Орбита

Орбитальная гравитационно изогнутая траектория объекта вокруг точки в космическом пространстве; круговой или эллиптический путь одного объекта вокруг другого объекта

Международная космическая станция вращается вокруг Земли примерно каждые 92 минуты, пролетая на высоте около 250 миль (400 км) над уровнем моря. Два тела разной массы, вращающиеся вокруг общего барицентра. Относительные размеры и тип орбиты аналогичны системе Плутон - Харон.

В физике орбита - это гравитационно изогнутая траектория объекта , например, траектория планеты вокруг звезды или естественного спутника вокруг планеты. Обычно орбита относится к регулярно повторяющейся траектории, хотя она также может относиться к неповторяющейся траектории. В точном приближении планеты и спутники следуют по эллиптическим орбитам, причем центр масс вращается в фокусной точке эллипса, как описано законами движения планет Кеплера..

Для большинства ситуаций орбитальное движение адекватно аппроксимируется механикой Ньютона, которая объясняет гравитацию как силу, подчиняющуюся закону обратных квадратов. Однако общая теория относительности Альберта Эйнштейна, которая учитывает гравитацию как результат кривизны пространства-времени, с орбитами, следующими геодезическими, обеспечивает более точный расчет и понимание точной механики орбитального движения.

Содержание

• 1 История
• 2 Планетарные орбиты
  • 2.1 Описание орбит
• 3 Законы движения Ньютона
  • 3.1 Закон тяготения Ньютона и законы движения для задач двух тел
  • 3.2 Определение гравитационной потенциальной энергии
  • 3.3 Орбитальные энергии и формы орбит
  • 3.4 Законы Кеплера
  • 3.5 Ограничения закона тяготения Ньютона
  • 3.6 Подходы к задачам многих тел
• 4 Ньютоновский анализ орбитального движения
• 5 Релятивистское орбитальное движение
• 6 Орбитальные плоскости
• 7 Орбитальный период
• 8 Задание орбит
• 9 Орбитальные возмущения
  • 9.1 Радиальные, прямые и поперечные возмущения
  • 9.2 Орбитальный распад
  • 9.3 Сплющенность
  • 9.4 Множественные гравитирующие тела
  • 9.5 Световое излучение и звездный ветер
• 10 Странные орбиты
• 11 Астродинамика
• 12 Земные орбиты
• 13 Масштабирование в гравитации
• 14 Патенты
• 15 Приливные блокировка
• 16 См. также
• 17 Примечания
• 18 Ссылки
• 19 Дополнительная литература
• 20 Внешние ссылки

История

Исторически очевидное значение m Планеты описывались европейскими и арабскими философами с использованием идеи небесных сфер. Эта модель постулировала существование совершенных движущихся сфер или колец, к которым прикреплены звезды и планеты. Предполагалось, что небеса закреплены отдельно от движения сфер, и было создано без какого-либо понимания гравитации. После более точного измерения движения планет были добавлены теоретические механизмы, такие как отклоняющий и эпициклы. Хотя модель была способна достаточно точно предсказывать положения планет на небе, по мере того, как измерения становились более точными, требовалось все больше и больше эпициклов, поэтому модель становилась все более громоздкой. Первоначально геоцентрический, он был модифицирован Коперником, чтобы поместить Солнце в центр, чтобы упростить модель. Эта модель подверглась дальнейшим испытаниям в 16 веке, когда наблюдались кометы, пересекающие сферы.

Основа современного понимания орбит была впервые сформулирована Иоганном Кеплером, результаты которого обобщены в его три закона движения планет. Во-первых, он обнаружил, что орбиты планет в нашей Солнечной системе являются эллиптическими, а не круговыми (или эпициклическими ), как считалось ранее, и что Солнце находится не в центре орбит, а в одном фокусе. Во-вторых, он обнаружил, что орбитальная скорость каждой планеты не постоянна, как считалось ранее, а скорее зависит от расстояния планеты от Солнца. В-третьих, Кеплер обнаружил универсальную взаимосвязь между орбитальными свойствами всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Для планет кубы их расстояний от Солнца пропорциональны квадратам их орбитальных периодов. Юпитер и Венера, например, удалены от Солнца примерно на 5,2 и 0,723 а.е. соответственно, их периоды обращения примерно 11,86 и 0,615 года соответственно. Пропорциональность видна из того факта, что отношение для Юпитера, 5,2 / 11,86, практически равно таковому для Венеры, 0,723 / 0,615, в соответствии с соотношением. Идеализированные орбиты, отвечающие этим правилам, известны как орбиты Кеплера.

Линии, очерченные орбитами, в которых преобладает сила тяжести центрального источника, - это конические секции : формы кривых пересечения между плоскостями и конус. Параболическая (1) и гиперболическая (3) орбиты являются выходными орбитами, тогда как эллиптическая и круговая орбиты (2) являются захватывающими. Это изображение показывает четыре категории траекторий с гравитационной потенциальной ямой поля потенциальной энергии центральной массы, показанной черным цветом, и высотой кинетической энергии движущегося тела, показанной красным цветом, простирающейся над ней, что коррелирует с изменениями скорости как расстояния изменения в соответствии с законами Кеплера.

Исаак Ньютон продемонстрировал, что законы Кеплера были выведены из его теории гравитации и что в целом орбиты тел, подверженных гравитации, были коническими сечениями (предполагается, что сила тяжести распространяется мгновенно). Ньютон показал, что для пары тел размеры орбит обратно пропорциональны их массам, и что эти тела вращаются вокруг своего общего центра масс. Когда одно тело намного массивнее другого (как в случае искусственного спутника, вращающегося вокруг планеты), удобно принимать центр масс как совпадающий с центром более массивного тела.

Достижения в механике Ньютона были затем использованы для изучения отклонений от простых предположений, лежащих в основе орбит Кеплера, таких как возмущения, вызываемые другими телами, или влияние сфероидальных тел, а не сферических. Лагранж (1736–1813) разработал новый подход к механике Ньютона, подчеркивая, что энергия больше, чем сила, и добился прогресса в проблеме трех тел, открыв Лагранжевые точки. В подтверждение классической механики в 1846 году Урбен Леверье смог предсказать положение Нептуна на основе необъяснимых возмущений на орбите Урана.

