Расстояние

редактировать
Прямая линия, соединяющая две точки в измеряемом пространстве или в наблюдаемом физическом пространстве

Расстояние числовое измерение расстояния между объектами или точками. В физике или повседневном использовании расстояние может относиться к физической длине или оценке, основанной на других критериях (например, «на два округа больше»). Расстояние от точки A до точки B иногда обозначается как | A B | {\ displaystyle | AB |}| AB | . В большинстве случаев «расстояние от A до B» взаимозаменяемо с «расстоянием от B до A». В математике функция расстояния или метрика является обобщением концепции физического расстояния; это способ описания того, что значит для элементов некоторого пространства быть «близко» или «далеко» друг от друга. В психологии и социальных науках расстояние - это нечисловое измерение; Психологическая дистанция определяется как «различные способы, которыми объект может быть удален от себя» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность».

Содержание
  • 1 Обзор и определения
    • 1.1 Физические расстояния
    • 1.2 Теоретические расстояния
  • 2 Расстояние в зависимости от направленного расстояния и смещения
    • 2.1 Направленное расстояние
    • 2.2 Смещение
  • 3 Математика
    • 3.1 Геометрия
    • 3.2 Расстояние в евклидовом пространстве
    • 3.3 Вариационная формулировка расстояния
    • 3.4 Обобщение на многомерные объекты
    • 3.5 Алгебраическое расстояние
    • 3.6 Общая метрика
    • 3.7 Расстояния между множествами и между точкой и множеством
    • 3.8 Теория графов
    • 3.9 Статистические расстояния
    • 3.10 Другие математические «расстояния»
  • 4 В психологии
  • 5 См. Также
  • 6 Библиотечная поддержка
  • 7 Ссылки
  • 8 Библиография
Обзор и определения

Физические расстояния

Маршруты авиакомпаний между Лос-Анджелесом и Токио приблизительно соответствуют прямой маршрут большой круг (вверху), но используйте реактивный поток (внизу) при движении на восток. Обратите внимание, что кратчайший маршрут отображается как кривая, а не как прямая линия, потому что эта карта является проекцией Меркатора, которая не масштабирует все расстояния одинаково по сравнению с реальной сферической поверхностью Земли. "Манхэттенское расстояние "на сетке

Физическое расстояние может означать несколько разных вещей:

  • Пройденное расстояние: длина определенного пути, пройденного между двумя точками, например расстояние, пройденное при навигации по лабиринту
  • Прямолинейное (евклидово) расстояние: длина кратчайшего возможного пути в пространстве между двумя точками, который можно было бы пройти, если бы не было препятствий (обычно формализуется как евклидово расстояние )
  • Геодезическое расстояние: длина кратчайший путь между двумя точками, оставаясь на некоторой поверхности, например, расстояние по большому кругу вдоль кривой Земли
  • Длина определенного пути, который возвращается в начальную точку, например, мяч, брошенный вверх, или Земля, когда он выполнил его орбита.
Доска, показывающая расстояния около Вишакхапатнам

«Круговое расстояние» - это расстояние, пройденное колесом, которое может быть полезно при проектировании транспортных средств или механических передач. Окружность колеса равна 2π × радиус, и если принять радиус равным 1, то каждый оборот колеса эквивалентен расстоянию 2π радиан. В технике часто используется ω = 2πƒ, где ƒ - частота..

Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:

  • "Манхэттенское расстояние " - прямолинейное расстояние, названное в честь количества кварталов (в северном, южном, восточном или западном направлениях), по которым такси должно ехать, чтобы добраться до пункта назначения на сетке улиц в некоторых частях Нью-Йорка.
  • «Расстояние до шахматной доски», формализованное как расстояние Чебышева, - это минимальное количество ходов, которое король должен сделать на шахматной доске, чтобы пройти между двумя клетками.

Измерения расстояния в космологии усложняются расширением Вселенной и эффектами, описываемыми теорией относительности (такими как сокращение длины движущегося

Теоретические расстояния

Термин «расстояние» также используется по аналогии для измерения нефизических объектов определенными способами.

