ { 1}} {\ partial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {1} + {\ cfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {3}}

\ mathbf {b} _1 = p ^ 1 \ mathbf {e} _1 + p ^ 2 \ mathbf {e} _2 + p ^ 3 \ mathbf {e} _3 = \ cfrac {\ partial x_1} {\ partial q ^ 1} \ mathbf {e} _1 + \ cfrac {\ partial x_2} {\ partial q ^ 1} \ mathbf { e} _2 + \ cfrac {\ partial x_3} {\ partial q ^ 1} \ mathbf {e} _3

Подобные уравнения справедливы для b2и b3так что стандартный базис {e1, e2, e3} преобразуется в локальный (упорядоченный и нормализованный ) базис {b1, b2, b3} с помощью следующей системы уравнений:

b 1 = ∂ x 1 ∂ q 1 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 1 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 1 e 3 b 2 = ∂ x 1 ∂ q 2 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 2 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 2 e 3 б 3 знак равно ∂ Икс 1 ∂ q 3 е 1 + ∂ Икс 2 ∂ q 3 е 2 + ∂ Икс 3 ∂ q 3 e 3 {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {b} _ {1} = {\ cfrac {\ partial x_ {1}} {\ partial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {1 } + {\ cfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial q ^ { 1}}} \ mathbf {e} _ {3} \\\ mathbf {b} _ {2} = {\ cfrac {\ partial x_ {1}} {\ partial q ^ {2}}} \ mathbf { e} _ {1} + {\ cfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial q ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ partial x_ {3}} { \ partial q ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {3} \\\ mathbf {b} _ {3} = {\ cfrac {\ partial x_ {1}} {\ partial q ^ {3} }} \ mathbf {e} _ {1} + {\ cfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial q ^ {3}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial q ^ {3}}} \ mathbf {e} _ {3} \ end {align}}}

\begin{align} \mathbf{b}_1 = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{b}_2 = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} \mathbf{e}_1 + \ cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{b}_3 = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \mathbf{e}_3 \end{align}

Аналогичным образом можно получить обратное преобразование из локального базиса в стандартный базис:

e 1 = ∂ q 1 ∂ x 1 b 1 + ∂ q 2 ∂ x 1 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 1 b 3 e 2 = ∂ q 1 ∂ x 2 b 1 + ∂ q 2 ∂ Икс 2 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 2 б 3 e 3 = ∂ q 1 ∂ x 3 б 1 + ∂ q 2 ∂ x 3 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 3 b 3 {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ mathbf {e} _ {1} = {\ cfrac {\ partial q ^ {1} } {\ partial x_ {1}}} \ mathbf {b} _ {1} + {\ cfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {1}}} \ mathbf {b} _ {2} + {\ cfrac {\ partial q ^ {3}} {\ p artial x_ {1}}} \ mathbf {b} _ {3} \\\ mathbf {e} _ {2} = {\ cfrac {\ частичный q ^ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ mathbf {b} _ {1} + {\ cfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {2}}} \ mathbf { b} _ {2} + {\ cfrac {\ partial q ^ {3}} {\ partial x_ {2}}} \ mathbf {b} _ {3} \\\ mathbf {e} _ {3} = {\ cfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {3}}} \ mathbf {b} _ {1} + {\ cfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {3} }} \ mathbf {b} _ {2} + {\ cfrac {\ partial q ^ {3}} {\ partial x_ {3}}} \ mathbf {b} _ {3} \ end {align}}}

\ begin {align} \ mathbf {e} _1 = \ cfrac {\ partial q ^ 1} {\ partial x_1} \ mathbf {b} _1 + \ cfrac {\ partial q ^ 2} {\ partial x_1} \ mathbf {b} _2 + \ cfrac {\ partial q ^ 3} {\ partial x_1} \ mathbf {b} _3 \\ \ mathbf {e} _2 = \ cfrac {\ partial q ^ 1} {\ partial x_2} \ mathbf {b} _1 + \ cfrac {\ par tial q ^ 2} {\ partial x_2} \ mathbf {b} _2 + \ cfrac {\ partial q ^ 3} {\ partial x_2} \ mathbf {b} _3 \\ \ mathbf {e} _3 = \ cfrac { \ partial q ^ 1} {\ partial x_3} \ mathbf {b} _1 + \ cfrac {\ partial q ^ 2} {\ partial x_3} \ mathbf {b} _2 + \ cfrac {\ partial q ^ 3} {\ частичный x_3} \ mathbf {b} _3 \ end {align}

Якобиан преобразования

Вышеупомянутое системы линейных уравнений могут быть записаны в матричной форме с использованием Эйнштейна о суммировании как

∂ xi ∂ qkei = bk, ∂ qi ∂ xkbi = ek {\ displaystyle {\ cfrac {\ partial x_ {i}} {\ partial q ^ {k}}} \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {b} _ {k}, \ quad {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial x_ {k}}} \ mathbf {b} _ {i} = \ mathbf {e} _ {k}}

\cfrac{\partial x_i}{\partial q^k} \mathbf{e}_i = \mathbf{b}_k, \quad \cfrac{\partial q^i}{\partial x_k} \mathbf{b}_i = \mathbf{e}_k

Эта матрица коэффициентов линейной системы является матрицей Якоби (и его обратная) преобразования. Это уравнения, с помощью которых можно преобразовать декартов базис в криволинейный и наоборот.

