Альфапедия

Теорема вириала

редактировать
Теорема статистической механики

В механике теорема вириала представляет собой общее уравнение, которое связывает среднее во времени общую кинетическую энергию стабильной системы дискретных частиц, связанных потенциальными силами, со средней потенциальной энергией система. Математически теорема утверждает, что

⟨T⟩ = - 1 2 ∑ k = 1 N ⟨F k ⋅ rk⟩ {\ displaystyle \ left \ langle T \ right \ rangle = - {\ frac { 1} {2}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ bigl \ langle} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} {\ bigr \ rangle}}{\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }}

для полной кинетической энергии ⟨T⟩ N частиц, где Fkпредставляет собой силу на k-ю частицу, которая находится в позиции rk, и угол квадратные скобки обозначают среднее значение заключенного количества с течением времени. Слово вириал для правой части уравнения происходит от слова vis, латинского слова, обозначающего «сила» или «энергия», и его техническое определение было дано в Рудольф Клаузиус в 1870 году.

Значение теоремы вириала состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, которые не поддаются точному решению, например, те, которые рассматриваются в статистическая механика ; эта средняя полная кинетическая энергия связана с температурой системы по теореме о равнораспределении. Однако теорема вириала не зависит от понятия температуры и верна даже для систем, которые не находятся в тепловом равновесии. Теорема вириала была обобщена различными способами, в первую очередь в тензорной форме.

Если сила между любыми двумя частицами системы возникает из потенциальной энергии V (r) = αr, которая пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами r теорема вириала принимает простой вид

2 ⟨T⟩ = n ⟨V TOT⟩. {\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V _ {\ text {TOT}} \ rangle.}2 \langle T \rangle = n \langle V_\text{TOT} \rangle.

Таким образом, удвоение средней полной кинетической энергии ⟨T⟩ равно n-кратной средней полной потенциальной энергии ⟨V ТОТ ⟩. Тогда как V (r) представляет собой потенциальную энергию между двумя частицами, V TOT представляет полную потенциальную энергию системы, то есть сумму потенциальной энергии V (r) по всем парам частиц в системе.. Типичный пример такой системы - звезда, удерживаемая собственной гравитацией, где n равно −1.

Хотя теорема вириала зависит от усреднения полной кинетической и потенциальной энергии, представление здесь откладывает усреднение до последнего шага.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Утверждение и вывод
    • 2.1 Связь с потенциальной энергией между частицами
    • 2.2 Частный случай степенных сил
    • 2.3 Усреднение по времени
  • 3 В квантовой механика
  • 4 тождество Похожаева
  • 5 В специальной теории относительности
  • 6 Обобщения
  • 7 Учет электромагнитных полей
  • 8 Релятивистская однородная система
  • 9 В астрофизике
    • 9.1 Галактики и космология (вириальная масса и радиус)
    • 9.2 В звездах
  • 10 См. также
  • 11 Ссылки
  • 12 Дополнительная литература
  • 13 Внешние ссылки

История

В 1870 году Рудольф Клаузиус прочитал лекцию «О механической теореме, применимой к теплу» в Ассоциации естественных и медицинских наук Нижнего Рейна после 20-летнего изучения термодинамики. В лекции говорилось, что среднее vis viva системы равно ее вириалу или что средняя кинетическая энергия равна 1/2 средней потенциальной энергии. Теорема вириала может быть получена непосредственно из тождества Лагранжа, применяемого в классической гравитационной динамике, первоначальная форма которой была включена в «Очерк проблемы трех тел» Лагранжа, опубликованный в 1772 году. Карл Якоби. обобщение тождества на N тел и нынешнюю форму тождества Лапласа очень похоже на классическую теорему вириала. Однако интерпретации, приведшие к разработке уравнений, были очень разными, поскольку во время разработки статистическая динамика еще не объединила отдельные исследования термодинамики и классической динамики. Позже теорема была использована, популяризирована, обобщена и развита Джеймсом Клерком Максвеллом, лордом Рэли, Анри Пуанкаре, Субраманьяном Чандрасекар, Энрико Ферми, Поль Леду и Юджин Паркер. Фриц Цвикки был первым, кто применил теорему вириала для вывода о существовании невидимой материи, которая теперь называется темной материей. В качестве еще одного примера ее многочисленных приложений теорема вириала использовалась для вывода предела Чандрасекара для устойчивости белого карлика звезд.