В информатике существует понятие «редактируемого расстояния » между двумя строками. Например, слова «собака» и «точка», которые различаются только одной буквой, ближе, чем «собака» и «кошка», которые отличаются на три буквы. Эта идея используется в средствах проверки орфографии и в теории кодирования и математически формализована несколькими различными способами, например:

В математике метрическое пространство - это набор, для которого определены расстояния между всеми элементами набора. Таким образом, можно вычислить множество различных типов «расстояний», например, для обхода графиков, сравнения распределений и кривых и использования необычных определений «пространства» (например, с использованием коллектор или отражения ). Понятие расстояния в теории графов использовалось для описания социальных сетей, например, с помощью числа Эрдёша или числа Бэкона - количество совместных отношений вдали от человека исходит от плодовитого математика Пола Эрдеша и актера Кевина Бэкона соответственно.

В психологии, географии человека и социальных науках расстояние часто рассматривается не как объективный показатель, а как субъективный опыт.

Расстояние против направленного расстояния и смещения
Расстояние вдоль путь по сравнению со смещением

И расстояние, и смещение измеряют движение объекта. Расстояние не может быть отрицательным и никогда не уменьшается. Расстояние - это скалярная величина или величина, тогда как смещение - это векторная величина с величиной и направлением. Он может быть отрицательным, нулевым или положительным. Направленное расстояние не измеряет движение; он измеряет расстояние между двумя точками и может быть положительным, нулевым или отрицательным вектором.

Расстояние, пройденное транспортным средством (например, записанное одометром ), человек, животное или объект, идущие по изогнутой траектории от точки A до точки B, следует отличать от расстояния по прямой от A до B. Например, независимо от расстояния, пройденного во время поездки туда и обратно от A до B и обратно до A, смещение равно нулю, поскольку начальная и конечная точки совпадают. В целом расстояние по прямой не равно пройденному расстоянию, за исключением поездок по прямой.

Направленное расстояние

Направленное расстояние можно определить по прямым и по изогнутым линиям.

Направленные расстояния по прямым линиям - это векторы, которые определяют расстояние и направление между начальной и конечной точками. Направленное расстояние точки C от точки A в направлении B на прямой AB в евклидовом векторном пространстве - это расстояние от A до C, если C падает на луч AB, но является отрицательным значением это расстояние, если C падает на луч BA (т. е. если C не находится на той же стороне от A, что и B). Например, направленное расстояние от флагштока Главной библиотеки Нью-Йорка до флагштока Статуи Свободы:

  • Начальная точка: флагшток библиотеки
  • Конечная точка: флагшток статуи
  • Направление: -38 °
  • Расстояние: 8,72 км

Другой вид направленного расстояния - это расстояние между двумя разными частицами или точечными массами в данный момент времени. Например, расстояние от центра тяжести Земли A и центра тяжести Луны B (что не означает строго движение от A к B) попадает в эту категорию.

Направленное расстояние вдоль изогнутой линии не является вектором и представлено сегментом этой изогнутой линии, определяемой конечными точками A и B, с некоторой конкретной информацией, указывающей смысл (или направление) идеального или реального движение от одной конечной точки отрезка к другой (см. рисунок). Например, простая маркировка двух конечных точек как A и B может указывать на смысл, если предполагается упорядоченная последовательность (A, B), что подразумевает, что A является начальной точкой.

Смещение

Смещение (см. Выше) - это особый вид направленного расстояния, определенный в механике. Направленное расстояние называется смещением, когда это расстояние по прямой (минимальное расстояние) от A и B, и когда A и B - позиции, занятые одной и той же частицей в два разных момента времени. Это подразумевает движение частицы. Расстояние, пройденное частицей, всегда должно быть больше или равно ее перемещению, причем равенство имеет место только тогда, когда частица движется по прямой траектории.

Математика

Геометрия

В аналитической геометрии, евклидово расстояние между двумя точками плоскости xy. можно найти с помощью формулы расстояния. Расстояние между (x 1, y 1) и (x 2, y 2) определяется следующим образом:

d Знак равно (Δ x) 2 + (Δ y) 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2. {\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.}{\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Дельта x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.}

Аналогично, данные точки (x 1, y 1, z 1) и (x 2, y 2, z 2) в трех пробелах, расстояние между ними равно :

d = (Δ x) 2 + (Δ y) 2 + (Δ z) 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2.. {\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2}) -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}}.}d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}}.

Эти формулы легко выводятся путем построения прямоугольного треугольника с катетом на гипотенузе другого (с другим катетом , ортогональным плоскости плоскости, содержащей 1-й треугольник) и применяя теорему Пифагора. Эта формула расстояния также может быть расширена в формулу длины дуги. Другие расстояния с другими формулами используются в неевклидовой геометрии.