В трех измерениях внутри формы этих матриц имеют вид

J = [∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 3 ∂ x 2 ∂ q 1 ∂ x 2 ∂ q 2 ∂ x 2 ∂ q 3 ∂ x 3 ∂ q 1 ∂ x 3 ∂ q 2 ∂ x 3 ∂ q 3], J - 1 = [∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 2 ∂ q 1 ∂ x 3 ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 2 ∂ q 2 ∂ x 3 ∂ q 3 ∂ x 1 ∂ q 3 ∂ x 2 ∂ q 3 ∂ x 3] {\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin { bmatrix} {\ cfrac {\ partial x_ {1}} {\ partial q ^ {1}}} {\ cfrac {\ partial x_ {1}} {\ partial q ^ {2}}} и {\ cfrac { \ partial x_ {1}} {\ partial q ^ {3}}} \\ {\ cfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial q ^ {1}}} {\ cfrac {\ partial x_ {2 }} {\ partial q ^ {2}}} {\ cfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial q ^ {3}}} \\ {\ cfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial q ^ {1}}} {\ cfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial q ^ {2}}} {\ cfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial q ^ {3}} } \\\ конец {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {J} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} {\ cfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {1}}} {\ cfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {2}}} {\ cfrac {\ частичный q ^ {1}} {\ partial x_ {3}}} \\ {\ cfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {1}}} {\ cfrac {\ partial q ^ {2 }} {\ partial x_ {2}}} {\ cfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {3}}} \\ {\ cfrac {\ partial q ^ {3}} {\ partial x_ {1}}} {\ cfrac {\ partial q ^ {3}} {\ partial x_ {2}}} {\ cfrac {\ partial q ^ {3}} {\ partial x_ {3}}} \\\ end {bmatrix}}}

\ mathbf {J} = \ begin {bmatrix} \ cfrac {\ partial x_1} {\ partial q ^ 1} \ cfrac {\ partial x_1} {\ partial q ^ 2} \ cfrac {\ partial x_1} {\ частичный q ^ 3} \\ \ cfrac {\ partial x_2} {\ partial q ^ 1} \ cfrac {\ partial x_2} {\ partial q ^ 2} \ cfrac {\ partial x_2} {\ partial q ^ 3} \\ \ cfrac {\ partial x_3} {\ partial q ^ 1} \ cfrac {\ partial x_3} {\ partial q ^ 2} \ cfrac {\ partial x_3} {\ partial q ^ 3} \\ \ end {bmatrix}, \ quad \ mathbf {J} ^ { -1} = \ begin {bmatrix} \ cfrac {\ partial q ^ 1} {\ partial x_1} \ cfrac {\ partial q ^ 1} {\ partial x_2} \ cfrac {\ partial q ^ 1} {\ частичный x_3} \\ \ cfrac {\ partial q ^ 2} {\ partial x_1} \ cfrac {\ partial q ^ 2} {\ partial x_2} \ cfrac {\ partial q ^ 2} {\ partial x_3} \ \ \ cfrac {\ partial q ^ 3} {\ partial x_1} \ cfrac {\ partial q ^ 3} {\ partial x_2} \ cfrac {\ partial q ^ 3} {\ partial x_3} \\ \ end { bmatrix}

В обратном преобразовании (вторая система условий) неизвестными являются криволинейные базисные классы. Для любого конкретного местоположения может существовать только один и только один набор базисных векторов (иначе не определен должным образом в этой точке). Это условие выполняется и только тогда, когда система уравнений имеет единственное решение. В линейной алгебре система линейных соотношений имеет единственное (нетривиальное) решение, только если определитель ее системной матрицы не равен нулю:

det (J - 1) ≠ 0 {\ displaystyle \ det (\ mathbf {J } ^ {- 1}) \ neq 0}

\ det (\ mathbf {J} ^ {- 1}) \ neq 0

, которое показывает обоснование вышеупомянутых требований относительно обратного определителя Якоби.

Обобщение на n измерений

Формализм распространяется на любое конечное измерение следующим образом.

Рассмотрим действительное евклидово n-мерное пространство, то есть R= R× R×... × R (n раз), где R - это набор из вещественных чисел, а × обозначает декартово произведение, которое является векторным пространством .

координаты этого пространства могут быть обозначены как: x = (x 1, x 2,..., x n). Его можно записать как:

x = ∑ i = 1 nxiei {\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ mathbf {e} ^ {i}}

\ mathbf {x} = \ sum_ {i = 1} ^ n x_i \ mathbf {e} ^ i

где e = (1,0,0..., 0), e = (0, 1,0..., 0), e = (0,0,1..., 0),..., e = (0,0,0..., 1) - это стандартный базисный набор векторов для пространства R, а i = 1, 2,... n - индекс компонентов маркировки. Каждый вектор имеет ровно один компонент в каждом измерении (или «оси»), и они взаимно ортогональны (перпендикулярны ) и нормализованы (имеют единичную оценку ).

В более общем плане мы можем определить базисные качества biтак, чтобы они зависели от q = (q 1, q 2,..., q n), т.е. они меняются от точки к точке: bi= bi(q). В этом случае определить ту же точку x в терминах этого альтернативного базиса: координаты относительно этого базиса v i также обязательно зависят от x также, то есть v i = v i(x). Затем вектор v в этом отношении относительно этих альтернативных векторов и базисных векторов может быть расширен как линейная комбинация в этом базисе (что означает умножение каждого базиса вектор eiна число v i– скалярное умножение ):

v = ∑ j = 1 nv ¯ jbj = ∑ j = 1 nv ¯ j (q) bj (q) {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ bar {v}} ^ {j} \ mathbf {b} _ {j} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ bar {v}} ^ {j} (\ mathbf {q}) \ mathbf {b} _ {j} (\ mathbf {q})}

\ mathbf {v} = \ sum_ {j = 1} ^ n \ bar {v} ^ j \ mathbf {b} _j = \ sum_ {j = 1} ^ n \ bar {v} ^ j (\ mathbf {q}) \ mathbf {b} _j (\ mathbf {q})

Векторная сумма, описывающая v в новом базисе складываются разные производ, хотя сама сумма остается прежней.