Утверждение и вывод

Для совокупности N точечных частиц скалярный момент инерции I относительно начала координат определяется уравнением

I = ∑ k = 1 Н мк | r k | 2 знак равно ∑ К знак равно 1 N mkrk 2 {\ displaystyle I = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left | \ mathbf {r} _ {k} \ right | ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} r_ {k} ^ {2}}{\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}

где m k и rkобозначают массу и положение k-й частицы. r k = | rk| - величина вектора положения. Скаляр G определяется уравнением

G = ∑ k = 1 N pk ⋅ rk {\ displaystyle G = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}} G = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k

где pk- это импульс вектор k-й частицы. Предполагая, что массы постоянны, G представляет собой половину производной по времени этого момента инерции

1 2 d I dt = 1 2 ddt ∑ k = 1 N mkrk ⋅ rk = ∑ k = 1 N mkdrkdt ⋅ rk = ∑ k = 1 N pk ⋅ rk = G. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {2}} {\ frac {dI} {dt}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {d} {dt} } \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {r} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \\ = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \, {\ frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \\ = \ sum _ {k = 1 } ^ {N} \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = G \,. \ End {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}}

В свою очередь, производная G по времени может быть записано

d G dt = ∑ k = 1 N pk ⋅ drkdt + ∑ k = 1 N dpkdt ⋅ rk = ∑ k = 1 N mkdrkdt ⋅ drkdt + ∑ k = 1 NF k ⋅ rk = 2 T + ∑ k = 1 NF К ⋅ рк {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dG} {dt}} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {k} \ cdot { \ frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} + \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {d \ mathbf {p} _ {k}} {dt}} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \\ = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} + \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \\ = 2T + \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \, \ end {выравнивается}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\,\end{aligned}}}

где m k - масса k-й частицы, Fk= d pk/ dt - чистая сила, действующая на эту частицу, а T - полная кинетическая энергия системы в соответствии со скоростью v k = d rk/ dt каждой частицы

T = 1 2 ∑ k = 1 N mkvk 2 = 1 2 ∑ k = 1 N mkdrkdt ⋅ drkdt. {\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} v_ {k} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r} _ {k }} {dt}}.}{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}

Связь с потенциальной энергией между частицами

Полная сила Fk, действующая на частицу k, является суммой всех сил от других частиц j в системе

F К = ∑ J = 1 NF jk {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {jk}}\mathbf{F}_k = \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{jk}

где Fjk- сила, приложенная частицей j к частице k. Следовательно, вириал можно записать как

- 1 2 ∑ k = 1 N F k ⋅ r k = - 1 2 ∑ k = 1 N ∑ j = 1 N F j k ⋅ r k. {\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = - {\ frac {1} {2}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {jk} \ cdot \ mathbf { r} _ {k} \,.}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.}

Поскольку никакая частица не действует сама на себя (т. е. Fjj= 0 для 1 ≤ j ≤ N), мы разбиваем сумму на значения ниже и выше этой диагонали (доказательство этого уравнения ):

k = 1 NF k ⋅ rk = ∑ k = 2 N ∑ j = 1 k - 1 F jk ⋅ rk + ∑ k = 1 N - 1 ∑ j = k + 1 NF jk ⋅ rk = ∑ k = 2 N ∑ j = 1 k - 1 F jk ⋅ (rk - rj). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {k = 2 } ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {k-1} \ mathbf {F} _ {jk} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ { N-1} \ sum _ {j = k + 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {jk} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \\ = \ sum _ {k = 2} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {k-1} \ mathbf {F} _ {jk} \ cdot \ left (\ mathbf {r} _ {k} - \ mathbf {r} _ {j } \ right). \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\ sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\\=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right).\end{aligned}}}

где мы предположили, что выполняется третий закон движения Ньютона, т.е. Fjk= - Fkj(равная и противоположная реакция).

Формальное разложение последнего шага

Двойное суммирование в двух частях предпоследнего выражения можно переформулировать как

∑ k = 2 N ∑ j = 1 k - 1 F jk ⋅ rk + ∑ k = 1 N - 1 ∑ j = k + 1 NF jk ⋅ rk = ∑ 1 ≤ j < k ≤ N F j k ⋅ r k + ∑ 1 ≤ k < j ≤ N F j k ⋅ r k {\displaystyle \sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{1\leq j{\displaystyle \sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{1\leq k<j\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}}

Обмен именами свободных переменных j и k во второй сумме и сокращение теперь идентичных суммирований приводит к

∑ 1 ≤ j < k ≤ N F j k ⋅ r k + ∑ 1 ≤ j < k ≤ N F k j ⋅ r j = ∑ 1 ≤ j < k ≤ N ( F j k ⋅ r k + F k j ⋅ r j) {\displaystyle \sum _{1\leq j{\displaystyle \sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)}

, где применение упомянутого третьего закона Ньютона дает окончательный результат

∑ 1 ≤ j < k ≤ N ( F j k ⋅ r k + ( − F j k) ⋅ r j) = ∑ 1 ≤ j < k ≤ N F j k ⋅ ( r k − r j) = ∑ k = 2 N ∑ j = 1 k − 1 F j k ⋅ ( r k − r j) {\displaystyle \sum _{1\leq j{\displaystyle \sum _{1\leq j<k\leq N}{\bigl (}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\left(-\mathbf {F} _{jk}\right)\cdot \mathbf {r} _{j}{\bigr)}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)}

Часто бывает, что силы могут быть получены из потенциальной энергии V, которая является функцией только расстояния r jk между точечными частицами j и k. Поскольку сила представляет собой отрицательный градиент потенциальной энергии, в этом случае мы имеем

F jk = - ∇ rk V = - d V dr (rk - rjrjk), {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {jk} = - \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {k}} V = - {\ frac {dV} {dr}} \ left ({\ frac {\ mathbf {r} _ {k} - \ mathbf {r } _ {j}} {r_ {jk}}} \ right),}{\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}

который равен и противоположен Fkj= −∇ rjV, силе, приложенной частицей k к частице j, как и быть подтверждено явным расчетом. Следовательно,

∑ k = 1 NF k ⋅ rk = ∑ k = 2 N ∑ j = 1 k - 1 F jk ⋅ (rk - rj) = - ∑ k = 2 N ∑ j = 1 k - 1 d V доктор | r k - r j | 2 р J К знак равно - ∑ К знак равно 2 N ∑ J знак равно 1 К - 1 д В д р р j к. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {k = 2 } ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {k-1} \ mathbf {F} _ {jk} \ cdot \ left (\ mathbf {r} _ {k} - \ mathbf {r} _ { j} \ right) \\ = - \ sum _ {k = 2} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {k-1} {\ frac {dV} {dr}} {\ frac { | \ mathbf {r} _ {k} - \ mathbf {r} _ {j} | ^ {2}} {r_ {jk}}} \\ = - \ sum _ {k = 2} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {k-1} {\ frac {dV} {dr}} r_ {jk}. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.\end{aligned}}}

Таким образом,

d G dt = 2 T + k знак равно 1 NF k ⋅ rk = 2 T - ∑ k = 2 N ∑ j = 1 k - 1 d V drrjk. {\ displaystyle {\ frac {dG} {dt}} = 2T + \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = 2T- \ sum _ {k = 2} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {k-1} {\ frac {dV} {dr}} r_ {jk}.}{\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.}

Частный случай мощности- закон сил

В общем частном случае потенциальная энергия V между двумя частицами пропорциональна степени n их расстояния r

V (rjk) = α rjkn, {\ displaystyle V \ left (r_ {jk} \ right) = \ alpha r_ {jk} ^ {n},}{\displaystyle V\left(r_{jk}\right)=\alpha r_{jk}^{n},}

где коэффициент α и показатель n являются константами. В таких случаях вириал определяется уравнением

- 1 2 ∑ k = 1 NF k ⋅ rk = 1 2 ∑ k = 1 N ∑ j < k d V d r r j k = 1 2 ∑ k = 1 N ∑ j < k n α r j k n − 1 r j k = 1 2 ∑ k = 1 N ∑ j < k n V ( r j k) = n 2 V TOT {\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}\\={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV\left(r_{jk}\right)={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}}

, где V TOT - общее потенциальная энергия системы

V TOT = ∑ k = 1 N ∑ j < k V ( r j k). {\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j{\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V\left(r_{jk}\right)\,.}

Таким образом, имеем

d G dt = 2 T + ∑ k = 1 NF k ⋅ rk = 2 T - n V TOT. {\ displaystyle {\ frac {dG} {dt}} = 2T + \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = 2T- nV _ {\ text {TOT}} \,.}{\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.}

Для гравитирующих систем показатель n равен −1, что дает тождество Лагранжа

d G dt = 1 2 d 2 I dt 2 = 2 T + V TOT {\ displaystyle {\ frac {dG} {dt}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} = 2T + V _ {\ текст {TOT}}}{\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}}

, полученный Джозефом-Луи Лагранжем и расширенный Карлом Якоби.

