Проблема двух тел

Эта статья посвящена задаче двух тел в классической механике. Чтобы узнать о проблеме управления карьерой работающих пар, см. Проблема двух тел (карьера). Слева: два тела с одинаковой массой, вращающиеся вокруг общего барицентра, внешнего по отношению к обоим телам, с эллиптическими орбитами - типичными для двойных звезд. Справа: два тела с «небольшой» разницей в массе, вращающиеся вокруг общего центра масс. Размеры и этот тип орбиты близки к системе Плутон-Харон (в котором барицентр является внешним по отношению к обоим органам), и на Земле - Луна системы, где барицентр является внутренним для большего тела.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету
Уравнения
Небесная механика
Гравитационные воздействия
N-тела орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия
Меры эффективности
v т е

В классической механики, то задача двух тел, чтобы предсказать движение двух массивных объектов, которые абстрактно рассматривать как точечные частицы. Проблема предполагает, что два объекта взаимодействуют только друг с другом; единственная сила, действующая на каждый объект, исходит от другого, а все остальные объекты игнорируются.

Наиболее ярким случаем классической проблемы двух тел является гравитационный случай (см. Также проблему Кеплера ), возникающий в астрономии для предсказания орбит (или ухода с орбиты) таких объектов, как спутники, планеты и звезды. Двухточечная модель такой системы почти всегда достаточно хорошо описывает ее поведение, чтобы давать полезные сведения и прогнозы.

Более простая модель «одного тела», « проблема центральной силы », рассматривает один объект как неподвижный источник силы, действующей на другой. Затем пытаются предсказать движение единственного оставшегося подвижного объекта. Такое приближение может дать полезные результаты, когда один объект намного массивнее другого (как в случае с легкой планетой, вращающейся вокруг тяжелой звезды, где звезду можно рассматривать как практически неподвижную).

Однако приближение одного тела обычно не требуется, кроме как в качестве ступеньки. Для многих сил, включая гравитационные, общая версия проблемы двух тел может быть сведена к паре задач одного тела, что позволяет решить ее полностью и дает решение, достаточно простое для эффективного использования.

Напротив, задача трех тел (и, в более общем смысле, проблема n тел при n  ≥ 3) не может быть решена в терминах первых интегралов, за исключением особых случаев.

• 1 Результаты для выдающихся случаев
  • 1.1 Гравитация и другие примеры обратных квадратов
  • 1.2 Неприменимость к атомам и субатомным частицам
• 2 Сведение к двум независимым задачам одного тела
  • 2.1 Движение центра масс (1-я задача одного тела)
  • 2.2 Движение вектора смещения (2-я задача одного тела)
• 3 Движение двух тел плоское
• 4 Энергия системы двух тел
• 5 Центральные силы
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Библиография
• 9 Внешние ссылки

Гравитация и другие примеры обратных квадратов

Задача двух тел интересна в астрономии, потому что пары астрономических объектов часто быстро движутся в произвольных направлениях (поэтому их движения становятся интересными), широко разделены друг от друга (чтобы они не сталкивались) и даже более широко отделены от других объектов. (так что внешние влияния будут достаточно малы, чтобы их можно было безопасно игнорировать).

Под действием силы тяжести каждый член пары таких объектов будет вращаться вокруг своего общего центра масс по эллиптической схеме, если только они не движутся достаточно быстро, чтобы полностью ускользнуть друг от друга, и в этом случае их пути будут расходиться вдоль других плоских конических секций.. Если один объект намного тяжелее другого, он будет двигаться намного меньше другого относительно общего центра масс. Взаимный центр масс может находиться даже внутри более крупного объекта.

Для математического обзора решений для этого случая см. Гравитационная задача двух тел. Для получения решений см. Классическая проблема центральной силы или проблема Кеплера.

В принципе, те же решения применимы к макроскопическим задачам, включающим объекты, взаимодействующие не только посредством гравитации, но и через любое другое притягивающее скалярное силовое поле, подчиняющееся закону обратных квадратов, с очевидным физическим примером электростатического притяжения. На практике такие проблемы возникают редко. За исключением, возможно, экспериментальных аппаратов или другого специализированного оборудования, мы редко сталкиваемся с электростатически взаимодействующими объектами, которые движутся достаточно быстро и в таком направлении, чтобы избежать столкновения, и / или которые достаточно изолированы от своего окружения.

Динамическая система системы двух тел под действием крутящего момента оказывается уравнением Штурма-Лиувилля.

Неприменимость к атомам и субатомным частицам

Хотя модель двух тел рассматривает объекты как точечные частицы, классическая механика применима только к системам макроскопического масштаба. Большинство поведение субатомных частиц не может быть предсказано при классических предположениях, лежащих в основе этой статьи или используя математику здесь.