Преобразование координат

С более общей и абстрактной точки зрения криволинейная система координат - это просто участок координат на дифференцируемом разнообразии E(n -мерное евклидово пространство ), которое диффеоморфно к декартовой координатной области на множестве. Два диффеоморфных координатных точек на дифференциальном множестве не обязательно дифференцируемо перекрываются. С этим общим определением криволинейной системы координат все результаты, которые следуют ниже, включают в себя функции преобразования таковы, что взаимно однозначное отношение между точками в "старых" и "новых" координатах, то есть эти функции являются биекциями и удовлетворяют следующим требованиям в своих доменах :

. Они являются гладкими функциями : q = q (x)
Обратное Якобиан определитель
$J - 1 = | ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 1 ∂ xn ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 2 ∂ xn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ qn ∂ x 1 ∂ qn ∂ x 2 ⋯ ∂ qn ∂ xn | ≠ 0 {\ displaystyle J ^ {- 1} = {\ begin {vmatrix} {\ dfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\ {\ dfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {2}} } \ cdots {\ dfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vd ots \\ {\ dfrac {\ partial q ^ {n}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial q ^ {n}} {\ partial x_ {2}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial q ^ {n}} {\ partial x_ {n}}} \ end {vmatrix}} \ neq 0}$ $J ^ {- 1} = \ begin {vmatrix} \ dfrac {\ partial q ^ 1} {\ partial x_1} \ dfrac { \ partial q ^ 1} {\ partial x_2} \ cdots \ dfrac {\ partial q ^ 1} {\ partial x_n} \\ \ dfrac {\ partial q ^ 2} {\ partial x_1} \ dfrac {\ частичный q ^ 2} {\ partial x_2} \ cdots \ dfrac {\ partial q ^ 2} {\ partial x_n} \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ \ dfrac {\ partial q ^ n} {\ partial x_1} \ dfrac {\ partial q ^ n} {\ partial x_2} \ cdots \ dfrac {\ partial q ^ n} {\ partial x_n} \ end {vmatrix} \ neq 0$
не равно нулю; означает, что преобразование обратимо : x i(q).
согласно теореме об обратной функции. Условие, что детерминант Якоби не равен нулю, отражает тот факт, что три поверхности из разных семейств пересекаются в одной и только одной точке и, таким образом, однозначно определяют положение этой точки.

Векторная и тензорная алгебра в трехмерной криволинейной координаты

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования по повторяющимся индексам.

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторой старой научной литературе по механике и физика и могут быть незаменимыми для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны. В этом разделе приводятся некоторые полезные соотношения в алгебре векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, Нагди, Симмондса, Грина и Зерны, Басара и Вейхерта и Чиарлета.

Тензоры в криволинейных координатах

Тензор второго порядка может быть выражен как

S = S ijbi ⊗ bj = S ijbi ⊗ bj = S ijbi ⊗ bj = S ijbi ⊗ bj {\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = S ^ {ij} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S ^ {i} {} _ {j} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} {} ^ { j} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S_ {ij} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

\boldsymbol{S} = S^{ij}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j = S^i{}_j\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}^j = S_i{}^j\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}_j = S_{ij}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j

где $⊗ {\ displaystyle \ scriptstyle \ otimes}$ $\scriptstyle\otimes$ обозначает тензорное произведение. Компоненты S называются контравариантными компонентами, S j смешанными правоковариантными компонентами, S i смешанными левыми -ковариантные компоненты, и S ij - ковариантные компоненты тензора второго порядка. Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением

S ij = gik S kj = gjk S ik ​​= gikgj ℓ S k ℓ {\ displaystyle S ^ {ij} = g ^ {ik} S_ {k} {} ^ {j} = g ^ {jk} S ^ {i} {} _ {k} = g ^ {ik} g ^ {j \ ell} S_ {k \ ell}}

S ^ {ij} = g ^ {ik} S_k {} ^ j = g ^ {jk} S ^ i {} _ k = g ^ {ik} g ^ {j \ ell} S_ {k \ ell}

Метрический тензор в ортогональных криволинейных координаты

В каждой точке можно построить небольшой линейный элемент d x, поэтому квадрат длины линейного элемента представляет собой скалярное произведение d x • d x и называется метрикой пространства , задаваемой следующим образом:

dx ⋅ dx = ∂ xi ∂ qj ∂ xi ∂ qkdqjdqk {\ displaystyle d \ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x} = {\ cfrac {\ partial x_ {i}} {\ partial q ^ {j}}} {\ cfrac {\ partial x_ {i}} {\ partial q ^ {k}}} dq ^ {j} dq ^ {k}}

d \ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x} = \ cfrac {\ partial x_i} {\ partial q ^ j} \ cfrac {\ partial x_i} {\ partial q ^ k} dq ^ jdq ^ k

Следующая часть приведенного выше уравнения

∂ xk ∂ qi ∂ xk ∂ qj = gij (qi, qj) = bi ⋅ bj {\ displaystyle {\ cfrac {\ partial x_ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ cfrac {\ partial x_ {k}} {\ partial q ^ {j}}} = g_ {ij} (q ^ {i}, q ^ {j}) = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}}

{\ cfrac {\ partial x_ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ cfrac {\ partial x_ {k}} {\ partial q ^ {j}}} = g _ {{ij}} (q ^ {i}, q ^ {j}) = {\ mathbf {b}} _ {i} \ cdot {\ mathbf {b}} _ {j}

- симметричный тензор c обозначил фундаментальный (или метрический) тензор евклидова пространства в криволинейных координатах.

