Сокращение длины

редактировать
Колеса, которые движутся со скоростью 9/10 скорости света. Скорость верхней части колеса составляет 0,994 c, а скорость нижней части всегда равна нулю. Вот почему верх сжимается относительно низа.

Сокращение длины - это явление, при котором длина движущегося объекта измеряется меньше, чем его правильная длина, которая является измеренной длиной в собственном кадре покоя объекта. Оно также известно как сокращение Лоренца или сокращение Лоренца – Фитцджеральда (после Хендрика Лоренца и Джорджа Фрэнсиса Фицджеральда ) и обычно заметно только со значительной долей скорости света. Сокращение длины происходит только в том направлении, в котором движется тело. Для стандартных объектов этот эффект незначителен при повседневных скоростях и может игнорироваться для всех обычных целей, становясь значимым только тогда, когда объект приближается к скорости света относительно наблюдателя.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Основы теории относительности
  • 3 Симметрия
  • 4 Магнитные силы
  • 5 Экспериментальные подтверждения
  • 6 Реальность сокращения длины
  • 7 Парадоксы
  • 8 Визуальные эффекты
  • 9 Получение
    • 9.1 Известная длина перемещения
    • 9.2 Известная правильная длина
    • 9.3 Использование замедления времени
    • 9.4 Геометрические соображения
  • 10 Ссылки
  • 11 Внешние ссылки

История

Сокращение длины было постулировано Джорджем Фицджеральдом (1889) и Хендриком Антуном Лоренцем (1892), чтобы объяснить отрицательный результат эксперимента Майкельсона – Морли и спасти гипотезу о неподвижном эфире (гипотеза сжатия Лоренца – Фитцджеральда ). Хотя и Фитцджеральд, и Лоренц ссылались на тот факт, что электростатические поля в движении были деформированы («Эллипсоид Хевисайда» после Оливера Хевисайда, который вывел эту деформацию из теории электромагнетизма в 1888 году), это считалось ad hoc гипотеза, потому что в то время не было достаточных оснований предполагать, что межмолекулярные силы ведут себя так же, как электромагнитные. В 1897 г. Джозеф Лармор разработал модель, в которой считается, что все силы имеют электромагнитное происхождение, и сокращение длины оказалось прямым следствием этой модели. Однако Анри Пуанкаре (1905) показал, что одни только электромагнитные силы не могут объяснить стабильность электрона. Поэтому ему пришлось выдвинуть другую специальную гипотезу: неэлектрические связывающие силы (напряжения Пуанкаре ), которые обеспечивают стабильность электрона, дают динамическое объяснение сокращению длины и таким образом скрывают движение неподвижного эфира.

В конце концов, Альберт Эйнштейн (1905) был первым, кто полностью исключил произвольный характер из гипотезы сжатия, продемонстрировав, что это сокращение не требует движения через предполагаемый эфир, но может быть объяснил с помощью специальной теории относительности, которая изменила наши представления о пространстве, времени и одновременности. Точка зрения Эйнштейна была развита Германом Минковским, который продемонстрировал геометрическую интерпретацию всех релятивистских эффектов, представив свою концепцию четырехмерного пространства-времени.

Основы теории относительности

В специальной теории относительности Наблюдатель измеряет события по бесконечной решетке синхронизированных часов.

Прежде всего необходимо тщательно изучить методы измерения длины неподвижных и движущихся объектов. Здесь «объект» просто означает расстояние с конечными точками, которые всегда взаимно неподвижны, то есть покоятся в одной и той же инерциальной системе отсчета. Если относительная скорость между наблюдателем (или его измерительными приборами) и наблюдаемым объектом равна нулю, то правильная длина L 0 {\ displaystyle L_ {0}}L_ {0} из объект можно просто определить, наложив измерительную рейку. Однако, если относительная скорость>0, то можно поступить следующим образом:

Сокращение длины: три синих стержня покоятся в S и три красных стержня в S '. В тот момент, когда левые концы A и D достигают одинакового положения на оси x, длины стержней сравнивают. В S одновременные положения левой стороны A и правой стороны C более отдалены, чем положения D и F. В то время как в S 'одновременные положения левой стороны D и правой стороны F более отдалены, чем те из A и C.

Наблюдатель устанавливает ряд часов, которые синхронизируются: а) путем обмена световыми сигналами в соответствии с синхронизацией Пуанкаре – Эйнштейна, или б) за счет «медленной передачи часов», то есть, одни часы перемещаются вдоль ряда часов в пределах исчезающей скорости переноса. Теперь, когда процесс синхронизации завершен, объект перемещается по строке часов, и каждые часы сохраняют точное время, когда проходит левый или правый конец объекта. После этого наблюдатель должен только смотреть на положение часов A, которые сохраняли время, когда левый конец объекта проходил мимо, и часы B, в которых правый конец объекта проходил в то же время.. Понятно, что расстояние AB равно длине L {\ displaystyle L}L движущегося объекта. Используя этот метод, определение одновременности имеет решающее значение для измерения длины движущихся объектов.

Другой метод - использовать часы, показывающие его собственное время T 0 {\ displaystyle T_ {0}}T_ {0} , которое движется от одной конечной точки стержень к другому во времени T {\ displaystyle T}T , как измерено часами в рамке покоя стержня. Длину стержня можно вычислить, умножив время его пробега на его скорость, таким образом, L 0 = T ⋅ v {\ displaystyle L_ {0} = T \ cdot v}L_ {0} = T \ cdot v в состоянии покоя стержня. кадр или L = T 0 ⋅ v {\ displaystyle L = T_ {0} \ cdot v}L = T_ {0} \ cdot v в кадре покоя часов.

В ньютоновской механике одновременность и продолжительность являются абсолютными, и поэтому оба метода приводят к равенству L {\ displaystyle L}L и L 0 {\ displaystyle L_ {0}}L_ {0} . Однако в теории относительности постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета в связи с относительностью одновременности и замедлением времени разрушает это равенство. В первом методе наблюдатель в одном кадре утверждает, что измерил конечные точки объекта одновременно, но наблюдатели во всех других инерциальных кадрах будут утверждать, что конечные точки объекта не были измерены одновременно. Во втором методе времена T {\ displaystyle T}T и T 0 {\ displaystyle T_ {0}}T_ {0} не равны из-за замедления времени, в результате тоже разной длины.

Отклонение между измерениями во всех инерциальных системах отсчета определяется формулами для преобразования Лоренца и замедления времени (см. Вывод). Оказывается, правильная длина остается неизменной и всегда обозначает наибольшую длину объекта, а длина того же объекта, измеренная в другой инерциальной системе отсчета, короче, чем правильная длина. Это сжатие происходит только вдоль линии движения и может быть представлено соотношением

L = L 0 / γ (v) {\ displaystyle L = L_ {0} / \ gamma (v)}{\ displaystyle L = L_ { 0} / \ gamma (v)}

где

L - длина, наблюдаемая движущимся наблюдателем относительно объекта.
L0- правильная длина (длина объекта в его покоящейся рамке)
γ (v) - Лоренц коэффициент, определенный как
γ (v) ≡ 1 1 - v 2 / c 2 {\ displaystyle \ gamma (v) \ Equiv {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2}) / c ^ {2}}}} \}\ gamma (v) \ Equiv \ frac {1} {\ sqrt { 1-v ^ 2 / c ^ 2}} \

где

v - относительная скорость между наблюдателем и движущимся объектом
c - скорость света

Замена фактора Лоренца в исходная формула приводит к соотношению

L = L 0 1 - v 2 / c 2 {\ displaystyle L = L_ {0} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}{\ displaystyle L = L_ {0} {\ sqrt { 1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}

В этом уравнении и L, и L 0 измеряются параллельно линии движения объекта. Для наблюдателя, находящегося в относительном движении, длина объекта измеряется путем вычитания одновременно измеренных расстояний до обоих концов объекта. Для более общих преобразований см. Преобразования Лоренца. Наблюдатель в состоянии покоя, наблюдающий за объектом, движущимся очень близко к скорости света, заметил бы, что длина объекта в направлении движения очень близка к нулю.

Тогда при скорости 13 400 000 м / с (30 миллионов миль в час, 0,0447c) сокращенная длина составляет 99,9% длины в состоянии покоя; при скорости 42 300 000 м / с (95 миллионов миль в час, 0,141c) длина все еще составляет 99%. По мере того, как величина скорости приближается к скорости света, эффект становится заметным.

Симметрия

Принцип относительности (согласно которому законы природы неизменны в инерциальных системах отсчета) требует, чтобы сокращение длины было симметричным: если стержень лежит в инерциальной системе отсчета S, он имеет его собственная длина в S, а его длина стягивается в S '. Однако, если стержень лежит в S ', его собственная длина находится в S', а его длина сокращена в S. Это можно наглядно проиллюстрировать с помощью симметричных диаграмм Минковского, поскольку преобразование Лоренца геометрически соответствует вращение в четырехмерном пространстве-времени.

Магнитные силы

Магнитные силы вызываются релятивистским сжатием, когда электроны движутся относительно ядер атомов. Магнитная сила, действующая на движущийся заряд рядом с проводом с током, является результатом релятивистского движения между электронами и протонами.

В 1820 году Андре-Мари Амфер показал, что параллельные провода имеют токи в одном направлении притягиваются друг к другу. Для электронов проволока слегка сжимается, в результате чего протоны противоположной проволоки становятся локально более плотными. Поскольку электроны в противоположном проводе также движутся, они не сжимаются (так сильно). Это приводит к очевидному локальному дисбалансу между электронами и протонами; движущиеся электроны в одном проводе притягиваются к дополнительным протонам в другом. Можно также рассмотреть обратное. В статической системе координат протона электроны движутся и сжимаются, что приводит к тому же дисбалансу. Скорость дрейфа электрона относительно очень мала, порядка метра в час, но сила между электроном и протоном настолько огромна, что даже на этой очень низкой скорости релятивистское сжатие вызывает значительные эффекты.

Этот эффект также применим к магнитным частицам без тока, где ток заменяется спином электрона.

Экспериментальные подтверждения

Любой наблюдатель, перемещающийся вместе с наблюдаемым объектом, не может измерить сжатие объекта, потому что он может судить о себе и об объекте как о покоящемся в одной и той же инерциальной системе отсчета в соответствии с принципом относительности (как это было продемонстрировано экспериментом Траутона – Ренкина ). Таким образом, сокращение длины нельзя измерить в кадре покоя объекта, а только в кадре, в котором наблюдаемый объект находится в движении. Кроме того, даже в такой несовместимой системе координат трудно получить прямые экспериментальные подтверждения сокращения длины, потому что при нынешнем состоянии технологий объекты значительной протяженности не могут быть ускорены до релятивистских скоростей. И единственные объекты, движущиеся с необходимой скоростью, - это атомные частицы, но их пространственные размеры слишком малы, чтобы можно было напрямую измерить сжатие.

Однако есть косвенные подтверждения этого эффекта в несоперемещающейся системе отсчета:

  • Это был отрицательный результат известного эксперимента, который потребовал введения сокращения длины: Майкельсона –Эксперимент Морли (а позже также эксперимент Кеннеди – Торндайка ). В специальной теории относительности это объясняется следующим образом: в системе покоя интерферометр можно рассматривать как покоящийся в соответствии с принципом относительности, поэтому время распространения света одинаково во всех направлениях. Хотя в кадре, в котором интерферометр находится в движении, поперечный луч должен проходить более длинный диагональный путь по отношению к неподвижной системе координат, таким образом увеличивая время его прохождения, фактор, на который продольный луч будет задерживаться, принимая время L / (cv) и L / (c + v) для прямого и обратного хода соответственно даже длиннее. Следовательно, в продольном направлении интерферометр должен быть сжат, чтобы восстановить равенство обоих времен пробега в соответствии с отрицательным результатом (ами) эксперимента. Таким образом, двусторонняя скорость света остается постоянной, а время прохождения туда и обратно вдоль перпендикулярных плеч интерферометра не зависит от его движения и ориентации.
  • Учитывая толщину атмосферы, измеренную в системе отсчета Земли, мюонов 'чрезвычайно короткая продолжительность жизни не должна позволить им совершить путешествие на поверхность даже со скоростью света, но тем не менее они это делают. Однако в системе отсчета Земли это стало возможным только благодаря замедлению времени мюона на замедление времени. Однако в системе отсчета мюона этот эффект объясняется сжатием атмосферы, что сокращает время путешествия.
  • Тяжелые ионы, которые в состоянии покоя имеют сферическую форму, должны принимать форму «блинов» или плоские диски при движении почти со скоростью света. Фактически, результаты, полученные при столкновении частиц, могут быть объяснены только при учете повышенной плотности нуклонов из-за сокращения длины.
  • Ионизирующая способность электрически заряженных частиц с большими относительными скоростями равна выше, чем ожидалось. В дорелятивистской физике способность должна уменьшаться при высоких скоростях, потому что время, в течение которого движущиеся ионизирующие частицы могут взаимодействовать с электронами других атомов или молекул, уменьшается. Хотя в теории относительности более высокая, чем ожидалось, способность к ионизации может быть объяснена сокращением длины кулоновского поля в кадрах, в которых движутся ионизирующие частицы, что увеличивает напряженность их электрического поля, нормального к линии движения..
  • В синхротронах и лазерах на свободных электронах релятивистские электроны инжектировались в ондулятор, так что синхротронное излучение генерируется. В правильной системе отсчета электронов ондулятор сжимается, что приводит к увеличению частоты излучения. Кроме того, чтобы узнать частоту, измеренную в лабораторной системе отсчета, необходимо применить релятивистский эффект Доплера. Итак, только с помощью сокращения длины и релятивистского эффекта Доплера можно объяснить чрезвычайно малую длину волны ондуляторного излучения.

Реальность сокращения длины

Диаграмма Минковского из мысленного эксперимента Эйнштейна 1911 года на сокращение длины. Два стержня с длиной покоя A ′ B ′ = A ″ B ″ = L 0 {\ displaystyle A'B '= A''B' '= L_ {0}}A'B'=A''B''=L_0перемещаются с 0,6 c в противоположных направлениях, что приводит к A ∗ B ∗ < L 0 {\displaystyle A^{\ast }B^{\ast }A ^ \ ast B ^ \ ast <L_0.

В 1911 г. Владимир Варичак утверждал, что, по словам Лоренца, сокращение длины воспринимается объективно, в то время как это «только кажущееся, субъективное явление, вызванное способом регулирования наших часов и измерения длины ", согласно Эйнштейну. Эйнштейн опубликовал опровержение:

Автор необоснованно заявил о разнице во взглядах Лоренца и моих взглядов на физические факты. Вопрос о том, действительно ли существует сокращение длины или нет, вводит в заблуждение. Его «на самом деле» не существует, поскольку он не существует для сопутствующего наблюдателя; хотя он «действительно» существует, то есть таким образом, что он может быть продемонстрирован в принципе физическими средствами сторонним наблюдателем.

— Альберт Эйнштейн, 1911 г.

Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины есть не просто продукт произвольных определений, касающихся способа измерения часов и длины. Он представил следующий мысленный эксперимент: Пусть A'B 'и A "B" будут концами двух стержней одинаковой правильной длины L 0, измеренных на x' и x "соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль оси x *, рассматриваемой в состоянии покоя, с одинаковой скоростью относительно нее. Конечные точки A'A "затем встречаются в точке A *, а B'B" встречаются в точке B *. Эйнштейн указал на эту длину A * B * короче, чем A'B 'или A «B», что также можно продемонстрировать, приведя один из стержней в состояние покоя относительно этой оси.

Парадоксы

Из-за При поверхностном применении формулы сжатия могут возникнуть некоторые парадоксы, например, парадокс лестницы и парадокс космического корабля Белла. Однако эти парадоксы могут быть разрешены правильным применением теории относительности одновременности. Еще один известный парадокс - парадокс Эренфеста, который доказывает, что концепция твердых тел несовместима с теорией относительности, что снижает применимость жесткости Борна, и показывает, что для наблюдателя, вращающегося в одном направлении, геометрия на самом деле неевклидова.

Визуальные эффекты

Формула на стене в Лейдене

Сокращение длины относится к измерениям положения, выполненным одновременно в соответствии с система координат. Это могло означать, что если бы можно было сфотографировать быстро движущийся объект, то изображение показало бы объект, сжатый в направлении движения. Однако такие визуальные эффекты представляют собой совершенно разные измерения, поскольку такая фотография делается на расстоянии, в то время как сокращение длины можно непосредственно измерить только в точном местоположении конечных точек объекта. Некоторые авторы, такие как Роджер Пенроуз и Джеймс Террелл, показали, что движущиеся объекты обычно не выглядят на фотографии сокращенными по длине. Этот результат популяризировал Виктор Вайскопф в статье Physics Today. Например, при небольшом угловом диаметре движущаяся сфера остается круглой и вращается. Этот вид визуального эффекта вращения называется вращением Пенроуза-Террелла.

Вывод

Сокращение длины может быть получено несколькими способами:

Известная длина перемещения

В инерциальной системе отсчета S элементы x 1 {\ displaystyle x_ {1}}x_ {1} и x 2 {\ displaystyle x_ {2}}x_ {2} должны обозначать конечные точки объекта, движущегося в этом кадре. Там его длина L {\ displaystyle L}L была измерена в соответствии с вышеуказанным соглашением путем определения одновременных положений его конечных точек в t 1 = t 2 {\ displaystyle t_ {1} = t_ {2} \,}t_ {1} = t_ {2} \, . Теперь правильная длина этого объекта в S 'должна быть вычислена с использованием преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из S в S 'приводит к разному времени, но это не проблема, поскольку объект находится в состоянии покоя в S', где не имеет значения, когда измеряются конечные точки. Следовательно, преобразования пространственных координат достаточно, что дает:

x 1 ′ = γ (x 1 - vt 1) и x 2 ′ = γ (x 2 - vt 2) {\ displaystyle x '_ {1} = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1} \ right) \ quad \ mathrm {and} \ quad x '_ {2} = \ gamma \ left (x_ {2} -vt_ {2} \ right) }{\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad \mathrm {and} \quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)}

Поскольку t 1 = t 2 {\ displaystyle t_ {1} = t_ {2} \,}t_ {1} = t_ {2} \, , и установив L = x 2 - x 1 {\ displaystyle L = x_ {2} -x_ {1} \,}L = x_ { 2} -x_ {1} \, и L 0 ′ = x 2 ′ - x 1 ′ {\ displaystyle L_ {0} ^ {'} = x_ { 2} ^ {'} - x_ {1} ^ {'}}L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}, правильная длина в S 'задается как

L 0 ′ = L ⋅ γ. (1) {\ displaystyle L_ {0} ^ {'} = L \ cdot \ gamma. \ Qquad \ qquad {\ text {(1)}}}{\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma.\qquad \qquad {\text{(1)}}}

, относительно которого измеренная длина в S сокращается на

L = L 0 ′ / γ. (2) {\ displaystyle L = L_ {0} ^ {'} / \ gamma. \ Qquad \ qquad {\ text {(2)}}}L=L_{0}^{'}/\gamma. \qquad \qquad \text{(2)}

Согласно принципу относительности, объекты, покоящиеся в S также должны быть сжаты в S '. Симметрично меняя местами указанные выше знаки и простые числа, получаем:

L 0 = L ′ ⋅ γ. (3) {\ displaystyle L_ {0} = L '\ cdot \ gamma. \ Qquad \ qquad {\ text {(3)}}}L_{0}=L'\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(3)}

Таким образом, сокращенная длина, измеренная в S', определяется как:

L ′ = L 0 / γ. (4) {\ displaystyle L '= L_ {0} / \ gamma. \ Qquad \ qquad {\ text {(4)}}}L'=L_{0}/\gamma.\qquad \qquad \text{(4)}

Известная правильная длина

И наоборот, если объект лежит в S и его собственная длина известны, одновременность измерений в конечных точках объекта должна учитываться в другом кадре S ', поскольку объект постоянно меняет свое положение там. Следовательно, необходимо преобразовать как пространственные, так и временные координаты:

x 1 ′ = γ (x 1 - vt 1) и x 2 ′ = γ (x 2 - vt 2) t 1 ′ = γ (t 1 - vx 1 / с 2) и t 2 ′ = γ (t 2 - vx 2 / c 2) {\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} ^ {'} = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1 } \ right) \ quad \ mathrm {and} \ quad x_ {2} ^ {'} = \ gamma \ left (x_ {2} -vt_ {2} \ right) \\ t_ {1} ^ {' } = \ gamma \ left (t_ {1} -vx_ {1} / c ^ {2} \ right) \ quad \ mathrm {and} \ quad t_ {2} ^ {'} = \ gamma \ left (t_ {2} -vx_ {2} / c ^ {2} \ right) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad \mathrm {and} \quad x_{2}^{'}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)\quad \mathrm {and} \quad t_{2}^{'}=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}}

Интервал длины вычисления Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ {\ displaystyle \ Дельта x '= x_ {2} ^ {\ prime} -x_ {1} ^ {\ prime}}{\displaystyle \Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}, а также при условии одновременного измерения времени Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ = 0 {\ displaystyle \ Delta t '= t_ {2} ^ {\ prime} -t_ {1} ^ {\ prime} = 0}{\displaystyle \Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0}, и вставив нужную длину L 0 = x 2 - x 1 {\ displaystyle L_ {0} = x_ {2} -x_ {1}}L_ {0} = x_ {2} -x_ {1} , следует:

Δ x ′ = γ (L 0 - v Δ t) (1) Δ T 'знак равно γ (Δ T - v L 0 c 2) знак равно 0 (2) {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta x' = \ гамма \ left (L_ {0} -v \ Delta t \ right) (1) \\\ Delta t '= \ gamma \ left (\ Delta t - {\ frac {vL_ {0}} {c ^ { 2}}} \ right) = 0 (2) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)(1)\\\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0(2)\end{aligned}}}

Уравнение (2) дает

Δ t = v L 0 c 2 {\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {vL_ {0}} {c ^ {2}}}}{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {vL_ {0}} {c ^ {2}}}}

, который при подключении к (1) демонстрирует, что Δ x ′ {\ displaystyle \ Delta x '}\Delta x'становится сокращенным длина L ′ {\ displaystyle L '}L':

L ′ = L 0 / γ {\ displaystyle L' = L_ {0} / \ gamma}L'=L_{0}/\gamma.

Аналогичным образом, тот же метод дает симметричный результат для объект в состоянии покоя в S ':

L = L 0 ′ / γ {\ displaystyle L = L_ {0} ^ {'} / \ gamma}L=L^{'}_{0}/\gamma.

Использование замедления времени

Сокращение длины также может быть производным от замедления времени, в соответствии с которым скорость отдельных «движущихся» часов (указывающих на их собственное время T 0 {\ displaystyle T_ {0}}T_ {0} ) ниже по сравнению с двумя синхронизированными часами «покоя» (что указывает на T {\ displaystyle T}T ). Замедление времени было экспериментально подтверждено несколько раз и представлено соотношением:

T = T 0 ⋅ γ {\ displaystyle T = T_ {0} \ cdot \ gamma}T = T_ {0} \ cdot \ gamma

Предположим, стержень подходящей длины L 0 {\ displaystyle L_ {0}}L_ {0} в состоянии покоя в S {\ displaystyle S}S и часы в состоянии покоя в S ′ {\ displaystyle S ' }S'движутся друг относительно друга со скоростью v {\ displaystyle v}v . Поскольку в соответствии с принципом относительности величина относительной скорости одинакова в любой системе отсчета, соответствующее время пробега часов между концами стержня определяется как T = L 0 / v {\ displaystyle T = L_ {0} / v}T = L_ {0} / v в S {\ displaystyle S}S и T 0 ′ = L ′ / v {\ displaystyle T '_ {0} = L '/ v}T'_{0}=L'/vв S ′ {\ displaystyle S'}S', таким образом, L 0 = T v {\ displaystyle L_ {0} = Tv}L_ {0} = Tv и L ′ = T 0 ′ v {\ displaystyle L '= T' _ {0} v}L'=T'_{0}v. Если вставить формулу замедления времени, соотношение между этими длинами будет:

L ′ L 0 = T 0 ′ v T v = 1 / γ {\ displaystyle {\ frac {L '} {L_ {0}}} = {\ frac {T '_ {0} v} {Tv}} = 1 / \ gamma}\frac{L'}{L_{0}}=\frac{T'_{0}v}{Tv}=1/\gamma.

Следовательно, дается длина, измеренная в S ′ {\ displaystyle S'}S'на

L ′ = L 0 / γ {\ displaystyle L '= L_ {0} / \ gamma}L'=L_{0}/\gamma

Итак, поскольку время прохождения часов по стержню больше в S {\ displaystyle S}S чем в S ′ {\ displaystyle S '}S'(замедление времени в S {\ displaystyle S}S ), длина стержня также длиннее в S {\ displaystyle S}S , чем в S ′ {\ displaystyle S '}S'(сокращение длины в S ′ {\ displaystyle S' }S'). Аналогично, если бы часы находились в состоянии покоя в S {\ displaystyle S}S , а стержень в S '{\ displaystyle S'}S', описанная выше процедура дать

L = L 0 ′ / γ {\ displaystyle L = L '_ {0} / \ gamma}L=L'_{0}/\gamma

Геометрические соображения

Кубоиды в пространстве-времени Евклида и Минковского

Дополнительные геометрические соображения показывают, что длина сокращение можно рассматривать как тригонометрическое явление по аналогии с параллельными срезами кубоида до и после поворота в E (см. левую половину рисунка справа). Это евклидов аналог увеличения кубоида в E . В последнем случае, однако, мы можем интерпретировать усиленный кубоид как мировую плиту движущейся пластины.

Изображение: слева: повернутый кубоид в трехмерном евклидовом пространстве E . Поперечное сечение длиннее в направлении вращения, чем оно было до вращения. Справа: мировая плита движущейся тонкой пластины в пространстве-времени Минковского (с подавленным одним пространственным измерением) E, которая представляет собой усиленный кубоид. Поперечное сечение в направлении наддува тоньше, чем было до наддува. В обоих случаях поперечные направления не затрагиваются, и три плоскости, встречающиеся в каждом углу кубоидов, взаимно ортогональны (в смысле E справа и в смысле E слева).

В специальной теории относительности преобразования Пуанкаре представляют собой класс аффинных преобразований, которые можно охарактеризовать как преобразования между альтернативными диаграммами декартовых координат на пространство-время Минковского, соответствующее альтернативным состояниям инерционного движения (и различным вариантам происхождения ). Преобразования Лоренца - это преобразования Пуанкаре, которые являются линейными преобразованиями (с сохранением начала координат). Преобразования Лоренца играют ту же роль в геометрии Минковского (группа Лоренца образует группу изотропии самоизометрий пространства-времени), которые играют вращения в евклидовой геометрии. Действительно, специальная теория относительности в значительной степени сводится к изучению разновидности неевклидовой тригонометрии в пространстве-времени Минковского, о чем свидетельствует следующая таблица:

Тригонометрия трех плоскостей
ТригонометрияКруговаяПараболическийГиперболический
Клейнианская геометрияЕвклидова плоскостьГалилева плоскостьПлоскость Минковского
СимволEEE
Квадратичная формаположительно определеннаявырожденнаяневырожденная, но неопределенная
группа изометрииE(2)E(0,1)E(1, 1)
Группа изотропииSO(2)SO(0,1)SO(1,1)
тип изотропиивращениясдвиговусиливает
алгебру над Rкомплексными числами двойными числами разделенными комплексными числами
ε-101
Интерпретация пространства-временинетНьютоновское пространство-времяпространство-время Минковского
наклонtan φ = mtanp φ = utanh φ = v
«косинус»cos φ = (1 + m)cosp φ = 1cosh φ = (1-v)
«синус»sin φ = т (1 + т)sinp φ = usinh φ = v (1-v)
«секущая»сек φ = (1 + m)secp φ = 1sech φ = (1-v)
«косеканс»csc φ = m (1 + m)cscp φ = ucsch φ = v (1-v)

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-26 06:10:13
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте