Гравитационный потенциал

(Перенаправлен из Gravity well ) "Гравитационный потенциал" перенаправляется сюда. Для гравитационного потенциала Земли см. Геопотенциал. График двумерного среза гравитационного потенциала внутри и вокруг однородного сферического тела. В точках перегиба поперечного сечения находятся на поверхности тела.

В классической механике, то гравитационный потенциал в месте равен работе ( энергия переносится) на единицу массы, которая была бы необходимо, чтобы переместить объект в это место от неподвижного опорного местоположения. Это аналогично к электрическому потенциалу с массами играют роль заряда. Исходное местоположение, где потенциал равен нулю, по соглашению бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.

В математике гравитационный потенциал также известен как ньютоновский потенциал и является фундаментальным в изучении теории потенциала. Его также можно использовать для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых однородно заряженными или поляризованными эллипсоидальными телами.

• 1 Потенциальная энергия
• 2 Математическая форма
• 3 Сферическая симметрия
• 4 Общая теория относительности
• 5 Многополюсное расширение
• 6 Числовые значения
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 ссылки

Основная статья: Гравитационная потенциальная энергия

Гравитационный потенциал ( V) в определенном месте - это потенциальная энергия гравитации ( U) в этом месте на единицу массы:

${\ displaystyle V = {\ frac {U} {m}},}$

где m - масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем, перемещающим тело из бесконечности в его заданное положение в пространстве. Если тело имеет массу 1 килограмм, то потенциальная энергия, которая должна быть присвоена этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательную величину работы, совершаемой гравитационным полем, перемещающим единицу массы из бесконечности.

В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, если предположить, что поле почти не зависит от положения. Так, например, в области, близкой к поверхности Земли, ускорение силы тяжести, г, можно считать постоянным. В этом случае разница в потенциальной энергии от одной высоты к другой в хорошем приближении линейно связана с разницей в высоте:

${\ Displaystyle \ Delta U \ прибл. мг \ Delta ч.}$

Гравитационный потенциал V на расстояние х от точечной массы массы M может быть определен как работа Вт, что должно быть сделано с помощью внешнего агента, чтобы довести единицы массы из бесконечности к этой точке:

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = {\ frac {W} {m}} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} \ mathbf {F } \ cdot d \ mathbf {x} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} {\ frac {GmM} {x ^ {2}}} dx = - {\ frac {GM} {x}},}$

где G - гравитационная постоянная, а F - гравитационная сила. Произведение GM является стандартным гравитационным параметром и часто известно с более высокой точностью, чем G или M по отдельности. У потенциала есть единицы энергии на массу, например, Дж / кг в системе MKS. По соглашению, он всегда отрицателен там, где он определен, и, поскольку x стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

Гравитационное поле, и, следовательно, ускорение малого тела в пространстве вокруг массивного объекта, является отрицательным градиентом гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательное значение отрицательного градиента дает положительное ускорение к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых составляющих, его градиент равен

${\ displaystyle \ mathbf {a} = - {\ frac {GM} {x ^ {3}}} \ mathbf {x} = - {\ frac {GM} {x ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {x}}},}$

где x - вектор длины x, направленный от точечной массы к малому телу, и единичный вектор, направленный от точечной массы к малому телу. Следовательно, величина ускорения подчиняется закону обратных квадратов : ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}$

${\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ frac {GM} {x ^ {2}}}.}$

Потенциал, связанный с распределением масс, представляет собой суперпозицию потенциалов точечных масс. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x 1,..., x n и имеют массы m 1,..., m n, то потенциал распределения в точке х является

${\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} - {\ frac {Gm_ {i}} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x_ {i}} |}}.}$

Точки x и r, где r содержится в распределенной массе (серый цвет), а дифференциальная масса dm ( r) находится в точке r.

Если распределение масс задано как мера массы dm в трехмерном евклидовом пространстве R ³, то потенциал представляет собой свертку −G / | г | с дм. В хороших случаях это равен интегралу

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {r} |}} \, dm (\ mathbf {r}),}$

где | х  -  г | - расстояние между точками x и r. Если существует функция ρ ( r), представляющая плотность распределения в точке r, так что dm ( r) = ρ ( r) dv ( r), где dv ( r) - элемент евклидова объема, то гравитационный потенциал равен интегральный объем

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {r} |}} \, \ rho (\ mathbf {r}) dv (\ mathbf {r}).}$

Если V - потенциальная функция, возникающая из непрерывного распределения масс ρ ( r), то ρ можно восстановить с помощью оператора Лапласа Δ:

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi G}} \ Delta V (\ mathbf {x}).}$

Это поточечно, если ρ непрерывно и равно нулю вне ограниченного множества. Вообще говоря, мера массы dm может быть восстановлена ​​таким же образом, если оператор Лапласа взят в смысле распределений. Как следствие, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. См. Также функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными и ньютоновского потенциала.

Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. К ним относятся сфера, в которой три полуоси равны; сплюснутый (см. справочный эллипсоид ) и вытянутый сфероид, где две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндр), и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме постоянной G, где 𝜌 - постоянная плотность заряда) к электромагнетизму.

Сферически-симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя полностью вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре и, таким образом, эффективно как точечная масса, согласно теореме о оболочке. На поверхности земли ускорение задается так называемой стандартной силой тяжести g, приблизительно 9,8 м / с ², хотя это значение незначительно меняется в зависимости от широты и высоты: величина ускорения немного больше на полюсах, чем на экватор, потому что Земля представляет собой сплюснутый сфероид.

В сферически-симметричном распределении массы можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах. Внутри однородного сферического тела радиуса R, плотности ρ и массы m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, давая гравитационный потенциал внутри сферы, который равен

${\ Displaystyle V (r) = {\ frac {2} {3}} \ pi G \ rho [r ^ {2} -3R ^ {2}] = {\ frac {Gm} {2R ^ {3}} } [г ^ {2} -3R ^ {2}], \ qquad r \ leq R,}$

который дифференцируемо соединяется с потенциальной функцией за пределами сферы (см. рисунок вверху).

См. Также: Ускорение свободного падения § Общая теория относительности и Гравитационное поле § Общая теория относительности

В общей теории относительности гравитационный потенциал заменен метрическим тензором. Когда гравитационное поле слабое, а источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, а метрический тензор может быть расширен с точки зрения гравитационного потенциала.

Основные статьи: сферические мультипольные моменты и мультипольное расширение

Потенциал в точке x определяется выражением

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {r} |}} \ dm (\ mathbf {r}).}$

Иллюстрация распределения масс (серый цвет) с центром масс как источником векторов x и r и точкой, в которой вычисляется потенциал, в хвосте вектора x.

Потенциал можно разложить до ряда полиномов Лежандра. Представьте точки x и r как векторы положения относительно центра масс. Знаменатель в интеграле выражается как квадратный корень из квадрата, что дает

${\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {x}) amp; = - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {G} {\ sqrt {| \ mathbf {x} | ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {r} + | \ mathbf {r} | ^ {2}}}} \, dm (\ mathbf {r}) \\ {} amp; = - {\ frac {1} {| \ mathbf {x} |}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} G \, \ left / \, {\ sqrt {1-2 {\ frac { r} {| \ mathbf {x} |}} \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2}}} \ right. \, дм (\ mathbf {r}) \ конец {выровнено}}}$

где в последнем интеграле r = | г | и θ - угол между x и r.

(См. «Математическую форму».) Подынтегральное выражение может быть разложено в ряд Тейлора по Z  =  r / | x |, явным вычислением коэффициентов. Менее трудоемкий способ добиться того же результата - использовать обобщенную биномиальную теорему. Полученный ряд является производящей функцией полиномов Лежандра:

${\ displaystyle \ left (1-2XZ + Z ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Z ^ { n} P_ {n} (X)}$

действительно для | X | ≤ 1 и | Z | lt;1. Коэффициенты P n - многочлены Лежандра степени n. Следовательно, коэффициенты Тейлора подынтегрального выражения задаются полиномами Лежандра от X  = cos θ. Таким образом, потенциал можно разложить в ряд, сходящийся для позиций x таких, что r  lt;| х | для всех массовых элементов системы (т. е. вне сферы с центром в центре масс, которая окружает систему):