Индексы можно повышать и понижать по метрике:

vi = gikvk {\ displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} v_ {k}}

v ^ i = g ^ {ik} v_k

Связь с коэффициентами Ламе

Определение масштабных коэффициентов h i с помощью

hihj = gij = bi ⋅ bj ⇒ hi = gii = | б я | = | ∂ x ∂ q i | {\ displaystyle h_ {i} h_ {j} = g_ {ij} = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} \ quad \ Rightarrow \ quad h_ {i} = {\ sqrt {g_ {ii}}} = \ left | \ mathbf {b} _ {i} \ right | = \ left | {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} \ right |}

h_ih_j = g_ {ij} = \ mathbf {b} _i \ cdot \ mathbf {b} _j \ quad \ Rightarrow \ quad h_i = \ sqrt {g_ {ii}} = \ left | \ mathbf {b} _i \ right | = \ left | \ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ i} \ right |

дает связь между метрическим тензором и коэффициентами Ламе, а

gij = ∂ x ∂ qi ⋅ ∂ x ∂ qj = (hkiek) ⋅ (hmjem) = hkihkj {\ displaystyle g_ {ij } = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {j}}} = \ left (h_ {ki} \ mathbf {e} _ {k} \ right) \ cdot \ left (h_ {mj} \ mathbf {e} _ {m} \ right) = h_ {ki} h_ {kj}}

g_ {ij} = \ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ частичный q ^ i} \ cdot \ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ j} = \ left (h_ {ki} \ mathbf {e} _k \ right) \ cdot \ left (h_ {mj } \ mathbf {e} _m \ right) = h_ {ki} h_ {kj}

где h ij - коэффициенты Ламе. Для ортогонального базиса также имеем:

g = g 11 g 22 g 33 = h 1 2 h 2 2 h 3 2 ⇒ g = h 1 h 2 h 3 = J {\ displaystyle g = g_ {11} g_ {22 } g_ {33} = h_ {1} ^ {2} h_ {2} ^ {2} h_ {3} ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ sqrt {g}} = h_ {1} h_ { 2} h_ {3} = J}

g = g_ {11 } g_ {22} g_ {33} = h_1 ^ 2h_2 ^ 2h_3 ^ 2 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sqrt {g} = h_1h_2h_3 = J

Пример: полярные координаты

Если мы рассмотрим полярные координаты для R,

(x, y) = (r cos ⁡ θ, r sin ⁡ θ) {\ displaystyle (x, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta)}

(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta)

(r, θ) - криволинейные координаты и определитель якобиана преобразования (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) равно r.

Ортогональные базисные качества равны br= (cos θ, sin θ), bθ= (−r sin θ, r cos θ). Масштабные коэффициенты равны h r = 1 и h θ = r. Фундаментальный тензор равенство g 11 = 1, g 22 = r, g 12 = g 21 = 0.

Переменный тензор

В ортонормированном правостороннем базисе переменный тензор третьего порядка как

E = ε ijkei ⊗ ej ⊗ ek {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = \ varepsilon _ {ijk} \ mathbf {e} ^ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j} \ otimes \ mathbf {e} ^ {k}}

{\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}

В общем криволинейном базисе тот же тензорзор может быть выражен как

E = E ijkbi ⊗ bj ⊗ bk = E ijkbi ⊗ bj ⊗ bk {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = {\ mathcal {E}} _ {ijk} \ mathbf { b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} = {\ mathcal {E}} ^ {ijk} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} _ {k}}

\boldsymbol{\mathcal{E}} = \mathcal{E}_{ijk}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j\otimes\mathbf{b}^k = \mathcal{E}^{ijk}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j\otimes\mathbf{b}_k

Также можно показать, что

E ijk Знак равно 1 J ε ijk = 1 + g ε ijk {\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {ijk} = {\ cfrac {1} {J}} \ varepsilon _ {ijk} = {\ cfrac {1} {+ {\ sqrt {g}}}} \ varepsilon _ { я jk}}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {ijk} = {\ cfrac {1} {J}} \ varepsilon _ {ijk} = {\ cfrac {1} {+ {\ sqrt {g}}}} \ varepsilon _ {ijk}}

символы Кристоффеля

символы Кристоффеля первого рода $Γ kij {\ displaystyle \ Gamma _ {kij}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {kij}}$

bi, j = ∂ bi ∂ qj = bk Γ kij ⇒ bk ⋅ би, j знак равно Γ kij {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i, j} = {\ frac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = \ mathbf {b} ^ {k} \ Gamma _ {kij} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i, j} = \ Gamma _ {kij} }

{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i, j} = {\ frac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = \ mathbf {b} ^ {k} \ Gamma _ {kij} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i, j} = \ Gamma _ {kij}}

, где запятая обозначает частную производную (см. исчисление Риччи ). Чтобы выразить Γ kij через g ij,

gij, k = (bi ⋅ bj), k = bi, k ⋅ bj + bi ⋅ bj, k = Γ jik + Γ ijkgik, j = (bi ⋅ bk), j = bi, j ⋅ bk + bi ⋅ bk, j = Γ kij + Γ ikjgjk, i = (bj ⋅ bk), i = bj, i ⋅ bk + bj ⋅ bk, i = Γ kji + Γ jki {\ displaystyle {\ begin {align} g_ {ij, k} = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k} = \ mathbf {b} _ {i, k} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j, k} = \ Gamma _ {jik} + \ Gamma _ {ijk} \\ g_ {ik, j} = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} = \ mathbf {b} _ {i, j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, j} = \ Gamma _ {kij} + \ Gamma _ {ikj } \\ g_ {jk, i} = (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} = \ mathbf {b} _ {j, i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, i} = \ Gamma _ {kji} + \ Gamma _ {jki} \ end {align}}

{\begin{aligned}g_{ij,k}=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj }\\g_{jk,i}=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i} \cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end {al igned}}