Электроны в атоме иногда называют «орбите» свое ядро, после ранней гипотезы о Нильса Бора (это является источником термина « орбитального »). Однако электроны на самом деле не вращаются вокруг ядер в каком-либо значимом смысле, и квантовая механика необходима для любого полезного понимания реального поведения электрона. Решение классической задачи двух тел для электрона, вращающегося вокруг атомного ядра, вводит в заблуждение и не дает много полезных идей.

Полную задачу двух тел можно решить, переформулируя ее как две задачи одного тела: тривиальную и ту, которая включает решение для движения одной частицы во внешнем потенциале. Поскольку многие задачи одного тела могут быть решены точно, соответствующая задача двух тел также может быть решена.

Координаты Якоби для задачи двух тел; Координаты Якоби есть и с.${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} = {\ frac {m_ {1}} {M}} {\ boldsymbol {x}} _ {1} + {\ frac {m_ {2}} {M}} { \ boldsymbol {x}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = {\ boldsymbol {x}} _ {1} - {\ boldsymbol {x}} _ {2}}$${\ Displaystyle М = м_ {1} + м_ {2} \}$

Пусть x 1 и x 2 - векторные положения двух тел, а m 1 и m 2 - их массы. Цель состоит в том, чтобы определить траектории x 1 ( t) и x 2 ( t) для всех моментов времени t, учитывая начальные положения x 1 ( t  = 0) и x 2 ( t  = 0) и начальные скорости v 1 ( t  = 0) и v 2 ( t  = 0).

Применительно к двум массам второй закон Ньютона гласит, что

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} (\ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}) = m_ {1} {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {1} \ quad \ quad \ quad (\ mathrm {Equation} \ 1)}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} (\ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}) = m_ {2} {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {2} \ quad \ quad \ quad (\ mathrm {Equation} \ 2)}$

где F 12 - сила, действующая на массу 1 из-за ее взаимодействия с массой 2, а F 21 - это сила, действующая на массу 2 из-за ее взаимодействия с массой 1. Две точки над векторами положения x обозначают их вторую производную по отношению к времени или их векторам ускорения.

Сложение и вычитание этих двух уравнений разделяют их на две задачи одного тела, которые можно решать независимо. Добавление уравнений (1) и (2) приводит к уравнению, описывающему центр масс ( барицентр ) движения. Напротив, вычитание уравнения (2) из ​​уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор r  =  x 1  -  x 2 между массами изменяется со временем. Решения этих независимых задач одного тела можно объединить, чтобы получить решения для траекторий x 1 ( t) и x 2 ( t).

Движение центра масс (1-я задача одного тела)

Позвольте быть положением центра масс ( барицентра ) системы. Сложение силовых уравнений (1) и (2) дает ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

${\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {1} + m_ {2} {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) {\ ddot {\ mathbf {R}}} = \ mathbf {F} _ {12} + \ mathbf {F} _ {21} = 0}$

где мы использовали третий закон Ньютона F 12  = - F 21 и где

${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {R}}} \ Equiv {\ frac {m_ {1} {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {1} + m_ {2} {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}$

Полученное уравнение:

${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {R}}} = 0}$

показывает, что скорость центра масс постоянна, из чего следует, что полный импульс m 1 v 1  +  m 2 v 2 также постоянен ( сохранение количества движения ). Следовательно, положение R ( t) центра масс можно всегда определять по начальным положениям и скоростям. ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} = {dR \ over dt}}$

Движение вектора смещения (2-я задача одного тела)

Разделив оба уравнения силы на соответствующие массы, вычтя второе уравнение из первого и переставив, получим уравнение

${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {1} - {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {2} = \ left ( {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {m_ {1}}} - {\ frac {\ mathbf {F} _ {21}} {m_ {2}}} \ right) = \ left ( {\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {F} _ {12}}$

где мы снова использовали третий закон Ньютона F 12  = - F 21 и где r - вектор смещения от массы 2 к массе 1, как определено выше.

Сила между двумя объектами, которая возникает в двух объектах, должна быть функцией только их расстояния r, а не их абсолютных положений x 1 и x 2 ; в противном случае не было бы трансляционной симметрии, и законы физики должны были бы меняться от места к месту. Таким образом, вычитаемое уравнение можно записать:

${\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {F} _ {12} (\ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}) = \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}$

где это приведенная масса ${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {{\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}}}} = {\ frac {m_ {1) } м_ {2}} {м_ {1} + м_ {2}}}.}$

Решение уравнения для r ( t) является ключом к проблеме двух тел. Решение зависит от удельной силы между телами, которая определяется. Для случая, когда следует закон обратных квадратов, см. Проблему Кеплера. ${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}$

После определения R ( t) и r ( t) исходные траектории могут быть получены

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1} (t) = \ mathbf {R} (t) + {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ mathbf {r } (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {2} (t) = \ mathbf {R} (t) - {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ mathbf {r } (t)}$

что можно проверить, подставив определения R и r в правые части этих двух уравнений.

Движение двух тел относительно друг друга всегда происходит в плоскости (в системе координат центра масс ).

Доказательство: определение количества движения p и момента количества движения L системы относительно центра масс уравнениями

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times \ mu {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}},}$

где μ - приведенная масса, а r - относительное положение r 2 - r 1 (в них указан центр масс в качестве начала координат и, таким образом, оба параллельны r), скорость изменения углового момента L равна чистому крутящему моменту. N

${\ displaystyle \ mathbf {N} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = {\ dot {\ mathbf {r}}} \ times \ mu {\ dot {\ mathbf {r}} } + \ mathbf {r} \ times \ mu {\ ddot {\ mathbf {r}}} \,}$

и используя свойство векторного векторного произведения, что v × w = 0 для любых векторов v и w, указывающих в одном направлении,

${\ Displaystyle \ mathbf {N} \ = \ {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \,}$

с F = μ d ²r / dt ².

Вводя предположение (верное для большинства физических сил, поскольку они подчиняются строгому третьему закону движения Ньютона ), что сила между двумя частицами действует вдоль линии между их положениями, следует, что r × F  =   0 и вектор углового момента L постоянен (сохранено). Таким образом, вектор смещения г и его скорость v всегда находятся в плоскости перпендикуляра к постоянным вектором L.

Если сила F ( r) консервативна, то система имеет потенциальную энергию U ( r), поэтому полную энергию можно записать как

${\ displaystyle E _ {\ text {tot}} = {1 \ over 2} m_ {1} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {1} ^ {2} + {1 \ over 2} m_ { 2} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {2} ^ {2} + U (\ mathbf {r}) = {1 \ over 2} (m_ {1} + m_ {2}) {\ точка {\ mathbf {R}}} ^ {2} + {1 \ over 2} \ mu {\ dot {\ mathbf {r}}} ^ {2} + U (\ mathbf {r})}$

В системе центра масс кинетическая энергия самая низкая, а полная энергия становится равной

${\ displaystyle E = {1 \ over 2} \ mu {\ dot {\ mathbf {r}}} ^ {2} + U (\ mathbf {r})}$

Координаты x 1 и x 2 могут быть выражены как

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1} = {\ frac {\ mu} {m_ {1}}} \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {2} = - {\ frac {\ mu} {m_ {2}}} \ mathbf {r}}$

и аналогичным образом энергия E связана с энергиями E 1 и E 2, которые по отдельности содержат кинетическую энергию каждого тела:

${\ displaystyle {\ begin {align} E_ {1} amp; = {\ frac {\ mu} {m_ {1}}} E = {1 \ over 2} m_ {1} {\ dot {\ mathbf {x} }} _ {1} ^ {2} + {\ frac {\ mu} {m_ {1}}} U (\ mathbf {r}) \\ [4pt] E_ {2} amp; = {\ frac {\ mu } {m_ {2}}} E = {1 \ over 2} m_ {2} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {2} ^ {2} + {\ frac {\ mu} {m_ { 2}}} U (\ mathbf {r}) \\ [4pt] E _ {\ text {tot}} amp; = E_ {1} + E_ {2} \ end {выровнено}}}$

Основная статья: Классическая проблема центральной силы

Для многих физических задач сила F ( r) является центральной силой, т. Е. Имеет вид

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = F (г) {\ шляпа {\ mathbf {r}}}}$

где r = | г | а r̂ = r / r - соответствующий единичный вектор. Теперь у нас есть:

${\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ mathbf {r}}} = {F} (r) {\ hat {\ mathbf {r}}} \,}$

где F ( r) отрицательно в случае силы притяжения.

• Энергетический дрейф
• Уравнение центра
• Проблема трех тел Эйлера
• Гравитационная задача двух тел
• Орбита Кеплера
• Проблема Кеплера
• п -Боди проблема
• Проблема трех тел
• Проблема двух тел (карьера)
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Теорема вириала

• Ландау Л.Д. ; Лифшиц Е.М. (1976). Механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. ISBN   0-08-029141-4.
• Гольдштейн Х (1980). Классическая механика (2-е изд.). Нью-Йорк: Эддисон-Уэсли. ISBN   0-201-02918-9.

• Задача двух тел в книге Эрика Вайсштейна "Мир физики"