Усреднение по времени

Среднее значение этой производной за время, τ, определяется как

⟨d G dt⟩ τ ​​= 1 τ ∫ 0 τ d G dtdt = 1 τ ∫ G (0) G (τ) d G = G (τ) - G (0) τ, {\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {dG} {dt}} \ right \ rangle _ {\ tau} = {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} { \ frac {dG} {dt}} \, dt = {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {G (0)} ^ {G (\ tau)} \, dG = {\ frac {G (\ tau) -G (0)} {\ tau}},} \left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_\tau = \frac{1}\tau \int_{0}^\tau \frac{dG}{dt}\,dt = \frac{1}{\tau} \int_{G(0)}^{G(\tau)} \, dG = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau},

из которого мы получаем точное уравнение

⟨d G dt⟩ τ ​​= 2 ⟨T⟩ τ + ∑ k = 1 N ⟨F k ⋅ rk⟩ τ. {\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {dG} {dt}} \ right \ rangle _ {\ tau} = 2 \ left \ langle T \ right \ rangle _ {\ tau} + \ sum _ {k = 1 } ^ {N} \ left \ langle \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \ right \ rangle _ {\ tau}.}{\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}

Теорема вириала утверждает, что если ⟨dG / dt⟩ τ = 0, то

2 ⟨T⟩ τ = - ∑ k = 1 N ⟨F k ⋅ rk⟩ τ. {\ displaystyle 2 \ left \ langle T \ right \ rangle _ {\ tau} = - \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left \ langle \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf { r} _ {k} \ right \ rangle _ {\ tau}.} 2 \left\langle T \right\rangle_\tau = -\sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle_\tau.

Существует множество причин, по которым среднее значение производной по времени может исчезнуть, ⟨dG / dt⟩ τ = 0. Один Часто цитируемая причина относится к устойчиво связанным системам, то есть к системам, которые связаны навсегда и параметры которых конечны. В этом случае скорости и координаты частиц системы имеют верхний и нижний пределы, так что G ограничивается двумя крайними значениями, G min и G max, а среднее значение к нулю в пределе очень больших времен τ:

lim τ → ∞ | ⟨D G b o u n d d t⟩ τ | = lim τ → ∞ | G (τ) - G (0) τ | ≤ lim τ → ∞ G max - G min τ = 0. {\ displaystyle \ lim _ {\ tau \ rightarrow \ infty} \ left | \ left \ langle {\ frac {dG ^ {\ mathrm {bound}}} { dt}} \ right \ rangle _ {\ tau} \ right | = \ lim _ {\ tau \ rightarrow \ infty} \ left | {\ frac {G (\ tau) -G (0)} {\ tau}} \ right | \ leq \ lim _ {\ tau \ rightarrow \ infty} {\ frac {G _ {\ max} -G _ {\ min}} {\ tau}} = 0.}{\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau)-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}

Даже если среднее значение производная G по времени только приблизительно равна нулю, теорема вириала верна с той же степенью приближения.

Для степенных сил с показателем n выполняется общее уравнение:

⟨T⟩ τ = - 1 2 ∑ k = 1 N ⟨F k ⋅ rk⟩ τ = n 2 ⟨V TOT ⟩ Τ. {\ displaystyle {\ begin {align} \ langle T \ rangle _ {\ tau} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ langle \ mathbf {F } _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \ rangle _ {\ tau} \\ = {\ frac {n} {2}} \ langle V _ {\ text {TOT}} \ rangle _ {\ tau}. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }\\={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.\end{aligned}}}

Для гравитационного притяжения n равно -1, а средняя кинетическая энергия равна половине средней отрицательной потенциальной энергии

⟨T⟩ τ = - 1 2 ⟨V TOT⟩ τ. {\ displaystyle \ langle T \ rangle _ {\ tau} = - {\ frac {1} {2}} \ langle V _ {\ text {TOT}} \ rangle _ {\ tau}.}{\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}

Этот общий результат полезен для сложных гравитирующих систем, таких как солнечные системы или галактики.

Простое применение теоремы вириала касается скоплений галактик. Если область космоса необычно заполнена галактиками, можно с уверенностью предположить, что они были вместе долгое время, и можно применить теорему вириала. Эффект Доплера. измерения дают нижнюю границу для их относительных скоростей, а теорема вириала дает нижнюю границу для полной массы скопления, включая любую темную материю.

Если эргодическая гипотеза верна для рассматриваемой системы, усреднение по времени не требуется; также может быть взято среднее по ансамблю с эквивалентными результатами.

В квантовой механике

Хотя теорема вириала первоначально была получена для классической механики, она также верна и для квантовой механики, как впервые показал Фок с помощью теоремы Эренфеста.