Альберт Эйнштейн. (1879-1955) в своей статье 1916 года «Основы общей теории относительности» объяснил, что гравитация возникла из-за кривизны пространства-времени, и снял предположение Ньютона о том, что изменения распространяются мгновенно. Это заставило астрономов признать, что механика Ньютона не обеспечивает наивысшей точности в понимании орбит. В теории относительности орбиты следуют геодезическим траекториям, которые обычно очень хорошо аппроксимируются предсказаниями Ньютона (за исключением случаев, когда есть очень сильные гравитационные поля и очень высокие скорости), но различия измеримы. По сути, все экспериментальные данные, которые могут различать теории, согласуются с теорией относительности с точностью до экспериментальных измерений. Первоначальное подтверждение общей теории относительности состоит в том, что она способна объяснить оставшуюся необъяснимую величину в прецессии перигелия Меркурия, впервые отмеченной Леверье. Однако решение Ньютона все еще используется для большинства краткосрочных целей, поскольку оно значительно проще в использовании и достаточно точное.

Планетарные орбиты

Внутри планетной системы, планет, карликовых планет, астероидов и других малых планет, кометы и космический мусор вращаются вокруг барицентра системы по эллиптическим орбитам. Комета на параболической или гиперболической орбите вокруг барицентра не связана гравитацией со звездой и поэтому не считается частью планетной системы звезды. Тела, гравитационно привязанные к одной из планет планетной системы, будь то естественные или искусственные спутники, следуют по орбитам вокруг барицентра вблизи или внутри этой планеты.

Вследствие взаимных гравитационных возмущений, эксцентриситет планетных орбит со временем изменяются. Меркурий, самая маленькая планета в Солнечной системе, имеет самую эксцентричную орбиту. В нынешнюю эпоху, Марс имеет следующий по величине эксцентриситет, в то время как наименьшие эксцентриситеты орбиты наблюдаются с Венерой и Нептуном.

как двумя объектами на орбите. друг друга, периапсис - это точка, в которой два объекта находятся ближе всего друг к другу, а апоапсис - это точка, в которой они находятся дальше всего. (Для обозначения конкретных тел используются более конкретные термины. Например, перигей и апогей - это самая низкая и самая высокая части орбиты вокруг Земли, а перигелий и афелий - самая близкая и самая дальняя точки орбиты вокруг Солнца.)

В случае планет, вращающихся вокруг звезды, масса звезды и всех ее спутников вычисляется так, чтобы они находились в одной точке, называемой барицентром. Пути всех спутников звезды представляют собой эллиптические орбиты вокруг этого барицентра. Каждый спутник в этой системе будет иметь свою собственную эллиптическую орбиту с барицентром в одной фокусной точке этого эллипса. В любой точке своей орбиты любой спутник будет иметь определенное значение кинетической и потенциальной энергии по отношению к барицентру, и эта энергия является постоянной величиной в каждой точке его орбиты. В результате, когда планета приближается к периапсису, скорость планеты будет увеличиваться по мере уменьшения ее потенциальной энергии; когда планета приближается к апоапсису, ее скорость будет уменьшаться по мере увеличения ее потенциальной энергии.

Понимание орбит

Есть несколько распространенных способов понимания орбит:

• Сила, такая как гравитация, тянет объект по кривой траектории, когда он пытается улететь по прямой line.
• Когда объект тянется к массивному телу, он падает к нему. Однако, если у него достаточно тангенциальной скорости, он не упадет в тело, а вместо этого будет продолжать бесконечно следовать по искривленной траектории, вызванной этим телом. Затем говорится, что объект вращается вокруг тела.

В качестве иллюстрации орбиты вокруг планеты может оказаться полезной модель пушечного ядра Ньютона (см. Изображение ниже). Это «мысленный эксперимент », в котором пушка на вершине высокой горы способна стрелять пушечным ядром по горизонтали с любой выбранной начальной скоростью. Влияние воздушного трения на пушечное ядро ​​игнорируется (или, возможно, гора достаточно высока, чтобы пушка находилась над атмосферой Земли, что одно и то же).

пушечное ядро ​​Ньютона, иллюстрация того, как объекты могут " падение »на кривой Конические сечения описывают возможные орбиты (желтые) малых объектов вокруг Земли. Проекция этих орбит на гравитационный потенциал (синий) Земли позволяет определить орбитальную энергию в каждой точке космоса.

Если пушка стреляет своим шаром с низкой начальной скоростью, траектория шара изгибается вниз и ударяется о землю (A). По мере увеличения скорости стрельбы пушечное ядро ​​ударяется о землю дальше (B) от пушки, потому что, пока мяч все еще падает на землю, земля все больше изгибается от него (см. Первый пункт выше). Все эти движения на самом деле являются «орбитами» в техническом смысле - они описывают часть эллиптической траектории вокруг центра тяжести, - но орбиты прерываются при столкновении с Землей.

Если пушечное ядро ​​стреляет с достаточной скоростью, земля изгибается в сторону от мяча, по крайней мере, на столько же, сколько мяч падает, поэтому мяч никогда не ударяется о землю. Сейчас он находится на том, что можно назвать непрерывной или кругосветной орбитой. Для любой конкретной комбинации высоты над центром тяжести и массы планеты существует одна удельная скорость стрельбы (не зависящая от массы шара, которая, как предполагается, очень мала по сравнению с массой Земли), которая дает круговая орбита, как показано на (C).

По мере увеличения скорости стрельбы сверх этого создаются непрерывные эллиптические орбиты; один показан в (D). Если первоначальная стрельба проводится над поверхностью Земли, как показано, также будут непрерывные эллиптические орбиты с меньшей скоростью стрельбы; они приблизятся к Земле в точке, находящейся на половине орбиты дальше, и прямо напротив точки взрыва, ниже круговой орбиты.

При определенной горизонтальной скорости стрельбы, называемой космической скоростью, зависящей от массы планеты, достигается открытая орбита (E), имеющая параболический путь. На еще большей скорости объект будет следовать по диапазону гиперболических траекторий. В практическом смысле оба этих типа траектории означают, что объект «вырывается» из-под гравитации планеты и «улетает в космос», чтобы никогда не вернуться.