${\ Displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {x}) amp; = - {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {n} P_ {n} (\ cos \ theta) \, dm (\ mathbf {r}) \\ { } amp; = - {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ left (1+ \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2} {\ frac {3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {2}} + \ cdots \ right) \, dm (\ mathbf {r}) \ конец {выровнено}}}$

Интеграл - это составляющая центра масс в направлении x ; это исчезает, потому что вектор x исходит из центра масс. Итак, занесение интеграла под знаком суммы дает ${\ displaystyle \ int r \ cos \ theta dm}$

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - {\ frac {GM} {| \ mathbf {x} |}} - {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2} {\ frac {3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {2}} dm (\ mathbf {r }) + \ cdots}$

Это показывает, что удлинение тела вызывает более низкий потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом из-за сферической массы, если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до поверхности, все будет наоборот.)

Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест относительно гравитации от Земли, Солнца и Млечного Пути приведено в следующей таблице; то есть объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж / кг, чтобы "покинуть" гравитационное поле Земли, еще 900 МДж / кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца, и более 130 ГДж / кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата скорости убегания.

Расположение	Wrt Earth	Wrt Sun	Wrt Млечный Путь
поверхность Земли	60 МДж / кг	900 МДж / кг	≥ 130 ГДж / кг
ЛЕО	57 МДж / кг	900 МДж / кг	≥ 130 ГДж / кг
"Вояджер-1" (17 000 млн км от Земли)	23 Дж / кг	8 МДж / кг	≥ 130 ГДж / кг
0,1 светового года от Земли	0,4 Дж / кг	140 кДж / кг	≥ 130 ГДж / кг

Сравните силу тяжести в этих местах.

• Приложения полиномов Лежандра в физике
• Стандартный гравитационный параметр (GM)
• Геоид
• Геопотенциал

1. ^ Solivérez, CE (2016). Электростатика и магнитостатика поляризованных эллипсоидальных тел: метод тензора деполяризации (1-е английское изд.). Бесплатная научная информация. ISBN   978-987-28304-0-3.
2. ^ Марион, JB; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Harcourt Brace amp; Company. п.  192. ISBN   0-03-097302-3.
3. ^ Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ханс Дж. (2005). Математические методы для физиков, международное студенческое издание (6-е изд.). Академическая пресса. п. 72. ISBN   978-0-08-047069-6.
4. ^ Пел, Дэвид; Джонс, Грэм; Чадха, Гуриндер; Вудсайд, Ричард; Старк, Уилл; Гилл, Эйдан (2014). Cambridge International AS и A Level Physics Coursebook (иллюстрированный ред.). Издательство Кембриджского университета. п. 276. ISBN.   978-1-107-69769-0.
5. ^ Манкастер, Роджер (1993). Физика A-level (иллюстрированное изд.). Нельсон Торнс. п. 106. ISBN   978-0-7487-1584-8.
6. ^ Владимиров 1984, §7.8ошибка harvnb: нет цели: CITEREFVladimirov1984 ( помощь )
7. Перейти ↑ MacMillan, WD (1958). Теория потенциала. Dover Press.
8. ^ Лоури, Уильям Лоури (2011). Пособие для студентов по геофизическим уравнениям. Издательство Кембриджского университета. п. 69. ISBN   978-1-139-49924-8. Выдержка со страницы 68
9. ^ Санчес-Лавега, Агустин (2011). Введение в планетные атмосферы (иллюстрированный ред.). CRC Press. п. 19. ISBN   978-1-4200-6735-4. Отрывок страницы 19
10. ^ Грён, Ойвинд; Хервик, Зигбьерн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии, Springer Science amp; Business Media, стр. 201, ISBN   978-0-387-69200-5
11. Перейти ↑ Wylie, CR, Jr. (1960). Высшая инженерная математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 454 [теорема 2, раздел 10.8].