Параболическая траектория

редактировать

Эта статья посвящена классу орбит Кеплера. Чтобы узнать о траектории свободного тела при постоянной гравитации, см. Движение снаряда.

Зеленый путь на этом изображении является примером параболической траектории.

Параболическая траектория изображена в нижнем левом квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия параболической траектории показана красным. Высота кинетической энергии уменьшается асимптотически к нулю по мере уменьшения скорости и увеличения расстояния согласно законам Кеплера.

Астродинамика
Часть серии по

Орбитальная механика
Орбитальные элементы
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету
Уравнения
Небесная механика
Гравитационные воздействия
N-тела орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия
Меры эффективности
v т е

В астродинамике или небесной механике параболическая траектория является Kepler орбита с эксцентриситетом, равным 1, и является несвязанным орбита точно на границе между эллиптическими и гиперболическими. При удалении от источника это называется орбитой ухода, иначе орбитой захвата. Его также иногда называют орбитой C 3 = 0 (см. Характеристическая энергия ).

Согласно стандартным предположениям, тело, движущееся по орбите убегания, будет двигаться по параболической траектории до бесконечности со скоростью относительно центрального тела, стремящейся к нулю, и, следовательно, никогда не вернется. Параболические траектории - это траектории убегания с минимальной энергией, отделяющие гиперболические траектории с положительной энергией от эллиптических орбит с отрицательной энергией.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Скорость
2 Уравнение движения
3 Энергия
4 Уравнение Баркера
5 Радиальная параболическая траектория
6 См. Также
7 ссылки

Скорость

Орбитальная скорость () тела, движущегося по параболической траектории может быть вычислена как: ${\ displaystyle v}$ $v$

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ mu \ over r}}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ mu \ over r}}}

куда:

${\ displaystyle r}$ $р$ - радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела,
${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ - стандартный гравитационный параметр.

В любом положении движущееся по орбите тело имеет космическую скорость для этого положения.

Если тело имеет убегающую скорость по отношению к Земле, этого недостаточно, чтобы покинуть Солнечную систему, поэтому около Земли орбита напоминает параболу, но дальше она изгибается по эллиптической орбите вокруг Солнца.

Эта скорость () тесно связана с орбитальной скоростью тела на круговой орбите с радиусом, равным радиальному положению орбитального тела на параболической траектории: ${\ displaystyle v}$ $v$

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2}} \, v_ {o}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2}} \, v_ {o}}

куда:

${\ displaystyle v_ {o}}$ $v_o$ - орбитальная скорость тела на круговой орбите.

Уравнение движения

Для тела, движущегося по такого рода траектории орбитальное уравнение становится:

{\ displaystyle r = {h ^ {2} \ over \ mu} {1 \ over {1+ \ cos \ nu}}}

{\ displaystyle r = {h ^ {2} \ over \ mu} {1 \ over {1+ \ cos \ nu}}}

куда:

${\ Displaystyle г \,}$ $р\,$ - радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела,
${\ displaystyle h \,}$ $час\,$ - удельный угловой момент движущегося на орбите тела,
${\ Displaystyle \ ню \,}$ $\ ню \,$ это истинная аномалия орбитального тела,
${\ displaystyle \ mu \,}$ $\ му \,$ - стандартный гравитационный параметр.

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия () параболической траектории равна нулю, поэтому уравнение сохранения орбитальной энергии для этой траектории принимает вид: ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$

{\ displaystyle \ epsilon = {v ^ {2} \ over 2} - {\ mu \ over r} = 0}

{\ displaystyle \ epsilon = {v ^ {2} \ over 2} - {\ mu \ over r} = 0}

куда:

${\ displaystyle v \,}$ $v \,$ - орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
${\ Displaystyle г \,}$ $р\,$ - радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела,
${\ displaystyle \ mu \,}$ $\ му \,$ - стандартный гравитационный параметр.

Это полностью эквивалентно тому, что характеристическая энергия (квадрат скорости на бесконечности) равна 0:

{\ displaystyle C_ {3} = 0}

C_ {3} = 0

Уравнение Баркера

Уравнение Баркера связывает время полета с истинной аномалией параболической траектории.