Соотношение скоростей двух движущихся объектов с массой, таким образом, можно рассматривать в четырех практических классах с подтипами:

1. Без орбиты
2. Суборбитальные траектории
   • Диапазон прерванных эллиптических траекторий
3. Орбитальные траектории (или просто "орбиты")
   • Диапазон эллиптических траекторий с ближайшей точкой напротив огневой точки
   • Круговой путь
   • Диапазон эллиптических траекторий с ближайшей точкой в ​​огневой точке
4. Открытые (или уходящие) траектории
   • Параболические траектории
   • Гиперболические траектории

Стоит отметить, что орбитальные ракеты запускаются вначале вертикально, чтобы поднять ракету над атмосферой (что вызывает сопротивление трения), а затем медленно наклонитесь и завершите запуск ракетного двигателя параллельно атмосфере, чтобы достичь орбитальной скорости.

Оказавшись на орбите, их скорость удерживает их на орбите над атмосферой. Если, например, эллиптическая орбита погружается в плотный воздух, объект потеряет скорость и снова войдет в нее (то есть упадет). Иногда космический корабль намеренно перехватывает атмосферу, что обычно называется маневром торможения.

Законы движения Ньютона

Закон тяготения Ньютона и законы движения для задач двух тел

В большинстве ситуаций релятивистскими эффектами можно пренебречь, и законами Ньютона дать достаточно точное описание движения. Ускорение тела равно сумме действующих на него сил, деленной на его массу, а гравитационная сила, действующая на тело, пропорциональна произведению масс двух притягивающих тел и убывает обратно пропорционально квадрату расстояние между ними. В этом ньютоновском приближении для системы двухточечных масс или сферических тел, на которые влияет только их взаимное притяжение (так называемая задача двух тел ), их траектории могут быть точно рассчитаны. Если более тяжелое тело намного массивнее меньшего, как в случае спутника или маленькой луны, вращающейся вокруг планеты, или для Земли, вращающейся вокруг Солнца, достаточно точно и удобно описать движение в терминах система координат, центрированная на более тяжелом теле, и мы говорим, что более легкое тело находится на орбите вокруг более тяжелого. В случае, когда массы двух тел сравнимы, точное ньютоновское решение по-прежнему достаточно, и его можно получить, поместив систему координат в центр масс системы.

Определение гравитационной потенциальной энергии

Энергия связана с гравитационными полями. Неподвижное тело, находящееся далеко от другого, может совершать внешнюю работу, если оно притягивается к нему, и поэтому обладает гравитационной потенциальной энергией. Поскольку для разделения двух тел против силы тяжести требуется работа, их гравитационная потенциальная энергия увеличивается по мере их разделения и уменьшается по мере приближения друг к другу. Для точечных масс гравитационная энергия уменьшается до нуля по мере приближения к нулевому разделению. Удобно и условно приписывать потенциальной энергии нулевое значение, когда они находятся на бесконечном расстоянии друг от друга, и, следовательно, она имеет отрицательное значение (поскольку оно уменьшается от нуля) для меньших конечных расстояний.

Энергия орбит и форма орбит

Когда взаимодействуют только два гравитационных тела, их орбиты следуют коническому сечению. Орбита может быть открытой (подразумевая, что объект никогда не возвращается) или закрытой (возвращение). Это зависит от полной энергии (кинетической + потенциальной энергии ) системы. В случае открытой орбиты скорость в любом положении орбиты составляет по крайней мере скорость убегания для этого положения, в случае замкнутой орбиты скорость всегда меньше, чем скорость убегания. Поскольку кинетическая энергия никогда не бывает отрицательной, если принято общее соглашение о принятии потенциальной энергии за ноль при бесконечном разделении, связанные орбиты будут иметь отрицательную полную энергию, параболические траектории будут иметь нулевую полную энергию, а гиперболические орбиты будут иметь положительную полную энергию.

Открытая орбита будет иметь параболическую форму, если она имеет скорость, равную скорости убегания в этой точке своей траектории, и будет иметь форму гиперболы, когда ее скорость больше чем космическая скорость. Когда тела со второй или большей скоростью сближения приближаются друг к другу, они на короткое время изгибаются вокруг друг друга во время максимального сближения, а затем разделяются навсегда.

Все замкнутые орбиты имеют форму эллипса. Круговая орбита - это частный случай, когда фокусы эллипса совпадают. Точка, в которой вращающееся тело находится ближе всего к Земле, называется перигеем и называется перицентром (менее правильно, «перифокусом» или «перицентроном»), когда орбита вращается вокруг тела, отличного от Земли. Точка, в которой спутник находится дальше всего от Земли, называется апогеем, апоапсисом, а иногда и апифокусом или апоцентроном. Линия, проведенная от периапсиса к апоапсису, - это line-of-apsides. Это большая ось эллипса, линия, проходящая через его самую длинную часть.

Законы Кеплера

Тела, следующие по замкнутым орбитам, повторяют свой путь с определенным временем, называемым периодом. Это движение описывается эмпирическими законами Кеплера, которые математически можно вывести из законов Ньютона. Их можно сформулировать следующим образом:

1. Орбита планеты вокруг Солнца представляет собой эллипс с Солнцем в одной из фокальных точек этого эллипса. [Этот фокус на самом деле является барицентром системы Солнце-планета; для простоты это объяснение предполагает, что масса Солнца бесконечно больше, чем масса этой планеты.] Орбита планеты лежит в плоскости, называемой плоскостью орбиты. Ближайшая к притягивающему телу точка на орбите - перицентр. Точка, наиболее удаленная от притягивающего тела, называется апоапсисом. Есть также определенные термины для орбит вокруг определенных тел; объекты, вращающиеся вокруг Солнца, имеют перигелий и афелий, объекты, вращающиеся вокруг Земли, имеют перигей и апогей, а объекты, вращающиеся вокруг Луна имеет перилун и аполун (или периселен и апоселен соответственно). Орбита вокруг любой звезды, а не только Солнца, имеет периастр и апастрон.
2. . Когда планета движется по своей орбите, линия от Солнца к планете охватывает постоянную область плоскости орбиты в течение заданного периода времени, независимо от того, какую часть своей орбиты планета отслеживает в течение этого периода времени. Это означает, что планета движется быстрее около своего перигелия, чем около своего афелия, потому что на меньшем расстоянии ей необходимо проследить большую дугу, чтобы покрыть ту же область. Этот закон обычно формулируется как «равные площади в равное время».
3. Для данной орбиты отношение куба его большой полуоси к квадрату его периода постоянно..