<Форма 604>bi, j = bj, i ⇒ Γ kij = Γ kji {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i, j} = \ mathbf {b} _ {j, i} \ quad \ Rightarrow \ quad \ Gamma _ {kij} = \ Gamma _ {kji}} $\mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}$

u объединяя их, чтобы изменить приведенные выше соотношения, получаем

Γ kij = 1 2 (gik, j + gjk, я - gij, k) = 1 2 [(bi ⋅ bk), j + (bj ⋅ bk), i - (би ⋅ bj), к] {\ displaystyle \ Gamma _ { kij} = {\ frac {1} {2}} (g_ {ik, j} + g_ {jk, i} -g_ {ij, k}) = {\ frac {1} {2}} [(\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} + (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} - (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k}]}

{\ displaystyle \ Gamma _ {kij} = {\ frac {1} {2}} (g_ {ik, j} + g_ {jk, i} -g_ {ij, k}) = {\ frac {1} {2}} [(\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} + (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} - (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k}]}

Кристоффель символы второго рода $Γ kji {\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ji}}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ji}}$

Γ kij = gkl Γ lij = Γ kji, ∂ bi ∂ qj = bk Γ kij {\ Displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} = g ^ {kl} \ Gamma _ {lij} = \ Gamma ^ {k} {} _ {ji}, \ quad {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j }}} = \ mathbf {b} _ {k} \ Gamma ^ {k} {} _ {ij}}

{\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} = g ^ {kl} \ Gamma _ {lij} = \ Gamma ^ {k} {} _ { ji}, \ quad {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = \ mathbf {b} _ {k} \ Gamma ^ {k} {} _ {ij}}

Это означает, что

Γ kij = ∂ bi ∂ qj ⋅ bk = - bi ⋅ ∂ бк ∂ Qj {\ Displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ij } = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} \ cdot \ mathbf {b} ^ {k} = - \ mathbf {b} _ {i} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {k}} {\ partial q ^ {j}}} \ quad}

{\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} \ cdot \ mathbf {b} ^ {k} = - \ mathbf {b} _ {i} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {k}} {\ partial q ^ {j}} } \ quad}

поскольку

∂ ∂ qj (bi ⋅ bk) = 0 {\ displaystyle \ quad {\ cfrac {\ partial} {\ partial q ^ {j}}} (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {k}) = 0}

{\ displaystyle \ quad {\ cfrac {\ partial} {\ partial q ^ {j}}} ( \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {k}) = 0}

Другие следующие соотношения:

∂ bi ∂ qj = - Γ ijkbk, ∇ bi = Γ kijbk ⊗ bj, ∇ bi = - Γ ijkbk ⊗ bj {\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {i }} {\ partial q ^ {j}}} = - \ Gamma ^ {i} {} _ {jk} \ mathbf {b} ^ {k}, \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b } _ {i} = \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} \ mathbf {b} _ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}, \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} ^ {i} = - \ Gamma ^ {i} {} _ {jk} \ mathbf {b} ^ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = - \ Gamma ^ {i} {} _ {jk} \ mathbf {b} ^ {k}, \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} _ {i} = \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} \ mathbf {b} _ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}, \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} ^ {i} = - \ Gamma ^ {i} {} _ {jk} \ mathbf {b} ^ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

Векторные операции

Точечное произведение :
Скалярное произведение двух векторов в волволинейных координатах:
$u ⋅ v = uivi = uivi = gijuivj = gi juivj {\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ {i} v_ {i} = u_ {i} v ^ {i} = g_ {ij} u ^ {i} v ^ {j } = g ^ {ij} u_ {i} v_ {j}}$ $\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ iv_i = u_iv ^ i = g_ {ij} u ^ iv ^ j = g ^ {ij} u_iv_j$
Перекрестное произведение :
Перекрестное произведение двух векторов дается как
$u × v = ϵ ijkujvkei {\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ epsilon _ {ijk} {u} _ {j} {v} _ {k} \ mathbf {e} _ {i}}$ $\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \epsilon_{ijk}{u}_j{v}_k\mathbf{e}_i$
где $ϵ ijk {\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$ $\epsilon _{ijk}$ - символ перестановки и $ei {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$ $\ mathbf {e} _ {i}$ - декартов базисный вектор. В криволинейных координатах эквивалентное выражение:
$u × v = [(bm × bn) ⋅ bs] umvnbs = E smnumvnbs {\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s}] u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s} = {\ mathcal {E}} _ {smn} u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s}}$ $\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s] u ^ mv ^ n \ mathbf {b} ^ s = \ mathcal { E} _ {smn} u ^ mv ^ n \ mathbf {b} ^ s$
где $E ijk {\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk }}$ $\ mathcal {E} _ {ijk}$ - это переменный тензор третьего порядка.

и векторное тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах

Примечание: соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования на повторяющихся индексах ниже.

Обязательно внести поправки при вычислении строки, поверхности и интегралов объема . Для простоты нижеследующего ограниченного измерения и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы к n-мерным пространствам. Когда система координат не ортогональна, в выражениях есть некоторые дополнительные члены.

Симмондс в своей книге по тензорному анализу цитирует Альберта Эйнштейна, говоря:

Магия этой теории вряд ли перестанет распространяться на любого, кто действительно понял это; он представляет собой подлинный триумф метода дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивита.

Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе четырехмерных криволинейных многообразий в общей теории относительности, в механике криволинейных оболочки, при исследовании свойств инвариантности отношения Максвелла, которые представляют интерес в метаматериалах и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения в исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, Симмондса, Грин и Зерна, Басара и Вейхерта и Сиарлета.

Пусть φ = φ (x ) - хорошо определенное скалярное поле и v= v(x) четко определенное новое поле, а λ 1, λ 2... параметров координат

Геометрические элементы

Касательный вектор : Если x (λ) параметризует кривую C в декартовых координатах, то
$∂ х ∂ λ = ∂ x ∂ qi ∂ qi ∂ λ = (hki ∂ qi ∂ λ) bk {\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} = {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {i}} {\ partial q ^ {i} \ over \ partial \ lambda} = \ left (h_ {ki} {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial \ lambda}} \ right) \ mathbf {b} _ {k}}$ ${ \ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} = {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ i} {\ partial q ^ i \ over \ partial \ lambda} = \ left (h_ { ki} \ cfrac {\ partial q ^ i} {\ partial \ lambda} \ right) \ mathbf {b} _k$
- касательный вектор к C в криволинейных координатах (с использованием цепного правила ). Используя определение коэффициентов Ламе и значение для метрики g ij = 0, когда i ≠ j, величина будет:
$| ∂ x ∂ λ | знак равно hkihkj ∂ qi ∂ λ ∂ qj ∂ λ = gij ∂ qi ∂ λ ∂ qj ∂ λ = hi 2 (∂ qi ∂ λ) 2 {\ displaystyle \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda } \ right | = {\ sqrt {h_ {ki} h_ {kj} {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial \ lambda}} {\ cfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial \ lambda}}}} = {\ sqrt {g_ {ij} {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial \ lambda}} {\ cfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial \ lambda}}}} = {\ sqrt {h_ {i} ^ {2} \ left ({\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial \ lambda}} \ right) ^ {2}}} }$ $\ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right | = \ sqrt {h_ {ki} h_ {kj} \ cfrac {\ partial q ^ i} {\ partial \ lambda} \ cfrac {\ partial q ^ j} {\ partial \ lambda}} = \ sqrt {g_ {ij } \ cfrac {\ partial q ^ i} {\ partial \ lambda} \ cfrac {\ partial q ^ j} {\ partial \ lambda}} = \ sqrt {h_ {i} ^ 2 \ left (\ cfrac {\ partial q ^ i} {\ partial \ lambda} \ right) ^ 2}$
Касательная плоскость элемент: Если x(λ1, λ 2) параметризует поверхность S в декартовых координатах, то следующее векторное произведение касательных векторов является вектором нормали к S с величиной бесконечно малого элемента плоскости в криволинейных координатах. Используя полученный выше результат,
$∂ x ∂ λ 1 × ∂ x ∂ λ 2 = (∂ x ∂ qi ∂ qi ∂ λ 1) × (∂ x ∂ qj ∂ qj ∂ λ 2) = E kmp (hki ∂ qi ∂ λ 1) (hmj ∂ qj ∂ λ 2) bp {\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ лямбда _ {2}} = \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {i}} {\ partial q ^ {i} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ right) \ times \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {j}} {\ partial q ^ {j} \ over \ partial \ lambda _ {2}} \ right) = {\ mathcal { E}} _ {kmp} \ left (h_ {ki} {\ partial q ^ {i} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ right) \ left (h_ {mj} {\ partial q ^ {j } \ over \ partial \ lambda _ {2}} \ right) \ mathbf {b} _ {p}}$ ${\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2} =\left({\partial \mathbf{x} \over \partial q^i}{\partial q ^i \over \partial \lambda_1}\right) \times \left({\partial \mathbf{x} \over \partial q^j}{\partial q^j \over \partial \lambda_2}\right) = \mathcal{E}_{kmp}\left( h_{ki}{\partial q^i \over \partial \lambda_1}\right)\left(h_{mj}{\partial q^j \over \partial \lambda_2}\right) \mathbf{b}_p$
где $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\mathcal {E}}$ - символ перестановки . В виде определителя:
$∂ x ∂ λ 1 × ∂ x ∂ λ 2 = | e 1 e 2 e 3 h 1 i ∂ qi ∂ λ 1 h 2 i ∂ qi ∂ λ 1 h 3 i ∂ qi ∂ λ 1 h 1 j ∂ qj ∂ λ 2 h 2 j ∂ qj ∂ λ 2 h 3 j ∂ qj ∂ λ 2 | {\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {2}} = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {e} _ {1} \ mathbf {e} _ {2} \ mathbf {e} _ {3} \\ h_ {1i} {\ dfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial \ lambda _ {1}}} h_ {2i} {\ dfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial \ lambda _ {1}}} h_ {3i} {\ dfrac {\ partial q ^ {i} } {\ partial \ lambda _ {1}}} \\ h_ {1j} {\ dfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial \ lambda _ {2}}} h_ {2j} {\ dfrac {\ частичный q ^ {j}} {\ partial \ lambda _ {2}}} h_ {3j} {\ dfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial \ lambda _ {2}}} \ end {vmatrix} }}$ ${\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda_1} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda_2} = \ begin {vmatrix } \ mathbf {e} _1 \ mathbf {e} _2 \ mathbf {e} _3 \\ h_ {1i} \ dfrac {\ partial q ^ i} {\ partial \ lambda_1} h_ {2i} \ dfrac { \ partial q ^ i} {\ partial \ lambda_1} h_ {3i} \ dfrac {\ partial q ^ i} {\ partial \ lambda_1} \\ h_ {1j} \ dfrac {\ partial q ^ j} {\ partial \ lambda_2} h_ {2j} \ dfrac {\ partial q ^ j} {\ partial \ lambda_2} h_ {3j} \ dfrac {\ partial q ^ j} {\ partial \ lambda_2} \ end {vmatrix}$

Интегрирование

Оператор	Скалярное поле	Векторное поле
Линейный интеграл	$∫ C φ (x) ds = ∫ ab φ (x (λ)) \| ∂ x ∂ λ \| d λ {\ displaystyle \ int _ {C} \ varphi (\ mathbf {x}) ds = \ int _ {a} ^ {b} \ varphi (\ mathbf {x} (\ lambda)) \ left \| {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right \| d \ lambda}$ $\ int_C \ varphi (\ mathbf {x }) ds = \ int_a ^ b \ varphi (\ mathbf {x} (\ lambda)) \ left \| {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right \| d \ lambda$	$∫ C v (x) ⋅ ds = ∫ abv (x (λ)) ⋅ (∂ x ∂ λ) d λ { \ Displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ cdot d \ mathbf {s} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {v} (\ mathbf {x} (\ lambda)) \ cdot \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right) d \ lambda}$ $\ int_C \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ cdot d \ mathbf {s} = \ int_a ^ b \ mathbf {v} (\ mathbf {x } (\ lambda)) \ cdot \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right) d \ lambda$
Поверхностный интеграл	$∫ S φ (x) d S = ∬ T φ (x (λ 1, λ 2)) \| ∂ x ∂ λ 1 × ∂ x ∂ λ 2 \| d λ 1 d λ 2 {\ Displaystyle \ int _ {S} \ varphi (\ mathbf {x}) dS = \ iint _ {T} \ varphi (\ mathbf {x} (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})) \ left \| {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {2}} \ right \| d \ lambda _ {1} d \ lambda _ {2}}$ $\int_S \varphi(\mathbf{x}) dS = \iint_T \varphi(\mathbf{x}(\lambda_1, \lambda_2)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_2}\right\| d\lambda_1 d\lambda_2$	$∫ S v (x) ⋅ d S = ∬ T v (x (λ 1, λ 2)) ⋅ (∂ x ∂ λ 1 × ∂ Икс ∂ λ 2) d λ 1 d λ 2 {\ Displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ cdot dS = \ iint _ {T} \ mathbf {v} ( \ mathbf {x} (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})) \ cdot \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {2}} \ right) d \ lambda _ {1} d \ lambda _ {2}}$ $\ int_S \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ cdot dS = \ iint_T \mathbf{v}(\mathbf{x}(\lambda_1, \lambda_2)) \cdot\left({\partial \mathbf{x} \over \partial \lambda_1}\times {\partial \mathbf{x} \ over \partial \lambda_2}\right) d\lambda_1 d\lambda_2$
Интеграл объема	$∭ V φ (x, y, z) d В знак равно ∭ В χ (q 1, q 2, q 3) J dq 1 dq 2 dq 3 {\ displaystyle \ iiint _ {V} \ varphi (x, y, z) dV = \ iiint _ {V } \ chi (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) Jdq_ {1} dq_ {2} dq_ {3}}$ $\ iiint_V \ varphi (x, y, z) dV = \ iiint_V \ chi (q_1, q_2, q_3) Jdq_1dq_2dq_3$	$∭ V u (x, y, z) d V = ∭ V v (q 1, q 2, q 3) J dq 1 dq 2 dq 3 {\ displaystyle \ iiint _ {V} \ mathbf {u} (x, y, z) dV = \ iiint _ {V} \ mathbf { v} (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) Дж dq_ {1} dq_ {2} dq_ {3}}$ $\ iiint_V \ mathbf {u} (x, y, z) dV = \ iiint_V \ mathbf {v} (q_1, q_2, q_3) Jdq_1dq_2dq_3$

Дифференциация

Выражения для градиента, дивергенции и лапласиана можно напрямую расширить до n-мерных размеров, однако локон определяется только в трехмерном пространстве..

Векторное поле biкасается координатной кривой q и образует естественный базис в каждой точке кривой. Этот базис, как обсуждалось в начале этой статьи, также называется ковариантным криволинейным базисом. Мы также можем определить взаимный базис или контравариантный криволинейный базис, b . Все алгебраические отношения между базисными векторами, как обсуждалось в разделе о тензорной алгебре, применимы к естественному базису и его обратной величине в каждой точке x.

Оператор	Скалярное поле	Векторное поле	тензорное поле 2-го порядка
Градиент	$∇ φ = 1 hi ∂ φ ∂ qibi {\ displaystyle \ nabla \ varphi = {\ cfrac {1} {h_ {i}}} {\ partial \ varphi \ over \ partial q ^ {i}} \ mathbf {b} ^ {i}}$ $\ nabla \ varphi = \ cfrac {1} {h_i} {\ partial \ varphi \ over \ partial q ^ i} \ mathbf {b} ^ i$	$∇ v = 1 hi 2 ∂ v ∂ qi ⊗ bi {\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}} {\ partial \ mathbf {v} \ over \ partial q ^ {i}} \ otimes \ mathbf {b} _ {i}}$ $\ nabla \ mathbf {v} = \ cfrac {1} {h_i ^ 2} {\ partial \ mathbf {v} \ over \ partial q ^ i} \ otimes \ mathbf {b} _i$	$∇ S = ∂ S ∂ qi ⊗ би {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {S}}} {\ partial q ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}}$ $\ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {S} = \ cfrac {\ partial \ boldsymbol {S}} {\ partial q ^ i} \ otimes \ mathbf {b} ^ i$
Дивергенция	N / A	$∇ ⋅ v = 1 ∏ jhj ∂ ∂ qi (vi ∏ j ≠ ihj) {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {\ prod _ {j} h_ {j}}} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}} (v ^ {i} \ prod _ { j \ neq i} h_ {j})}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ cfrac {1} {\ prod_j h_j} \ frac { \ partial} {\ partial q ^ i} (v ^ i \ prod_ {j \ ne i} h_j)$	$(∇ ⋅ S) ⋅ a = ∇ ⋅ (S ⋅ a) {\ displaystyle ({\ boldsy mbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}}) \ cdot \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot ({\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {a}) }$ $(\ boldsymbol {\ nabla} \ cdot \ boldsymbol {S}) \ cdot \ mathbf {a} = \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (\ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {a})$ где a - произвольный постоянный вектор. В криволинейных координатах $∇ ⋅ S = [∂ S ij ∂ qk - Γ kil S lj - Γ kjl S il] gikbj {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = \ left [{\ cfrac {\ partial S_ {ij}} {\ partial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} S_ {lj} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} S_ {il} \ right] g ^ {ik} \ mathbf {b} ^ {j}}$ $\ boldsymbol {\ nabla} \ cdot \ boldsymbol {S} = \ left [\ cfrac {\ partial S_ {ij} } {\ partial q ^ k} - \ Gamma ^ l_ {ki} S_ {lj} - \ Gamma ^ l_ {kj} S_ {il} \ right] g ^ {ik} \ mathbf {b} ^ j$
лапласиан	$∇ 2 φ = 1 ∏ jhj ∂ ∂ qi (∏ jhjhi 2 ∂ φ ∂ qi) {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {\ prod _ {j} h_ {j}}} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}} \ left ({ \ cfrac {\ prod _ {j} h_ {j}} {h_ {i} ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {i}}} \ right)}$ $\nabla^2 \varphi = \cfrac{1}{\prod _j h_j}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\cfrac{\prod _j h_j}{h_i^2}\frac{\partial \varphi}{\partial q^i}\right)$
Curl	N / A	Только для векторных полей в 3D, $∇ × v = 1 h 1 h 2 h 3 ei ϵ ijkhi ∂ (hkvk) ∂ qj {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} \ mathbf {e} _ {i} \ epsilon _ {ijk} h_ {i} {\ frac {\ partial (h_ {k} v_ {k})} {\ partial q ^ {j}}}}$ $\nabla\times\mathbf{v} = \frac{1}{h_1h_2h_3} \mathbf{e}_i \epsilon_{ijk} h_i \frac{\partial (h_k v_k)}{\partial q^j}$ где $ϵ ijk {\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$ $\epsilon _{ijk}$ - это символ Леви-Чивиты..	См. Завиток тензорного поля

Фиктивные силы в родах l криволинейные координаты

По определению, если частица, на которую не действуют никакие силы, имеет свое положение, выраженное в инерциальной системе координат, (x 1, x 2, x 3, t), то там не будет ускорения (dx j / dt = 0). В этом контексте система координат может не быть «инерционной» либо из-за непрямолинейной оси времени, либо из-за непрямых пространственных осей (или того и другого). Другими словами, базисные векторы координат могут изменяться во времени в фиксированных положениях, или они могут меняться в зависимости от положения в фиксированные моменты времени, или и то, и другое. Когда уравнения движения выражаются в терминах любой неинерциальной системы координат (в этом смысле), появляются дополнительные члены, называемые символами Кристоффеля. Строго говоря, эти термины представляют собой компоненты абсолютного ускорения (в классической механике), но мы также можем продолжить рассматривать dx j / dt как ускорение (как если бы координаты были инерционными) и рассматривать дополнительные термины, как если бы они были силами, и в этом случае они называются фиктивными силами. Составляющая любой такой фиктивной силы, нормальная к траектории частицы и в плоскости кривизны траектории, тогда называется центробежной силой.

. Этот более общий контекст проясняет соответствие между концепциями центробежной силы в вращающихся систем координат и в стационарных криволинейных системах координат. (Обе эти концепции часто встречаются в литературе.) В качестве простого примера рассмотрим частицу массы m, движущуюся по окружности радиуса r с угловой скоростью w относительно системы полярных координат, вращающейся с угловой скоростью W. Радиальное уравнение движения есть mr ”= F r + mr (w + W). Таким образом, центробежная сила равна mr, умноженному на квадрат абсолютной скорости вращения A = w + W частицы. Если мы выберем систему координат, вращающуюся со скоростью частицы, то W = A и w = 0, и в этом случае центробежная сила равна mrA, тогда как если мы выберем стационарную систему координат, мы получим W = 0 и w = A, в этом случае центробежная сила снова равна mrA. Причина такого равенства результатов в том, что в обоих случаях базисные векторы в местоположении частицы меняются во времени точно так же. Следовательно, на самом деле это всего лишь два разных способа описания одного и того же: одно описание ведется в терминах вращающихся координат, а другое - в терминах стационарных криволинейных координат, оба из которых являются неинерциальными в соответствии с более абстрактным значением этого термина..

При описании общего движения действительные силы, действующие на частицу, часто относятся к мгновенному соприкасающемуся кругу, касательному пути движения, и этот круг в общем случае не центрирован в фиксированном месте, и поэтому разложение на центробежную и кориолисовую составляющие постоянно меняется. Это верно независимо от того, описывается ли движение в терминах стационарных или вращающихся координат.

Криволинейные координаты

Содержание

Ортогональные криволинейные координаты в трех измерениях

Координаты, базис и векторы

Векторное исчисление

Дифференциальные элементы,

Ковариантный и контравариантные базы

Интегрирование

Построение ковариантного базиса в одном измерении

Построение ковариантного базиса в трех измерениях

Якобиан преобразования

Обобщение на n измерений

Преобразование координат

Векторная и тензорная алгебра в трехмерной криволинейной координаты

Тензоры в криволинейных координатах

Метрический тензор в ортогональных криволинейных координаты

Связь с коэффициентами Ламе

Пример: полярные координаты

Переменный тензор

символы Кристоффеля

Векторные операции

и векторное тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах

Геометрические элементы

Интегрирование

Дифференциация

Фиктивные силы в родах l криволинейные координаты

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки