Войти
In физика, проблема n-тел - это проблема предсказания отдельных движений группы небесных объектов, взаимодействующих друг с другом гравитационно. Решение этой проблемы было мотивировано желанием понять движения Солнца, Луны, планет и видимых звезд. В 20 веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений стало важной проблемой n тел. Задачу n тел в общей теории относительности решить значительно труднее.
Классическая физическая проблема может быть неформально сформулирована следующим образом:
Учитывая квазистационарные орбитальные свойства (мгновенное положение, скорость и время) группы небесных тел, предсказать их взаимодействующие силы; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все времена в будущем.
проблема двух тел была полностью решена и обсуждается ниже, так же как и знаменитая ограниченная проблема трех тел.
Знание трех орбитальных положений орбиты планеты - положения, полученные сэром Исааком Ньютоном от астронома Джона Флемстида - Ньютон смог составить уравнение b y простая аналитическая геометрия для предсказания движения планеты; то есть, чтобы задать его орбитальные свойства: положение, диаметр орбиты, период и орбитальную скорость. Сделав это, он и другие вскоре обнаружили в течение нескольких лет, что эти уравнения движения не предсказывали некоторые орбиты правильно или даже очень хорошо. Ньютон понял, что это произошло потому, что силы гравитационного взаимодействия между всеми планетами воздействовали на все их орбиты.
Вышеупомянутое открытие касается самой сути вопроса о том, что именно представляет собой физическая проблема n тел: как понял Ньютон, недостаточно просто указать начальное положение и скорость или три орбитальные положения. либо для определения истинной орбиты планеты: необходимо также знать силы гравитационного взаимодействия. Так в начале 17 века пришло осознание и возникновение «проблемы» n-тел. Эти силы гравитационного притяжения действительно соответствуют законам движения Ньютона и его закону всемирного тяготения, но множество множественных (n-теловых) взаимодействий исторически делали любое точное решение неразрешимым. Как ни странно, это соответствие привело к неправильному подходу.
После времен Ньютона проблема n-тел исторически не была сформулирована правильно, потому что она не включала ссылки на эти гравитационные взаимодействующие силы. Ньютон не говорит об этом прямо, но подразумевает в своих Principia, что проблема n тел неразрешима из-за этих сил гравитационного взаимодействия. Ньютон сказал в своих «Началах», абзац 21:
Таким образом, сила притяжения присутствует в обоих телах. Солнце притягивает Юпитер и другие планеты, Юпитер притягивает свои спутники, и аналогично спутники действуют друг на друга. И хотя действия каждой из пары планет на другой можно отличить друг от друга и можно рассматривать как два действия, с помощью которых каждая из них притягивает друг друга, тем не менее, поскольку они находятся между одними и теми же двумя телами, они не два, а простая операция между двумя терминалами. Два тела можно притянуть друг к другу, натянув веревку между ними. Причина иска двоякая, а именно расположение каждого из двух тел; действие также двоякое, поскольку оно действует на два тела; но поскольку он находится между двумя телами, оно одно и одно...
Ньютон заключил через свой третий закон движения, что «согласно этому Закону все тела должны притягиваться друг к другу». Последнее утверждение, которое подразумевает существование взаимодействующих сил гравитации, является ключевым.
Как показано ниже, проблема также соответствует неньютоновским первому и второму принципам Жана Ле Ронда Д'Аламбера и алгоритму нелинейной задачи n тел, последний допускает решение в закрытой форме для расчета этих взаимодействующих сил.
Проблема поиска общего решения проблемы n тел считалась очень важной и сложной. Действительно, в конце 19 века король Швеции Оскар II по совету Гёста Миттаг-Леффлера учредил приз для всех, кто сможет найти решение проблемы. Объявление было довольно конкретным:
Учитывая систему произвольно большого количества массовых точек, каждая из которых притягивается в соответствии с законом Ньютона, в предположении, что никакие две точки никогда не сталкиваются, попробуйте найти представление координат каждой точки в виде ряда в переменная, которая является некоторой известной функцией времени и для всех значений которой ряд сходится равномерно .
В случае, если проблема не может быть решена, любой другой важный вклад в классическую механику будет считаться достойным награды. Приз был присужден Пуанкаре, хотя он не решил исходную задачу. (Первая версия его вклада даже содержала серьезную ошибку). Наконец, напечатанная версия содержала много важных идей, которые привели к развитию теории хаоса. Первоначально поставленная задача была окончательно решена Карлом Фритиофом Сундманом для n = 3.
Задача n тел рассматривает n точечных масс m i, i = 1, 2,…, n в инерциальной системе отсчета в трехмерном пространстве ℝ движущемся под действием взаимного гравитационного притяжения. Каждая масса m i имеет вектор положения qi. . Второй закон Ньютона гласит, что масса, умноженная на ускорение m idqi/ dt, равна сумме сил, действующих на массу. Закон тяготения Ньютона гласит, что гравитационная сила, ощущаемая на массу m i одной массой m j, определяется как
где G - гравитационная постоянная и || qj− qi| | - величина расстояния между метрикой qiи qj(, вызванная нормой l2 ).
Суммирование по всем массам дает уравнения движения с n телами :
где U - собственная потенциальная энергия
Определение импульса как pi= m idqi/ dt, уравнения Гамильтона движения для задачи n тел становится
где функция Гамильтона равна
и T - кинетическая энергия
Уравнения Гамильтона показывают, что задача n тел представляет собой систему из 6n дифференциальных уравнений первого порядка с 6n начальными условиями как 3n координатами начального положения и 3n начальным импульсом ценности.
Симметрии в задаче n тел дают глобальные интегралы движения, которые упрощают задачу. Трансляционная симметрия задачи приводит к центру масс
движется с постоянной скоростью, так что C= L0t + C0, где L0- линейная скорость, а C0- начальное положение. Константы движения L0и C0представляют шесть интегралов движения. Вращательная симметрия приводит к тому, что общий угловой момент остается постоянным
, где × - перекрестное произведение. Три составляющие полного углового момента A дают еще три постоянные движения. Последняя общая постоянная движения задается законом сохранения энергии H. Следовательно, каждая задача с n телами имеет десять интегралов движения.
Поскольку T и U являются однородными функциями степени 2 и -1 соответственно, уравнения движения имеют масштабирующую инвариантность : if qi(t) является решением, то таким же будет λ qi(λt) для любого λ>0.
Момент инерции системы из n тел определяется как
а вириал равен Q = 1/2 dI / dt. Тогда формула Лагранжа – Якоби утверждает, что
Для систем, находящихся в динамическом равновесии, долгосрочное среднее значение ⟨dI / dt⟩ равно нулю. Тогда в среднем полная кинетическая энергия составляет половину полной потенциальной энергии, ⟨T⟩ = 1 / 2⟨U⟩, что является примером теоремы вириала для гравитационных систем. Если M - общая масса, а R - характерный размер системы (например, радиус, содержащий половину массы системы), то критическое время для установления системой динамического равновесия составляет
Любое обсуждение планетарных взаимодействующих сил всегда начиналось с проблемы двух тел. Цель этого раздела - показать реальную сложность вычисления любых планетарных сил. Обратите внимание на некоторые темы в этом разделе, такие как гравитация, барицентр, законы Кеплера и т. Д.; и в следующем разделе (Задача трех тел ) обсуждаются на других страницах Википедии. Однако здесь эти темы обсуждаются с точки зрения проблемы n тел.
Задача двух тел (n = 2) была полностью решена Иоганном Бернулли (1667–1748) с помощью классической теории (а не Ньютона), предполагая, что основная точечная масса была исправлено, описано здесь. Рассмотрим затем движение двух тел, скажем Солнца и Земли, при фиксированном Солнце, тогда:
Уравнение, описывающее движение массы m 2 относительно массы m 1 легко получается из различий между этими двумя уравнениями и после исключения общих терминов дает: α + η / r r = 0, где
Уравнение α + η / r r = 0 является основным дифференциальным уравнением для задачи двух тел, которую Бернулли решил в 1734 году. Сначала необходимо определить все силы, а затем решить уравнение движения. Это дифференциальное уравнение имеет эллиптические, параболические или гиперболические решения.
Неверно думать о m 1 (Солнце) как о фиксированном в пространстве при применении закона всемирного тяготения Ньютона и это приводит к ошибочным результатам. Фиксированной точкой для двух изолированных гравитационно взаимодействующих тел является их общий барицентр, и эту задачу двух тел можно точно решить, например, используя координаты Якоби относительно барицентр.
Доктор. Кларенс Клеминшоу вычислил приблизительное положение барицентра Солнечной системы, результат, достигнутый в основном за счет объединения только масс Юпитера и Солнца. Научная программа заявила со ссылкой на его работу:
Солнце содержит 98 процентов массы Солнечной системы, причем большая часть остального приходится на высшие планеты за пределами Марса. В среднем, центр масс системы Солнце – Юпитер, если рассматривать только два самых массивных объекта, находится в 462 000 миль от центра Солнца, или примерно на 30 000 миль над поверхностью Солнца! Однако другие большие планеты также влияют на центр масс Солнечной системы. В 1951 году, например, центр масс системы находился недалеко от центра Солнца, потому что Юпитер находился на противоположной стороне от Сатурна, Урана и Нептуна. В конце 1950-х годов, когда все четыре планеты находились на одной стороне от Солнца, центр масс системы находился на расстоянии более 330 000 миль от поверхности Солнца, подсчитал д-р Ч. К. Клеминшоу из обсерватории Гриффита в Лос-Анджелесе.
Реальное движение в сравнении с видимым движением Кеплера Солнце качается, вращаясь вокруг центра Галактики, увлекая за собой Солнечную систему и Землю. То, что математик Кеплер сделал, придя к своим трем знаменитым уравнениям, - это аппроксимация кривой видимых движений планет с использованием данных Тихо Браге, а не кривой их истинных круговых движений вокруг Солнце (см. рисунок). И Роберт Гук, и Ньютон хорошо знали, что Закон всемирного тяготения Ньютона не действовал для сил, связанных с эллиптическими орбитами. Фактически, Универсальный закон Ньютона не учитывает орбиту Меркурия, гравитационное поведение пояса астероидов или кольца Сатурна. Ньютон заявил (в разделе 11 Принципов), что главная причина, по которой, однако, не удалось предсказать силы для эллиптических орбит, заключалась в том, что его математическая модель была для тела, ограниченного ситуацией, которая вряд ли существовала в реальном мире, а именно: движения тел, привлеченных к неподвижному центру. Некоторые нынешние учебники физики и астрономии не подчеркивают отрицательное значение предположения Ньютона и в конечном итоге учат, что его математическая модель на самом деле реальна. Следует понимать, что решение классической задачи двух тел, приведенное выше, является математической идеализацией. См. Также Первый закон движения планет Кеплера.
В этом разделе описывается исторически важное решение проблемы n тел после того, как были сделаны упрощающие предположения.
В прошлом было мало что известно о задаче n тел для n ≥ 3. Случай n = 3 был наиболее изученным. Многие предыдущие попытки понять проблему трех тел были количественными, направленными на поиск явных решений для особых ситуаций.
Движение трех частиц под действием силы тяжести, демонстрирующее хаотическое поведение Решение Моултона может быть проще для визуализации ( и определенно легче решить), если рассматривать более массивное тело (такое как Солнце ) как неподвижное в космосе, а менее массивное тело (например, Юпитер ) вращающееся вокруг это, с точками равновесия (точки Лагранжа ), поддерживающими расстояние 60 ° впереди и позади менее массивного тела почти на своей орбите (хотя на самом деле ни одно из тел не является по-настоящему неподвижным, поскольку оба они вращается вокруг центра масс всей системы - вокруг центра масс). Для достаточно малого отношения масс первичных звезд эти треугольные точки равновесия устойчивы, так что (почти) безмассовые частицы будут вращаться вокруг этих точек, когда они вращаются вокруг более крупной первичной звезды (Солнца). Пять точек равновесия круговой задачи известны как точки Лагранжа. См. Рисунок ниже:
Ограниченная задача трех тел На приведенном выше рисунке математической модели ограниченной задачи трех тел (по Моултону) точки Лагранжа L 4 и L 5 - это место, где обитали троянские планетоиды (см. точка Лагранжа ); m 1 - Солнце, m 2 - Юпитер. L 2 - точка в поясе астероидов. Это должно быть реализовано для этой модели, вся диаграмма Солнце-Юпитер вращается вокруг своего барицентра. Ограниченное решение задачи трех тел предсказало троянские планетоиды до того, как они были впервые обнаружены. Н-кружки и замкнутые контуры отражают электромагнитные потоки, исходящие от Солнца и Юпитера. Предполагается, что вопреки гипотезе Ричарда Х. Батина (см. Ссылки), два h 1 являются гравитационными стоками, в которых и где гравитационные силы равны нулю, и причиной того, что троянские планетоиды застревают там. Общая масса планетоидов неизвестна.
Ограниченная задача трех тел, которая предполагает массу одного из тел, пренебрежимо мала. Для обсуждения случая, когда незначительное тело является спутником тела меньшей массы, см. Сфера Хилла ; для двоичных систем см. полость Роша. Конкретные решения задачи трех тел приводят к хаотическому движению без очевидных признаков повторяющегося пути.
Ограниченная задача (как круговая, так и эллиптическая) активно разрабатывалась многими известными математиками и физики, в первую очередь Пуанкаре в конце XIX века. Работа Пуанкаре над ограниченной проблемой трех тел стала основой детерминированной теории хаоса. В ограниченной задаче существует пять точек равновесия. Три коллинеарны массам (во вращающейся рамке) и неустойчивы. Остальные два расположены в третьей вершине обоих равносторонних треугольников, первой и второй вершинами которых являются два тела.
Вдохновленная круговой ограниченной задачей трех тел, задачу четырех тел можно значительно упростить, если учесть, что меньшее тело имеет небольшую массу по сравнению с другими тремя массивные тела, которые, в свою очередь, аппроксимируются для описания круговых орбит. Это известно как бициркулярная ограниченная проблема четырех тел (также известная как бициркулярная модель), и ее можно проследить до 1960 года в отчете НАСА, написанном Су-Шу Хуангом. Эта формулировка очень актуальна в астродинамике, в основном для моделирования траекторий космических аппаратов в системе Земля-Луна с добавлением гравитационного притяжения Солнца. Прежняя формулировка двукруглой ограниченной задачи четырех тел может быть проблематичной при моделировании других систем, кроме Земли-Луны-Солнца, поэтому Негри и Прадо обобщили эту формулировку для расширения области применения и повышения точности без потери простоты.
Планетарная проблема - это проблема n тел в случае, когда одна из масс намного больше, чем все остальные. Типичным примером планетарной проблемы является система Солнце - Юпитер - Сатурн, где масса Солнца примерно в 100 раз больше масс Юпитера или Сатурна. Приближенное решение проблемы состоит в том, чтобы разложить ее на n - 1 пару звезд-планет задач Кеплера, рассматривая взаимодействия между планетами как возмущения. Пертурбативное приближение работает хорошо, пока в системе нет орбитальных резонансов, то есть ни одно из отношений невозмущенных кеплеровских частот не является рациональным числом. Резонансы появляются в расширении как малые знаменатели.
Существование резонансов и малых знаменателей привело к важному вопросу стабильности в планетарной проблеме: остаются ли планеты на почти круговых орбитах вокруг звезды на стабильных или ограниченных орбитах с течением времени? В 1963 году Владимир Арнольд доказал с помощью теории КАМ своего рода устойчивость планетарной задачи: существует набор положительной меры квазипериодических орбит в случае планетарная проблема ограничивается самолетом. В теории КАМ хаотические планетные орбиты были бы ограничены квазипериодическими КАМ-торами. Результат Арнольда был расширен до более общей теоремы Фейосом и Херманом в 2004 году.
A центральная конфигурация q1(0),…, qN(0) - это начальная конфигурация, такая что если бы все частицы были выпущены с нулевой скоростью, они все схлопнулись бы к центру масс C . Такое движение называется гомотетическим. Центральные конфигурации могут также вызывать гомографические движения, в которых все массы движутся по кеплеровским траекториям (эллиптическим, круговым, параболическим или гиперболическим), причем все траектории имеют одинаковый эксцентриситет e. Для эллиптических траекторий e = 1 соответствует гомотетическому движению, а e = 0 дает относительное равновесное движение, при котором конфигурация остается изометрией начальной конфигурации, как если бы конфигурация была твердым телом. Центральные конфигурации сыграли важную роль в понимании топологии инвариантных многообразий, созданных путем фиксации первых интегралов системы.
Решения, в которых все массы движутся по одной кривой без столкновений, называются хореографиями. Хореография для n = 3 была открыта Лагранжем в 1772 году, в которой три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника во вращающейся системе координат. Хореография восьмерки для n = 3 была численно найдена К. Муром в 1993 году и обобщена и доказана А. Ченсинером и Р. Монтгомери в 2000 году. С тех пор было найдено множество других хореографий для n ≥ 3.
Для каждого решения проблемы применяется не только изометрия или временной сдвиг, но также обращение времени (в отличие от трения) тоже дает решение.
В физической литературе, посвященной задаче n тел (n ≥ 3), иногда упоминается невозможность решения задачи n тел (с использованием вышеуказанного подхода). Однако следует проявлять осторожность при обсуждении «невозможности» решения, поскольку это относится только к методу первых интегралов (сравните теоремы Абеля и Галуа о невозможности решение алгебраических уравнений пятой степени или выше с помощью формул, содержащих только корни).
Одним из способов решения классической задачи n тел является "задача n тел ряда Тейлора ".
Начнем с определения системы дифференциальных уравнений :
Как xi(t0) и d xi(t0) / dt заданы как начальные условия, каждое d xi(t) / dt известно. Дифференцирование d xi(t) / dt приводит к d xi(t) / dt, которое при t 0 также известно, и ряд Тейлора строится итеративно.
Чтобы обобщить результат Сундмана для случая n>3 (или n = 3 и c = 0), необходимо столкнуться с двумя препятствиями:
Наконец, результат Сундмана был обобщен на случай n>3 тел Цюдун Ван в 1990-х годах. Поскольку структура сингулярностей более сложна, Вану пришлось полностью исключить вопросы сингулярностей. Суть его подхода состоит в том, чтобы соответствующим образом преобразовать уравнения в новую систему, такую, что интервал существования решения s этой новой системы равно [0, ∞).
Возможны два типа особенностей задачи n тел:
Последние называются гипотезой Пенлеве (сингулярности отсутствия столкновений). Их существование для n>3 было предположено Пенлеве (см. гипотезу Пенлеве ). Примеры такого поведения для n = 5 были построены Ся, а эвристическая модель для n = 4 - Гервером. Дональд Г. Саари показал, что для 4 или менее тел набор исходных данных, дающих начало к сингулярностям имеет мера ноль.
Хотя существуют аналитические решения, доступные для классической (т. е. нерелятивистской) задачи двух тел и для выбранных конфигураций с n>2, как правило, задачи n тел должны решаться или моделироваться с использованием численных методов.
Для небольшого количества тел задача n тел может быть решена с помощью direct методы, также называемые методами частиц-частиц . Эти методы численно интегрируют дифференциальные уравнения движения. Численное интегрирование для этой задачи может быть проблемой по нескольким причинам. Во-первых, гравитационный потенциал сингулярен; он уходит в бесконечность, когда расстояние между двумя частицами стремится к нулю. Гравитационный потенциал можно смягчить, чтобы удалить сингулярность на малых расстояниях:
Во-вторых, в целом для n>2 задача n тел хаотична, Это означает, что даже небольшие ошибки интегрирования могут экспоненциально расти со временем. В-третьих, моделирование может занимать большие отрезки модельного времени (например, миллионы лет), и численные ошибки накапливаются по мере увеличения времени интегрирования.
Существует ряд методов уменьшения ошибок при численном интегрировании. Локальные системы координат используются для решения некоторых задач с сильно различающимися масштабами, например система координат Земля-Луна в контексте моделирования солнечной системы. Вариационные методы и теория возмущений могут дать приближенные аналитические траектории, для которых численное интегрирование может быть поправкой. Использование симплектического интегратора гарантирует, что моделирование подчиняется уравнениям Гамильтона с высокой степенью точности и, в частности, сохраняется энергия.
Прямые методы, использующие численное интегрирование, требуют порядка 1 / 2n вычислений для оценки потенциальной энергии по всем парам частиц и, таким образом, имеют временную сложность из O (n). Для моделирования с большим количеством частиц фактор O (n) делает крупномасштабные вычисления особенно затратными по времени.
Был разработан ряд приближенных методов, которые уменьшают временную сложность по сравнению с прямыми методами:
В астрофизических системах с сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонта событий при моделировании черной дыры, n-тел необходимо учитывать общую теорию относительности ; такое моделирование является областью численной теории относительности. Численное моделирование уравнений поля Эйнштейна является чрезвычайно сложной задачей, и используется параметризованный постньютоновский формализм (PPN), такой как уравнения Эйнштейна – Инфельда – Гофмана. если возможно. проблема двух тел в общей теории относительности аналитически разрешима только для задачи Кеплера, в которой одна масса предполагается намного больше другой.
Большая часть работы, проделанной над проблемой n тел, была связана с проблемой гравитации. Но существуют и другие системы, для которых математика n тел и методы моделирования оказались полезными.
В крупномасштабных задачах электростатики, таких как моделирование белков и клеточных сборок в структурной биологии, кулоновский потенциал имеет ту же форму, что и гравитационный потенциал, за исключением того, что заряды могут быть положительными или отрицательными, что приводит как к силам отталкивания, так и к силам притяжения. Быстрые кулоновские решатели являются электростатическим аналогом симуляторов быстрого многополюсного метода. Они часто используются с периодическими граничными условиями в моделируемой области, а методы суммирования Эвальда используются для ускорения вычислений.
В статистике и машинное обучение, некоторые модели имеют функции потерь формы, аналогичной форме гравитационного потенциала: сумма функций ядра по всем парам объектов, где функция ядра зависит от расстояния между объектами в пространстве параметров. Примеры задач, которые вписываются в эту форму, включают все-ближайшие-соседи в изучение многообразия, оценка плотности ядра и ядерные машины. Были разработаны альтернативные оптимизации для уменьшения временной сложности O (n) до O (n), такие как алгоритмы двойного дерева, которые также применимы к гравитационной проблеме n тел.