{\ displaystyle tT = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {p ^ {3}} {\ mu}}} \ left (D + {\ frac {1} {3}} D ^ {3} \ right)}

{\ displaystyle tT = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {p ^ {3}} {\ mu}}} \ left (D + {\ frac {1} {3}} D ^ {3} \ right)}

Где:

D = tan ( ν / 2), ν - истинная аномалия орбиты
t - текущее время в секундах
T - время прохождения периапсиса в секундах
μ - стандартный гравитационный параметр
p - прямая полушария прямой кишки траектории (p = h ² / μ)

В более общем смысле, время между любыми двумя точками на орбите равно

{\ displaystyle t_ {f} -t_ {0} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {p ^ {3}} {\ mu}}} \ left (D_ {f} + {\ frac {1} {3}} D_ {f} ^ {3} -D_ {0} - {\ frac {1} {3}} D_ {0} ^ {3} \ right)}

{\ displaystyle t_ {f} -t_ {0} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {p ^ {3}} {\ mu}}} \ left (D_ {f} + {\ frac {1} {3}} D_ {f} ^ {3} -D_ {0} - {\ frac {1} {3}} D_ {0} ^ {3} \ right)}

В качестве альтернативы уравнение может быть выражено через перицентрическое расстояние на параболической орбите r p = p / 2:

{\ displaystyle tT = {\ sqrt {\ frac {2r_ {p} ^ {3}} {\ mu}}} \ left (D + {\ frac {1} {3}} D ^ {3} \ right)}

{\ displaystyle tT = {\ sqrt {\ frac {2r_ {p} ^ {3}} {\ mu}}} \ left (D + {\ frac {1} {3}} D ^ {3} \ right)}

В отличие от уравнения Кеплера, которое используется для решения истинных аномалий на эллиптических и гиперболических траекториях, истинная аномалия в уравнении Баркера может быть решена непосредственно относительно t. Если сделаны следующие замены

{\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ mu} {2r_ {p} ^ {3}}}} (tT) \\ [3pt ] B amp; = {\ sqrt [{3}] {A + {\ sqrt {A ^ {2} +1}}}} \ end {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ mu} {2r_ {p} ^ {3}}}} (tT) \\ [3pt ] B amp; = {\ sqrt [{3}] {A + {\ sqrt {A ^ {2} +1}}}} \ end {выровнено}}}

тогда

{\ displaystyle \ nu = 2 \ arctan \ left (B - {\ frac {1} {B}} \ right)}

{\ displaystyle \ nu = 2 \ arctan \ left (B - {\ frac {1} {B}} \ right)}

Радиальная параболическая траектория

Радиальная параболическая траектория - это непериодическая траектория на прямой, где относительная скорость двух объектов всегда является скоростью убегания. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу.

Есть довольно простое выражение для положения как функции времени:

{\ Displaystyle г = {\ sqrt [{3}] {4,5 \ му т ^ {2}}}}

{\ Displaystyle г = {\ sqrt [{3}] {4,5 \ му т ^ {2}}}}

куда

μ - стандартный гравитационный параметр
${\ Displaystyle т = 0 \! \,}$ ${\ Displaystyle т = 0 \! \,}$ соответствует экстраполированному времени фиктивного начала или окончания в центре центрального тела.

В любой момент средняя скорость от в 1,5 раза превышает текущую скорость, т. Е. В 1,5 раза больше местной скорости убегания. ${\ Displaystyle т = 0 \! \,}$ ${\ Displaystyle т = 0 \! \,}$

Чтобы иметь на поверхности, примените временной сдвиг; для Земли (и любого другого сферически-симметричного тела с такой же средней плотностью) в качестве центрального тела этот временной сдвиг составляет 6 минут 20 секунд; через семь из этих периодов высота над поверхностью в три раза больше радиуса и т. д. ${\ Displaystyle т = 0 \! \,}$ ${\ Displaystyle т = 0 \! \,}$

Смотрите также

использованная литература