Ограничения закона тяготения Ньютона

Обратите внимание, что в то время как связанные орбиты точечной массы или сферического тела с ньютоновским гравитационным полем являются замкнутыми эллипсами, которые точно и бесконечно повторяют один и тот же путь, любые несферические или неньютоновские эффекты (например, вызванные небольшим сжатием Земли или релятивистскими эффектами, тем самым изменяя поведение гравитационного поля с расстоянием) вызовет отклонение формы орбиты от замкнутых эллипсов, характерных для ньютоновского движения двух тел. Двухчастичные решения были опубликованы Ньютоном в Principia в 1687 году. В 1912 году Карл Фритьоф Сундман разработал сходящийся бесконечный ряд, который решает задачу трех тел ; однако он сходится слишком медленно, чтобы быть полезным. За исключением особых случаев, таких как точки Лагранжа, не известен ни один метод решения уравнений движения для системы с четырьмя или более телами.

Подходы к задачам многих тел

Вместо точного решения в замкнутой форме, орбиты с множеством тел могут быть аппроксимированы с произвольно высокой точностью. Эти приближения принимают две формы:

Одна форма берет за основу чистое эллиптическое движение и добавляет члены возмущения для учета гравитационного влияния нескольких тел. Это удобно для расчета положения астрономических тел. Уравнения движения лун, планет и других тел известны с большой точностью и используются для создания таблиц для астрономической навигации. Тем не менее, есть светские явления, с которыми приходится иметь дело с помощью постньютоновских методов.

Форма дифференциального уравнения используется для научных целей. или в целях планирования миссии. Согласно законам Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, будет равна массе тела, умноженной на его ускорение (F = ma). Следовательно, ускорение можно выразить в позициях. Члены возмущения намного проще описать в такой форме. Прогнозирование последующих положений и скоростей на основе начальных значений положения и скорости соответствует решению задачи с начальным значением. Численные методы вычисляют положения и скорости объектов на короткое время в будущем, а затем повторяют вычисление до тошноты. Однако крошечные арифметические ошибки из-за ограниченной точности математических вычислений компьютера являются кумулятивными, что ограничивает точность этого подхода.

Дифференциальное моделирование с большим количеством объектов выполняет вычисления в иерархической парной манере между центрами масс. С помощью этой схемы были смоделированы галактики, звездные скопления и другие большие скопления объектов.

Ньютоновский анализ орбитального движения

(см. Также орбита Кеплера, уравнение орбиты и Первый закон Кеплера.)

Земля движется по эллипсу вокруг Солнца. Но в отличие от эллипса, за которым следует маятник или объект, прикрепленный к пружине, Солнце находится в фокусе эллипса, а не в его центр.

Следующий вывод применим к такой эллиптической орбите. Мы начнем только с закона тяготения Ньютона, утверждающего, что ускорение свободного падения по направлению к центральному телу связано с обратной силой квадрат расстояния между ними, а именно

уравнение 1. $F\; 2\; =\; -\; G\; m\; 1\; m\; 2\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где F 2 - сила, действующая на массу m 2, вызванная массой гравитационного притяжения m 1 имеет для m 2, G - универсальная гравитационная постоянная, а r - d расстояние между двумя центрами масс.

Согласно Второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на m 2, связанных с ускорением этого тела:

уравнение 2. $F\; 2\; =\; m\; 2\; A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\; =\; m\_\; \{2\}\; A\_\; \{2\}\}$

где A 2 - ускорение m 2, вызванное силой гравитационного притяжения F 2 из m 1, действующее на m 2.

Объединение уравнений 1 и 2:

$-\; G\; m\; 1\; m\; 2\; r\; 2\; =\; m\; 2\; A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; m\_\; \{2\}\; A\_\; \{2\}\}$

Решение для ускорения, A 2:

$A\; 2\; =\; F\; 2\; м\; 2\; =\; -\; 1\; м\; 2\; Г\; м\; 1\; м\; 2\; р\; 2\; =\; -\; \mu \; р\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\_\; \{2\}\}\; \{m\_\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\_\; \{2\}\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$- это стандартный гравитационный параметр, в данном случае $G\; m\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Gm\_\; \{1\}\}$. Понятно, что описываемая система - это m 2, поэтому индексы можно опустить.

Мы предполагаем, что центральное тело достаточно массивно, чтобы его можно было считать неподвижным, и игнорируем более тонкие эффекты общей теории относительности.

Когда маятник или объект, прикрепленный к пружине, качается в эллипсе внутреннее ускорение / сила пропорциональна расстоянию $A\; =\; F\; /\; m\; =\; -\; kr.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; F\; /\; m\; =\; -kr.\}$Из-за способа суммирования векторов компонент силы в $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \}\}\}$или в $y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\}$направления также пропорциональны соответствующим компонентам расстояний, $rx\; ″\; =\; A\; x\; =\; -\; krx\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{x\}\; =\; A\_\; \{x\}\; =\; -\; kr\_\; \{x\}\}$. Следовательно, весь анализ может быть выполнен отдельно в этих измерениях. Это приводит к гармоническим параболическим уравнениям $x\; =\; A\; cos\; \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; A\; \backslash \; cos\; (t)\}$и $y\; =\; B\; sin\; \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; B\; \backslash \; sin\; (t)\}$эллипса. Напротив, при уменьшении отношения $A\; =\; \mu \; /\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; mu\; /\; r\; ^\; \{2\}\}$размеры не могут быть разделены.

местоположение вращающегося объекта в текущий момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$находится в плоскости с использованием векторного исчисления в полярных координатах как с стандартный евклидов базис и с полярным базисом, начало координат которого совпадает с центром силы. Пусть $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$будет расстоянием между объектом и центром, а $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$будет углом, на который он повернулся. Пусть $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}$и $y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\}$будет стандартным евклидовым основанием, а $r\; ^\; =\; cos\; \; (\theta )\; x\; ^\; +\; sin\; \; (\theta )\; y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \}\}\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; +\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\}$и $\theta \; ^\; =\; -\; грех\; \; (\theta )\; x\; ^\; +\; соз\; \; (\theta )\; y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \}\}\; +\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\}$- радиальный и поперечный полярный базис, первый из которых представляет собой единичный вектор, указывающий от центральное тело к текущему местоположению вращающегося объекта, а второе - ортогональный единичный вектор, указывающий в направлении, в котором вращающийся объект будет перемещаться, если будет вращаться по кругу против часовой стрелки. Тогда вектор к вращающемуся объекту равен

$O\; ^\; =\; r\; cos\; \; (\theta )\; x\; ^\; +\; r\; sin\; \; (\theta )\; y\; ^\; =\; rr\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{O\}\}\}\; =\; r\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; +\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\; =\; r\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$

Мы используем $r\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\}$и $\theta \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\}$для обозначения стандартных производных того, как это расстояние и угол меняются с течением времени. Мы берем производную вектора, чтобы увидеть, как он изменяется с течением времени, вычитая его местоположение в момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$из местоположения в момент времени $t\; +\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; +\; \backslash \; delta\; t\}$и делением на $\delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; t\}$. Результат - тоже вектор. Поскольку наш базисный вектор $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$движется по орбите объекта, мы начинаем с его дифференцирования. С момента $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$до $t\; +\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; +\; \backslash \; delta\; t\}$вектор $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$сохраняет свое начало в начале координат и вращается от угла $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$до $\theta \; +\; \theta \; \dot{}\; \delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; +\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; \backslash \; delta\; t\}$, который перемещает голову на расстояние $\theta \; \dot{}\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; \backslash \; delta\; t\}$в перпендикулярном направлении $\theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$, что дает производную от $\theta \; \dot{}\; \theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$.

$r\; ^\; =\; cos\; \; (\theta )\; x\; ^\; +\; sin\; \; (\theta )\; y\; ^\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; +\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; \}\}$

$\delta \; r\; ^\; \delta \; t\; =\; r\; \dot{}\; =\; -\; грех\; \; (\theta )\; \theta \; \dot{}\; x\; ^\; +\; cos\; \; (\theta )\; \theta \; \dot{}\; y\; ^\; =\; \theta \; \dot{}\; \theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{Икс\}\; \}\}\; +\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$

$\theta \; ^\; =\; -\; грех\; \; (\theta )\; x\; ^\; +\; соз\; \; (\theta )\; y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; x\}\}\}\; +\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\}$

$\delta \; \theta \; ^\; \delta \; t\; =\; \theta \; \dot{}\; =\; -\; cos\; \; (\theta )\; \theta \; \dot{}\; x\; ^\; -\; sin\; \; (\theta )\; \theta \; \dot{}\; y\; ^\; =\; -\; \theta \; \dot{}\; r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\; \}\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$

Теперь мы можем найти скорость и ускорение нашего орбитального объекта.

$O\; ^\; =\; rr\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{O\}\}\}\; =\; r\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$

$O\; \dot{}\; =\; \delta \; r\; \delta \; tr\; ^\; +\; r\; \delta \; р\; ^\; \delta \; T\; знак\; равно\; р\; \dot{}\; р\; ^\; +\; р\; [\theta \; \dot{}\; \theta \; ^]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{O\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; r\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; +\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \}\}\; +\; r\; [\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}]\}$

$O\; ¨\; =\; [r\; ¨\; r\; ^\; +\; r\; \dot{}\; \theta \; \dot{}\; \theta \; ^]\; +\; [r\; \dot{}\; \theta \; \dot{}\; \theta \; ^\; +\; р\; \theta \; ¨\; \theta \; ^\; -\; r\; \theta \; \dot{}\; 2\; r\; ^]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{O\}\}\}\; =\; [\{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \}\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}]\; +\; [\{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; +\; r\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; -\; r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; hat\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}]\}$

$=\; [r\; ¨\; -\; r\; \theta \; \dot{}\; 2]\; r\; ^\; +\; [r\; \theta \; ¨\; +\; 2\; r\; \dot{}\; \theta \; \dot{}]\; \theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; [\{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; -r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; ^\; \{2\}]\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; +\; [r\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; theta\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\; \backslash \; theta\}\}]\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$

Коэффициенты $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\; \}\}\}\}$и $\theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$задают ускорения в радиальном и поперечном направлениях. Как было сказано, Ньютон дает это первое из-за силы тяжести: $-\; \mu \; /\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mu\; /\; r\; ^\; \{2\}\}$, а второе - ноль.

$р\; ¨\; -\; р\; \theta \; \dot{}\; 2\; =\; -\; \mu \; р\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; -\; r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$

(1)

$р\; \theta \; ¨\; +\; 2\; р\; \dot{}\; \theta \; \dot{}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; theta\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; 0\}$

(2)

Уравнение (2) может быть преобразовано с помощью интегрирования по частям.

$р\; \theta \; ¨\; +\; 2\; р\; \dot{}\; \theta \; \dot{}\; знак\; равно\; 1\; rddt\; (r\; 2\; \theta \; \dot{})\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; theta\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

Мы можем умножьте на $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, потому что оно не равно нулю, если только орбитальный объект не разбился. Тогда наличие нулевой производной означает, что функция является константой.

$r\; 2\; \theta \; \dot{}\; =\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; h\}$

(3)

что на самом деле является теоретическим доказательством второго закона Кеплера (Линия, соединяющая планету и Солнце, выметает равные области за равные промежутки времени). Константа интегрирования h представляет собой угловой момент на единицу массы.

Чтобы получить уравнение для орбиты из уравнения (1), нам нужно исключить время. (См. Также уравнение Бине.) В полярных координатах это будет выражать расстояние $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$орбитального объекта от центра как функцию его угла $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$. Однако проще ввести вспомогательную переменную $u\; =\; 1\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; 1\; /\; r\}$и выразить $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$как функция от $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$. Производные от $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$по времени можно переписать как производные от $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$по углу.