Оценить коммутатор гамильтониана

H = V ({X i}) + ∑ n P n 2 2 m {\ displaystyle H = V {\ bigl (} \ {X_ {i} \} {\ bigr)} + ​​\ sum _ {n} {\ frac {P_ {n} ^ {2}} {2m}}}{\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr)}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

с оператором положения X n и оператором импульса

P n = - я ℏ dd X n {\ displaystyle P_ {n} = - i \ hbar {\ frac {d} {dX_ {n}}}}{\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}

частицы n,

[H, X n P n] = X n [H, P n] + [H, X n] P n = i ℏ X nd V d X n - i ℏ P n 2 m. {\ displaystyle [H, X_ {n} P_ {n}] = X_ {n} [H, P_ {n}] + [H, X_ {n}] P_ {n} = i \ hbar X_ {n} { \ frac {dV} {dX_ {n}}} - i \ hbar {\ frac {P_ {n} ^ {2}} {m}} ~.}{\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}

Суммируя все частицы, можно найти для

Q = ∑ N X n P n {\ displaystyle Q = \ sum _ {n} X_ {n} P_ {n}}Q=\sum_n X_nP_n

коммутатор составляет

i ℏ [H, Q] = 2 T - ∑ n Икс nd В d Икс N {\ Displaystyle {\ frac {i} {\ hbar}} [H, Q] = 2T- \ sum _ {n} X_ {n} {\ frac {dV} {dX_ {n} }}}\frac{i}{\hbar}[H,Q]=2 T-\sum_n X_n\frac{dV}{dX_n}

где T = ∑ n P n 2 2 m {\ displaystyle T = \ sum _ {n} {\ frac {P_ {n} ^ {2}} {2m}}}{\displaystyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}- кинетическая энергия. Левая часть этого уравнения равна dQ / dt согласно уравнению Гейзенберга движения. Среднее значение ⟨dQ / dt⟩ этой производной по времени обращается в нуль в стационарном состоянии, что приводит к квантовой теореме вириала,

2 ⟨T⟩ = ∑ n ⟨X n d V d X n⟩. {\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = \ sum _ {n} \ left \ langle X_ {n} {\ frac {dV} {dX_ {n}}} \ right \ rangle ~.}{\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\le ft\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.}

личность Похожаева

Другой формой теоремы вириала квантовой механики, применимой к локализованным решениям стационарного нелинейного уравнения Шредингера или уравнения Клейна – Гордона, является тождество Похожаева, также известная как теорема Деррика.

Пусть g (s) {\ displaystyle g (s)}g(s)непрерывно и с действительным знаком, с g (0) Знак равно 0 {\ displaystyle g (0) = 0}g(0)=0. Обозначим G (s) = ∫ 0 s g (t) d t {\ displaystyle G (s) = \ int _ {0} ^ {s} g (t) \, dt}{\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}. Пусть

u ∈ L loc ∞ (R n), ∇ u ∈ L 2 (R n), G (u (⋅)) ∈ L 1 (R n), n ∈ N, {\ displaystyle u \ in L_ {\ mathrm {loc}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad \ nabla u \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad G (u (\ cdot)) \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad n \ in \ mathbb {N},}{\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N},}

является решением уравнения

- ∇ 2 u = g (u) {\ displaystyle - \ nabla ^ {2} u = g (u)}-\nabla ^{2}u=g(u),

в смысле распределений. Тогда u {\ displaystyle u}uудовлетворяет соотношению

(n - 2) ∫ R n | ∇ u (x) | 2 d Икс знак равно N ∫ R N G (и (х)) d Икс. {\ Displaystyle (п-2) \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u (x) | ^ {2} \, dx = n \ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} G (u (x)) \, dx.}{\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}

В специальной теории относительности

Для отдельной частицы в специальной теории относительности T = 1/2 p· vне так. Вместо этого верно, что T = (γ - 1) mc, где γ - коэффициент Лоренца

γ = 1 1 - v 2 c 2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

и β= v/ c. Имеем,

1 2 p ⋅ v = 1 2 β γ m c ⋅ β c = 1 2 γ β 2 m c 2 = (γ β 2 2 (γ - 1)) T. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ beta} } \ gamma mc \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} c \\ = {\ frac {1} {2}} \ gamma \ beta ^ {2} mc ^ {2} \\ = \ left ({ \ frac {\ gamma \ beta ^ {2}} {2 (\ gamma -1)}} \ right) T \,. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\b eta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}}

Последнее выражение можно упростить до

( 1 + 1 - β 2 2) T или (γ + 1 2 γ) T {\ displaystyle \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} {2}} \ справа) T \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ left ({\ frac {\ gamma +1} {2 \ gamma}} \ right) T}{\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T}.

Таким образом, в условиях, описанных в предыдущих разделах ( включая третий закон движения Ньютона, Fjk= - Fkj, несмотря на относительность), среднее по времени для N частиц со степенным потенциалом составляет

n 2 ⟨VTOT⟩ τ = ⟨∑ k = 1 N (1 + 1 - β k 2 2) T k⟩ τ = ⟨∑ k = 1 N (γ k + 1 2 γ k) T k⟩ τ. {\ displaystyle {\ frac {n} {2}} \ left \ langle V _ {\ mathrm {TOT}} \ right \ rangle _ {\ tau} = \ left \ langle \ sum _ {k = 1} ^ {N } \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {1- \ beta _ {k} ^ {2}}}} {2}} \ right) T_ {k} \ right \ rangle _ {\ tau} = \ left \ langle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ gamma _ {k} +1} {2 \ gamma _ {k}}} \ right) T_ {k} \ right \ rangle _ {\ tau} \,.}{\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.}

В частности, отношение кинетической энергии к потенциальной больше не фиксируется, но обязательно попадает в интервал:

2 ⟨TTOT⟩ n ⟨VTOT⟩ ∈ [1, 2], {\ displaystyle {\ frac {2 \ langle T _ {\ mathrm {TOT}} \ rangle} {n \ langle V _ {\ mathrm {TOT}} \ rangle}} \ in \ left [1, 2 \ right] \,,}\frac{2 \langle T_\mathrm{TOT} \rangle}{n \langle V_\mathrm{TOT} \rangle} \in \left[1, 2\right]\,,

где более релятивистские системы демонстрируют более высокие отношения.

Обобщения

Лорд Рэлей опубликовал обобщение теоремы вириала в 1903 году. Анри Пуанкаре применил форму теоремы вириала в 1911 году к проблеме определения космологической устойчивости. Вариационная форма теоремы вириала была разработана в 1945 году Леду. тензорная форма теоремы вириала была разработана Паркером, Чандрасекаром и Ферми. Следующее обобщение теоремы вириала было установлено Поллардом в 1964 году для случая закона обратных квадратов:

2 lim τ → + ∞ ⟨T⟩ τ = lim τ → + ∞ ⟨U⟩ τ тогда и только тогда, когда lim τ → + ∞ τ - 2 I (τ) = 0. {\ displaystyle 2 \ lim \ limits _ {\ tau \ rightarrow + \ infty} \ langle T \ rangle _ {\ tau} = \ lim \ limits _ {\ tau \ rightarrow + \ infty} \ langle U \ rangle _ { \ tau} \ qquad {\ text {тогда и только тогда, когда}} \ quad \ lim \ limits _ {\ tau \ rightarrow + \ infty} {\ tau} ^ {- 2} I (\ tau) = 0 \,. }{\displaystyle 2\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau)=0\,.}

В противном случае необходимо добавить граничный член.

Включение электромагнитных полей

Теорема вириала может быть расширена, чтобы включить электрические и магнитные поля. Результат:

1 2 d 2 I dt 2 + ∫ V xk ∂ G k ∂ td 3 r = 2 (T + U) + WE + WM - ∫ xk (pik + T ik) d S i, {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} + \ int _ {V} x_ {k} {\ frac {\ partial G_ {k }} {\ partial t}} \, d ^ {3} r = 2 (T + U) + W ^ {\ mathrm {E}} + W ^ {\ mathrm {M}} - \ int x_ {k} (p_ {ik} + T_ {ik}) \, dS_ {i},}{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}

где I - момент инерции, G - плотность импульса электромагнитного поля, T - кинетическая энергия «жидкости», U - случайная «тепловая» энергия частиц, W и W - электрическая и магнитная энергия рассматриваемого объема. Наконец, p ik - тензор давления жидкости, выраженный в локальной подвижной системе координат

pik = Σ n σ m σ ⟨vivk⟩ σ - V i V k Σ m σ n σ, {\ displaystyle p_ {ik} = \ Sigma n ^ {\ sigma} m ^ {\ sigma} \ langle v_ {i} v_ {k} \ rangle ^ {\ sigma} -V_ {i} V_ {k} \ Sigma m ^ {\ sigma} n ^ {\ sigma},}p_{ik} = \Sigma n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma - V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma,

и T ik - тензор электромагнитных напряжений,

T ik = (ε 0 E 2 2 + B 2 2 μ 0) δ ik - (ε 0 E i E k + B i B k μ 0). {\ displaystyle T_ {ik} = \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {0} E ^ {2}} {2}} + {\ frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0}) }} \ right) \ delta _ {ik} - \ left (\ varepsilon _ {0} E_ {i} E_ {k} + {\ frac {B_ {i} B_ {k}} {\ mu _ {0} }} \ right).}T_{ik} = \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right) \delta_{ik} - \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right).

A плазмоид представляет собой конечную конфигурацию магнитных полей и плазмы. С помощью теоремы вириала легко увидеть, что любая такая конфигурация будет расширяться, если не будет сдерживаться внешними силами. В конечной конфигурации без стенок, несущих давление, или магнитных катушек, поверхностный интеграл будет равен нулю. Поскольку все остальные члены в правой части положительны, ускорение момента инерции также будет положительным. Также легко оценить время расширения τ. Если общая масса M ограничена радиусом R, то момент инерции примерно равен MR, а левая часть теоремы вириала равна MR / τ. Слагаемые в правой части дают в сумме примерно pR, где p больше давления плазмы или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и решая для τ, мы находим

τ ∼ R cs, {\ displaystyle \ tau \, \ sim {\ frac {R} {c _ {\ mathrm {s}}}},}{\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}

где c s - скорость ионно-звуковой волны (или альфвеновской волны, если магнитное давление выше, чем давление плазмы). Таким образом, ожидается, что время жизни плазмоида будет порядка акустического (или альфвеновского) времени прохождения.

Релятивистская однородная система

В случае, если в физической системе учитываются поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорения частиц, теорема вириала имеет вид записывается в релятивистской форме следующим образом:

⟨W K⟩ ≈ - 0,6 ∑ k = 1 N ⟨F k ⋅ rk⟩, {\ displaystyle \ left \ langle W_ {k} \ right \ rangle \ приблизительно -0,6 \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ langle \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} \ rangle,}{\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle,}

где значение W k ≈ γ c T превышает кинетическую энергию частиц T в раз, равный коэффициенту Лоренца γ c частиц в центре системы. При нормальных условиях можно считать, что γ c ≈ 1, тогда мы видим, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом 1/2, а коэффициентом close до 0,6. Отличие от классического случая возникает из-за учета поля давления и поля ускорения частиц внутри системы, при этом производная скаляра G не равна нулю и должна рассматриваться как материальная производная.

Анализ интегральной теоремы обобщенного вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы без использования понятия температуры:

vrms = с 1 - 4 π η ρ 0 р 2 с 2 γ с 2 грех 2 ⁡ (rc 4 π η ρ 0), {\ displaystyle v _ {\ mathrm {rms}} = c {\ sqrt {1 - {\ frac { 4 \ pi \ eta \ rho _ {0} r ^ {2}} {c ^ {2} \ gamma _ {c} ^ {2} \ sin ^ {2} {\ left ({\ frac {r} { c}} {\ sqrt {4 \ pi \ eta \ rho _ {0}}} \ right)}}}}},}{\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}}},}

где c {\ displaystyle ~ c}{\displaystyle ~c}- скорость света, η {\ displaystyle ~ \ eta}{\displaystyle ~\eta }- постоянная поля ускорения, ρ 0 {\ displaystyle ~ \ rho _ {0}}{\displaystyle ~\rho _{0}}- массовая плотность частиц, r {\ displaystyle ~ r}{\displaystyle ~r}- текущий радиус.

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом:

E kf + 2 W f = 0, {\ displaystyle ~ E_ {kf} + 2W_ {f} = 0,}{\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}

где энергия E kf = ∫ A α j α - gdx 1 dx 2 dx 3 {\ displaystyle ~ E_ {kf} = \ int {A _ {\ alpha} j ^ {\ alpha } {\ sqrt {-g}} dx ^ {1} dx ^ {2} dx ^ {3}}}{\displaystyle ~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}}рассматривается как энергия кинетического поля, связанная с четырехтоковым j α {\ displaystyle ~ j ^ {\ alpha}}{\displaystyle ~j^{\alpha }}и

W f = 1 4 μ 0 ∫ F α β F α β - gdx 1 dx 2 dx 3 {\ displaystyle ~ W_ {f} = {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ int {F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} {\ sqrt {-g}} dx ^ {1} dx ^ { 2} dx ^ {3}}}{\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}}

задает энергию потенциального поля, найденную через компоненты электромагнитного тензора.

В астрофизике

Теорема вириала часто применяется в астрофизике, особенно связывая гравитационную потенциальную энергию системы с ее кинетической или тепловая энергия. Некоторые общие вириальные отношения:

3 5 GMR = 3 2 k BT mp = 1 2 v 2 {\ displaystyle {\ frac {3} {5}} {\ frac {GM} {R}} = {\ frac { 3} {2}} {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {m _ {\ mathrm {p}}}} = {\ frac {1} {2}} v ^ {2}}{\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}

для массы M, радиуса R, скорости v и температуры T. Константы: постоянная Ньютона G, постоянная Больцмана kBи масса протона m p. Обратите внимание, что эти соотношения являются приблизительными, и часто ведущие числовые факторы (например, 3/5 или 1/2) полностью игнорируются.

Галактики и космология (вириальная масса и радиус)

В астрономии масса и размер галактики (или общая избыточная плотность) часто определяются в терминах " вириальная масса "и" вириальный радиус "соответственно. Поскольку галактики и сверхплотность в сплошных жидкостях могут быть сильно расширены (даже до бесконечности в некоторых моделях, таких как изотермическая сфера ), может быть трудно определить конкретные, конечные меры их массы и размера. Теорема вириала и связанные с ней концепции часто предоставляют удобные средства для количественной оценки этих свойств.

В динамике галактик масса галактики часто определяется путем измерения скорости вращения ее газа и звезд, предполагая круговые кеплеровские орбиты. Используя теорему вириала, аналогичным образом можно использовать скорость дисперсии σ. Принимая кинетическую энергию (на частицу) системы как T = 1 / 2v ~ 3 / 2σ, а потенциальную энергию (на частицу) как U ~ 3/5 GM / R, мы можем записать

G M R ≈ σ 2. {\ displaystyle {\ frac {GM} {R}} \ приблизительно \ sigma ^ {2}.} \frac{GM}{R} \approx \sigma^2.

Здесь R {\ displaystyle R}R- радиус, при котором дисперсия скорости измеряется, а M - масса в пределах этого радиуса. Вириальная масса и радиус обычно определяются для радиуса, при котором дисперсия скоростей максимальна, то есть

G M vir R vir ≈ σ max 2. {\ displaystyle {\ frac {GM _ {\ text {vir}}} {R _ {\ text {vir}}}} \ приблизительно \ sigma _ {\ max} ^ {2}.} \frac{GM_\text{vir}}{R_\text{vir}} \approx \sigma_\max^2.

Как много приближений было В дополнение к приблизительному характеру этих определений, константы пропорциональности порядка единицы часто опускаются (как в приведенных выше уравнениях). Таким образом, эти соотношения точны только в порядке или при использовании самосогласованно.

Альтернативное определение вириальной массы и радиуса часто используется в космологии, где оно используется для обозначения радиуса сферы с центром в галактике или скоплении галактик., внутри которого сохраняется вириальное равновесие. Поскольку этот радиус трудно определить наблюдательно, он часто аппроксимируется как радиус, в пределах которого средняя плотность больше, в заданный раз, чем критическая плотность

ρ крит = 3 H 2 8 π G {\ displaystyle \ rho _ {\ text {crit}} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}}}\rho_\text{crit}=\frac{3H^2}{8\pi G}

где H - параметр Хаббла, а G - гравитационная постоянная. Обычный выбор для фактора - 200, что примерно соответствует типичной избыточной плотности при сферическом коллапсе цилиндрической формы (см. вириальная масса ), и в этом случае вириальный радиус приблизительно равен

r vir ≈ r 200 = r, ρ = 200 ⋅ ρ крит. {\ displaystyle r _ {\ text {vir}} \ приблизительно r_ {200} = r, \ qquad \ rho = 200 \ cdot \ rho _ {\ text {crit}}.}{\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}

Затем вириальная масса определяется относительной к этому радиусу как

M vir ≈ M 200 = 4 3 π r 200 3 ⋅ 200 ρ крит. {\ displaystyle M _ {\ text {vir}} \ приблизительно M_ {200} = {\ frac {4} {3}} \ pi r_ {200} ^ {3} \ cdot 200 \ rho _ {\ text {crit} }.}{\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}

В звездах

Теорема вириала применима к ядрам звезд, устанавливая связь между гравитационной потенциальной энергией и тепловой кинетической энергией (т.е. температурой). Поскольку звезды на главной последовательности преобразуют водород в гелий в своих ядрах, средняя молекулярная масса ядра увеличивается, и оно должно сжиматься, чтобы поддерживать давление, достаточное для поддержания собственного веса. Это сжатие уменьшает его потенциальную энергию и, согласно теореме вириала, увеличивает его тепловую энергию. Температура ядра увеличивается даже при потере энергии, что фактически дает отрицательную удельную теплоемкость. Это продолжается и за пределами основной последовательности, если только ядро ​​не становится вырожденным, поскольку это приводит к тому, что давление перестает зависеть от температуры, и вириальное отношение с n, равным -1, больше не выполняется.>Вириальное напряжение

  • Вириальная масса
  • Тензор Чандрасекара
  • Вириальные уравнения Чандрасекара
  • Теорема Деррика
  • Теорема о равнораспределении
  • Теорема Эренфеста
  • Тождество Похожаева

    • Ссылки

    Далее чтение

    External links

    Последняя правка сделана 2021-06-18 03:32:19
    Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
    Обратная связь: support@alphapedia.ru
    Соглашение
    О проекте