Статистическое многообразие

редактировать

В математика, статистическое многообразие - это риманово многообразие, каждая из точек которого является распределением вероятностей. Статистические коллекторы обеспечивают настройку поля геометрии информации. Информационная метрика Fisher обеспечивает метрику для этих коллекторов. Следуя этому определению, функция логарифма правдоподобия - это дифференцируемая карта, а оценка - это включение.

Примеры

Семейство всех нормальных распределений, параметризованных ожидаемым значением μ и дисперсией σ ≥ 0, с римановой метрикой, заданной формулой матрица информации Фишера представляет собой статистическое многообразие. Его геометрия моделируется на гиперболическом пространстве.

Простым примером статистического многообразия, взятого из физики, может быть канонический ансамбль : это одномерное многообразие с температура T, служащая координатой на коллекторе. Для любой фиксированной температуры T имеется вероятностное пространство: так, для газа атомов это будет вероятностное распределение скоростей атомов. При изменении температуры T распределение вероятностей меняется.

Еще один простой пример, взятый из медицины, - это распределение вероятностей результатов лечения пациентов в зависимости от количества введенного лекарства. То есть при фиксированной дозе у некоторых пациентов улучшается, а у некоторых нет: это базовое вероятностное пространство. Если дозировка варьируется, то вероятность результатов меняется. Таким образом, дозировка - это координата на коллекторе. Чтобы быть гладким многообразием, нужно было бы измерять результаты в ответ на сколь угодно малые изменения дозировки; это практически неосуществимый пример, если только у вас нет заранее существующей математической модели доза-реакция, где доза может быть произвольно изменена.

Определение

Пусть X - ориентируемое многообразие, и пусть $(X, Σ, μ) {\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu) }$ $(X,\Sigma,\mu)$ быть мерой на X. Аналогично, пусть $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ $(\ Omega, \ mathcal {F}, P)$ быть вероятностным пространством на $Ω = X {\ displaystyle \ Omega = X}$ $\ Omega = X$ с сигма-алгеброй $F = Σ {\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ Sigma}$ $\ mathcal {F} = \ Сигма$ и вероятность $P = μ {\ displaystyle P = \ mu}$ $P = \ mu$ .

Статистическое многообразие S (X) X определяется как пространство всех мер $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ на X (с сигма-алгеброй $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ , удерживаемой фиксированный). Обратите внимание, что это пространство бесконечномерно; Обычно это пространство Фреше. Точки S (X) суть меры.

Вместо того, чтобы иметь дело с бесконечномерным пространством S (X), обычно работают с конечномерным подмногообразием, определяемым путем рассмотрения набора распределений вероятностей параметризуется некоторым плавным, непрерывно меняющимся параметром $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . То есть учитываются только те меры, которые выбираются параметром. Если параметр $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ n-мерный, то, как правило, подмногообразие также будет. Таким образом можно понять все конечномерные статистические многообразия.

Ссылки