$U\; =\; 1\; р\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{1\; \backslash \; over\; r\}\}$

$\theta \; \dot{}\; =\; hr\; 2\; =\; hu\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; hu\; ^\; \{2\}\}$(переработка (3))

$\delta \; u\; \delta \; \theta \; =\; \delta \; \delta \; t\; (1\; r)\; \delta \; t\; \delta \; \theta \; =\; -\; r\; \dot{}\; r\; 2\; \theta \; \dot{}\; =\; -\; r\; \dot{}\; h\; \delta \; 2\; u\; \delta \; \theta \; 2\; =\; -\; 1\; h\; \delta \; r\; \dot{}\; \delta \; t\; \delta \; t\; \delta \; \theta \; =\; -\; r\; ¨\; h\; \theta \; \dot{}\; =\; -\; r\; ¨\; h\; 2\; u\; 2\; или\; r\; ¨\; =\; -\; h\; 2\; u\; 2\; \delta \; 2\; U\; \delta \; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; u\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; t\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; theta\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\; \}\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{h\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; t\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; theta\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; \{h\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; \{h\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{или\; \}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; =\; -\; h\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{\; выровненный\}\}\}$

Вставка их в (1) дает

$r\; ¨\; -\; r\; \theta \; \dot{}\; 2\; =\; -\; \mu \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; -\; r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$-\; h\; 2\; u\; 2\; \delta \; 2\; U\; \delta \; \theta \; 2\; -\; 1\; U\; (ху\; 2)\; 2\; =\; -\; \mu \; U\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; -h\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; theta\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\}\; (hu\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; mu\; u\; ^\; \{2\}\}$

$\delta \; 2\; u\; \delta \; \theta \; 2\; +\; u\; =\; \mu \; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Итак для гравитационной силы - или, в более общем смысле, для любого закона обратной квадратичной силы - правая часть уравнения становится постоянной, и уравнение оказывается гармоническим уравнением (с точностью до сдвига начала координат зависимой переменной). Решение:

$u\; (\theta )\; =\; \mu \; час\; 2\; -\; A\; cos\; \; (\theta \; -\; \theta \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; A\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{0\})\}$

, где A и θ 0 - произвольные константы. Это результирующее уравнение орбиты объекта представляет собой уравнение эллипса в полярной форме относительно одной из фокальных точек. Это преобразовано в более стандартную форму, если $e\; \equiv \; h\; 2\; A\; /\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; \backslash \; Equiv\; h\; ^\; \{2\}\; A\; /\; \backslash \; mu\}$быть эксцентриситетом, позволяя $a\; \equiv \; h\; 2\; /\; (\mu \; (1\; -\; e\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; Equiv\; h\; ^\; \{2\}\; /\; (\backslash \; mu\; (1-e\; ^\; \{2\}))\}$быть большой полуосью. Наконец, позволяя $\theta \; 0\; \equiv \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; th\; eta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; Equiv\; 0\}$, чтобы длинная ось эллипса проходила вдоль положительной координаты x.

$р\; (\theta )\; знак\; равно\; a\; (1\; -\; е\; 2)\; 1\; +\; е\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (1-e\; ^\; \{2\})\}\; \{1\; +\; e\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\}$

Релятивистское орбитальное движение

Вышеприведенный классический (ньютоновский ) анализ орбитальной механики предполагает, что более тонкие эффекты общая теория относительности, такая как перетаскивание кадра и гравитационное замедление времени, пренебрежимо малы. Релятивистские эффекты перестают быть незначительными при приближении к очень массивным телам (как в случае прецессии орбиты Меркурия вокруг Солнца) или когда требуется предельная точность (как при расчетах элементов орбиты и эталоны сигналов времени для спутников GPS.).

Орбитальные плоскости

До сих пор анализ был двухмерным; оказывается, что невозмущенная орбита является двумерной в плоскости, фиксированной в пространстве, и, таким образом, расширение до трех измерений требует простого поворота двумерной плоскости на требуемый угол относительно полюсов планетарной тело вовлечено.

Для вращения в трех измерениях требуется однозначное определение трех чисел; традиционно они выражаются в виде трех углов.

Период обращения

Период обращения - это просто то, сколько времени требуется телу на орбите, чтобы завершить один оборот.

Указание орбит

Для задания кеплеровской орбиты вокруг тела требуется шесть параметров. Например, три числа, указывающие начальное положение тела, и три значения, определяющие его скорость, будут определять уникальную орбиту, которая может быть рассчитана вперед (или назад) во времени. Однако традиционно используемые параметры немного отличаются.

Традиционно используемый набор орбитальных элементов называется набором кеплеровских элементов, после Иоганна Кеплера и его законов. Кеплеровских элементов шесть:

• Наклон (i)
• Долгота восходящего узла (Ω)
• Аргумент перицентра (ω)
• Эксцентриситет ( e)
• Большая полуось (a)
• Средняя аномалия в эпоху (M0).

В принципе, как только орбитальные элементы тела известны, его положение может быть вычислено вперед и назад до бесконечности. во время. Однако на практике орбиты подвергаются воздействию или возмущению другими силами, кроме простой гравитации от предполагаемого точечного источника (см. Следующий раздел), и, таким образом, элементы орбиты меняются со временем.

Орбитальные возмущения

Орбитальные возмущения - это когда сила или импульс, который намного меньше общей силы или среднего импульса основного гравитирующего тела и который является внешним по отношению к двум вращающимся телам, вызывает ускорение, которое со временем меняет параметры орбиты.

Радиальные, прямые и поперечные возмущения

Небольшой радиальный импульс, поданный телу на орбите, изменяет эксцентриситет, но не период обращения ( до первого порядка). прямой или ретроградный импульс (т.е. импульс, приложенный вдоль орбитального движения) изменяет как эксцентриситет, так и период обращения. Примечательно, что прямой импульс в периапсисе увеличивает высоту в апоапсисе, и наоборот, а ретроградный импульс делает наоборот. Поперечный импульс (вне плоскости орбиты) вызывает вращение плоскости орбиты без изменения периода или эксцентриситета. Во всех случаях замкнутая орбита все равно будет пересекать точку возмущения.

Орбитальный распад

Если орбита проходит вокруг планетарного тела со значительной атмосферой, его орбита может затухать из-за сопротивления. В частности, в каждом перицентре объект испытывает атмосферное сопротивление, теряя энергию. Каждый раз орбита становится менее эксцентричной (более круговой), потому что объект теряет кинетическую энергию именно тогда, когда эта энергия максимальна. Это похоже на эффект замедления маятника в его самой низкой точке; высшая точка качания маятника становится ниже. С каждым последующим замедлением все больше и больше орбиты попадает под влияние атмосферы, и эффект становится более выраженным. В конце концов, эффект становится настолько большим, что максимальной кинетической энергии недостаточно, чтобы вернуться на орбиту за пределы эффекта атмосферного сопротивления. Когда это происходит, тело быстро движется по спирали вниз и пересекает центральное тело.

Границы атмосферы сильно различаются. Во время солнечного максимума атмосфера Земли вызывает сопротивление на сотню километров больше, чем во время солнечного минимума.

Некоторые спутники с длинными проводящими тросами также могут испытывать орбитальный распад из-за электромагнитного сопротивления магнитного поля Земли. Когда провод разрезает магнитное поле, он действует как генератор, перемещая электроны от одного конца к другому. Орбитальная энергия преобразуется в проводе в тепло.

На орбиты можно искусственно влиять с помощью ракетных двигателей, которые изменяют кинетическую энергию тела в какой-то момент на его пути. Это преобразование химической или электрической энергии в кинетическую энергию. Таким образом можно облегчить изменение формы или ориентации орбиты.

Другой метод искусственного воздействия на орбиту - использование солнечных парусов или магнитных парусов. Эти формы движения не требуют никакого топлива или энергии, кроме энергии Солнца, и поэтому могут использоваться бесконечно. См. statite для одного такого предлагаемого использования.

Орбитальный распад может происходить из-за приливных сил для объектов ниже синхронной орбиты тела, вокруг которого они вращаются. Гравитация орбитального объекта вызывает приливные выпуклости в главном элементе, и поскольку ниже синхронной орбиты орбитальный объект движется быстрее, чем поверхность тела, выпуклости отстают от него на небольшой угол. Гравитация выпуклостей немного отклоняется от оси основного спутника и, таким образом, имеет компонент вдоль движения спутника. Ближняя выпуклость замедляет объект больше, чем дальняя выпуклость ускоряет его, и в результате орбита затухает. И наоборот, сила тяжести спутника на выступах прикладывает крутящий момент к главному элементу и ускоряет его вращение. Искусственные спутники слишком малы, чтобы оказывать заметное приливное воздействие на планеты, по которым они вращаются, но несколько лун в Солнечной системе подвергаются орбитальному распаду по этому механизму. Самый внутренний спутник Марса Фобос является ярким примером, и ожидается, что он либо столкнется с поверхностью Марса, либо распадется на кольцо в течение 50 миллионов лет.

Орбиты могут разрушаться из-за излучения гравитационных волн. Этот механизм чрезвычайно слаб для большинства звездных объектов и становится значимым только в тех случаях, когда существует комбинация экстремальной массы и экстремального ускорения, например, с черными дырами или нейтронными звездами, которые вращаются по орбите. друг другу тесно.

Сплющенность

Стандартный анализ движущихся по орбите тел предполагает, что все тела состоят из однородных сфер или, в более общем смысле, концентрических оболочек, каждая из которых имеет одинаковую плотность. Можно показать, что такие тела гравитационно эквивалентны точечным источникам.

Однако в реальном мире многие тела вращаются, и это вносит сжатие и искажает гравитационное поле, а также дает квадрупольный момент для гравитационного поля, которое значительна на расстояниях, сопоставимых с радиусом тела. В общем случае гравитационный потенциал вращающегося тела, такого как, например, планета, обычно расширяется по мультиполям, учитывая отклонения его от сферической симметрии. С точки зрения динамики спутников особую важность имеют так называемые коэффициенты четной зональной гармоники или даже зональные характеристики, поскольку они вызывают вековые орбитальные возмущения, которые накапливаются во времени, превышающем период обращения. Они действительно зависят от ориентации оси симметрии тела в пространстве, влияя, в общем, на всю орбиту, за исключением большой полуоси.

Множественные гравитирующие тела

Влияние других гравитирующих тел может быть значительным. Например, орбита Луны не может быть точно описана без учета действия силы тяжести Солнца, а также Земли. Один приблизительный результат состоит в том, что тела обычно будут иметь достаточно стабильные орбиты вокруг более тяжелой планеты или луны, несмотря на эти возмущения, при условии, что они вращаются хорошо в пределах сферы Хилла.

более тяжелого тела, когда есть более двух гравитирующих тел это называется проблемой n-тел. Большинство задач с n телами не имеют решения в закрытой форме, хотя были сформулированы некоторые частные случаи.

Световое излучение и звездный ветер

В частности, для небольших тел свет и звездный ветер могут вызывать значительные возмущения положения и направления движения тела, и со временем может быть значительным. Что касается планетных тел, движение астероидов особенно подвержено влиянию в течение больших периодов, когда астероиды вращаются относительно Солнца.

Странные орбиты

Математики обнаружили, что в принципе возможно иметь несколько тел на неэллиптических орбитах, которые периодически повторяются, хотя большинство таких орбит нестабильны в отношении небольших возмущений массы, положения, или скорость. Однако были выявлены некоторые особые устойчивые случаи, в том числе плоская восьмерка, занятая тремя движущимися телами. Дальнейшие исследования показали, что неплоские орбиты также возможны, в том числе орбиты с участием 12 масс, движущихся по 4 примерно круглым, взаимосвязанным орбитам , топологически эквивалентным краям кубооктаэдра.

. Вселенная считается крайне маловероятной из-за маловероятности того, что требуемые условия возникают случайно.

Астродинамика

Орбитальная механика или астродинамика - это приложение баллистики и небесной механики к практическим задачам движения ракет и других космических аппаратов. Движение этих объектов обычно рассчитывается по законам движения Ньютона и закону всемирного тяготения Ньютона. Это основная дисциплина в разработке и управлении космическими полетами. В небесной механике более широко рассматривается орбитальная динамика систем, находящихся под влиянием гравитации, включая космические корабли и естественные астрономические тела, такие как звездные системы, планеты, луны и кометы. Орбитальная механика фокусируется на траекториях космических аппаратов, включая орбитальные маневры, изменения плоскости орбиты и межпланетные перелеты, и используется разработчиками миссий для прогнозирования результатов движущихся маневров. Общая теория относительности является более точной теорией, чем законы Ньютона для вычисления орбит, и иногда необходима для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, орбиты, близкие к Солнцу).

Земные орбиты

Сравнение геостационарной околоземной орбиты с GPS, ГЛОНАСС, Galileo и Компасом (средняя околоземная орбита) спутниковая навигационная система орбиты с орбитами Международной космической станции, космического телескопа Хаббла и созвездия Иридиум, а также номинальный размер Земля. Орбита Луны примерно в 9 раз больше (по радиусу и длине), чем геостационарная орбита.

• Низкая околоземная орбита (НОО): Геоцентрические орбиты с большей высотой до 2000 км (0–1240 миль ).
• Средняя околоземная орбита (MEO): Геоцентрические орбиты с высотой от 2000 км (1240 миль ) до чуть ниже геосинхронной орбиты на расстоянии 35 786 км (22 236 миль). Также известна как промежуточная круговая орбита. Чаще всего это 20 200 километров (12 600 миль), или 20 650 километров (12830 миль), с периодом обращения 12 часов ».
• И геостационарная орбита (ГСО), и геостационарная орбита (GEO) - это орбиты вокруг Земли, соответствующие периоду сидерического вращения Земли. Все геостационарные и геостационарные орбиты имеют большую полуось, равную 42 164 км (26 199 миль). Все геостационарные орбиты также являются геостационарными., но не все геостационарные орбиты являются геостационарными. Геостационарные орбиты t остается точно над экватором, в то время как геосинхронная орбита может колебаться на север и юг, покрывая большую часть поверхности Земли. Оба совершают один полный оборот вокруг Земли за звездные сутки (относительно звезд, а не Солнца).
• Высокая околоземная орбита : Геоцентрические орбиты выше высоты геосинхронной орбиты 35,786 км (22,240 миль ).

Масштаб силы тяжести

гравитационная постоянная G была рассчитана как:

• (6,6742 ± 0,001) × 10 (кг / м) с.

Таким образом, константа имеет размерную плотность время. Это соответствует следующим свойствам.

Масштабирование расстояний (включая размеры тел, при сохранении одинаковой плотности) дает аналогичные орбиты без масштабирования времени: если, например, расстояния уменьшаются вдвое, массы делятся на 8, силы тяжести на 16 и гравитационные ускорения на 2. Следовательно, скорости уменьшаются вдвое, а периоды обращения остаются прежними. Аналогично, когда объект падает с башни, время, необходимое для падения на землю, остается тем же самым с масштабной моделью башни на масштабной модели Земли.

Масштабирование di стойки, сохраняя при этом массы одинаковыми (в случае точечных масс или за счет уменьшения плотности), дают схожие орбиты; если расстояния умножаются на 4, силы тяжести и ускорения делятся на 16, скорости уменьшаются вдвое, а периоды обращения умножаются на 8.

Когда все плотности умножаются на 4, орбиты одинаковы; гравитационные силы умножаются на 16, а ускорения - на 4, скорости удваиваются, а периоды обращения уменьшаются вдвое.

Когда все плотности умножаются на 4, а все размеры уменьшаются вдвое, орбиты становятся похожими; массы делятся на 2, гравитационные силы те же, гравитационные ускорения удваиваются. Следовательно, скорости одинаковы, а периоды обращения уменьшены вдвое.

Во всех этих случаях масштабирования. если плотности умножить на 4, времена уменьшатся вдвое; если скорости удваиваются, силы умножаются на 16.

Эти свойства иллюстрируются формулой (полученной из формулы для периода обращения )

$GT\; 2\; \rho \; =\; 3\; \pi \; (ar)\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; GT\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; =\; 3\; \backslash \; pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\},\}$

для эллиптической орбиты с большой полуглавой ось a небольшого тела вокруг сферического тела с радиусом r и средней плотностью ρ, где T - период обращения. См. также Третий закон Кеплера.

Патенты

Применение определенные орбиты или орбитальные маневры для конкретных полезных целей были предметом патентов.

Приливная блокировка

Некоторые тела приливно связаны с другими телами, что означает, что одна сторона небесного тела постоянно обращена объект-хозяин. Это относится к системе Земля- Луна и Плутон-Харон.

См. также

• Эфемерида - это совокупность положений естественных астрономических объектов в виде а также искусственные спутники в небе в подарок n раз или раз.
• Свободный дрейф
• Розетка Клемперера
• Список орбит
• Орбита Молния
• Определение орбиты
• Орбитальный космический полет
• Перифокальная система координат
• Полярные орбиты
• Радиальная траектория
• Розетта (орбита)
• VSOP (планеты)

• Астрономический портал
• Космический портал

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

• Abell; Моррисон и Вольф (1987). Исследование Вселенной (пятое изд.). Издательство Saunders College Publishing.
• Линтон, Кристофер (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-45379-0.
• Фрэнк Свец; Джон Фовел; Бенгт Йоханссон; Виктор Кац; Отто Беккен (1995). Учитесь у Мастеров. MAA. ISBN 978-0-88385-703-8.
• Андреа Милани и Джованни Ф. Гронки. Теория определения орбиты (Cambridge University Press; 378 страниц; 2010). Обсуждает новые алгоритмы определения орбит естественных и искусственных небесных тел.

Внешние ссылки

Найдите orbit в Викисловаре, бесплатном словаре.

Wikimedia Commons содержит материалы, относящиеся к Орбитам.

• CalcTool: Орбитальный период калькулятора планеты. Имеет широкий выбор агрегатов. Требуется JavaScript.
• Java-симуляция орбитального движения. Требуется Java.
• Страница NOAA в Climate Forcing Data включает (расчетные) данные об изменениях орбиты Земли за последние 50 миллионов лет и за ближайшие 20 миллионов лет
• Онлайн-орбитальный плоттер. Требуется JavaScript.
• Орбитальная механика (Ракетно-космические технологии)
• Моделирование орбиты Варади, Гил и Раннегар (2003) предоставляют другую, немного другую серию для эксцентриситета земной орбиты, а также серию по наклону орбиты. Орбиты других планет также были рассчитаны по F. Варади; Б. Руннегар; М. Гил (2003). «Последовательные уточнения в долгосрочной интеграции планетных орбит». Астрофизический журнал. 592 : 620–630. Bibcode : 2003ApJ... 592..620V. doi : 10.1086 / 375560., но в Интернете доступны только данные об эксцентриситете для Земли и Меркурия.
• Понять орбиты с помощью прямого управления. Требуется JavaScript и Macromedia
• Меррифилд, Майкл. «Орбиты (включая первую пилотируемую орбиту)». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Университета Ноттингема.
• Симулятор планетной орбиты Astronoo