Расстояние в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве Rрасстояние между двумя точками обычно задается символом Евклидово расстояние (расстояние 2 нормы). Иногда вместо них используются другие расстояния, основанные на других нормах.

Для точки (x 1, x 2,..., x n) и точки (y 1, y 2,..., y n), расстояние Минковского порядка p (p -нормальное расстояние ) определяется как:

1-нормальное расстояние= ∑ i = 1 n | х я - у я | {\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right |}= \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ { i} \ right |
2-нормальное расстояние= (∑ i = 1 n | xi - yi | 2) 1/2 {\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}= \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {2} \ right) ^ {1/2}
расстояние p-нормы= (∑ i = 1 n | xi - yi | p) 1 / p {\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}= \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ справа | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}
бесконечное нормальное расстояние= lim p → ∞ (∑ i = 1 n | xi - yi | p) 1 / p {\ displaystyle = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}= \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i } -y_ {i} \ right | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}
= max (| x 1 - y 1 |, | x 2 - y 2 |,…, | xn - yn |). {\ displaystyle = \ max \ left (| x_ {1} -y_ {1} |, | x_ {2} -y_ {2} |, \ ldots, | x_ {n} -y_ {n} | \ right).}= \ max \ left (| x_ {1} -y_ {1} |, | x_ {2} -y_ {2} |, \ ldots, | x_ {n} -y_ {n} | \ right).

p не обязательно должно быть целым числом, но оно не может быть меньше 1, потому что в противном случае неравенство треугольника не выполняется.

Расстояние с двумя нормами - это евклидово расстояние, обобщение теоремы Пифагора на более чем две координаты. Это то, что было бы получено, если бы расстояние между двумя точками было измерено с помощью линейки : «интуитивное» представление о расстоянии.

Расстояние 1-нормы более красочно называется нормой такси или манхэттенским расстоянием, потому что это расстояние, которое автомобиль проехал бы в городе, разбитом на квадратные кварталы (если нет улицы с односторонним движением).

Расстояние по норме бесконечности также называется расстоянием Чебышева. В 2D это минимальное количество ходов, которые короли должны пройти между двумя клетками на шахматной доске.

. P-норма редко используется для значений p, отличных от 1, 2 и бесконечность, но см. суперэллипс.

В физическом пространстве евклидово расстояние в некотором смысле является наиболее естественным, потому что в этом случае длина твердого тела не изменяется с вращение.

Вариационная формулировка расстояния

Евклидово расстояние между двумя точками в пространстве (A = r → (0) {\ displaystyle A = {\ vec {r}} (0)}A = {\ vec {r}} (0) и B = r → (T) {\ displaystyle B = {\ vec {r}} (T)}B = {\ vec {r}} (T) ) могут быть записаны в вариационном форма, где расстояние является минимальным значением интеграла:

D = ∫ 0 T (∂ r → (t) ∂ t) 2 dt {\ displaystyle D = \ int _ {0} ^ {T} {\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (t) \ over \ partial t} \ right) ^ {2}}} \, dt}D = \ int _ {0} ^ {T} {\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (t) \ over \ partial t} \ right) ^ {2} }} \, dt

Здесь r → (t) { \ Displaystyle {\ vec {r}} (t)}{\ vec {r}} (t) - это траектория (путь) между двумя точками. Значение интеграла (D) представляет длину этой траектории. Расстояние является минимальным значением этого интеграла и получается, когда r = r ∗ {\ displaystyle r = r ^ {*}}r = r ^ {*} , где r ∗ {\ displaystyle r ^ {* }}r^{{*}}- оптимальная траектория. В известном евклидовом случае (указанный выше интеграл) эта оптимальная траектория представляет собой просто прямую линию. Хорошо известно, что кратчайший путь между двумя точками - это прямая линия. Формально прямые линии можно получить, решив уравнения Эйлера – Лагранжа для указанного выше функционала. В неевклидовых многообразиях (искривленных пространствах), где природа пространства представлена ​​метрическим тензором gab {\ displaystyle g_ {ab}}g_ {ab} подынтегральное выражение должно быть изменено на gacr ˙ cgabr ˙ b {\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ac} {\ dot {r}} _ {c} g_ {ab} {\ dot {r}} ^ {b}}}}{\ sqrt {g ^ {ac} {\ dot {r}} _ {c} g_ { ab} {\ dot {r}} ^ {b}}} , где использовалось соглашение о суммировании Эйнштейна.

Обобщение на многомерные объекты

Евклидово расстояние между двумя объектами также может быть обобщено на случай, когда объекты больше не являются точками, а представляют собой многомерные многообразия, например, пространственные кривые, поэтому в дополнение к разговору о расстоянии между двумя точками можно обсудить концепции расстояния между двумя струнами. Поскольку новые объекты, с которыми имеют дело, являются расширенными объектами (больше не точками), дополнительные концепции, такие как нерасширяемость, ограничения кривизны и нелокальные взаимодействия, обеспечивающие непересечение, становятся центральными в понятии расстояния.. Расстояние между двумя многообразиями - это скалярная величина, которая получается в результате минимизации обобщенного функционала расстояния, который представляет преобразование между двумя многообразиями:

D = ∫ 0 L ∫ 0 T {(∂ r → (s, t) ∂ t) 2 + λ [(∂ r → (s, t) ∂ s) 2–1]} dsdt {\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ int _ {0} ^ {L } \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {{\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (s, t) \ over \ partial t} \ right) ^ {2} }} + \ lambda \ left [{\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (s, t) \ over \ partial s} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ right \} \, ds \, dt}{\ mathcal {D}} = \ int _ {0} ^ {L} \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {{\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (s, t) \ over \ partial t} \ right) ^ {2}}} + \ lambda \ left [{\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (s, t) \ over \ partial s} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ right \} \, ds \, dt

Вышеупомянутый двойной интеграл представляет собой обобщенный функционал расстояния между двумя полимерными конформациями. s {\ displaystyle s}s - пространственный параметр, а t {\ displaystyle t}t - псевдовремени. Это означает, что r → (s, t = ti) {\ displaystyle {\ vec {r}} (s, t = t_ {i})}{\ vec {r}} (s, t = t_ {i}) - это конформация полимера / струны во время ti {\ displaystyle t_ {i}}t_ {i} и параметризуется по длине строки как s {\ displaystyle s}s . Аналогично r → (s = S, t) {\ displaystyle {\ vec {r}} (s = S, t)}{\ vec {r}} (s = S, t) - траектория бесконечно малого сегмента строки во время преобразования вся строка от конформации r → (s, 0) {\ displaystyle {\ vec {r}} (s, 0)}{\ vec {r}} (s, 0) до конформации r → (s, T) { \ Displaystyle {\ vec {r}} (s, T)}{\ vec {r} } (s, T) . Член с кофактором λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda является множителем Лагранжа и его роль заключается в обеспечении того, чтобы длина полимера оставалась неизменной во время преобразования. Если два дискретных полимера нерастяжимы, тогда преобразование минимального расстояния между ними больше не включает чисто прямолинейное движение даже в евклидовой метрике. Такое обобщенное расстояние может применяться к проблеме сворачивания белка.

. Это обобщенное расстояние аналогично действию Намбу – Гото в теории струн, однако там не является точным соответствием, потому что евклидово расстояние в 3-м пространстве не эквивалентно пространственно-временному расстоянию, минимизированному для классической релятивистской струны.

Алгебраическое расстояние

Это показатель, часто используемый в компьютерном зрении, который может быть минимизирован с помощью оценки наименьших квадратов. [2pting [3] Для кривых или поверхностей, заданных уравнением x TC x = 0 {\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Cx = 0}x^{\text{T}}Cx=0(например, коника в однородных координатах ), алгебраическое расстояние от точки x ′ {\ displaystyle x '}x'до кривой просто x ′ TC x ′ {\ displaystyle x '^ {\ text {T}} Cx'}x'^{\text{T}}Cx'. Он может служить «начальным предположением» для геометрического расстояния для уточнения оценок кривой более точными методами, такими как нелинейный метод наименьших квадратов.

Общая метрика

В математике, в частности geometry, функция расстояния на заданном наборе M является функцией d: M × M → R, где R обозначает набор действительных чисел, который удовлетворяет следующим условиям:

  • d (x, y) ≥ 0, и d (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y. (Расстояние между двумя разными точками положительно и равно нулю в точности от точки до самой себя.)
  • Оно симметрично : d (x, y) = d (y, x). (Расстояние между x и y одинаково в обоих направлениях.)
  • Он удовлетворяет неравенству треугольника : d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, г). (Расстояние между двумя точками - это кратчайшее расстояние по любому пути). Такая функция расстояния известна как метрика. Вместе с набором он составляет метрическое пространство.

. Например, обычное определение расстояния между двумя действительными числами x и y: d (x, y) = | x - y |. Это определение удовлетворяет трем условиям, указанным выше, и соответствует стандартной топологии реальной линии . Но расстояние на данном множестве - это выбор определения. Другой возможный выбор - определить: d (x, y) = 0, если x = y, и 1 в противном случае. Это также определяет метрику, но дает совершенно другую топологию, «дискретную топологию »; с этим определением числа не могут быть сколь угодно близкими.

Расстояния между множествами и между точкой и множеством

d (A, B)>d (A, C) + d (C, B)

Между объектами возможны различные определения расстояний. Например, между небесными телами не следует путать расстояние от поверхности до поверхности и расстояние от центра до центра. Если первое намного меньше второго, как для низкой околоземной орбиты, первое, как правило, указывается (высота), в противном случае, например для расстояния Земля – Луна последняя.

Есть два общих определения расстояния между двумя непустыми подмножествами заданного метрического пространства :

  • Одной из версий расстояния между двумя непустыми наборами является infimum расстояний между любыми двумя из их соответствующих точек, что является повседневным значением слова, т.е.
d (A, B) = inf x ∈ A, y ∈ B d (x, y). {\ displaystyle d (A, B) = \ inf _ {x \ in A, y \ in B} d (x, y).}d (A, B) = \ inf _ {x \ in A, y \ in B} d (x, y).
Это симметричная преметрика. В наборе наборов, некоторые из которых соприкасаются или накладываются друг на друга, это не «разделение», потому что расстояние между двумя разными, но соприкасающимися или перекрывающимися наборами равно нулю. Также это не гемиметрический, т.е. неравенство треугольника не выполняется, за исключением особых случаев. Следовательно, только в особых случаях это расстояние делает набор наборов метрическим пространством.
  • Расстояние Хаусдорфа является большим из двух значений, одно из которых является супремумом, для точка в пределах одного набора, нижняя граница, для второй точки в пределах другого набора, расстояние между точками, и другое значение определяется аналогичным образом, но с заменой ролей двух наборов. Это расстояние делает сам набор непустых компактных подмножеств метрического пространства метрическим пространством.

. Расстояние между точкой и набором является точной нижней гранью расстояния между точкой и находящимися в наборе. Это соответствует расстоянию, в соответствии с первым упомянутым выше определением расстояния между наборами, от набора, содержащего только эту точку, до другого набора.

В терминах этого определение расстояния Хаусдорфа можно упростить: это большее из двух значений, одно из которых является супремумом, для точки, находящейся в пределах одного набора, расстояния между точкой и set, а другое значение определяется аналогичным образом, но роли двух наборов меняются местами.

Теория графов

В теории графов расстояние между двумя вершинами - это длина кратчайшего пути между этими вершинами..

Статистические расстояния

В статистике и информационной геометрии существует множество видов статистических расстояний, особенно расхождения, особенно расхождения Брегмана и f-расхождения. Они включают и обобщают многие из понятий «разница между двумя распределениями вероятностей » и позволяют изучать их геометрически, как статистические многообразия. Самым элементарным является квадрат евклидова расстояния, который составляет основу наименьших квадратов ; это самое основное расхождение Брегмана. Наиболее важным в теории информации является относительная энтропия (дивергенция Кульбака – Лейблера ), которая позволяет аналогичным образом изучать оценку максимального правдоподобия геометрически; это самая основная f-дивергенция, а также дивергенция Брегмана (и единственная дивергенция, которая является обеими). Статистические многообразия, соответствующие расходимости Брегмана, - это плоские многообразия в соответствующей геометрии, что позволяет использовать аналог теоремы Пифагора (которая традиционно верна для квадрата евклидова расстояния) для линейные обратные задачи в выводе по теории оптимизации.

Другие важные статистические расстояния включают расстояние Махаланобиса, энергетическое расстояние и многие другие.

Другие математические «расстояния»

В психологии

Психологическая дистанция определяется как «различная способы, которыми объект может быть удален от «я» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность». Взаимосвязь между психологической дистанцией и степенью абстрактного или конкретного мышления описана в теории конструктивного уровня, в рамках принятия решений.

См. Также
В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Расстояние
Поддержка библиотеки
Ссылки
Библиография
  • Deza E, Deza M ( 2006). Словарь расстояний. Эльзевир. ISBN 0-444-52087-2.
Последняя правка сделана 2021-05-17 09:10:46
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте