Пространство-время

редактировать
Математическая модель, объединяющая пространство и время

В физике, пространство -времени любая математическая модель, которая объединяет три измерения пространства и одно измерение из времени в одно четырехмерное коллектор. Пространственно-временные диаграммы местные для визуализации релятивистских эффекты, почему разные наблюдатели по-разному воспринимают, где и когда происходят события.

До 20 века предполагалось, что трехмерная геометрия Вселенной (ее пространственное выражение в конечной точке координат, расстояний и пространственное выражение) не зависит от одного времени. Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн основал свою работу по специальной теории относительности на двух постулатах:

Логическим следствием объединения этих постулатов является неразрывное соединение четырех измерений - до сих пор считавшихся - пространства и времени. Возникает множество противоречивых следствий: скорость света не зависит от движения источника света, скорость света независимо от системы отсчета, в которой она измеряется; расстояния и даже временное упорядочение событий изменяются при измерении в различных инерциальных системах отсчета (это относительность одновременности ); и линейная аддитивность скоростей больше не выполняется.

Эйнштейн сформулировал свою теорию в терминах кинематики (исследования движущихся тел). Его теория была прогрессом по сравнению с теорией электромагнитных явлений Ленца 1904 года и электродинамической теорией Пуанкаре. Хотя эти теории включали уравнения, идентичные тем, которые ввел Эйнштейн (т. Е. преобразование Лоренца ), они, по сути, были специальными моделями, предложенными для объяснения различных результатов экспериментов, включая знаменитый интерферометр Майкельсона - Морли. эксперимент - которые очень сложно вписать в обратную парадигмы.

В 1908 году Герман Минковский - когда-то один из профессоров математики молодого Эйнштейна в Цюрихе - представил геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, которая объединила время и три пространственных измерения пространства в единое целое. единый четырехмерный континуум, теперь известный как пространство Минковского. Ключевой особенностью этой интерпретации является формальное определение пространственно-временного интервала. Хотя измерения расстояния и времени между событиями различаются для измерений, сделанных в разных системах отсчета, пространственно-временного интервал не зависит от инерциальной системы отсчета, в которых они записаны.

Геометрическая интерпретация Минковского теории Относительность оказалась жизненно-важной для разработки Эйнштейном 1915 общей теории относительности, в которой он показал, как масса и энергия искривляют плоское пространство-время в псевдо -Риманово многообразие.

Содержание

  • 1 Введение
    • 1.1 Определения
    • 1.2 История
  • 2 Пространство-время в специальной теории относительности
    • 2.1 Пространственно-временное интервал
    • 2.2 Системы отсчета
    • 2.3 Световой конус
    • 2.4 Относительность одновременности
    • 2.5 Инвариантная гипербола
    • 2.6 Замедление времени и сокращение длины
    • 2.7 Взаимное замедление времени и парадокс близнецов
      • 2.7.1 Взаимное замедление времени
      • 2.7.2 Парадокс близнецов
    • 2.8 Гравитация
  • 3 Основная математика пространства-времени
    • 3.1 Преобразования Галилея
    • 3.2 Релятивистская композиция скоростей
    • 3.3 Повторное рассмотрение замедления вре. мени и длина
    • 3.4 Преобразования Лоренца
      • 3.4.1 Получение преобразователей Лоренца
      • 3.4.2 Линейность преобразований Лоренца
    • 3.5 Эффект Доплера
      • 3.5.1 Продольный эффект Доплера
      • 3.5.2 Поперечный эффект Доплера
    • 3.6 Энергия и импульс
      • 3.6.1 Расширение количества движения до четырех измерений
      • 3.6.2 Импульс света
      • 3.6. 3 Соотношение масса-Выбор энергия
      • 3.6.4 Четыре импульса
    • 3.7 Законы Сохранение
      • 3.7.1 Полный импульс
      • 3.7.2 системы отсчета
      • 3.7.3ение энергии и импульса
  • 4 Помимо основ
    • 4.1 Скорость
    • 4.2 4-векторов
      • 4.2.1 Определение 4-векторов
      • 4.2.2 Свойства 4-векторов
      • 4.2.3 Примеры 4-векторов
      • 4.2.4 4-вектор и физический закон
    • 4.3 Ускорение
      • 4.3.1 Парадокс космического корабля Девана-Берана-Белла
      • 4.3.2 Ускоренный наблюдатель с горизонтом
  • 5 Введение в искривленное пространство-время
    • 5. 1 Основные
    • 5.2 Кривизна времени
    • 5.3 Кривизна пространства
    • 5.4 Источники искривления пространства-времени
      • 5.4.1 Энергия-импульс
      • 5.4.2 Давление и напряжение
    • 5.5 Экспериментальное испытание источников искривления пространства-времени
      • 5.5.1 Определения: активная, пассивная и инертная масса
      • 5.5.2 Давление как источник гравитации
      • 5.5.3 Гравитомагнетизм
  • 6 Т ехнические темы
    • 6.1. пространство-время действительно искривлено?
    • 6.2 Асимптотические симметрии
    • 6.3 Риманова геометрия
    • 6.4 Криволинейные многообразия
    • 6.5 Привилегированный характер пространства-времени 3 + 1
  • 7 См. также
  • 8 Примечания
  • 9 Дополнительные сведения
  • 10 Ссылки
  • 11 Дополнительная литература
  • 12 Внешние ссылки

Введение

Определения

Нерелятивистская классическая механика рассматривает время как универсальная величина, единообразная во всем пространство и отделенная от пространства. Классическая механика предполагает, что время имеет постоянную скорость движения независимо от состояния наблюдателя, движения или чего-либо внешнего. Более того, ответственность, что пространство евклидово; он предполагает, что пространство следует геометрии здравого смысла.

В контексте специальной теории относительности время не может быть отделено от трех измерений, потому что наблюдаемая скорость, с которой проходит объект, зависит от скорости объекта относительноателя. Общая теория относительности также дает объяснение того, как гравитационные поля могут замедлять течение времени для объекта, видимого наблюдателя за пределами поля.

<7774>В обычном пространстве позиция определяется тремя числами, известными как размеры. В декартовой системы они называются x, y и z. Положение в пространстве времени называется событием, и для него необходимо указать: трехмерное положение в пространстве времени (рис. 1). Событие представлено набором координат x, y, z и t. Таким образом, пространство-время четырехмерно. Математические события имеют нулевую продолжительность и предоставляют собой единую точку пространства-времени.

Путь частицы в космическом времени можно рассматривать как последовательность событий. Сгенерированные события происходят вместе. Эта линия называется мировой линией частиц.

С математической точки зрения пространство-время - это многообразие, оно выглядит локально вокруг каждой точки так же, как при малых достаточно масштабов. Чрезвычайно большой масштабный коэффициент, c {\ displaystyle c}c (обычно называемый скоростью света) связывает расстояния, измеренные в пространстве, с расстояниями, измеренными во времени. Величина этого масштабного фактора (почти 300000 километров или 190 000 миль в одной секунде времени), наряду с тем фактом, пространство-время является широким, подразумевает, что при обычных, нерелятивистских скоростях и в обычных человеческих масштабах расстояния, люди могут наблюдать очень мало, что заметно отличается от того, что они могли бы наблюдать, если бы мир был евклидовым. Лишь с появлением в середине 1800-х гг. Чувствительных научных измерений, таких как эксперимент Физо и эксперимент Майкельсона-Морли, начали отмечаться загадочные расхождения между наблюдениями и наблюдениями. прогнозы, основанные на неявном предположении о евклидовом изображении.

Рисунок 1-1. Каждая позиция в визуальном представлении времени учитывается системой отсчета. «Наблюдатель» синхронизирует часы в соответствии с их собственной системой отсчета.

Специальная теория относительности в большинстве случаев под наблюдателем понимается система отсчета, из которой измеряется набор объектов или событий. Это использование значительно отличается от обычного английского значения термина. Системы отсчета по своей сути являются нелок конструкциями, и в соответствии с использованием этого термина нет смысла говорить о наблюдателе как на имеющемся местоположении. На рис. 1‑1 представьте, что рассматриваемая система отсчета оснащена плотной решеткой часов, синхронизированных в этой системе отсчета, которая бесконечно простирается в трех измерениях пространства. Какое-то конкретное место внутри решетки не имеет значения. Решетка часов используется для определения времени и положения событий, происходящих во всем кадре. Термин наблюдатель относится ко всей совокупности часов, связанных с одной инерциальной системой отсчета. В этом идеализированном случае с каждым местом в месте события связаны часы, и поэтому часы регистрируют событие мгновенно, без временного момента между событием и записью. Однако настоящий наблюдатель сигнала увидит задержку между излучением и его обнаружением из-за скорости света. Чтобы синхронизировать часы, в сокращении данных после эксперимента время приема сигнала будет скорректировано, чтобы отразить его фактическое время, если бы он был записан идеализированной решеткой часов.

Во многих книгах по специальной теории относительности, особенно старых, слово «наблюдатель» используется в более обычном смысле этого слова. Обычно из контекста ясно, какое значение было принято.

Физики различает то, что человек измеряет или наблюдает (после измерения распространения сигнала), и то, что человек видит визуально без таких поправок. Непонимание разницы между тем, что человек измеряет / наблюдает, и тем, что он видит, является набор значений ошибок среди начинающих студентов, изучающих относительность.

История

Рисунок 1-2. Майкельсон и Морли ожидали, что движение через эфир вызовет отличный фазовый сдвиг между светом, проходящим через два плеча их аппарата. Наиболее логичное объяснение их отрицательного результата, увлечения эфиром, противоречило наблюдениям за звездной аберрацией.

К середине 1800-х годов варианты экспериментов, такие как наблюдение пятна Араго и измерения скорости света в воздухе по сравнению с водой считались доказательством волновой природы света в отличие от корпускулярной теории. Тогда предполагалось, что распространение волн требует существования волновой среды; в случае световых волн это считалось гипотетическим светоносным эфиром. Однако различные методы установить эту гипотетическую среду противоречивые результаты. Например, эксперимент Физо 1851 года, что скорость света в текущей воде меньше суммы в воздухе и скорости воды на воздействии, зависящую от индекса воды преломление. Среди прочего, зависимости частичного увлечения эфира, подразумеваемая этим экспериментом, от показателя преломления (зависит от длины волны) привела к неприятному выводу, что эфир одновременно течет с разной скоростью для разных цветов легкий. Знаменитый эксперимент Майкельсона-Морли 1887 года (рис. 1-2) не показал положения движений Земли через гипотетический эфир на скорость света, наиболее вероятное объяснение, полное увлечение эфира, заключенное в противоречие с наблюдением звездной аберрации.

Джорджем Фрэнсисом Фицджеральдом в 1889 году и Хендриком Лоренцем в 1892 году, независимо друг от друга предположили, что материальные тела, движущиеся через фиксированный эфир, подвергались физическому воздействию при их прохождении, сокращаясь в направлении отрицательного направления, для объяснения результатов эксперимента Майкельсона - Морли. (Никаких изменений длины не происходит в направлениях, поперечном направлении движения.)

К 1904 году расширил свою теорию так, что он пришел к уравнениям, формально идентичным, которые Эйнштейн вывел позже (т. Е. преобразование Лоренца ), но с принципиально иной интерпретацией. Как теория динамики (изучение сил и моментов и их влияние на движение) его теория предполагала реальные физические деформации физических составляющих материи. Уравнения Лоренца предсказали, которую он назвал местным временем, с помощью которого он мог объяснить аберрацию света, эксперимент Физо и другие явления. Однако Лоренц считал местное время вспомогательным математическим инструментом, трюком, упрощающим преобразование одной системы в другую.

Другие физики и математики на рубеже век вплотную подошли к тому, что сейчас известно как пространство-время. «Специальная теория относительности, если рассматривать ее развитие в ретроспективе, созрела для открытия в 1905 году».

Хендрик Лоренц Анри Пуанкаре Альберт Эйнштейн Герман Минковски
Рис. 1-3.

Важным примером является Анри Пуанкаре, который в 1898 году утверждал, что одновременность двух событий является условием. В 1900 году он осознал, что «местное время» - это на самом деле то, на что указывают движущиеся часы, применив явно операционное определение синхронизации часов, предполагающее постоянную скорость света. В 1900 и 1904 годах он предположил неотъемлемую необнаруживаемость эфира, подчеркнув справедливость того, что он назвал принцип относительности, а в 1905/1906 годах он математически усовершенствовал теорию электронов Лоренца, чтобы воплотить ее в соответствии с постулатом относительности. Обсуждая различные гипотезы о лоренц-инвариантной гравитации, он ввел новаторскую концепцию 4-мерного пространства-времени, определив различные четыре инструмента, а именно четырехпозиционный, четырехскоростной, и четырехступенчатый. «Трехмерный язык за ограниченную прибыль», и в конечном итоге пришел к выводу, что «трехмерный язык кажется наиболее подходящим для описания нашего». мира. "Более того, даже в 1909 году Пуанкаре продолжала верить в динамическую интерпретацию преобразования Лоренца. По этим и другим историческим наукам утверждают, что Пуанкаре не изобрел то, что сейчас называется специальной теорией относительности.

В 1905 году Хотя его результаты математически эквивалентны результатам Лоренца и Пуанкаре, Эйнштейн показал, что преобразование Лоренца не является результатом взаимодействия между материей и эфиром, Эйнштейн представил специальную теорию относительности (хотя и без использования методов пространственно-временного формата). Он получил все свои результаты, признав, что вся теория может быть построена на двух постулатах: принцип относительности и принцип постоянства скорости света.

Эйнштейн провел свой анализ с точки зрения кинематики (изучение движущихся тел без ссылок на силы), а не динамики. Его работа, знакомящая с этим предметом, наполнением яркими образами, включающими обменными световыми сигналами между движущимися часами, необходимой длины движущихся стержней и другими другими образцами.

Кроме того, Эйнштейн в 1905 году вытеснил предыдущие попытки попытки электромагнитная масса - энергия путем введения общей эквивалентности массы и энергии, которая сыграла важную роль в его формулировке принципа эквивалентности в 1907 году, который заявляет об эквивалентности инертной и гравитационной массы. Используя эквивалентность массы и энергии, Эйнштейн показал, кроме того, что гравитационная масса тела пропорциональна его энергосодержанию, что было одним из первых результатов при разработке общей теории относительности. Хотя может показаться, что сначала он не думал о пространстве-времени геометрически, в дальнейшем развитии общей теории относительности Эйнштейн полностью включил пространственно-временной формализм.

Когда Эйнштейн опубликовал в 1905 году, другой из его конкурентов, его бывший профессор математики Герман Минковский, также достиг большинства основных элементов специальной теории относительности. Макс Борн рассказал о встрече, которую он провел с Минковски, стремясь стать учеником / сотрудником Минковского:

Я поехал в Кельн, встретил Минковского и услышал его знаменитую лекцию «Пространство и время», прочитанную 2 сентября 1908 года. […] Он сказал мне позже, что для него было большим шоком, когда Эйнштейн опубликовал свою статью, в которой была объявлена ​​эквивалентность различных локальных времен движения наблюдателей относительно друг друга; поскольку он независимо пришел к тем же выводам, но не опубликовал их, потому что хотел сначала разработать математическую структуру во всем ее великолепии. Он никогда не претендовал на приоритет и всегда отдавал Эйнштейну свою полную долю в великом открытии.

Минковский интересовался состоянием электродинамики после разрушительных экспериментов Майкельсона, по крайней мере, с лета 1905 года, когда Минковский и Давид Гильберт возглавил продвинутый семинар, на котором присутствовали известные физики того времени для изучения работ Лоренца, Пуанкаре и др. Однако совсем не ясно, когда Минковский начал формулировать геометрическую формулировку специальной теории относительности, которая должна была носить его имя, или до какой степени на него повлияла четырехмерная интерпретация Пуанкаре преобразования Лоренца. Также неясно, оценил ли он когда-либо в полной мере критический вклад Эйнштейна в понимание преобразований Лоренца, считая работу Эйнштейна продолжением работы Лоренца.

Рис. 1-4. Раскрашенная вручную прозрачность, представленная Минковским в его лекции 1908 года Raum und Zeit

5 ноября 1907 года (чуть более чем за год до своей смерти) Минковский представил свою геометрическую интерпретацию пространства-времени в лекции для математического общества Геттингена с название, Принцип относительности (Das Relativitätsprinzip). 21 сентября 1908 года Минковский представил свой знаменитый доклад «Пространство и время» (Raum und Zeit) перед Немецким обществом ученых и врачей. Вступительные слова «Пространства и времени» включают в себя известное заявление Минковского о том, что «отныне пространство для себя и время для себя полностью превратятся в простую тень, и только некий вид их союза сохранит независимость». Пространство и время включали первое публичное представление пространственно-временных диаграмм (рис. 1-4) и замечательную демонстрацию того, что концепция инвариантного интервала (обсуждается ниже), а также эмпирическое наблюдение, что скорость света конечен, позволяет вывести всю специальную теорию относительности.

Концепция пространства-времени и группа Лоренца тесно связаны с некоторыми типами сферы, гиперболической, или конформные геометрии и их группы преобразований, уже разработанные в 19 веке, в которых используются инвариантные интервалы, аналогичные пространственно-временному интервалу.

Эйнштейн, со своей стороны, Первоначально отвергал геометрическую интерпретацию специальной теории относительности Минковским, считая ее überflüssige Gelehrsamkeit (излишняя ученость). Однако для завершения своих поисков общей теорииотносительности, начавшейся в 1907 году, геометрическая интерпретация значительно облегчила переход к общей теории относительности Эйнштейн полностью признал свой Минковскому. Существуют и другие системы пространственного времени, как искривленное пространство-время общей теории относительности пространство-время известно теории относительности как пространство-время Минковского.

Пространство-время в специальной теории относительности

Пространство-время

В трех измерениях расстояния Δ d {\ displaystyle \ Delta {d}}{\ displaystyle \ Delta {d}} между двумя точками можно определить с помощью теоремы Пифагора :

(Δ d) 2 = (Δ x) 2 + (Δ y) 2 + (Δ z) 2 {\ displaystyle (\ Delta {d}) ^ {2 } = (\ Delta {x}) ^ {2} + (\ Delta {y}) ^ {2} + (\ Delta {z}) ^ {2}}{ \ Displaystyle (\ Delta {d}) ^ {2} = (\ Delta {x}) ^ {2} + (\ Delta {y}) ^ {2} + (\ Delta {z}) ^ {2}}

Хотя два зрителя могут измерять x, y, и положение двух точек по оси z с использованием разных систем, расстояние между точками одинаково для разных единиц. Расстояние «инвариантно».

В специальной теории относительности, однако расстояние между двумя точками больше не одинаково, если измеряется двумя наблюдателями, когда один из наблюдателей движется, из-за лоренцевского сжатия. Ситуация еще более усложняется, если две точки разделены как во времени, так и в рекламе. Например, если один наблюдатель видит, что два события происходят в одном месте, но в разное время, человек, движущийся относительно первого наблюдателя, увидит два события, происходящих в разных местах, что (с их точки зрения) они неподвижны., и позиция события удаляется или приближается. Таким образом, для использования «расстояния» между двумя событиями необходимо использовать другое меру.

В четырехмерном пространстве-времени аналогом расстояния интервал. Хотя время входит в четвертое измерение, оно трактуется иначе, чем пространственное измерение. Следовательно, пространство Минковского во многом отличается от четырехмерного евклидова пространства. Фундаментальная причина слияния пространства и времени с пространством-временем в том, что пространство и время по отдельности не инвариантны, то есть при определенных условиях разные наблюдатели будут расходиться во мнениях относительно продолжительности времени между двумя событиями (из-за замедления времени ) или расстояния между двумя событиями (из-за сокращения длины ). Но специальная теория относительности использует новый инвариант, называемый пространственно-временным интервалом, который объединяет расстояние в пространстве и во времени. Все наблюдатели, которые показывают интервал между любыми двумя событиями, находятся один и тот же пространственно-временной интервал. Предположим, что наблюдатель измеряет два события, раздел во времени Δ t {\ displaystyle \ Delta t}\ Delta t и пространственными расстояниями Δ x. {\ displaystyle \ Delta x.}{\ displaystyle \ Delta х.} Тогда интервал пространства-времени (Δ s) 2 {\ displaystyle (\ Delta {s}) ^ {2}}{\ displaystyle (\ Delta {s}) ^ {2}} между двумя события, разделенные расстояния от Δ x {\ displaystyle \ Delta {x}}{\ displaystyle \ Delta {x}} в пространстве и Δ ct = c Δ t {\ displaystyle \ Delta {ct} = c \ Delta t}{\ displaystyle \ Delta {ct} = c \ Delta t} в ct {\ displaystyle ct}ct -координате:

(Δ s) 2 = (Δ ct) 2 - (Δ x) 2, {\ displaystyle ( \ Delta s) ^ {2} = (\ Delta ct) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2},}{\ displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = (\ Delta ct) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2},}

или для трех пространственных измерений

(Δ s) 2 = (Δ ct) 2 - (Δ x) 2 - (Δ y) 2 - (Δ z) 2. {\ Displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = (\ Delta ct) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}.}{\ displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = (\ Delta ct) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}.}

Константа c, {\ displaystyle c,}c, скорость света преобразует единицу времени (например, секунды) в пространственные единицы (например, метры). Секунды умножить на метры / секунды = метры.

Хотя для краткости часто встречаются интервальные выражения, выраженные без дельт, в том числе в большей части следующего обсуждения, следует понимать, что в целом x {\ displaystyle x}означает xΔ Икс {\ Displaystyle \ Дельта {х}}{\ displaystyle \ Delta {x}} и т. д. Нас всегда беспокоят различные значения источника нет, одиночных значений, различных значений источника данных.

Рисунок 2-1. Диаграмма пространства-времени, показывающая два фотона, A и B, обнаруживающих в одном и том же событии, и объект со скоростью ниже скорости света, C

Уравнение выше аналогично теореме Пифагора, за исключением знака минус между (ct) 2 {\ displaystyle (ct) ^ {2}}{\ displaystyle (ct) ^ {2}} и условия x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}x ^ {2} . Пространственно-временной интервал - это величина s 2, {\ displaystyle s ^ {2},}{\ displaystyle s ^ {2},} не s {\ displaystyle s}s сама по себе. Причина в том, что в отличие от расстояния от расстояния в евклидовой геометрии интервалы в-визуального времени Минковского могут быть отрицательные расстояния. Вместо того, чтобы иметь дело с квадратными корнями из отрицательных чисел, физики обычно рассматривают s 2 {\ displaystyle s ^ {2}}s ^ {2} как отдельный символ, а не как квадрат чего-либо.

Из-за знака минус пространственно-временной интервал между различными событиями может быть равен нулю. Если s 2 {\ displaystyle s ^ {2}}s ^ {2} положительный, интервал пространства-времени подобен времени, что означает, что два события разделены больше временем, чем пространством. Если s 2 {\ displaystyle s ^ {2}}s ^ {2} отрицательно, интервал пространства-времени подобен пространству, что означает, что два события разделены большим пространством, чем временем. Пространственно-временные интервалы равны нулю, когда x = ± c t. {\ displaystyle x = \ pm ct.}{\ displaystyle x = \ pm ct.} Другими словами, пространственно-временный интервал между событиями на мировой линии чего-то движущегося со скоростью света равенство нулю. Такой интервал называется светоподобным или нулевым. Фотон, попавший в наш глаз от далекой звезды, не постарел, несмотря на то, что (с точки нашей зрения) провел годы в своем прохождении.

Пространственно-временная диаграмма обычно рисуется только с одним пространством и единственной временной координатой. На рис. 2-1 представлена ​​пространственно-временная диаграмма, показывающая мировые линии (то есть пути в визу-времени) двух фотонов A и B, исходящих из одного и того же события и движущихся в противоположных направлениях. Кроме того, C показывает мировую линию объекта со скоростью ниже скорости света. Вертикальная координата времени масштабируется на c {\ displaystyle c}c так, чтобы она имела те же единицы (метры), что и горизонтальная пространственная координата. На который фотон проходит влево или вправо, требуется примерно 3,3 наносекунды времени, когда фотоны движутся со скоростью света, их мировые линии имеют наклон ± 1. Другими словами, на каждый метр, на который фотон проходит влево или вправо.

В литературе по теории относительности использовались два обозначения:

s 2 = (ct) 2 - x 2 - y 2 - z 2 {\ displaystyle s ^ {2} = (ct) ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}{\ displaystyle s ^ {2} = (ct) ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}

и

s 2 = - (ct) 2 + x 2 + y 2 + z 2 {\ displaystyle s ^ {2 } = - (ct) ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}{\ displaystyle s ^ {2} = - (ct) ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}

Эти условные обозначения связаны с сигнатурами метрики (+ - - -) и (- + + +). Незначительное использование временной временной шкалы. Оба соглашения широко используются в области исследований.

Справочные кадры

Рисунок 2-2. Диаграмма Галилея двух систем отсчета в стандартной конфигурации Рисунок 2-3. (a) диаграмма Галилея двух систем отсчета в стандартной конфигурации, (b) пространственно-временная диаграмма двух систем отсчета, (c) пространственно-временная диаграмма, показывающая путь отраженного светового импульса

Чтобы понять, как пространственно-временные координаты измеряются с помощью Наблюдатели в разных опорных кадрах сравнивают друг с другом, полезно работать с упрощенной настройкой с кадрами в стандартной конфигурации. С осторожностью это позволяет упростить математику без общности сделанных выводов. На рис. 2‑2 две галилеевы опорные кадры (т. Е. Обычные 3-пространственные кадры) в относительном движении. Кадр S принадлежит первому наблюдателю O, а кадр S ′ (произносится как «S prime») принадлежит второму наблюдателю O ′.

  • Оси x, y, z кадра S ориентированы надлежащим штрихованным осям кадра S '.
  • Кадр S 'перемещается в направлении x кадра S с постоянной скоростью v как измеряется в кадре S.
  • Истоки кадров S и S' совпадают, когда время t = 0 для кадра S и t ' = 0 для кадра S '.

Рис. 2‑3a перерисовывает Рис. 2‑2 в другой ориентации. Рис. 2‑3b показывает пространственно-временную диаграмму с точки зрения наблюдателя O. Диаграмма S и S находится в стандартной конфигурации, их начало совпадает в моменты времени t = 0 в кадре S и t '= 0 в кадре S'. Ось ct ′ проходит через события в системе S ′, для которых x ′ = 0. Но точки с x ′ = 0 движутся в направлении x системы S со скоростью v, так что они не совпадают с ct ось в любое время кроме нуля. Следовательно, ось ct 'наклонена по отношению к оси ct на угол θ, задаваемый как

tan ⁡ (θ) = v / c. {\ displaystyle \ tan (\ theta) = v / c.}{\ displaystyle \ tan (\ theta) = v / c.}

Ось x 'также наклонена относительно оси x. Чтобы определить этого наклона, напомним, что наклон мировой линии светового угла импульса всегда равен ± 1.. 2‑3c представляет диаграмму пространства-времени с точки зрения наблюдателя O ′. Событие P представляет собой излучение светового импульса при x ′ = 0, ct ′ = −a. Импульс отражается от зеркала, расположенного на расстоянии от источника света (событие Q), и возвращается к источнику света в точке x '= 0, ct' = a (событие R).

Те же события P, Q, R показаны на рис. 2‑3b в кадре наблюдателя O. Световые пути имеют наклоны = 1 и -1, так что △ PQR образует прямоугольный треугольник с PQ и QR под углом 45 градусов к осям x и ct. Времена OP = OQ = OR, угол между x 'и x также должен быть θ.

В то время как остальная система отсчета имеет оси пространства и времени, которые пересекаются под прямым углом, движущаяся рамка нарисована с осями, которые пересекаются в острый угол. Рамы фактически эквивалентны. Асимметрия возникает из-за неизбежных искажений в том, как следует рассматривать проекции пространства-времени на декартовую плоскость, и ее следует рассматривать не иначе как то, как в проекции Меркатора Земли, относительные размеры суши около полюсов (Гренландия и Антарктида) сильно преувеличены по сравнению с массами суши около экватора.

Световой конус

Рисунок 2-4. Световой конус центр на событии делит остальное пространство-время на будущее, прошлое и «где-то еще»

На рис. 2-4 событие находится в начале диаграммы пространства-времени, а две диагональные линии включают все события, которые имеют нулевой временной интервал по отношению к исходному событию. Эти две линии образуют так называемый световой конус события O, поскольку добавление второго пространственного измерения (рис. 2‑5) создает видимость двух правильных круговых конусов, встречающихся вершинами в точке O. Один конус простирается в будущее (t>0), другой - в прошлое (t <0).

Рис. 2-5. Световой конус в двухмерном пространстве плюс измерение времени

Световой (двойной) конус разделяет пространство-время на отдельные области относительно его вершины. Внутренняя часть светового конуса будущего состоит из всех событий, которые отделены от вершины на большее время (временное расстояние), чем необходимо для пересечения их пространственного расстояния со скоростью света; эти события составляют похожее на время будущее события O. Подобным образом, подобное времени прошлое включает внутренние события светового конуса прошлого. Таким образом, во времениподобных интервалах Δct больше, чем Δx, что делает временные интервалы положительными. Область, внешняя по отношению к световому конусу, состоит из событий, которые отделены от события O более пространство, которое можно пересечь со скоростью света в данном en time. Эти события составляют так называемую пространственноподобную область события O, обозначенную «в другом месте» на рис. 2‑4. Говорят, что события на самом световом конусе являются светоподобными (или нуль отделены) от O. Из-за неизменности пространственно-временного интервала все наблюдатели назначат один и тот же световой конус любому данному событию и, таким образом, согласятся об этом разделении пространства-времени..

Световой конус играет важную роль в концепции причинности. Сигнал со скоростью, не превышающей скорость света, может перемещаться из положения и времени O в положение и время D (рис. 2‑4). Следовательно, возможно, что событие O окажет причинное влияние на событие D. Световой конус будущего содержит все события, на которые может причинно повлиять O. Точно так же возможно, чтобы сигнал со скоростью не превышающей скорость света путешествовать от положения и времени A к положению и времени O. Световой конус прошлого содержит все события, которые могут иметь причинное влияние на O. Напротив, если предположить, что сигналы не могут двигаться быстрее скорости света, любые событие, например, например B или C в пространственно-подобной области (в другом месте) не могут ни влиять ни на событие O, ни на событие O, использующее такую ​​передачу сигналов. В соответствии с этим предположением любая причинная связь между событием O и любыми событиями в пространственно-подобной области светового конуса исключается.

Относительность одновременности

Рис. 2-6. Анимация, иллюстрирующая относительность одновременности

Все наблюдатели согласятся, что для любого данного события событие в пределах светового конуса будущего данного события происходит после данного события. Аналогично, для любого данного события событие в световом конусе прошлого данного события происходит до данного события. Отношение «до и после», наблюдаемое для событий, разделенных по времени, остается неизменным независимо от того, в какой системе отсчета наблюдателя, т.е. независимо от того, как наблюдатель может двигаться. Совершенно иная ситуация для пространственно-разделенных событий. Фиг. 2‑4 был взят из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0. Из этой системы отсчета события наблюдается после события O, а событие наблюдается перед событием O. Из другой системы отсчета порядок этих событий, не связанных с причинно-следственной связью, может быть изменен на обратный. В частности, можно отметить, что они обязательно разделены пространственноподобным интервалом и, таким образом, не связаны причинно. Наблюдение за тем, что линейность не является абсолютной, а зависит от системы отсчета наблюдателя, называется относительной одновременности.

Рис. 2-6 показано использование пространственно-временных диаграмм в анализе относительности одновременности. События в пространстве времени инвариантны, но системы координат преобразуются, как обсуждалось выше для рис. 2‑3. Три события (A, B, C) наблюдаются из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0. Из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0,3c, события кажутся происходящими в порядке C, B, A. движущееся при v = -0,5c, события, кажется, происходит в порядке A, B, C. Белая линия представляет собой плоскость равности, перемещаемую из прошлого наблюдателя в будущее. наблюдателя, выделяя происходящие на нем события. Серая область - это световой конус наблюдателя, который остается неизменным.

Пространственно-подобный пространственно-временной интервал дает такое же расстояние, которое наблюдатель измерил бы, если бы измеряемые события были параллельными для наблюдателя. Таким образом, пространственноподобный пространственно-временной интервал обеспечивает меру надлежащего расстояния, то есть истинное расстояние = - s 2. {\ displaystyle {\ sqrt {-s ^ {2}}}.}{\ displaystyle {\ sqrt {-s ^ {2}}}.} Точно так же временноподобный пространственно-временной интервал дает такую ​​же меру времени, как и совокупное тиканье часов, движущихся по данной мировой линии. Таким образом, временноподобный пространственно-временной интервал обеспечивает меру собственного времени = с 2. {\ displaystyle {\ sqrt {s ^ {2}}}.}{\ displaystyle {\ sqrt {s ^ {2}}}.}

Инвариантная гипербола

Рисунок 2-7. (a) Семейства инвариантных гипербол, (b) Гиперболоиды листов и одного листа

В евклидовом пространственных точках, равных пространственных измерениях (с использованием евклидовой метрики) некоторой точки, образуют окружность (в два измерения) или сфера (в трех измеренийх)). В (1 + 1) -мерном пространственном времени Минковского (имеющем одно временное и одно пространственное измерение) точки в некотором постоянном пространственно-временном интервале от начала координат (с использованием метрики Минковского) образные кривые, задаваемые двумя уравнениями

(ct) 2 - Икс 2 = ± s 2, {\ displaystyle (ct) ^ {2} -x ^ {2} = \ pm s ^ {2},}{\ displaystyle (ct) ^ {2} -x ^ {2} = \ pm s ^ {2},}

с s 2 {\ displaystyle s ^ {2 }}{\ displaystyle s ^ {2}} некоторая положительная действительная константа. Эти уравнения описывают два семейства гипербол на диаграмме пространства-времени x - ct, которые называются инвариантными гиперболами.

На рис. 2‑7а каждая пурпурная гипербола соединяет все события, имеет некоторое фиксированное пространственноподобное расстояние от начала координат, в то время как зеленые гиперболы соединяют события равного времениподобного разделения.

Пурпурные гиперболы, пересекающие ось x, представляют собой временноподобные кривые, то есть эти гиперболы представляют собой фактические пути, которые могут пройти (ускоряющиеся) частицы в пространстве-времени: между любыми двумя событиями на одном гиперболе-причинно-следственной связь возможна, поскольку обратная величина наклона, представляющая желаемую скорость, для всех секущих меньше c {\ displaystyle c}c . С другой стороны, зеленые гиперболы, которые пересекают ось ct, обеспечивают пространственноподобные кривые, потому что все интервалы вдоль этих гипербол обеспечивают собой пространственноподобные интервалы: причинно-следственная связь невозможна между любыми двумя точками на одном из этих гипербол, потому что все секущие скорости больше c {\ displaystyle c}c .

Рис. 2‑7b отражает ситуацию в (1 + 2) -мерном пространстве-времени Минковского (одно временное и два пространственного измерения) с помощью гиперболоидами. Времяподобные инвариантные гиперболы порождают гиперболоиды одного листа, в то время как пространственноподобные инвариантные гиперболы порождают гиперболоиды двух листов.

(1 + 2) -мерная граница между пространственно- и времяподобными гиперболоидами, установленная событиями, образующими нулевой пространственно-временной интервал до начала координат, образована вырождением гиперболоидов в световой конус. В (1 + 1) -мерностях гиперболы вырождаются две серые линии под углом 45 °, изображенные на рис. 2‑7а.

.

Замедление времени и длины

Рисунок 2-8. Инвариантная гипербола состоит из точек, которые могут быть достигнуты из начала координат за фиксированное собственное время, если часы движутся с разными скоростями

Рис. 2-8 иллюстрирует инвариантную гиперболу для всех событий, которые могут быть достигнуты из начала координат за собственное время в 5 метров (приблизительно 1,67 × 10 с). Разные мировые линии соответствуют часы, движущиеся с разной скоростью. Часы, которые неподвижны относительно наблюдателя, имеют вертикальную мировую линию, а прошедшее время, измеренное наблюдателем, совпадает с собственным временем. Для часов, движущихся при 0,3 c, прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 5,24 метра (1,75 × 10 с), в то время как для часов, движущихся при 0,7 c, прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 7,00 метров (2,34 × 10 с).. Это показывает явление, известное как замедление времени. Часы, которые движутся быстрее, занимают больше времени (в кадре наблюдателя), чтобы отсчитать такое же количество собственного времени, и они движутся дальше по оси x в пределах этого собственного времени, чем они были бы без замедления времени. Измерение замедления времени двумя наблюдателями в разных инерциальных системах отсчета взаимно. Если наблюдатель O измеряет часы наблюдателя O 'как более медленные в его отсчете, наблюдатель O', в свою очередь, будет измерять часы наблюдателя O как более медленные.

Рисунок 2-9. На этой пространственно-временной диаграмме длина движущегося изображения в 1 м, измеренная в кадре со штрихом, представляет собой укороченное расстояние OC при проецировании на кадр без штриха.

Сокращение длины, как и замедление времени, проявление относительности одновременности. Измерение длины измерения пространственно-временного интервала между двумя событиями, одинаковыми в системе отсчета. Но события, совпадающие в одной системе отсчета, как правило, не одновременны в других системах отсчета.

Рис. 2-9 показаны движением стержня длиной 1 м, который движется со скоростью 0,5 c вдоль оси x. Края синей полосы представьте мировые линии двух концов стержня. Инвариантная гипербола показывает события, отделенные от начала координат пространноподобным интервалом в 1 м. Конечные точки O и B, измеренные при t '= 0, существуют одновременные события в кадре S'. Но для наблюдателя в кадре S события O и B не одновременноны. Для измерения длины наблюдатель в кадре S измеряет концы стержня, проецируемые на ось x вдоль их мировых линий. Проекция стержня на ось x дает укороченную длину OC.

(не показано) Проведение вертикальной линии через точку зрения, чтобы она пересекала ось x ', демонстрирует это, если OB укорочен от точки зрения наблюдателя O, OA также сокращается с точки зрения наблюдателя O ′. Таким же образом, как каждый наблюдатель измеряет часы другого как медленные, каждый наблюдатель измеряет линейки другого какенные.

Что касается взаимного сокращения длины, 2‑9иллюстрирует, что штрихованные и незаштрихованные кадры взаимно повернуты на гиперболический угол (аналог обычных углов в евклидовой геометрии). Из-за этого поворота проекция измерителя с заправкой на незаправленную ось сокращается, в то время как проекция измерителя без заправки на ось x 'с заправкой также сокращается.

Взаимное замедление времени и парадокс близнецов

Взаимное замедление времени

Взаимное замедление времени и длины, как правило, кажутся новичкам внутренне противоречащими друг другу концепциями. Если наблюдатель в системе S измеряет часы, покоящиеся в системе S ', как часы, идущие медленнее, чем его', в то время как S 'движется со скоростью v в S, то принцип относительности требует, чтобы наблюдатель в системе S' также измерял часы в кадре S, движущиеся со скоростью −v в S ', работают медленнее, чем ее. Как два часа могут работать медленнее, чем другие, - это важный вопрос, который «лежит в основе специальной теории относительности».

Это очевидное противоречие происходит из-за неправильного учета различных систем необходимого измерения. Эти настройки соединяют единственное кажущееся противоречие. Речь идет не об абстрактном тиканье часов, а о том, как измерить в одном кадре временное расстояние двух тиков движущихся часов. Оказывается, что при взаимном наблюдении продолжительности между тактами часов, каждый из которых движется в соответствующем кадре, должны быть задействованы разные наборы часов. Чтобы измерить в кадре S продолжительность тика движущихся часов W '(в состоянии покоя в S'), используются два дополнительных синхронизированных тактовых сигнала W 1 и W 2 в состоянии покоя. в двух произвольно фиксированных точках в S с пространственным расстоянием d. 1 и два события в одном месте одновременно находятся в одном месте », когда W 'проходит W 1 и W W 2. Для обоих событий записываются два показания совмещенных часов. Разница двух показаний W 1 и W 2 - это временное расстояние между двумя событиями в S, а их пространственное расстояние равно d. Разница двух показаний W '- это временное расстояние между событиями в S'. В S 'эти события разделены только во времени, они находятся в одном и том же месте в S'. Из-за пространственно-временного интервала, охваченного этими двумя событиями, и ненулевого пространственного разделения в S, временное расстояние в S 'должно быть меньше, чем расстояние в S: меньшее временное расстояние между двумя событиями, возникающее в результате движущихся часов 'принадлежат более медленным часам W'.

И наоборот, для в кадре S 'временного расстояния между двумя событиями на движущихся часах W (в состоянии покоя в S) необходимо два часа в покое в S'.

В этом сравнении часы W движутся со скоростью -v. Повторная запись четырех отсчетов для событий, определяемых «двумя часами одновременно в одном месте», приводит к аналогичным временным расстояниям двух событий, теперь разделенных во времени и пространстве в S ', и раздел только во времени, но совмещенных в S. сохранить неизменным пространственно- временное интервал, временное расстояние в S должно быть меньше, чем в S ′, из-за пространственного разделения событий в S ′: теперь часы W идут медленнее.

Необходимые записи для двух суждений, с «одним движущимся часом» и «двумя часами в состоянии покоя» соответственно в S или S ', включает в себя два разных набора, каждый с тремя часами. Наблюдатель измеряет движущиеся часы как медленные, другой наблюдатель измеряет свои часы как быстрые.

Рисунок 2-10. Взаимное замедление времени

Рис. 2-10 иллюстрирует предыдущее обсуждение взаимного замедления времени с диаграмма Минковского. Верхний рисунок отражает измерение, как видно из кадра S «в состоянии покоя» с незаштрихованными прямоугольными осями и кадра S ′, «движущегося с v>0», координированных штрихованными наклонными осями, наклоненными вправо; на нижнем изображении показан кадр S ′ «в состоянии покоя» с выделенными прямоугольными координатами и кадр S «, движущийся с −v < 0", with unprimed, oblique axes, slanted to the left.

. Каждая линия, проведенная линия пространственной оси (x, x ′), представляет собой линию линии одно и то же значение времени (ct, ct ′). Подобным образом каждая линия, представенная временной временной оси (ct, ct ′), представляет собой линию значений пространственных координат (x, x ′).

На обоихах можно обозначить начало координат O (= O ′) как событие, где соответствующие «движущиеся часы» совмещены с «первыми неподвижными часами» в обоих сравнениях. Очевидно, что для этого события показания на оба часа в обоих сравнениях равны нулю. Как следствие, мировые линии движущихся часов наклонены к правой оси ct ′ (верхние изображения, часы W ′) и наклонены к левой оси ct (нижние изображения, часы W). Мировые линии W 1 и W ′ 1 установлены вертикальными осями времени (ct на верхних изображениях и ct ′ на нижних изображениях).
В верхний На картинке место для W 2 принято равным A x>0, и, таким образом, мировая линия (не показанная на рисунках) этих часов пересекает мировую линию движущихся часов (ct′-ось) в событии с меткой A, где «два часа находятся в одном месте». На нижнем изображении место для W '2 принято как C x′< 0, and so in this measurement the moving clock W passes W′2в событии C.
На верхнем изображении ct-координата A t событие A (показание W 2) помечено B, что дает время, прошедшее между двумя событиями, измеренное с W 1 и W 2, как OB. Для сравнения, длина временного интервала OA, измеренная с помощью W ', должна быть преобразована в масштаб оси ct. Это делается с помощью инвариантной гиперболы (см. Также рис. 2-8) через точку A, соединяющую все события с тем же пространственно-временнымалом от начала координат, что и A. Это событие C на оси ct, и, очевидно, OC < OB, the "moving" clock W′ runs slower.

Чтобы показать взаимное замедление времени непосредственно на верхнем рисунке, событие D может быть построено как событие при x ′ = 0 (положение часов W ′ в S ′), одновременно с C (OC имеет равный пространственно-временной интервал как OA) в S ′. Это показывает, что временной интервал OD длиннее, чем OA, что «движущиеся» часы работают медленнее.

На нижнем изображении кадр S движется со скоростью -v в кадре S 'в состоянии покоя. Мировая линия часов W - это ось ct (наклоненная влево), мировая линия W ′ 1 - вертикальная ось ct ′, а мировая линия W ′ 2 - вертикальное сквозное событие C с ct ′ -координатой D. Инвариантная гипербола, проходящая через событие C, масштабирует интервал интервал OC до OA, который короче OD; кроме того, B строится (аналогично D на верхних рисунках) одновременно с A в S при x = 0. Результат OB>OC снова соответствует приведенному выше.

Слово «мера» важно. В классической физике наблюдатель не может повлиять на наблюдаемый объект, но состояние объекта может повлиять на наблюдения наблюдателя за объектом.

Парадокс близнецов

Многие вводные в специальную теорию относительности показывают различия между теорией относительности Галилея и специальной теорией относительности, излагая серию «парадоксов». Эти парадоксы на самом деле являются некорректными проблемами, большими из-за нашего незнания скоростей, сравнимых со скоростью света. Средство - решить многие проблемы специальной теории относительности и ознакомиться с ее так называемыми контр-интуитивными предсказаниями. Геометрический подход к изучению пространства-времени считается одним из лучших методов развития современной интуиции.

Парадокс близнецов - это мысленный эксперимент с участием однояйцевых близнецов, один из которых совершает путешествие в космос на высокоскоростной ракете, вернувшись домой, обнаруживает, что близнец, оставшийся на Земля, постарел еще больше. Этот результат кажется загадочным, потому что каждый из близнецов наблюдает за другим близнецом, как движущийся, и поэтому на первый взгляд может показаться, что каждый из них должен считать, что другой стал меньше. Парадокс близнецов уклон от обоснования взаимного замедления времени, представленного выше, избегая требований наличия третьих часов. Тем не менее, парадокс близнецов - не настоящий парадокс, потому что его легко понять в контексте специальной теории относительности.

Впечатление о существовании парадокса происходит из-за неправильного понимания того, что утверждает специальная теория относительности. Специальная теория относительности не объявляет эквивалентными все системы отсчета, только инерциальные системы отсчета. Рама путешествующего близнеца не инерционна в периоды, когда она ускоряется. Кроме того, различие между близнецу-домоседу, можно запустить ракеты, чтобы иметь возможность вернуться домой.

Рисунок 2-11. Пространственно-временное объяснение парадокса близнецов

Эти различия должны привести к разнице в возрасте близнецов. Пространственно-временная диаграмма на рис. 2-11 представляет простой случай, когда двойник выходит прямо вдоль оси x и сразу же поворачивается назад. С точки зрения близнеца-домоседа в парадоксе близнецов нет ничего удивительного. Собственное время, измеренное вдоль мировой линии путешествующего близнеца от O до C, плюс собственное время, измеренное от C до B, меньше, чем собственное время близнеца-сидящего дома, измеренное от O до A до B. Более сложные траектории требуют интегрирования. собственное время между соответствующими событиями вдоль кривой (то есть интеграл по путям ) для расчета общего количества собственного времени, которое испытывает путешествующий близнец.

При анализе парадокса близнецов возникают сложности. с точки зрения путешествующего близнеца.

В дальнейшем используется номенклатура Вайса, обозначающая близнеца-домоседа как Теренс, а путешествующего близнеца - Стеллу.

Стелла не находится в инерциальной системе отсчета. Принимая во внимание этот факт, иногда неправильно утверждают, что полное разрешение парадокса близнецов требует общей теории относительности:

Чистый анализ СР будет следующим: анализируемый в системе покоя Стеллы, она неподвижна в течение всего путешествия. Когда она запускает свои ракеты для поворота, она испытывает псевдосилу, которая напоминает силу гравитации. Рис. 2‑6 и 2‑11 иллюстрируют концепцию линий (плоскостей) одновременности: линии, параллельные оси x наблюдателя (плоскость xy), представляют собой наборы событий, которые одновременны в кадре наблюдателя. На рис. 2‑11 синие линии соединяют события на мировой линии Теренса, которые, с точки зрения Стеллы, одновременны с событиями на ее мировой линии. (Теренс, в свою очередь, наблюдал бы ряд горизонтальных линий одновременности.) На протяжении как исходящего, так и входящего этапов путешествия Стеллы она измеряет, что часы Теренса идут медленнее, чем ее собственные. Но во время поворота (то есть между жирными синими линиями на рисунке) происходит сдвиг угла ее линий одновременности, соответствующий быстрому пропуску событий на мировой линии Теренса, которые Стелла считает одновременными с ее собственный. Поэтому в конце поездки Стелла обнаруживает, что Теренс постарел больше, чем она.

Хотя общая теория относительности не требуется для анализа парадокса близнецов, применение принципа эквивалентности общей теории относительности позволяет дать дополнительное понимание предмета. Стелла не неподвижна в инерциальной системе отсчета. Согласно анализу в системе покоя Стеллы, она неподвижна на протяжении всей поездки. Когда она движется по инерции, ее система покоя инерционна, и кажется, что часы Теренса идут медленно. Но когда она запускает ракеты для поворота, ее рама покоя представляет собой ускоренную раму, и она испытывает силу, которая толкает ее, как если бы она находилась в гравитационном поле. Теренс окажется высоко в этой области, и из-за гравитационного замедления времени его часы будут работать быстро, так что в конечном итоге Теренс постарел больше, чем Стелла, когда они Вернуться вместе. Теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, не ограничиваются общей теорией относительности. Любая теория гравитации предсказывает гравитационное замедление времени, если соблюдает принцип эквивалентности, включая теорию Ньютона.

Гравитация

В этом вводном разделе основное внимание уделяется пространству-времени специальной теории относительности, поскольку это проще всего описать. Пространство-время Минковского плоское, не принимает во внимание гравитацию, однородно во всем и служит не более чем статическим фоном для событий, которые в нем происходят. Наличие гравитации сильно усложняет описание пространства-времени. В общей теории относительности пространство-время больше не является статическим фоном, а активно взаимодействует с физическими системами, которые оно содержит. Пространство-время изгибается в присутствии материи, может распространять волны, искривлять свет и проявлять множество других явлений. Некоторые из этих явлений описаны в следующих разделах этой статьи.

Базовая математика пространства-времени

Преобразования Галилея

Основная цель - иметь возможность сравнивать измерения, сделанные наблюдателями в относительном движении. Если в кадре S есть наблюдатель O, который измерил временные и пространственные координаты события, присвоив этому событию три декартовых координаты и время, измеренное на его решетке синхронизированных часов (x, y, z, t) (см. Рис. 1‑1 ). Второй наблюдатель O 'в другой системе отсчета S' измеряет то же событие в своей системе координат и своей решетке синхронизированных часов (x ', y', z ', t'). В инерциальных системах отсчета ни один наблюдатель не находится в состоянии ускорения, и простой набор уравнений позволяет связать координаты (x, y, z, t) с (x ′, y ′, z ′, t ′). Учитывая, что две системы координат имеют стандартную конфигурацию, что означает, что они выровнены с параллельными (x, y, z) координатами и что t = 0, когда t ′ = 0, преобразование координат выглядит следующим образом:

x ′ = икс - vt {\ displaystyle x '= x-vt}x'=x-vt
y ′ = y {\ displaystyle y' = y}y'=y
z ′ = z {\ displaystyle z '= z}z'=z
t ′ = t. {\ displaystyle t '= t.}t'=t.
Рисунок 3-1. Галилея Пространство-время и состав скоростей

Рис. 3-1 показывает, что в теории Ньютона универсальным является время, а не скорость света. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Красная стрелка показывает поезд, который движется с точностью 0,4 градуса по отношению к платформе. В поезде пассажир стреляет пулей со скоростью 0,4 c в корпус поезда. Синяя стрелка показывает, что человек, стоящий на железнодорожных путях, измеряет, что пуля летит с точностью 0,8 с. Это соответствует нашим наивным ожиданиям.

В более общем смысле, если предположить, что система S 'движется со скоростью v относительно системы S, тогда в системе S' наблюдатель O 'измеряет объект, движущийся со скоростью u'. Скорость u относительно системы отсчета S, поскольку x = ut, x ′ = x - vt и t = t ′, может быть записана как x ′ = ut - vt = (u - v) t = (u - v) t ′. Это приводит к u ′ = x ′ / t ′ и, в конечном итоге,

u ′ = u - v {\ displaystyle u '= uv}{\displaystyle u'=u-v}или u = u ′ + v, {\ displaystyle u = u '+ v,}{\displaystyle u=u'+v,}

который является здравым законом Галилея для сложения скоростей .

Релятивистская композиция скоростей

Рис. 3-2. Релятивистский состав скоростей

Состав скоростей совершенно иной в релятивистском пространстве-времени. Чтобы немного упростить уравнения, мы вводим общее сокращение для отношения скорости объекта относительно света,

β = v / c {\ displaystyle \ beta = v / c}\ beta = v / c

Рис. 3-2a показан красный поезд, который движется вперед со скоростью v / c = β = s / a. Из заправленной рамы поезда пассажир стреляет пулей со скоростью u ′ / c = β ′ = n / m, где расстояние измеряется вдоль линии, параллельной красной оси x ′, а не параллельно оси. черная ось x. Какова суммарная скорость u пули относительно платформы, обозначенная синей стрелкой? Ссылаясь на рис. 3‑2b:

  1. С платформы общая скорость пули определяется выражением u = c (s + r) / (a ​​+ b).
  2. Два желтых треугольника - это похожи, потому что они являются прямоугольными треугольниками с общим углом α. В большом желтом треугольнике отношение s / a = v / c = β.
  3. Отношения соответствующих сторон двух желтых треугольников постоянны, так что r / a = b / s = n / m = β ′. Итак, b = u′s / c и r = u′a / c.
  4. Подставьте выражения для b и r в выражение для u на шаге 1, чтобы получить формулу Эйнштейна для сложения скоростей:
u = v + u ′ 1 + (vu ′ / c 2). {\ displaystyle u = {v + u '\ over 1+ (vu' / c ^ {2})}.}{\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}

Релятивистская формула для сложения скоростей, представленная выше, имеет несколько важных особенностей:

  • Если u ′ и v очень малы по сравнению со скоростью света, тогда произведение vu ′ / c становится исчезающе малым, и общий результат становится неотличимым от формулы Галилея (формулы Ньютона) для сложения скоростей: u = u ′ + v. Формула Галилея является частным случаем релятивистской формулы, применимой к малым скоростям.
  • Если u 'установлено равным c, то формула дает u = c независимо от начального значения v. свет одинаков для всех наблюдателей, независимо от их движения относительно излучающего источника.

Еще раз о замедлении времени и сокращении длины

Рисунок 3-3. Диаграммы пространства-времени, иллюстрирующие замедление времени и сокращение длины

Нетрудно получить количественные выражения для замедления времени и сокращения длины. Рис. 3‑3 представляет собой составное изображение, содержащее отдельные кадры, взятые из двух предыдущих анимаций, упрощенные и переименованные для целей этого раздела.

Чтобы немного снизить сложность уравнений, существуетмножество различных сокращенных обозначений для ct:

T = ct {\ displaystyle \ mathrm {T} = ct}{\ displaystyle \ mathrm {T} = ct} и w = ct {\ displaystyle w = ct}{\ displaystyle w = ct} распространены.
Также очень часто используется использование соглашения c = 1. {\ displaystyle c = 1.}c = 1.
Рисунок 3-4. Фактор Лоренца как функция скорости

На рис. 3-3a отрезки OA и OK предоставить равные пространственно-временные интервалы. Замедление времени представлением OB / ОК. Инвариантная гипербола имеет уравнение w = √x + k, где k = OK, а красная линия, представляющая мировую линию движущейся частиц, имеет уравнение w = x / β = xc / v. Немного алгебраических манипуляций дает OB = OK / 1 - v 2 / c 2. {\ textstyle OB = OK / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}.} {\ textstyle OB = OK / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}.}

Выражение, содержащее символ квадратного корня, очень часто встречается в теории относительности, и одно вместо выражения так называемый фактор Лоренца, обозначаемый греческой буквой гамма γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma :

γ = 1 1 - v 2 / c 2 = 1 1 - β 2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ frac {1 } {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}

Если v больше или равно c, выражение для γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma становится физически бессмысленным, подразумевая, что c - это максимально возможная скорость в природе. Для любого v больше нулевого фактора Лоренца будет больше единицы, хотя форма кривой такова, что для очень низких скоростей фактора Лоренца будет больше единицы.

На рис. 3-3b сегмент OA и OK. Сокращение стоимости отношением OB / OK. Инвариантная гипербола имеет уравнение x = √w + k, где k = OK, а края синей полосы, представляющие мировые линии концов стержня в движении, имеют наклон 1 / β = c / v. Событие A имеет координаты (x, w) = ( γk, γβk). Временная касательная, проходящая через A и B, имеет уравнение w = (x - OB) / β, имеем γβk = (γk - OB) / β и

OB / OK = γ (1 - β 2) = 1 γ { \ displaystyle OB / OK = \ gamma (1- \ beta ^ {2}) = {\ frac {1} {\ gamma}}}{\ displaystyle OB / ОК = \ gamma (1- \ beta ^ {2}) = {\ frac {1} {\ gamma}}}

преобразование Лоренца

преобразование Галилея и вытекающие из них здравые смыслы Закон сложения скоростей хорошо работает в нашем обычном тихоходном мире самолетов, машин и мячей. Однако, начиная с середины 1800-х годов, чувствительные научные приборы начали обнаруживать аномалии, которые не соответствовали обычному сложению скоростей.

Преобразования Лоренца используются для координат событий из одного кадра в другой специальной теории относительности.

Фактор Лоренца появляется в преобразованиях Лоренца:

t ′ = γ (t - vxc 2) x ′ = γ (x - vt) y ′ = yz ′ = z {\ displaystyle {\ begin {выровнено } t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ y ' = y \\ z '= z \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'=\gamma \left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{aligned}}}

Обратные преобразования Лоренца:

t = γ (t ′ + vx ′ c 2) x = γ (x ′ + vt ′) y знак равно Y ′ Z = Z ′ {\ Displaystyle {\ begin {align} t = \ gamma \ left (t '+ {\ frac {vx'} {c ^ {2}}} \ right) \\ x = \ gamma \ left (x '+ vt' \ right) \\ y = y '\\ z = z' \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}t=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y=y'\\z=z'\end{aligned}}}

Когда v ≪ c и x достаточно мало, v / Члены c и vx / c стремятся к нулю, а преобразования Лоренца приближаются к преобразованию Галилея.

t ′ = γ (t - vx / c 2), {\ displaystyle t '= \ gamma (t-vx / c ^ {2}),}{\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}x ′ = γ (x - vt) { \ displaystyle x '= \ gamma (x-vt)}{\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}и т. д. чаще всего означает Δ t '= γ (Δ t - v Δ x / c 2), {\ displaystyle \ Дельта t' = \ гамма (\ Delta tv \ Delta x / c ^ {2}),}{\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}Δ x 'знак равно γ (Δ x - v Δ t) {\ displaystyle \ Delta x' = \ gamma (\ Delta xv \ Delta t)}{\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}и т. Д. Хотя для краткости уравнения преобразования Лоренца записаны без дельт, x означает Δx и т. Д. Как правило, озабочены пространственными и временными различиями между событиями.

Называть один набор преобразований нормальным преобразованием Ленцаор, а другой - обратным преобразованием, вводом в заблуждение, поскольку нет внутренней разницы между кадрами. Разные авторы называют тот или иной набор преобразований «обратным» набором. Прямые и обратные преобразования тривиально связаны друг с другом, так как кадр может двигаться только вперед или назад относительно S '. Таким образом, обращаются просто влечет за собой переключение чисел со штрихом и без штриха и замену v на −v.

Пример: Теренс и Стелла участвуют в космической гонке Земля-Марс. Теренс является официальным лицом на стартовой линии, а Стелла - участником. В момент времени t = t ′ = 0 космический корабль Стеллы мгновенно ускоряется до скорости 0,5 c. Расстояние от Земли до Марса составляет 300 световых секунд (примерно 90,0 × 10 км). Теренс наблюдает, как Стелла пересекает часы финиша в t = 600,00 с. Но Стелла отмечает, что время на ее корабельном хронометре составляет t ′ = γ (t - vx / c 2) = 519,62 s {\ displaystyle t ^ {\ prime} = \ gamma \ left (t-vx / c ^ {2} \ right) = 519.62 \ {\ text {s}}}{\ displaystyle t ^ {\ prime } = \ гамма \ влево (t-vx / c ^ {2} \ right) = 519,62 \ {\ text {s}}} , когда она пересекает финишную черту, и она вычисляет расстояние между стартовой и финишной линией, измеренное в ее кадре, чтобы быть 259, 81 световой секунды (примерно 77,9 × 10 км). 1).

Получение преобразований Лоренца

Рисунок 3-5. Вывод преобразования Лоренца

Со времени первоначальной работы Эйнштейна в 1905 году было сделано множество выводов преобразований Лоренца, каждое из которых имело свою особую направленность. Хотя вывод Эйнштейна основан на неизменности скорости света, есть и другие физические принципы, которые могут отправными точками. В предложении можно использовать альтернативные отправные точки, которые можно рассматривать как различные выражения лежащего в основе принципа локальности, который влияет, которое одна частица оказывает на другое, не может передаваться мгновенно.

Приведенный вывод здесь и проиллюстрировано на рис. 3-5, основано на одном, представленном Байсом, и использует предыдущие результаты из разделов «Релятивистская композиция скоростей», «Расширение времени» и «Сокращение длины». Событие P имеет координаты (w, x) в черной «системе покоя» и координаты (w ′, x ′) в красной рамке, которая движется с параметром скорости β = v / c. Чтобы определить w ′ и x ′ через w и x (или наоборот), сначала проще вывести обратное преобразование Лоренца.

  1. Не может быть такого явления, как расширение / сокращение длины в поперечных направлениях. y 'должен быть равен y, а z' должен быть равен z, иначе сможет ли быстро движущийся 1-метровый шар пройти через 1-метровое круглое отверстие, будет зависеть от наблюдателя. Первый постулат относительности утверждает, что все инерциальные системы отсчета эквивалентны, и поперечное расширение / сжатие нарушило бы этот закон.
  2. Из рисунка w = a + b и x = r + s
  3. Из предыдущих результатов с использованием подобных треугольников мы знаем, что s / a = b / r = v / c = β.
  4. Из-за замедления времени a = γw ′
  5. Подставляем уравнение (4) в s / a = β дает s = γw′β.
  6. Сокращение длины и аналогичные треугольники дают нам r = γx ′ и b = βr = βγx ′
  7. Подставляя выражения для s, a, r и b в уравнения на шаге 2 немедленно дают
    w = γ w ′ + β γ x ′ {\ displaystyle w = \ gamma w '+ \ beta \ gamma x'}{\displaystyle w=\gamma w'+\beta \gamma x'}
    x = γ x ′ + β γ w ′ {\ displaystyle x = \ gamma x '+ \ beta \ gamma w'}{\displaystyle x=\gamma x'+\beta \gamma w'}

Приведенные выше уравнения являются альтернативными выражениями для уравнений t и x обратного преобразования Лоренца, как можно увидеть, подставив ct для w, ct ′ для w ′ и v / c для β. Из обратного преобразования уравнения прямого преобразования могут быть получены путем решения относительно t ′ и x ′.

Линейность преобразований Лоренца

Преобразования Лоренца обладают математическим свойством, называемым линейностью, поскольку x 'и t' получаются как линейные комбинации x и t без использования более высоких степеней. Линейность преобразования отражает фундаментальное свойство пространства-времени, которое негласно предполагалось при выводе, а именно, что свойства инерциальных систем отсчета не зависят от местоположения и времени. В отсутствие гравитации пространство-время везде выглядит одинаково. Все инерционные наблюдатели согласятся, что представляет собой ускоряющееся и неускоряющееся движение. Любой наблюдатель может использовать свои собственные измерения пространства и времени, но в них нет ничего абсолютного. Соглашения другого наблюдателя также подойдут.

Результатом линейности является то, что если два преобразования Лоренца служат, результатом также будет преобразование Лоренца.

Пример: Теренс наблюдает, как Стелла ускоряется от него на 0,500 c, и он может использовать преобразование Лоренца с β = 0,500, чтобы связать измерения Стеллы со своими собственными. Стелла в своем кадре наблюдает, как Урсула удаляется от нее на 0,250 c, и она может использовать преобразование Лоренца с β = 0,250, чтобы связать измерения Урсулы с ее собственными. Из-за линейности преобразований и релятивистского состава скоростей Теренс может использовать преобразования Лоренца с β = 0,666, чтобы связать измерения Урсулы со своими собственными.

Эффект Доплера

Эффект Доплера - это изменение частоты или длины волны для приемника и источника при относительном движении. (1) движение источника / приемника выполняется точно по линии, соединяющей их (продольный эффект Доплера), и (2) движение идет под прямым углом к ​​основной линии (поперечный эффект Доплера ). Мы игнорируем сценарии, которые они движутся под промежуточными углами.

Продольный эффект Доплера

Классический доплеровский анализ имеет дело с волнами, которые распространяются в среде, такими как звуковые волны или водная рябь, которые передаются между источниками и приемниками, которые движутся навстречу или подальше друг от друга. Анализ таких волн зависит от того, движутся ли источник, приемник или и то, и другое относительно среды. В сценарии, в котором приемник неподвижен относительно среды, источник движется прямо от приемника со скоростью v s для параметров скорости β s, длина волны увеличивается, наблюдаемая частота f определяется как

f = 1 1 + β sf 0 {\ displaystyle f = {\ frac {1} {1+ \ beta _ {s}}} f_ {0}}{\ displaystyle f = {\ гидроразрыв {1} {1+ \ beta _ {s}}} f_ {0}}

С другой стороны, в сценарии, когда источник неподвижен, приемник движется прямо от источника со скоростью v r для параметра β r, длина волны не меняется, но скорость передачи волн относительно скорости приемника уменьшается, а наблюдаемая частота f определяется как

f = (1 - β r) f 0 {\ displaystyle f = (1- \ beta _ {r}) f_ {0}}{\ displaystyle f = (1- \ beta _ {r}) f_ {0}}
Рисунок 3-6. Пространственно-временная диаграмма релятивистского эффекта Доплера

Свет, в отличие от звука или водной ряби, не распространяется через среду между образцом, удаляющимся от приемника, или приемником, удаляющимся от источника. На рис. 3‑6 респелятивистская пространственно-временная диаграмма, показывающая, что источник отделяется от приемника с параметром скорости β, так что разделение дает и приемником в момент времени равно βw. Из-за замедления времени W = Y W '{\ displaystyle W = YW ^ {\ prime}}{\ displaystyle W = YW ^ {\ prime}} . Наклон 9 луча зеленого света равен -1, T = W + β w = γ w '(1 + β) {\ displaystyle {T} = W + \ beta w = \ gamma w ^ {\ prime} (1 + \ beta)}{\ displaystyle {T} = W + \ be та вес = \ гамма ш ^ {\ прайм} (1+ \ бета)} . Следовательно, релятивистский эффект Доплера определяется как

f = 1 - β 1 + β f 0. {\ displaystyle f = {\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta} }} \, f_ {0}.}{\ displaystyle f = {\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}} \, f_ {0}.}

Поперечный эффект Доплера

Рисунок 3-7. Сценарии с поперечным эффектом Доплера

Предположим, что источник и приемник, оба приближа друг к другу в равномерном инерционном движении вдоль непересекающихся линий, находятся на наиболее близком приближении друг к другу. Казалось бы, классический анализ предсказывает, что приемник не обнаруживает доплеровского сдвига. Из-за тонкостей анализа это ожидание не обязательно соответствует действительности. Тем не менее, при надлежащем определении поперечный доплеровский сдвиг является релятивистским эффектом, не имеющим классического аналога. Тонкости такие:

  • Рис. 3-7а. Что такое измерение частоты, когда приемник геометрически максимально приближен к источнику? Этот сценарий легче проанализировать по кадру S '.
  • Рис. 3-7б. Каково измерения частоты, когда приемник видит источник как наиболее близкий к нему? Этот сценарий легче проанализировать из кадра S приемника.

Два других сценария обычно при рассмотрении поперечного доплеровского сдвига:

  • Рис. 3-7c. Если приемник движется по кругу вокруг, какую частоту измеряет приемник?
  • Рис. 3-7д. Если источник движется по кругу вокруг приемника, какую частоту измеряет приемник?

В сценарии (а) точка наибольшего сближения не зависит от кадра и представляет момент, когда нет изменения расстояния во времени (т.е. dr / dt = 0, где r - расстояние между приемником и представ) и, следовательно, нет продольного доплеровского сдвига. Источник наблюдает, что приемник освещается светом с изображением, но также наблюдает, что приемник имеет часы с замедленным временем. Таким образом, в кадре S приемник освещается синусмещенным светом с диапазоном

f = f ′ γ = f ′ / 1 - β 2 {\ displaystyle f = f '\ gamma = f' / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}{\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

На иллюстрации показано, что приемник освещается светом, когда источник находился ближе всего к приемнику, даже несмотря на то, что источник переместился дальше. Время устройства растянуты по времени, как измерено в кадре S, поскольку dr / dt было равно нулю в этой точке, свет от источника, испускаемый из этой ближайшей точки, имеет красное смещение с параметром

f знак равно f ′ / γ = f ′ 1 - β 2 {\ displaystyle f = f '/ \ gamma = f' {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}{\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

Сценарии (c) и (d) может быть проанализирован с помощью простых аргументов замедления времени. В (c) приемник видит, что свет от источника смещен в синюю область с фактором γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma , а в (d) свет смещен в красную сторону. Единственная кажущаяся сложность заключается в том, что орбитальные объекты находятся в ускоренном движении. Однако, если инерционный наблюдатель смотрит на ускоряющиеся часы, только мгновенная скорость часов важна при вычислении замедления времени. (Обратное, однако, неверно.) Большинство сообщений о поперечном доплеровском смещении регистрируется как красное смещение и анализируется в терминах сценариев (b) или (d).

Энергия и импульс

Расширение импульса до четырех измерений

Рис. 3-8. Вектор импульса в релятивистском-космическом времени

В классической механике состояние частиц характеризуется ее массой и скоростью. Линейный импульс, произведение массы и скорости частицы, является векторной величиной, имеющей то же направление, что и скорость: p = m v . Это постоянная величина, означающая, если на замкнутую систему, не может измениться ее общий линейный момент.

В релятивистской механике бумаги импульса расширен до четырех измерений. К вектору моментса добавлен компонент времени, который позволяет вектору сигнала пространства-времени преобразовывать, как вектор положения пространства-времени (x, t) {\ displaystyle (x, t)}(x, t) . Изучая пространственно-временного импульса, мы начнем с рис. 3-8a с изучением того, как частица выглядит в состоянии покоя. В системе покоя пространственная составляющая импульса равна нулю, т.е. p = 0, но временная составляющая равна mc.

Мы можем получить преобразованные компоненты этого устройства в движущейся системе, используя преобразование Лоренца, или мы можем прочитать их прямо с рисунка, потому что мы знаем, что (mc) ′ = γ mc {\ displaystyle ( MC) ^ {\ prime} = \ gamma mc}{\ displaystyle (mc) ^ {\ prime} = \ gamma mc} и p '= - β γ mc {\ displaystyle p ^ {\ prime} = - \ beta \ gamma mc}{\ displaystyle p ^ {\ prime} = - \ beta \ gamma mc} , так как красные оси масштабируются по гамме. Рис. 3‑8b показывает ситуацию в движущейся рамке. Очевидно, что пространственная и временная составляющая четырехимпульса происходит в бесконечности по мере приближения скорости движущейся системы отсчета к c.

Мы вскоре воспользуемся этой информацией, чтобы получить выражение для четырех- импульс.

Импульс света

Рисунок 3-9. Энергия и импульс света в различных инерциальных системах отсчета

Световые частицы или фотоны движутся со скоростью c, которая обычно известна как скорость постоянной света. Это утверждение не является тавтологией, поскольку многие современные формулировки теории относительности не исходят из постулата постоянной скорости света. Таким образом, фотоны распространяются вдоль светоподобной мировой линии.

Следующим импульс шагом теории электромагнетизма Максвелла является то, что свет переносит энергию и его соотношение является постоянным: E / p = c {\ displaystyle E / p = c }{\ displaystyle E / p = c} . Переставив, E / c = p {\ displaystyle E / c = p}{\ displaystyle E / c = p} , и, поскольку для компонентов пространства и времени равны, E / c, следовательно, должно быть приравнено к компоненту времени атмосферы пространства -времени.

Фотоны движутся со скоростью, но имеют конечный импульс и энергию. Чтобы это было так, массовый член в γmc должен быть равен нулю, что означает, что фотоны являются безмассовыми частями. Бесконечность, умноженная на ноль, - это некорректно определенная величина, но E / c - вполне определенная величина.

Согласно этому анализу, если энергия фотона равна E в системе покоя, она равна E ′ = (1 - β) γ E {\ displaystyle E ^ {\ prime} = (1 - \ beta) \ gamma E}{\ displaystyle E ^ {\ prime} = (1- \ beta) \ gamma E} в подвижном кадре. Этот результат может быть получен путем изучения рис. 3‑9 или путем применения преобразований Лоренца, и он согласуется с анализом эффекта Доплера, приведенным ранее.

Соотношение масса-энергия

Соображение Изучение взаимосвязей между различными компонентами релятивистского явления событияса приводит Эйнштейна к нескольким известным выводам.

  • В пределе низкой скорости, когда β = v / c приближается к нулю, γ приближается к 1, поэтому пространственная составляющая релятивистского импульса β γ mc = γ mv {\ displaystyle \ beta \ gamma mc = \ gamma mv}{\ displaystyle \ beta \ gamma mc = \ gamma mv} приближается к mv, классическому термину для импульса. Следуя этой точке, γm можно интерпретировать как релятивистское обобщение m. Эйнштейн предположил, что релятивистская масса увеличивает объект со скоростью в соответствии с формулой mrel = γ m {\ displaystyle m_ {rel} = \ gamma m}{\ displaystyle m_ {rel} = \ gamma m} .
  • соответствующим образом, соответствующей системой времени релятивистского модуляса с импульсом фотона γ mc = mrelc = E / c {\ displaystyle \ gamma mc = m_ {rel} c = E / c}{ \ displaystyle \ gamma mc = m_ { rel} c = E / c} , так что Эйнштейн пришел к отношению E = mrelc 2 {\ displaystyle E = m_ {rel} c ^ {2}}{\ displaystyle E = m_ {rel } c ^ {2}} . В одном варианте для случая нулевой скорости это знаменитое уравнение Эйнштейна, связывающее плотность и массу.

Другой способ взглянуть на взаимосвязь между массой и энергией - рассмотреть расширение γmc в ряд при низкой скорости:

E = γ mc 2 = mc 2 1 - β 2 {\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}{\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2 } = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} ≈ mc 2 + 1 2 мв 2... {\ displaystyle \ приблизительно mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}...}{ \ Displaystyle \ приблизительно mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}...}

Второй член - это просто выражение для кинетической энергии частиц. Масса действительно кажется еще одной формы энергии.

Концепция релятивистской массы, которую Эйнштейн ввел в 1905 году, m rel, хотя каждый день в достаточной мере проверяется на ускорителях элементарных частиц по всему миру (или действительно в любом оборудовании, использование которого зависит от частиц с высокой скоростью (например, в электронных микроскопах, старомодных цветных телевизорах и т. д.), тем не менее, не оказалось плодотворной концепцией в физике в смысле, что она не является подходящей концепцией в качестве основы для других теоретических разработок.

По этой причине, также по педагогическим соображениям, большинству физиков в настоящее время предпочитают другую терминологию, когда говорят о другой терминологии, когда говорят о взаимозависимости между массой и энергией. Термин «масса» сам по себе относится к массе покоя или инвариантной массе и равенству инвариантной длине время релятивистс кого импульса. Выражается в виде формулы:

E 2 - p 2 c 2 = m 2 c 4 {\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} c ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} }{\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} c ^ {2} = m ^ {2} c ^ { 4}}

Эта формула применима ко всем частицам, как безмассовым, так и массивным. Для безмассовых фотонов он дает такое же соотношение, как установлено ранее, E = ± pc {\ displaystyle E = \ pm pc}{\ displaystyle E = \ pm pc} .

Четыре импульса

Из-за тесной связи между массой и энергией 4 -мерсульссом) также называется 4-вектором энергии-импульса. Используя верхний регистр P для представления четырехимпульса и нижний регистр p для обозначения пространственного сигнала, четырехмерный импульс можно записать как

P ≡ (E / c, p →) = (E / c, px, py, pz) {\ displaystyle P \ Equiv (E / c, {\ vec {p}}) = (E / c, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}{\ displaystyle P \ Equiv (E / c, {\ vec {p}}) = ( E / c, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})} или, альтернативно,
P ≡ (E, p →) = (E, px, py, pz) {\ displaystyle P \ Equiv (E, {\ vec {p}}) = (E, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}{\ displaystyle P \ Equiv (E, {\ vec {p}}) = (E, p_ {x}, p_ {y }, p_ {z})} с использованием соглашения, согласно которому c = 1. {\ displaystyle c = 1.}{\ displaystyle c = 1. }

Законы сохранения

В физика законы сохранения гласят, что измеримые свойства изолированной системы не меняются по мере развития системы с течением времени. В 1915 году Эмми Нётер обнаружила, что в каждом случае сохранения фундаментальная симметрия природы. Тот факт, что они пространственного переноса показывают (), сохранение импульса, тот факт, что такие процессы не заботятся, когда происходят (симметрия перемещения во времени ) дает сохранение энергии и так далее. В этом разделе мы исследуем ньютоновские взгляды на сохранение массы, импульса и энергии с релятивистской точки зрения.

Общий импульс

Рисунок 3-10. Релятивистское сохранение импульса

Чтобы понять, как ньютоновский взгляд на временса должен быть изменен в релятивистском контексте, мы исследуем проблему двух сталкивающихся тел, ограниченных одним измерением.

В механике Ньютона можно выделить два крайних случая проблемы, что дает математику этой минимальной сложности:

(1) Два тела отскакивают друг от друга в полностью упругом столкновении.
(2) Два тела слипаются и продолжают двигаться как одна частица. Этот второй случай является случаем полностью неупругого столкновения.

Для обоих случаев (1) и (2) сохраняются импульс, масса и полная энергия. Однако кинетическая энергия не сохраняется в случаях неупругого столкновения. Определенная часть начальной кинетической энергии преобразуется в тепло.

В случае (2) две массы с импульсами p 1 = mtv 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {\ boldsymbol {1}} = m_ {t} {\ boldsymbol { v}} _ {\ boldsymbol {1}}}{\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {\ boldsymbol {1}} = m_ {t} {\ boldsymbol {v}} _ {\ boldsymbol {1}}} и p 2 = mtv 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {\ boldsymbol {2}} = m_ {t} {\ boldsymbol {v}} _ {\ boldsymbol {2}}}{\ displaystyle { \ boldsymbol {p}} _ {\ boldsymbol {2}} = m_ {t} {\ boldsymbol {v}} _ {\ boldsymbol {2}}} сталкиваются, чтобы произвести единственную частицу сохраненной массы m = m 1 + m 2 {\ displaystyle m = m_ {1} + m_ {2}}{ \ displaystyle m = m_ {1} + m_ {2}} движется в центре масс скорость исходной системы, vcm = (m 1 v 1 + m 2 v 2) / (m 1 + m 2) { \ displaystyle {\ boldsymbol {v_ {cm}}} = \ left (m_ {1} {\ boldsymbol {v_ {1}}} + m_ {2} {\ boldsymbol {v_ {2}})} \ right) / \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right)}{\ displaystyle {\ boldsymbol {v_ {cm}}} = \ left (m_ {1} {\ boldsymbol {v_ {1}}} + m_ {2} {\ boldsymbol {v_ {2}}} \ right) / \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right) } . Общий импульс p = p 1 + p 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {p = p_ {1} + p_ {2}}}}{\ displaystyle {\ boldsymbol { p = p_ {1} + p_ {2}}}} сохраняется.

Рис. 3-10 показывает неупругое столкновение двух частиц с релятивистской точки зрения. Компоненты времени E 1 / c {\ displaystyle E_ {1} / c}{\ displaystyle E_ {1} / c} и E 2 / c {\ displaystyle E_ {2} / c}{\ displaystyle E_ {2} / c} суммируются с общим значением E / c полученное сообщение о сохранении энергии. Аналогично компоненты пространства p 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {p_ {1}}}}{\ displaystyle {\ boldsymbol {p_ {1}}}} и p 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {p_ {2}}}}{\ displaystyle {\ boldsymbol {p_ {2}}}} сложить до формы результирующего события. Как и ожидалось, четырехмерный импульс является сохраняющейся величиной. Однако инвариантная масса слитой частиц, заданная точка, в которой инвариантная гипербола полного импульса пересекает ось энергии, не равна сумме инвариантных масс отдельных столкнувшихся частиц. На самом деле, это больше, чем сумма отдельных масс: m>m 1 + m 2 {\ displaystyle m>m_ {1} + m_ {2}}{\displaystyle m>m_ {1} + m_ { 2}} .

<774 Часть массы преобразуется, когда нестабильная элементарная частица спонтанно распадается на две более легкие частицы, полная энергия остается, но не является массой. в кинетическую энергию.

Выбор системы отсчета

Рисунок 3-11.. (вверху) Лабораторная рамка .. (справа) Центр импульса кадра .

Свобода выбора любой системы отсчета для анализа позволяет нам выбрать ту, которая может быть удобной. "(также называемый кадр с нулевым импульсом или кадр COM). Это система отсчета, в которой пространственная составляющая сигнала системы равна нулю. Рис. 3‑11 показывает распад высокоскоростных частиц на две дочерние частицы. В лабораторном корпусе дочерние частицы преимущественно испускаются в направлении, ориентированном вдоль траектории исходной частицы. Однако в кадре COM две дочерние частицы испускаются в противоположных направлениях, хотя их массы и величина их скоростей, как правило, не совпадают.

Сохранение энергии и импульсса

Сохранение энергии и импульсов преобразования между кадрами простое, потому что все, что необходимо, - это преобразование Галилея всем скоростям. <Времен645>v ′ = v - u {\ displaystyle v '= vu}{\displaystyle v'=v-u}, импульс p ′ = p - mu {\ displaystyle p' = p-mu}{\displaystyle p'=p-mu}. В любом кадре наблюдается сохранение временного состояния системы частиц в одном кадре.

Сохранение импульса в кадре COM сводится к требованию, чтобы p = 0 как до, так и после столкновения. В ньютоновском сохранении массы означает, что m = m 1 + m 2 {\ displaystyle m = m_ {1} + m_ {2}}{ \ displaystyle m = m_ {1} + m_ {2}} . Одно дополнительное ограничение необходимо для использования в одном дополнительном ограничении. В одномерном случае полностью упругого столкновения потери энергии исходящие скорости отскак частиц в кадре COM будут равны и противоположны их входящим скоростям. В случае полностью неупругого столкновения с полной потерей кинетической энергии исходящие скорости отскак частиц будут равны нулю.

Ньютоновские импульсы, рассчитанные как p = mv {\ displaystyle p = mv}p = mv , не работают должным образом при преобразовании Лоренца. Линейное преобразование скоростей v ′ = v - u {\ displaystyle v '= vu}{\displaystyle v'=v-u}заменяется сильно нелинейным v ′ = (v - u) / (1 - vuc 2) {\ displaystyle v ^ {\ prime} = (vu) {\ Big /} \ left (1 - {\ frac {vu} {c ^ {2}}} \ right)}{\ displaystyle v ^ {\ prime} = (vu) { \ Big /} \ left (1 - {\ frac {vu} {c ^ {2}}} \ right)} так что расчет, демонстрирующий сохранение импульса в одном кадре, будет недействительным в других кадрах. Эйнштейн столкнулся с необходимостью либо отказаться от сохранения количества движения, либо изменить определение количества движения. Он выбрал именно этот второй вариант.

Рисунок 3-12a. Диаграмма энергия-импульс для распада заряженного пиона. Рис. 3-12b. Графический калькулятор анализа распада заряженных пионов.

Релятивистский закон сохранения энергии и импульса заменяет три классических закона сохранения энергии, импульса и массы. Масса больше не сохраняется независимо, потому что она включена в общую релятивистскую энергию. Это делает релятивистское сохранение энергии более простой концепцией, чем в нерелятивистской механике, потому что полная энергия сохраняется без каких-либо оговорок. Кинетическая энергия, преобразованная в тепловую или внутреннюю потенциальную энергию, проявляется как увеличение массы.

Пример: Из-за эквивалентности массы и энергии массы элементарных частиц обычно выражаются в единицах энергии, где 1 МэВ = 10 электронов. вольт. Заряженный пион - это частица с массой 139,57 МэВ (примерно в 273 раза больше массы электрона). Он нестабилен и распадается на мюон с массой 105,66 МэВ (примерно в 207 раз больше массы электрона) и антинейтрино, масса которого практически ничтожна. Разница между массой пиона и массой мюона составляет 33,91 МэВ.

. π. → . μ. + . ν. μ

Рис. 3‑12a показана диаграмма энергии-импульса для этой реакции распада в системе покоя пиона. Из-за своей ничтожно малой массы нейтрино движется почти со скоростью света. Релятивистское выражение для его энергии, как и у фотона, есть E v = pc, {\ displaystyle E_ {v} = pc,}{\ displaystyle E_ {v} = pc,} , что также является значением пространственной составляющей его импульс. Для сохранения импульса мюон имеет то же значение пространственной компоненты импульса нейтрино, но в противоположном направлении.

Алгебраический анализ энергетики этой реакции распада доступен в Интернете, поэтому на рис. 3-12b вместо этого представлено решение графического калькулятора. Энергия нейтрино 29,79 МэВ, а энергия мюона 33,91 МэВ - 29,79 МэВ = 4,12 МэВ. Большую часть энергии уносит нейтрино с почти нулевой массой.

Помимо основ

Темы в этом разделе имеют значительно большую техническую сложность, чем в предыдущих разделах, и не являются существенными для понимания Введение в искривленное пространство-время.

Скорость

Рисунок 4- 1а. Луч, проходящий через единичный круг x + y = 1 в точке (cos a, sin a), где a - это удвоенная площадь между лучом, кругом и осью x. Рисунок 4-1b. Луч, проходящий через единичную гиперболу x - y = 1 в точке (ch a, sinh a), где a - это удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью x. Рисунок 4-2. График трех основных гиперболических функций : гиперболического синуса (sinh ), гиперболического косинуса (cosh ) и гиперболического тангенса (tanh ). Sinh красный, cosh синий и tanh зеленый.

Преобразования Лоренца связывают координаты событий в одном кадре отсчета с координатами событий другого кадра. Релятивистская композиция скоростей используется для сложения двух скоростей. Формулы для выполнения последних вычислений являются нелинейными, что делает их более сложными, чем соответствующие формулы Галилея.

Эта нелинейность является артефактом нашего выбора параметров. Ранее мы отмечали, что на пространственно-временной диаграмме x – ct точки на некотором постоянном пространственно-временном интервале от начала координат образуют инвариантную гиперболу. Мы также отметили, что системы координат двух пространственно-временных систем отсчета в стандартной конфигурации гиперболически повернуты относительно друг друга.

Естественными функциями для выражения этих отношений являются гиперболические аналоги тригонометрических функций. На рис. 4‑1a показана единичная окружность с sin (a) и cos (a), единственная разница между этой диаграммой и известной единичной окружностью элементарной тригонометрии состоит в том, что a интерпретируется, а не как угол между лучом и осью x, но в два раза больше площади сектора, выметенного лучом от оси x. (В числовом выражении угол и 2 × меры площади для единичного круга идентичны.) На рис. 4‑1b показана гипербола единицы с sinh (a) и ch (a), где a также интерпретируется как вдвое больше тонированной площади. На рис. 4‑2 представлены графики функций sh, ch и tanh.

Для единичной окружности наклон луча определяется выражением

slope = tan ⁡ a = sin ⁡ a cos ⁡ a. {\ displaystyle {\ text {slope}} = \ tan a = {\ frac {\ sin a} {\ cos a}}.}{\ displaystyle {\ text {slope}} = \ tan a = {\ frac {\ sin a} {\ cos a}}.}

В декартовой плоскости поворот точки (x, y) в точку ( x ', y') на угол θ задается как

(x ′ y ′) = (cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ) (xy). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta - \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ cos \ theta \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ end {pmatrix}}.}{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta -\sin \theta \\\sin \theta \cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.}

На пространственно-временной диаграмме параметр скорости β {\ displaystyle \ beta}\ beta - аналог наклона. Скорость φ определяется выражением

β ≡ tanh ⁡ ϕ ≡ vc, {\ displaystyle \ beta \ Equiv \ tanh \ phi \ Equiv {\ frac {v} {c}},}{\ displaystyle \ beta \ Equiv \ tanh \ phi \ Equiv {\ frac {v} {c}},}

где

tanh ⁡ ϕ = sh ⁡ ϕ ch ⁡ ϕ = e ϕ - e - ϕ e ϕ + e - ϕ. {\ displaystyle \ tanh \ phi = {\ frac {\ sinh \ phi} {\ cosh \ phi}} = {\ frac {e ^ {\ phi} -e ^ {- \ phi}} {e ^ {\ phi } + e ^ {- \ phi}}}.}{\ displaystyle \ tanh \ phi = {\ frac {\ sinh \ phi} {\ cosh \ phi}} = {\ frac {e ^ {\ phi} -e ^ {- \ phi}} {e ^ {\ phi} + e ^ {- \ phi}}}.}

Скорость, определенная выше, очень полезна в специальной теории относительности, поскольку многие выражения принимают значительно более простую форму, когда выражаются через нее. Например, скорость просто аддитивна в формуле коллинеарного сложения скорости;

β = β 1 + β 2 1 + β 1 β 2 = {\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ beta _ {1} + \ beta _ {2}} {1+ \ beta _ {1} \ beta _ {2}}} =}{\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ beta _ {1} + \ beta _ {2}} {1+ \ beta _ {1} \ beta _ {2} }} =} tanh ⁡ ϕ 1 + tanh ⁡ ϕ 2 1 + tanh ⁡ ϕ 1 tanh ⁡ ϕ 2 = {\ displaystyle {\ frac {\ tanh \ phi _ {1} + \ tanh \ phi _ {2}} {1+ \ tanh \ phi _ {1} \ tanh \ phi _ {2}}} =}{\ displaystyle {\ frac {\ tanh \ phi _ {1} + \ tanh \ phi _ {2}} {1+ \ tanh \ phi _ {1} \ tanh \ phi _ { 2}}} =} tanh ⁡ (ϕ 1 + ϕ 2), {\ displaystyle \ tanh (\ phi _ {1} + \ phi _ {2}),}{\ displaystyle \ tanh (\ phi _ {1} + \ phi _ {2}),}

или, другими словами, ϕ = ϕ 1 + ϕ 2. {\ displaystyle \ phi = \ phi _ {1} + \ phi _ {2}.}{\ displaystyle \ phi = \ phi _ {1} + \ phi _ {2}.}

Преобразования Лоренца принимают простую форму, когда выражаются в терминах скорости. Коэффициент γ можно записать как

γ = 1 1 - β 2 = 1 1 - tanh 2 ⁡ ϕ {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}. }} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ phi}}}}{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt { 1- \ tanh ^ {2} \ phi}}}} = cosh ⁡ ϕ, {\ displaystyle = \ cosh \ phi,}{\ displaystyle = \ cosh \ phi,}
γ β знак равно β 1 - β 2 знак равно tanh ⁡ ϕ 1 - tanh 2 ⁡ ϕ {\ displaystyle \ gamma \ beta = {\ frac {\ beta} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} = {\ frac {\ tanh \ phi} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ phi}}}}{\ displaystyle \ gamma \ beta = {\ frac {\ beta} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} = {\ гидроразрыв {\ tanh \ phi} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ phi}}} = sinh ⁡ ϕ. {\ displaystyle = \ sinh \ phi.}{\ di splaystyle = \ зп \ фи.}

Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются повышениями.

Подставляя γ и γβ в преобразования, как описано ранее, и переписывая в матричной форме, усиление Лоренца в направлении x может быть записано как

(ct ′ x ′) = (ch ⁡ ϕ - sinh ⁡ ϕ - зп ⁡ ϕ сш ⁡ ϕ) (CTX), {\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} ct '\\ x' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ phi - \ sinh \ phi \\ - \ sinh \ phi \ cosh \ phi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}},}{\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi -\sinh \phi \\-\sinh \phi \cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},}

и обратное усиление Лоренца в x- направление может быть записано как

(ctx) = (ch ⁡ ϕ sinh ⁡ ϕ sinh ⁡ ϕ ch ⁡ ϕ) (ct ′ x ′). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ phi \ sinh \ phi \\\ sinh \ phi \ cosh \ phi \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} ct '\\ x' \ end {pmatrix}}.}{\displaystyle {\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi \sinh \phi \\\sinh \phi \cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.}

Другими словами, повышения Лоренца представляют собой гиперболические вращения в пространстве-времени Минковского.

Преимущества использования гиперболических функций таковы, что некоторые учебники, такие как классические книги Тейлора и Уиллера, вводят их использование на очень ранней стадии.

4-вектора

Были упомянуты четыре вектора выше в контексте 4-вектора энергии-импульса, но без особого акцента. В самом деле, ни один из элементарных выводов специальной теории относительности не требует их. Но однажды понятые, 4-векторы, и в более общем плане тензоры, значительно упрощают математику и концептуальное понимание специальной теории относительности. Работа исключительно с такими объектами приводит к формулам, которые явно релятивистски инвариантны, что является значительным преимуществом в нетривиальных контекстах. Например, демонстрация релятивистской инвариантности уравнений Максвелла в их обычной форме нетривиальна, в то время как это просто рутинный расчет (на самом деле не более чем наблюдение) с использованием формулировки тензора напряженности поля . С другой стороны, общая теория относительности с самого начала в значительной степени полагается на 4-векторы и, в более общем смысле, тензоры, представляющие физически значимые объекты. Чтобы связать их с помощью уравнений, не зависящих от конкретных координат, требуются тензоры, способные связывать такие 4-вектора даже в искривленном пространстве-времени, а не только в плоском, как в специальной теории относительности. Изучение тензоров выходит за рамки этой статьи, которая дает только базовое обсуждение пространства-времени.

Определение 4-векторов

4-кортеж, A = (A 0, A 1, A 2, A 3) {\ displaystyle A = \ left (A_ { 0}, A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} \ right)}{\ displaystyle A = \ left (A_ {0}, A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} \ right)} является «4-вектором», если его компонент A i преобразуется между кадрами в соответствии с преобразование Лоренца.

При использовании координат (ct, x, y, z) {\ displaystyle (ct, x, y, z)}{\ displaystyle (ct, x, y, z)} , A является 4-вектором, если он преобразуется (в направлении x) согласно

A 0 ′ = γ (A 0 - (v / c) A 1) A 1 ′ = γ (A 1 - (v / c) A 0) A 2 ′ = A 2 A 3 ′ = A 3 {\ displaystyle {\ begin {align} A_ {0} '= \ gamma \ left (A_ {0} - (v / c) A_ {1} \ right) \\ A_ { 1} '= \ gamma \ left (A_ {1} - (v / c) A_ {0} \ right) \\ A_ {2}' = A_ {2} \\ A_ {3} '= A_ {3} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}'=\gamma \left(A_{0}-(v/c)A_{1}\right)\\A_{1}'=\gamma \left(A_{1}-(v/c)A_{0}\right)\\A_{2}'=A_{2}\\A_{3}'=A_{3}\end{aligned}}}

, который получается из простой замены ct на A 0 и x на A 1 в более раннем представлении Преобразование Лоренца.

Как обычно, когда мы пишем x, t и т.д., мы обычно имеем в виду Δx, Δt и т.д.

Последние три компонента 4-вектора должны быть стандартным вектором в трех пространственное пространство. Следовательно, 4-вектор должен преобразовываться как (c Δ t, Δ x, Δ y, Δ z) {\ displaystyle (c \ Delta t, \ Delta x, \ Delta y, \ Delta z)}{\ displays tyle (c \ Delta t, \ Delta x, \ Delta y, \ Delta z)} при преобразованиях Лоренца, а также при поворотах.

Свойства 4-векторов

  • Замыкание при линейной комбинации: Если A и B 4-векторы, то C = a A + a B {\ displaystyle C = aA + aB}{\ displaystyle C = aA + aB} также является 4-вектором.
  • Инвариантность внутреннего произведения: Если A и B являются 4-векторами, то их внутренний продукт (скалярное произведение) инвариантно, т.е. их внутренний продукт не зависит от кадра, в котором он вычисляется. Обратите внимание, как вычисление внутреннего произведения отличается от вычисления внутреннего произведения 3-вектора. Далее A → {\ displaystyle {\ vec {A}}}{\ vec {A}} и B → {\ displaystyle {\ vec {B}}}{\ vec {B}} являются 3-вектора:
A ⋅ B ≡ {\ displaystyle A \ cdot B \ Equiv}{\ displaystyle A \ cdot B \ Equiv} A 0 B 0 - A 1 B 1 - A 2 B 2 - A 3 B 3 ≡ {\ displaystyle A_ {0 } B_ {0} -A_ {1} B_ {1} -A_ {2} B_ {2} -A_ {3} B_ {3} \ Equiv}{\ displaystyle A_ {0} B_ {0} -A_ {1} B_ {1} -A_ {2} B_ {2} -A_ {3} B_ {3} \ Equiv} A 0 B 0 - A → ⋅ B → {\ displaystyle A_ {0} B_ {0} - {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}}}{\ displaystyle A_ {0 } B_ {0} - {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}}}
Помимо того, что он инвариантен относительно преобразования Лоренца, указанный выше внутренний продукт также инвариантен относительно вращения в 3 -пространство.
Два вектора называются ортогональными, если A ⋅ B = 0. {\ displaystyle A \ cdot B = 0.}{\ displaystyle A \ cdot B = 0.} В отличие от случая с 3-векторами ортогональные 4-векторы не обязательно расположены под прямым углом друг к другу. Правило состоит в том, что два 4-вектора ортогональны, если они смещены на равные и противоположные углы от линии 45 °, которая является мировой линией светового луча. Это означает, что светоподобный 4-вектор ортогонален сам себе.
  • Инвариантность величины вектора: Величина вектора - это внутреннее произведение 4-вектора на себя и не зависит от кадра свойство. Как и в случае интервалов, величина может быть положительной, отрицательной или нулевой, так что векторы называются времениподобными,пространственноподобными или нулевыми (светоподобными). Обратите внимание, что нулевой вектор - это не то же самое, что нулевой вектор. Нулевой вектор - это вектор, для которого A ⋅ A = 0, {\ displaystyle A \ cdot A = 0,}{\ displaystyle A \ cdot A = 0,} , а нулевой вектор - это вектор, все компоненты которого равны нулю. Особые случаи, иллюстрирующие нормы инвариантности, включая инвариантный интервал c 2 t 2 - x 2 {\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}}{\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}} и инвариантная длина вектора релятивистского импульса E 2 - p 2 c 2. {\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} c ^ {2}.}{\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2 } c ^ {2}.}

Примеры 4-векторов

  • 4-векторов с ущербом: Также известный как пространственно-временное разделение, это (Δt, Δx, Δy, Δz), или для бесконечно малых разделений (dt, dx, dy, dz).
d S ≡ (dt, dx, dy, dz) {\ displaystyle dS \ Equiv (dt, dx, dy, dz)}{\ displaystyle dS \ Equiv (dt, dx, dy, dz)}
  • 4-вектор скорости: Это получается, когда 4-вектор с повреждением делится на d τ {\ displaystyle d \ tau}{\ displaysty le d \ tau} , где d τ {\ displaystyle d \ tau}{\ displaysty le d \ tau} - собственное время между двумя событиями, которые дают dt, dx, dy и dz.
В ≡ d S d τ знак равно (dt, dx, dy, dz) dt / γ = {\ Displaystyle V \ Equ {\ frac {dS} {d \ tau}} = {\ frac {(dt, dx, dy, dz)} {dt / \ gamma}} =}{\ displaystyle V \ Equiv {\ frac {dS} {d \ tau}} = {\ frac {(dt, dx, dy, dz)} {dt / \ gamma}} =} γ (1, dxdt, dydt, dzdt) = {\ displaystyle \ gamma \ left (1, {\ frac {dx} {dt}}, {\ frac {dy} {dt}}, {\ frac {dz)} {dt}} \ right) =}{ \ displaystyle \ gamma \ left (1, {\ frac {dx} {dt}}, {\ frac {dy} {dt}}, {\ frac {dz} {dt}} \ right) =} (γ, γ v →) {\ displaystyle (\ gamma, \ gamma {\ vec { v}})}{\ displaystyle (\ gamma, \ gamma {\ vec {v}})}
Рис. 4-3а. Мгнов движущиеся системы отсчета ускоряющейся частицы, наблюдаемые из неподвижной системы координат. Рис. 4-3b. Мгновенно движущиеся системы отсчета вдоль траектории ускоряющегося наблюдателя (в центре).
4-скорость касается мировой линии частиц и имеет размер, равную одной единице времени в системе частиц частиц.
У ускоренных частиц нет инерциальной системы отсчета, в которой она всегда находится в состоянии покоя. Однако всегда можно найти инерциальную систему отсчета, которая мгновенно движется вместе с частицами. Этот кадр, мгновенно движущаяся система отсчета (MCRF), позволяет применить специальную теорию относительности к анализу ускоренных частиц.
Поскольку фотоны движутся по нулевым линиям, d τ = 0 {\ displaystyle d \ tau = 0}{\ displaystyle d \ tau = 0} для фотона и 4-скорость не может быть определена. Не существует системы отсчета, в которой фотон находится в состоянии покоя, и установить MCRF на пути фотона.
  • 4-вектор энергии-импульса:
P ≡ (E / c, p →) = (E / c, px, py, pz) {\ displaystyle P \ Equiv (E / c, {\ vec { p}}) = (E / c, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}{\ displaystyle P \ Equiv (E / c, {\ vec {p}}) = ( E / c, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}
Как указывалось ранее, существуют различные трактовки 4-вектора энергии-импульса, так что его можно также увидеть выраженным как (E, p →) {\ displaystyle (E, {\ vec {p}})}{\ displaystyle (E, {\ vec {p}) })} или (E, p → c). {\ displaystyle (E, {\ vec {p}} c).}{\ di splaystyle (E, {\ vec {p}} c).} Первый компонент - это полная энергия (включая массу) частиц (или системы частиц) в заданном кадре, остальные компоненты - это его пространственный импульс. 4-вектор энергии-импульса является сохраняющейся величиной.
  • 4-вектор ускорения: Это результат взятия производной 4-вектора скорости по τ. {\ Displaystyle \ тау.}{\ displaystyle \ tau.}
A ≡ d V d τ = {\ Displaystyle A \ Equiv {\ frac {dV} {d \ tau}} =}{\ displaystyle A \ Equiv {\ frac {dV} {d \ tau}} =} dd τ (γ, γ v →) = {\ displaystyle {\ frac {d} {d \ tau}} (\ gamma, \ gamma {\ vec {v}}) =}{\ displaystyle {\ frac {d} {d \ tau}} (\ gamma, \ gamma {\ vec {v}}) =} γ (d γ dt, d (γ v →) dt) {\ displaystyle \ gamma \ left ({\ frac {d \ gamma} {dt}}, {\ frac {d (\ gamma {\ vec {v}})} {dt}} \ right)}{\ displaystyle \ gamma \ left ({\ frac {d \ gamma}) {dt}}, {\ frac {d (\ gamma {\ vec {v}})} {dt}} \ right)}
  • Force 4- вектор: Это производная 4-моментса по τ. {\ Displaystyle \ тау.}{\ displaystyle \ tau.}
F ≡ d P d τ = {\ Displaystyle F \ Equiv {\ frac {dP} {d \ tau}} =}{\ displayst yle F \ Equiv {\ frac {dP} {d \ tau}} =} γ (d E dt, dp → dt) = {\ displaystyle \ gamma \ left ({\ frac {dE} {dt}}, {\ frac {d {\ vec {p}}} {dt}} \ right) =}{\ displaystyle \ gamma \ l eft ({\ frac {dE} {dt}}, {\ frac {d {\ vec {p}}} {dt}} \ right) =} γ (d E dt, е →) {\ displaystyle \ gamma \ left ({\ frac {dE} {dt}}, {\ vec {f}} \ right)}{\ displaystyle \ gamma \ left ({\ frac {dE} {dt}}, {\ vec {f}} \ right)}

Как и ожидалось, последние компоненты вышеуказанных 4-векторов представляют собой все стандартные 3-изображение, соответствующее пространственное изображение 3-мерсу, 3-силе и т. д.

4-приспособление и физический закону

Первый постулат теории относительности заявляет об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета. Физический закон, удерживаемый в одном кадре. Ньютоновские импульсы не работают должным образом при преобразовании Лоренца, и Эйнштейн предпочел изменить настройку на определение, включающее 4-качество, чем сохранить от сохранения импульсса.

Физические законы должны основываться на конструкциях, не зависящих от кадра. Это означает, что физические законы принимают форму, связывающие скаляры, которые всегда не зависят от системы отсчета. Однако уравнения с 4-векторами требуют использования тензоров с использованием рангом, которые сами по себе можно рассматривать как построенные из 4-х векторов.

Ускорение

Распространенным заблуждением то, что специальная теория относительности применима только к инерциальным системам отсчета, и что она не может обрабатывать ускоряющиеся объекты или ускоряющиеся системы отсчета. Фактически, ускоряющиеся объекты обычно можно анализировать без необходимости иметь дело с нашими кадрами. Общая теория относительности требуется только тогда, когда гравитация имеет значение.

Правильная обработка ускоряющихся кадров требует некоторой осторожности. Разница между специальной и общей теориями относительности в том, что (1) в специальной теории относительности, а ускорение абсолютное. (2) В общей теории относительности все движения относительны, будь то инерционные, ускоряющиеся или вращательные. Чтобы учесть это различие, общая теория относительности использует искривленное пространство-время.

В этом разделе мы анализируем несколько сценариев, включающих ускоренные системы отсчета.

Парадокс космического корабля Девана-Берана-Белла

Парадокс космического корабля Девана-Берана-Белла (парадокс космического корабля Белла ) является хорошим примером проблемы, в которой интуитивное рассуждение без помощи геометрического понимания пространственно-временного подхода может привести к проблемам.

Рисунок 4-4. Парадокс космического корабля Девана - Берана - Белла

На рис. 4‑4 два идентичных космических корабля плавают в рекламе и покоятся друг относительно друга. Они связаны веревкой, которая может растягиваться только на ограниченное количество перед разрывом. Оба космических корабля ускоряются в одном направлении по линии между ними с одинаковым постоянным ускорением. Будет ли струна порваться?

Когда парадокс был новым и относился к неизвестно, но даже профессиональные физики с трудом могли найти решение. Два аргумента приводят к противоположным выводам. Оба аргумента, которые представлены ниже, ошибочны, хотя один из них дает правильный ответ.

  1. Для наблюдателей в системе покоя космические корабли начинают движение на расстоянии L друг от друга и остаются на том же расстоянии друг от друга во время ускорения. Во время ускорения L - это расстояние сокращенное до расстояния L '= γL в ускоряющихся космических кораблей. По прошествии длительного времени γ увеличивается до достаточно большого коэффициента, чтобы струна могла порваться.
  2. Пусть A и B будут задним и переднимскими космическими кораблями. В кадре космических кораблей каждый космический корабль видит, что другой космический корабль делает то же самое, что и он. A говорит, что у B такое же ускорение, что и у него, и B видит, что A соответствует каждому ее движению. Таким образом, космические корабли остаются на одинаковом расстоянии друг от друга, и струна не рвется.

Проблема с первым аргументом состоит в том, что нет «корпуса космических кораблей». Не может быть, потому что два космических корабля измеряют растущее расстояние между ними. Длина строки не определена. Тем не менее вывод верный, и аргумент в основном верный. Второй аргумент, однако, полностью игнорирует относительность одновременности.

Рис. 4-5. Синие линии двух наблюдателей A и B, которые ускоряются в одном направлении с одинаковым ускорением постоянной величины. В точках A 'и B' наблюдатели перестают ускоряться. Пунктирная линия - это линия одновременности для любого наблюдателя после остановки ускорения.

Пространственно-временная диаграмма (рис. 4‑5) делает правильное решение этого парадокса почти сразу. Два наблюдателя в пространстве-времени Минковского ускоряются с величиной k {\ displaystyle k}к ускорение для собственного времени σ {\ displaystyle \ sigma}\ sigma (измеряется постоянное ускорение и Геометрия Минковского длины пространственноподобного участка A ′ B ″ {\ displaystyle A'B '}<. (прошедшее время самими наблюдателями, а не каким-то инерционным наблюдателем). 507>оказывается больше, чем длина пространственодобного участка AB {\ displaystyle AB}AB .

Увеличение длины можно вычислить с помощью преобразования Лоренца. Если, как показано на рис. 4‑5, ускорение закончится, кораблиутся с постоянным смещением в некотором некотором кадре S '. {\ displaystyle S'.}{\displaystyle S'.}Если x A {\ displaystyle x_ {A}}x_{{A}}и x B = x A + L {\ displaystyle x_ {B} = x_ {A} + L}x _ {{B}} = x_ {{A}} + L - позиция кораблей в S, {\ displaystyle S,}S, позиция в кадре S ′ {\ Displaystyle S '}S':

x A ′ = γ (x A - vt) x B ′ = γ (x A + L - vt) L ′ = x B ′ - x A ′ = γ L {\ displaystyle {\ begin {align} x '_ {A} = \ gamma \ left (x_ {A} -vt \ right) \\ x' _ {B} = \ gamma \ left (x_ {A} + L- vt \ right) \\ L '= x' _ {B} -x '_ {A} = \ gamma L \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}}

"Парадокс" как бы происходит из того, как Белл построил свой пример. В обычном обсуждении лоренцевского сокращения длина покоя фиксирована, длина перемещения укорачивается, как измерено в кадре S {\ displaystyle S}S . Как показано на рис. 4‑5, пример Белла утверждает длину перемещения AB {\ displaystyle AB}AB и A ′ B ′ {\ displaystyle A'B '}A'B', измеренное в кадре S {\ displaystyle S}S , которое необходимо зафиксировать, тем самым вынуждая оставшуюся длину кадра A 'B ″ {\ displaystyle A'B' '}{\displaystyle A'B''}в кадре S ′ {\ displaystyle S '}S'для увеличения.

Ускоренный наблюдатель с горизонтом

Определенные постановки задач специальной теории относительности к пониманию явлений, обычно связанных с общей теорией относительности, таких как горизонты событий. В тексте, сопровождающем рис. 2‑7, пурпурные гиперболы представляют собой фактические пути, которые отслеживает постоянно ускоряющийся путешественник в визу-времени. В периоде положительного ускорения скорость путешественника приближается к скорости света, в то время как измеренное в нашей системе ускорение путешественника постоянно уменьшается.

Рисунок 4-6. Ускоренный релятивистский наблюдатель с горизонтом. Еще одну хорошо прорисованную иллюстрацию той же темы можно увидеть здесь.

Рис. 4‑6 более подробных просмотренных функций движений путешественника. В любой данный момент ее пространственной ось образована линией, проходящая через начало координат и ее текущее положение в гиперболе, в то время как ее ось времени является касательной к гиперболе в ее положении. Параметр скорости β {\ displaystyle \ beta}\ beta приближается к пределу в единице при увеличении c t {\ displaystyle ct}ct . Аналогично γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma стремится к бесконечности.

Форма инвариантной гиперболы соответствует траектории постоянного ускорения. Это демонстрируется следующим образом:

  1. Мы помним, что β = c t / x. {\ displaystyle \ beta = ct / x.}{\ displaystyle \ beta = ct / x.}
  2. Бук c 2 t 2 - x 2 = s 2, {\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} = s ^ {2},}{\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} = s ^ {2},} заключаем, что β (ct) = ct / c 2 t 2 - s 2. {\ displaystyle \ beta (ct) = ct / {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -s ^ {2}}}.}{\ displaystyle \ beta (ct) = ct / {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -s ^ {2}}}.}
  3. γ = 1/1 - β 2 = {\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2} }} =}{\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} =} c 2 t 2 - s 2 / s {\ displaystyle {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -s ^ {2}}} / s}{\ displaystyle {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -s ^ {2}}} / s}
  4. Из закона релятивистской силы, F = dp / dt = {\ displaystyle F = dp / dt =}{ \ displaystyle F = dp / dt =} dpc / d (ct) = d (β γ mc 2) / d (ct). {\ displaystyle dpc / d (ct) = d (\ beta \ gamma mc ^ {2}) / d (ct).}{\ displaystyle dpc / d (ct) = d (\ beta \ gamma mc ^ {2 }) / d (ct).}
  5. Подстановка β (ct) {\ displaystyle \ beta (ct)}{\ displaystyle \ beta (ct)} из шага 2 и выражение для γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma из шага 3 дает F = mc 2 / s, {\ displaystyle F = mc ^ {2 } / s,}{\ displaystyle F = mc ^ {2} / s,} , которое является постоянным выражением.

Рис. 4-6 иллюстрирует конкретный расчетный сценарий. Теренс (A) и Стелла (B) находятся вместе в 100 световых часах от начала координат. Стелла взлетает в момент 0, ее космический корабль ускоряется со скоростью 0,01 градуса в час. Каждые двадцать часов Теренс сообщает Стелле по радио о ситуации в доме (сплошные зеленые линии). Стелла но получает эти регулярные передачи, увеличивающееся расстояние (частично компенсирующее замедление времени), как измеряется ее часами, и она никогда не получает никаких сообщений от Теренса после 100 часов по его часам (пунктирная зеленая линия линий).

Через 100 часов по часам Теренса Стелла входит в темную область. Она путешествовала за пределы похожего на времени будущего Теренса. С другой стороны, Теренс может продолжать получать сообщения Стеллы ему бесконечно. Ему просто нужно подождать достаточно долго. Пространство-время было разделено на отдельные области, разделенные очевидным горизонтом событий. Пока Стелла продолжает ускоряться, она никогда не узнает, что происходит за этим горизонтом.

Введение в искривленное пространство-время

Основные положения

Теории Ньютона предполагали, что движение происходит на заднем фоне. которая распространяется во всем пространство и во все времена. Гравитация опосредуется действующей силой, мгновенно действующей на расстоянии, действия которой не зависит от промежуточного пространства. Напротив, Эйнштейн отрицал существование какой-либо фоновой евклидовой системы отсчета, которая простирается во всем пространстве. Нет и такой вещи, как сила гравитации, только структура самого пространства-времени.

Рис. 5-1. Приливные эффекты.

С точки зрения пространства-времени, путь спутника, вращающегося вокруг Земли, не зависит от отдаленных влияний Земли, Луны и Солнца. Вместо этого спутник перемещается в космос только в зависимости от местных условий. Временное пространство-время везде локально плоское, если рассматривать его в достаточно малом масштабе, спутник всегда следует линии в своей локальной инерциальной системе отсчета. Мы говорим, что спутник всегда следует по пути геодезической. Никаких наблюдений гравитации не наблюдается.

В исследовании любого пространства-времени свидетельство гравитации требует, чтобы человек наблюдал относительные ускорения двух тел или двух разделенных частиц. На рис. 5‑1 две частицы отдельные, свободно падающие в гравитационном поле Земли, демонстрируют приливные ускорения из-за локальных путей в гравитационном поле, так что каждая часть проходит по разному пути в пространстве-времени. Приливные ускорения, которые проявляют эти частицы друг друга, не требуют сил для своего объяснения. Скорее, Эйнштейн описал их в терминах геометрии пространства-времени, то есть кривизны пространства-времени. Эти приливные ускорения строго локальны. Это совокупный эффект многих проявлений кривизны, которые приводят к появлению гравитационной силы, действующей на большом расстоянии от Земли.

В основе общей теории относительности лежат два центральных положения.

  • Первая важная концепция - независимость координат: законы физики не могут зависеть от того, какую систему координат использовать. Это серьезный принцип распространения относительности по сравнению с обычной версией, используемой в специальной теории относительности, которая гласит. В общей теории относительности, если используются собственные (переведенные) слова Эйнштейна, «законы физики иметь природу. Это приводит к немедленной проблеме: в ускоренных кадрах ощущения силы, которые, казалось бы, позволяют оценить состояние ускорения в абсолютном смысле. Эйнштейн решил эту проблему с помощью принципа эквивалентности.
Рис. 5-2. Принцип эквивалентности
  • Принцип эквивалентности утверждает, что в любой области достаточно малой области гравитации такие же, как и от ускорения.
На рис. 5-2 человек A находится в космический корабль, вдали от массивных объектов, который испытывает равномерное ускорение g. Человек Б находится в ящике на Земле. При условии, что космический корабль достаточно, так что приливные измерителя мощности (современные средства измерения силы тяжести, предположительно, могут быть лилипуты ), нет экспериментов, которые могли бы провести. что позволит им определить, в какой обстановке они находятся.
Альтернативное выражение принципа эквивалентности состоит в том, чтобы в универсальном законе тяготения Ньютона F = GMm g / r = m g g, а во втором законе Ньютона F = m i a, нет априорной причины, почему гравитационная масса mgдолжна быть равна инертная масса mi. Принцип эквивалентности утверждает, что эти две массы идентичны.

Чтобы перейти от приведенного выше элементарного описания искривленного пространства-времени к полному описанию гравитации, требуются тензорное исчисление и дифференциальная геометрия, и обе эти темы требуют серьезного изучения. Без этих математических инструментов можно писать об общей теории относительности, но невозможно написать какие-либо нетривиальные выводы.

Кривизна времени

Рисунок 5-3. Аргумент Эйнштейна о гравитационном красном смещении

При обсуждении специальной теории относительности силы играли более чем второстепенную роль. Специальная теория предполагает способность определять инерциальные системы отсчета, заполняющие все пространство-время, все часы, которые идут с той же скоростью, что и часы в начале координат. Это реально возможно? В неоднородном гравитационном поле эксперимент подсказывает, что ответ отрицательный. Гравитационные поля делают невозможным построение глобальной инерциальной системы отсчета. В достаточно малых областях пространства-времени все еще возможны локальные инерциальные системы отсчета. Общая теория относительности включает систематическое сшивание этих локальных систем отсчета в общей картине пространства-времени.

Вскоре после публикации теории в 1916 году ряд ученых указали, предсказывает существование гравитационного поля. красное смещение. Сам Эйнштейн следующий мысленный эксперимент : (i) Предположим, что была построена башня высотой h (рис. 5‑3). (ii) Сбросьте частицу с массой покоя m с вершины башни. Он свободно падает с ускорением g, достигая земли со скоростью v = (2gh), так что его полная энергия E, измеренная наблюдателем на земле, составляет m + 1 2 mv 2 c 2 = m + mghc 2 {\ displaystyle m + {\ frac {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2}} {c ^ {2}}} = m + {\ frac {mgh} {c ^ {2}}}}{\ displaystyle m + {\ frac {{\ fr ac {1} {2}} mv ^ {2}} {c ^ {2}}} = m + {\ frac {mgh } {c ^ {2}}} (iii) преобразователь в энергию преобразует частицы в одиночный фотон энергии, который она направляет вверх. (iv) В верхней части башни преобразователь массы преобразует преобразователь преобразователя E 'обратно в часть с массой покоя m'.

Должно быть, что m = m ', иначе можно было бы сконструировать вечный двигатель . Следовательно, мы прогнозируем, что E '= m, так что

E ′ E = h ν ′ h ν = mm + mghc 2 = 1 - ghc 2 {\ displaystyle {\ frac {E'} {E}} = {\ frac {h \ nu \, '} {h \ nu}} = {\ frac {m} {m + {\ frac {mgh} {c ^ {2}}}}} = 1 - {\ frac { gh} {c ^ {2}}}}{\displaystyle {\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}={\frac {m}{m+{\frac {mgh}{c^{2}}}}}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}}

Фотон, поднимающийся в гравитационном поле Земли, теряет энергию и смещается в красную сторону. Ранние измерить это красное смещение с помощью астрономических наблюдений были выполнены Паундом и Ребкой (1959), а Паундом и Снайдером (1964).

Свет, ассоциированная частота, и эта частота приветствуется, общение для управления работой часов. Гравитационное красное смещение приводит к важному выводу о самом времени: гравитация заставляет время течь медленнее. Предположим, мы построили два одинаковых часов, скорость которых контролируется некоторым стабильным атомным переходом. Поместите одни часы на вершину башни, в то время как другие часы останутся на земле. Экспериментатор на вершине башни отмечает, что сигналы наземных часов ниже по частоте, чем сигналы часов рядом с ней на башне. Свет, поднимающийся на башню, - это просто волна. На вершину башни приходит ровно столько же колебаний света, сколько испускалось внизу. Экспериментатор приходит к выводу, что наземные часы идут медленно, и может подтвердить это, чтобы сравнить их с наземными часами. Для башни длиной 1 км расхождение составит около 9,4 наносекунды в день, что легко измерить с помощью современных приборов.

Часы в гравитационном поле не все идут с одинаковой скоростью. Такие эксперименты, как эксперимент Паунда - Ребки, твердо установили кривизну временной составляющей пространства-времени. Эксперимент Паунда - Ребки ничего не говорит о кривизне пространственной компоненты пространства-времени. Но теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, вообще не зависят от деталей общей теории относительности. Любая теория гравитации предсказывает гравитационное замедление времени, если соблюдает принцип эквивалентности. Это включает в себя ньютоновскую гравитацию. Стандартная демонстрация в общей теории относительности - показать, как в «ньютоновском пределе » (т.е. частицы движутся медленно, гравитационное поле слабое, а поле статическое) одной кривизны времени достаточно. вывести закон всемирного тяготения Ньютона.

Ньютоновская гравитация - это теория искривленного времени. Общая теория относительности - это теория искривленного времени и искривленного пространства. Учитывая G как гравитационную постоянную, M как массу ньютоновской звезды и вращающихся тел незначительной массы на расстоянии r от звезды, пространственно-временной интервал для ньютоновской гравитации - это интервал, для которого изменяется только временной коэффициент:

Δ s 2 знак равно (1-2 GM c 2 р) (c Δ t) 2 - (Δ x) 2 - (Δ y) 2 - (Δ z) 2 {\ displaystyle \ Delta s ^ {2} = \ left ( 1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) (c \ Delta t) ^ {2} - \, (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ { 2} - (\ Delta z) ^ {2}}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) (c \ Delta t) ^ {2} - \, ( \ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}

Кривизна пространства

(1-2 GM / (c 2 r)) {\ displaystyle (1-2GM / ( c ^ {2} r))}{\ displaystyle (1-2GM / (c ^ {2} r))} коэффициент перед (c Δ t) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t) ^ {2}}{\ displaystyle (c \ Delta t) ^ {2}} описывает искривление времени в ньютоновской гравитации, и эта кривизна полностью объясняет все ньютоновские гравитационные эффекты. Как и ожидалось, этот поправочный коэффициент прямо пропорционален G {\ displaystyle G}G и M {\ displaystyle M}M , а также из-за r {\ displaystyle r}r в знаменателе поправочный коэффициент увеличивается по мере приближения к гравитирующему телу, что означает искривление времени.

Но общая теория относительности - это теория искривленного пространства и искривленного времени, поэтому, если есть термины, изменяющие пространственные компоненты пространственно-временного интервала, представленные выше, разве их влияние не должно быть замечено, скажем, на планетных и спутниковых орбитах? из-за поправочных коэффициентов кривизны, применяемых к пространственным условиям?

Ответ в том, что они видны, но эффект крошечный. Причина в том, что скорости планет чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света, поэтому для планет и спутников солнечной системы (c Δ t) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t) ^ {2} }{\ displaystyle (c \ Delta t) ^ {2}} термин затмевает пространственные термины.

Несмотря на малость пространственных терминов, первые признаки того, что что-то не так с ньютоновской гравитацией, были обнаружены более полутора веков назад. В 1859 году Урбен Леверье в анализе доступных временных наблюдений прохождения Меркурия над диском Солнца с 1697 по 1848 год сообщил, что известная физика не может объяснить орбиту Меркурия., если, возможно, не существует планеты или пояса астероидов в пределах орбиты Меркурия. Перигелий орбиты Меркурия демонстрирует превышение скорости прецессии над той, которая может быть объяснена рывками других планет. Способность обнаружить и точно измерить минутное значение этой аномальной прецессии (всего 43 угловых секунды на тропический век ) является свидетельством изощренности астрометрии 19 века .

Рисунок 5-4. Общая теория относительности - это теория искривленного времени и искривленного пространства. Щелкните здесь, чтобы оживить.

Как известный астроном, который ранее обнаружил существование Нептуна «на кончике пера», анализируя колебания на орбите Урана, заявление Леверье вызвало два: Десятилетний период "вулканомании", когда профессиональные и любительские астрономы охотились за гипотетической новой планетой. Этот поиск включал несколько ложных наблюдений Вулкана. В конце концов было установлено, что такой планеты или пояса астероидов не существовало.

В 1916 году Эйнштейн должен был показать, что эта аномальная прецессия Меркурия объясняется пространственными условиями кривизны пространства-времени. Кривизна во временном члене, будучи просто выражением ньютоновской гравитации, не имеет никакого отношения к объяснению этой аномальной прецессии. Успех его вычислений был убедительным указанием коллегам Эйнштейна на то, что общая теория относительности может быть правильной.

Самым впечатляющим из предсказаний Эйнштейна было его вычисление, согласно которому кривизна пространственных компонентов пространственно-временного интервала может быть измерена при отклонении света вокруг массивного тела. Свет имеет наклон ± 1 на пространственно-временной диаграмме. Его движение в пространстве равно его движению во времени. Для выражения слабого поля инвариантного интервала Эйнштейн вычислил точно равную, но противоположную по знаку кривизну в его пространственных компонентах.

Δ s 2 = (1-2 GM c 2 r) (c Δ t) 2 {\ displaystyle \ Дельта s ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) (c \ Delta t) ^ {2}}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) (c \ Delta t) ^ {2}} - (1 + 2 GM с 2 р) [(Δ Икс) 2 + (Δ Y) 2 + (Δ Z) 2] {\ Displaystyle - \, \ left (1 + {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) \ left [(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ right]}{\ displaystyle - \, \ left (1 + {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) \ left [(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ right]}

В гравитации Ньютона ( 1-2 GM / (c 2 r)) {\ displaystyle (1-2GM / (c ^ {2} r))}{\ displaystyle (1-2GM / (c ^ {2} r))} коэффициент перед (c Δ t) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t) ^ {2}}{\ displaystyle (c \ Delta t) ^ {2}} предсказывает отклонение света вокруг звезды. В общей теории относительности коэффициент (1 + 2 GM / (c 2 r)) {\ displaystyle (1 + 2GM / (c ^ {2} r))}{\ displaystyle (1 + 2GM / (c ^ {2} r))} перед [(Δ x) 2 + (Δ y) 2 + (Δ z) 2] {\ displaystyle \ left [(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ right]}{\ displaystyle \ left [(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ right]} предсказывает удвоение общего изгиба.

История экспедиции на затмение Эддингтона 1919 года и восхождения Эйнштейна к славе хорошо рассказана в другом месте.

Источники искривления пространства-времени

Рисунок 5-5. Контравариантные компоненты тензора энергии-импульса

В теории гравитации Ньютона единственным источником гравитационной силы является масса.

Напротив, общая теория относительности дополнительно определяет несколько источников искривления пространства-времени. к массе. В уравнениях поля Эйнштейна источники гравитации представлены в правой части в T μ ν, {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu},}{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu},} тензор энергии-импульса .

Рис. 5‑5 классифицирует различные источники гравитации в тензоре энергии-импульса:

  • T 00 {\ displaystyle T ^ {00}}{\ displaystyle T ^ {00}} (красный): общая плотность массы-энергии, включая любые вклады. в потенциальную энергию сил между частицами, а также кинетическую энергию от случайных тепловых движений.
  • T 0 i {\ displaystyle T ^ {0i}}{\ displaystyle T ^ {0i}} и T i 0 {\ displaystyle T ^ {i0}}{\ displaystyle T ^ {i0}} (оранжевый): это термины плотности импульса. Даже если нет объемного движения, энергия может передаваться посредством теплопроводности, и проводимая энергия будет нести импульс.
  • T ij {\ displaystyle T ^ {ij}}{\ displaystyle T ^ {ij}} - скорости потока i-компонент количества движения на единицу площади в j-направлении. Даже если объемного движения нет, случайные тепловые движения частиц вызовут поток импульса, поэтому члены i = j (зеленый цвет) представляют изотропное давление, а члены i ≠ j (синий цвет) представляют напряжения сдвига.

Один важный вывод, который следует сделать из уравнений, заключается в том, что, говоря простым языком, гравитация сама создает гравитацию. Энергия имеет массу. Даже в ньютоновской гравитации гравитационное поле связано с энергией E = m g h, {\ displaystyle E = mgh,}{\ displaystyle E = mgh,} , называемой потенциальной гравитационной энергией. В общей теории относительности энергия гравитационного поля возвращается в создание гравитационного поля. Это делает уравнения нелинейными и трудными для решения ни в чем другом, кроме случаев слабого поля. Численная теория относительности - это раздел общей теории относительности, использующий численные методы для решения и анализа проблем, часто с использованием суперкомпьютеров для изучения черных дыр., гравитационные волны, нейтронные звезды и другие явления в режиме сильного поля.

Энергия-импульс

Рисунок 5-6. (слева) Масса-энергия искажает пространство-время. (справа) Вращающиеся распределения массы и энергии с угловым моментом Jгенерируют гравитомагнитные поля H.

В специальной теории относительности масса-энергия тесно связана с импульсом. Подобно тому, как пространство и время являются разными аспектами более всеобъемлющей сущности, называемой пространством-временем, масса-энергия и импульс - это просто разные аспекты единой четырехмерной величины, называемой четырехмерным импульсом. Следовательно, если масса-энергия является источником гравитации, импульс также должен быть источником. Включение импульса в качестве источника гравитации приводит к предсказанию, что движущиеся или вращающиеся массы могут генерировать поля, аналогичные магнитным полям, создаваемым движущимися зарядами, явление, известное как гравитомагнетизм.

Рис. 5-7. Происхождение гравитомагнетизма

Хорошо известно, что силу магнетизма можно вывести, применив правила специальной теории относительности к движущимся зарядам. (Яркая демонстрация этого была представлена ​​Фейнманом в томе II, главах 13–6 его Лекций по физике, доступных в Интернете.) Аналогичную логику можно использовать для демонстрации происхождения гравитомагнетизма. На рис. 5‑7a два параллельных бесконечно длинных потока массивных частиц имеют равные и противоположные скорости −v и + v относительно неподвижной пробной частицы, центрированной между ними. Из-за симметрии установки результирующая сила, действующая на центральную частицу, равна нулю. Предположим, что v ≪ c {\ displaystyle v \ ll c}v \ ll c , так что скорости просто складываются. На рис. 5‑7b показана точно такая же установка, но в кадре верхнего потока. Пробная частица имеет скорость + v, а нижний поток имеет скорость + 2v. Поскольку физическая ситуация не изменилась, только рамка, в которой наблюдаются вещи, пробная частица не должна притягиваться ни к одному из потоков. Но совсем не ясно, равны ли силы, действующие на пробную частицу. (1) Поскольку нижний поток движется быстрее, чем верхний, каждая частица в нижнем потоке имеет большую массовую энергию, чем частица в верхнем. (2) Из-за лоренцевского сжатия в нижнем потоке больше частиц на единицу длины, чем в верхнем. (3) Другой вклад в активную гравитационную массу придонного потока вносит дополнительный член давления, который на данный момент у нас нет достаточного основания для обсуждения. Все эти эффекты вместе, казалось бы, потребуют, чтобы пробная частица была направлена ​​в нижний поток.

Рисунок 5-8. Релятивистская струя

Пробная частица не притягивается к нижнему потоку из-за зависящей от скорости силы, которая служит для отталкивания частицы, которая движется в том же направлении, что и нижний поток. Этот зависящий от скорости гравитационный эффект является гравитомагнетизмом.

Материя, движущаяся через гравитомагнитное поле, поэтому подвержена так называемым эффектам перетаскивания кадра, аналогичным электромагнитной индукции. Было высказано предположение, что такие гравитомагнитные силы лежат в основе генерации релятивистских струй (рис. 5-8), выбрасываемых некоторыми вращающимися сверхмассивными черными дырами.

Давление и напряжение

Величины, которые напрямую связаны с энергией и импульсом, также должны быть источниками силы тяжести, а именно внутреннее давление и напряжение. Взятые вместе, масса-энергия, импульс, давление и напряжение - все они служат источниками гравитации: в совокупности они говорят пространству-времени, как искривляться.

Общая теория относительности предсказывает, что давление действует как гравитационный источник с той же силой, что и плотность массы и энергии. Включение давления в качестве источника гравитации приводит к резким различиям между предсказаниями общей теории относительности и предсказаниями ньютоновской гравитации. Например, термин «давление» устанавливает максимальный предел массы нейтронной звезды . Чем массивнее нейтронная звезда, тем большее давление требуется, чтобы выдержать ее вес против силы тяжести. Однако повышенное давление увеличивает гравитацию, действующую на массу звезды. Выше определенной массы, определяемой пределом Толмана – Оппенгеймера – Волкова, процесс становится неуправляемым, и нейтронная звезда коллапсирует в черную дыру.

Условия напряжения становятся очень важными при выполнении таких расчетов, как гидродинамическое моделирование сверхновых с коллапсом ядра.

Эти предсказания роли давления, импульса и напряжения как источников искривления пространства-времени элегантны и играют важную роль в теории. Что касается давления, то в ранней Вселенной преобладала радиация, и маловероятно, что какие-либо соответствующие космологические данные (например, нуклеосинтез содержания и т. Д.) Могли быть воспроизведены, если бы давление не влияло на гравитацию, или если бы у него не было такой же силы, как у источника гравитации, как у массы-энергии. Точно так же математическая непротиворечивость уравнений поля Эйнштейна была бы нарушена, если бы члены напряжений не участвовали в качестве источника гравитации.

Экспериментальная проверка источников искривления пространства-времени

Определения: активная, пассивная и инертная масса

Бонди различает различные возможные типы массы: (1) активная масса ( ma {\ displaystyle m_ {a}}m_ {a} ) - масса, которая действует как источник гравитационного поля; (2) пассивная масса (m p {\ displaystyle m_ {p}}m_p ) - масса, реагирующая на гравитационное поле; (3) инерционная масса (mi {\ displaystyle m_ {i}}m_ {i} ) - масса, которая реагирует на ускорение.

  • mp {\ displaystyle m_ {p}}m_p то же, что и гравитационная масса (мг {\ displaystyle m_ {g}}m_ {g} ) в обсуждении принципа эквивалентности.

В теории Ньютона,

  • Третий закон действия и реакции означает, что ma {\ displaystyle m_ {a}}m_ {a} и mp {\ displaystyle m_ {p}}m_p должны быть одинаковыми.
  • С другой стороны, равны ли mp {\ displaystyle m_ {p}}m_p и mi {\ displaystyle m_ {i}}m_ {i} , эмпирический результат.

В общей теории относительности,

  • Равенство mp {\ displaystyle m_ {p}}m_p и mi {\ displaystyle m_ {i}}m_ {i} продиктовано принципом эквивалентности.
  • Не существует принципа «действия и противодействия», диктующего какие-либо необходимые отношения между ma {\ displaystyle m_ {a}}m_ {a} и mp {\ displaystyle m_ {p}}m_p .

Давление как гравитация исходный код

Рисунок 5-9. (A) эксперимент Кавендиша, (B) эксперимент Крейцера

Классический эксперимент по измерению силы гравитационного источника (то есть его активную массу) был впервые проведен в 1797 году Генри Кавендишем (рис. 5‑ 9а). Два маленьких, но плотных шарика подвешены на тонкой проволоке, образуя крутильные весы . Поднесение двух больших испытательных масс к шарикам приводит к обнаружению крутящего момента. Используя размеры устройства и измеримую жесткость пружины торсионной проволоки, можно определить гравитационную постоянную G.

Изучать эффекты давления путем сжатия тестовых масс безнадежно, потому что достижимые лабораторные незначительные жесткости по сравнению с массой-энергией металлического шара.

Однако отталкивающие электромагнитные давления, вызывающие в результате сильного сжатия внутри атомных ядер, обычно составляют порядка 10 атм ≈ 10 Па ≈ 10 кг · см. Это составляет примерно 1% ядерной массы плотности примерно 10 кг / м (после факторизации c ≈ 9 × 10 мс).

Рис. 5-10. Эксперимент по лазерной локации Луны. (слева) Этот ретрорефлектор был оставлен на Луне астронавтами во время миссии Аполлон 11. (справа) Астрономы всего мира отражали лазерный свет от ретрорефлекторов, оставленных астронавтами Аполлона и российскими луноходами, чтобы точно измерить расстояние Земля-Луна.

Если давление не действует как гравитационный источник, то отношение ma / mp {\ displaystyle m_ {a} / m_ {p}}{\ displaystyle m_ {a} / m_ {p}} должно быть ниже для ядер с более высоким атомным номером Z, дюйм которые электростатическое давление выше. Л. Б. Кройцер (1968) провел эксперимент Кавендиша, используя тефлоновую массу, суспендированную в смеси жидкостей трихлорэтилена и дибромэтана, имеющих ту же плавучую плотность, что и тефлон (рис. 5‑9b). Фтор имеет атомный номер Z = 9, а бром Z = 35. Крейцер обнаружил, что изменение положения тефлоновой массы не вызывает дифференциального отклонения торсионного стержня, следовательно, активная масса и пассивная масса эквивалентны точности 5 × 10.

Хотя Крейцер первоначально считал этот эксперимент просто проверкой отношения активной массы к пассивной массе, Клиффорд Уилл (1976) переосмыслил эксперимент как фундаментальное испытание связи источников с гравитационными полями.

В 1986 году Бартлетт и Ван Бурен отметили, что лазерный дальномер обнаружил смещение в 2 км между центром фигуры Луны и ее центром масс. Это указывает на асимметрию в распределении Fe (много в ядре Луны) и Al (много в ее коре и мантии). Если бы давление не вносило равный вклад в искривление пространства-времени, как масса-энергия, Луна не находилась бы на орбите, предсказываемой классической механикой. Они использовали свои измерения, чтобы ужесточить пределы любых расхождений между активной и пассивной массой примерно до 10.

Гравитомагнетизм

Рисунок 5-11. Гравитационный зонд B подтвердил существование гравитомагнетизма

Существование гравитомагнетизма было доказано с помощью спутникового спутника Gravity Probe B (GP-B), запущенного 20 апреля 2004 года. Этап космического полета продолжался до . Целью миссии было измерение кривизны пространства-времени у Земли с особым акцентом на гравитомагнетизм.

Первоначальные результаты подтвердили относительно большой геодезический эффект (который возникает из-за простой кривизны пространства-времени и также известен как де Ситтера) с точностью около 1%. Гораздо меньший эффект перетаскивания кадра (который возникает из-за гравитомагнетизма и также известен как прецессия Линзы – Тирринга ) было трудно измерить из-за неожиданных эффектов заряда, вызывающих переменный дрейф в гироскопы. Тем не менее, к эффект перетаскивания рамки был подтвержден с точностью до 15% от ожидаемого результата, в то время как геодезический эффект был подтвержден с точностью выше 0,5%.

Последующие измерения перетаскивание кадра при лазерных наблюдениях спутников LARES, LAGEOS -1 и LAGEOS-2 улучшилось по сравнению с измерениями GP-B, и результаты (по состоянию на 2016 год) демонстрируют эффект с точностью до 5% от теоретического значения, хотя есть некоторые разногласия по поводу точности этого результата.

Другая попытка, эксперимент с гироскопами в общей теории относительности (GINGER), стремится использовать три 6-метровых кольцевые лазеры, установленные под прямым углом друг к другу на глубине 1400 м ниже поверхности Земли, для измерения этого эффекта.

Технические вопросы

Действительно ли пространство-время искривлено?

Согласно традиционалистским воззрениям Пуанкаре, основными критериями, в соответствии с которыми следует выбирать евклидову геометрию в сравнении с неевклидовой, будут экономия и простота. Реалист сказал бы, что Эйнштейн открыл пространство-время как неевклидово. Традиционалист сказал бы, что Эйнштейн просто счел более удобным использовать неевклидову геометрию. Традиционалист будет утверждать, что анализ Эйнштейна ничего не говорит о том, что такое геометрия пространства-времени на самом деле.

Как говорится,

1. Можно ли представить общую теорию относительности в терминах плоского пространства-времени?
2. Есть ли ситуации, когда интерпретация общей теории относительности с помощью плоского пространства-времени может быть более удобной, чем обычная интерпретация искривленного пространства-времени?

В ответ на первый вопрос ряд авторов, включая Дезера, Грищука, Розена, Вайнберга и др., Предоставили различные формулировки гравитации как поля в плоском многообразии. Эти теории называются по-разному: «биметрическая гравитация », «теоретико-полевой подход к общей теории относительности» и так далее. Кип Торн представил популярный обзор этих теорий.

Плоское пространство-время утверждает, что заставляет линейки сжиматься, когда они меняют круговую ориентацию на радиальную, когда они меняют круговую ориентацию на радиальную, и заставляет тиканье часов расширяться.. Парадигма плоского пространства-времени полностью эквивалентна парадигме искривленного пространства-времени в том смысле, что они оба представляют одни и те же физические явления. Однако их математические формулировки совершенно разные. Работающие физики обычно переключаются между методами изогнутого и плоского пространства-времени в зависимости от требований задачи. Парадигма плоского пространства-времени оказывается особенно удобной при приближенных вычислениях в слабых полях. Следовательно, плоского пространства-времени были объявлены при условии, что я научился языку.

Асимптотические симметрии

Группа симметрии пространства-времени для Специальная теория относительности - это группа Пуанкаре, которая представляет собой десятимерную группу из трех бустеров Лоренца, трех вращений и четырех пространственно-временных трансляций. Логично спросить, какие симметрии, если таковые имеются, правила в общей теории относительности. Подходящим случаем может быть рассмотрение симметрии пространства-времени точки зрения наблюдателей, находящихся далеко от всех источников гравитационного поля. Наивное ожидание асимптотически плоских симметрий пространства-времени может заключаться в простом расширении и воспроизведении симметрий плоского пространства-времени специальной теории относительности, а именно группы Пуанкаре.

В 1962 году Герман Бонди, М.Г. ван дер Бург, А.В. Метцнер и Райнер К. Сакс обратились к этой задаче асимптотической симметрии, чтобы исследовать поток энергии на бесконечности из-за распространяющихся гравитационных волн. Первым шагом было принять решение в некоторых физически разумных граничных условиях, которые нужно поставить на гравитационное поле на светоподобной бесконечности, чтобы охарактеризовать то, что значит сказать, что метрика является асимптотически плоской, без каких-либо априорных предположений о природе асимптотической группы симметрии: нет даже предположения, что такая группа существует. Затем они создают новые разумные граничные условия, создаваемые при помощи результирующих преобразователей асимптотической симметрии, которые создают новые форму граничных условий, подходящих для асимптотически плоских гравитационных полей. Они представляют, что преобразование асимптотической симметрии действительно образуют группу, и структура этой группы не зависит от конкретного гравитационного поля, которое случайно присутствует. Это означает, что, как и ожидалось, можно отделить кинематику пространства-времени от динамики гравитационного поля, по крайней мере, на пространственной бесконечности. Озадачивающим сюрпризом в 1962 году было открытие богатой бесконечной группы (так называемой группы BMS) в качестве асимптотической группы симметрии вместо конечной группы Пуанкаре, которая является подгруппой группы BMS. Мало того, что преобразования Лоренца являются преобразованиями асимптотической симметрии, существуют также дополнительные преобразования, которые не преобразовывают Лоренца, но являются преобразованиями асимптотической симметрии. Фактически, они имеют дополнительную бесконечность генераторов преобразований известных как супертрансляции. Отсюда следует вывод, что общая теория относительности (ОТО) не сводится к специальной теории относительности в случае слабых полей на больших расстояниях.

Риманова геометрия

Риманова геометрия является ветвью дифференциальной геометрии, изучающая римановы многообразия, гладкие многообразия с римановой метрикой, то есть с внутренним произведением на касательном пространстве в каждой точке, которая плавно изменяется от точки к точке. Это дает, в частности, локальные понятия угла, длины кривых, площади и объема. Из них можно получить некоторые другие глобальные путем интегрирования местных вкладов.

Риманова геометрия возникла с видением Бернхарда Римана, выраженным в его вступительной лекции «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen » («О гипотезах, на которых имеется геометрия. На основе "). Это очень широкое и абстрактное обобщение геометрической геометрии поверхности. Развитие римановойрии привело к синтезу различных отображений геометрии поверхностей и поведения геодезических на их с помощью методов, которые могут быть применены к изучению дифференцируемых разнообразий высоких размеров. Он позволил определить общую теорию относительности Эйнштейна , оказал глубокое влияние на теорию групп и теорию представлений, а также анализ и стимулирование развития алгебраической и дифференциальной топологии.

Криволинейные многообразия

По физическим пространственно пространственно -временной континуум мат ематически определяется как четыре -мерное гладкое связное лоренцево многообразие (M, g) {\ displaystyle (M, g)}(M, g) . Это означает, что гладкая метрика Лоренца g {\ displaystyle g}g имеет подпись (3, 1) {\ displaystyle (3, 1)}(3,1) . Метрика определяет геометрию пространства-времени, а также определяет геодезические частицы и световых лучей. О точке (событии) на этом коллекторе карты каждой координаты используются для представления наблюдателей в системе отсчета. Обычно используются декартовы координаты (x, y, z, t) {\ displaystyle (x, y, z, t)}(x, y, z, t) . Более того, для простоты измерения единиц измерения обычно выбираются такие, чтобы скорость c {\ displaystyle c}c была равна 1.

Система отсчета (наблюдатель) можно идентифицировать с одной из этих координатных диаграмм; любой такой наблюдатель может описать любое событие p {\ displaystyle p}p . Другой опорный кадр может быть идентифицирован второй диаграммой координат около p {\ displaystyle p}p . Два наблюдателя (по одному в каждой системе отсчета) могут описывать одно и то же событие p {\ displaystyle p}p , но получать разные описания.

Обычно требуется много перекрывающихся карт координат, чтобы охватить коллектор. Даны две координатные диаграммы, одна из которых содержит p {\ displaystyle p}p (представляет наблюдателя), а другая содержит q {\ displaystyle q}q(представляет другое Наблюдателя), в котором наблюдателя измеряют физические величины и, следовательно, сравнивать результаты. Связь между наборами измерений задается не методами преобразователя координат на этом пересечении. Идея координатных карт в качестве локальных наблюдателей, которые могут проводить измерения в непосредственной близости, также имеет хороший физический смысл, как именно так собираются физические данные - локально.

Например, два наблюдателя, один из которых находится на Земле, кроме того, кто летит на быстрой ракете к Юпитеру, может наблюдать, как комета врезается в Юпитер (это событие p {\ displaystyle p}p ). В общем, они не согласятся о точном месте и времени этого удара, т. Е. У них будут разные кортежи из 4-х элементов (x, y, z, t) {\ displaystyle (x, y, z, t)}(x, y, z, t) (поскольку они используют разные системы координат). Хотя их кинематические описания будут отличаться, законы динамические (физические), такие как сохранение импульса и первый закон термодинамики, останутся в силе. Фактически, теория относительности требует большего, в том смысле, что она предусматривает, что эти (и все другие физические тела) принимают одинаковую форму во всех системах координат. Это вводит тензоры в теорию относительности, с помощью которой представлены все физические величины.

Геодезические называемые временными, нулевыми или пространственными, если касательный вектор к одной точке геодезической такой природу. Пути частиц и световых лучей в пространстве-времени представлены временными и нулевыми (светоподобными) геодезическими соответственно.

Привилегированный символ пространства-времени 3 + 1

Свойства n + m-мерного пространства-времени

Там есть два вида измерений: пространственный (двунаправленный) и временный (однонаправленный). Пусть количество пространственных измерений равно N, а количество временных измерений равно T. То, что N = 3 и T = 1, не считая компактифицированных измерений, которые указаны теория струн и которые до сих пор не обнаруживаются, можно объяснить следующим образом: апелляция к физическим последствиям того, что его отличается от 3, а T 1. Аргумент носит антропный характер и, возможно, является первым в роде, хотя и до того, как полная концепция вошла в моду.

Неявное представление о том, что размерность вселенной особенная, сначала приписывается Готфриду Вильгельму Лейбницу, который в Дискурсе о метафизике предположил, что мир есть "тот, который в то же время является самым простым гипотезой и богатейшим феноменом ". Иммануил Кант утверждал, что трехмерное пространство является следствием закона обратных квадратов вселенская гравитация. Хотя аргумент Канта исторически важен, Джон Д. Барроу говорит, что он «ставит изюминку на передний план: трехмерность пространства объясняет, почему мы применяем законы силы обратных квадратов в Природе., а не наоборот »(Barrow 2002: 204).

В 1920 году Пол Эренфест показал, что если существует только одно временное измерение и больше трех пространственных измерений, то орбита планеты вокруг своего Солнца не может оставаться стабильной. То же и для орбиты звезды вокруг центра верно галактики. Эренфест также показал, что при четности пространственных измерений разные части импульса волны будут перемещаться с разной скоростью. Если имеется 5 + 2 k {\ displaystyle 5 + 2k}5 + 2k пространственных измерений, где k - целое положительное число, то волновые импульсы искажаются. В 1922 году Герман Вейль показал, что теория Максвелла о электромагнетизме работает только с тремя измерениями пространства и одним временным. Наконец, Тангерлини показал в 1963 году, что при наличии более трех пространственных измерений орбитали электронов вокруг ядер не могут быть стабильными; электроны либо упадут в ядро ​​, либо рассредоточатся.

Макс Тегмарк развивает предыдущий аргумент следующим антропным образом. Если T отличается от 1, физические данные не может быть надежно предсказано на основе опыта дифференциальных условий в частных производных. В такой вселенной не может быть разумная жизнь, способная манипулировать технологиями. Более того, если T>1, Тегмарк утверждает, что протоны и электроны будут нестабильными и могут распадаться на частицы, имеющие большую массу, чем они сами. (Это не проблема, если частицы имеют достаточно низкую температуру.) N = 1 и T = 3 обладают тем особенным своимством, что скорость света в вакууме является нижней границей скорости материи. ; вся материя состоит из тахионов.

Наконец, если N < 3, gravitation of any kind becomes problematic, and the universe is probably too simple to contain observers. For example, when N < 3, нервов не могут пересекаться, не пересекаясь.

Следовательно, антропные и другие аргументы исключают все случаи, кроме N = 3 и T = 1, что происходит для описания мира вокруг нас.

См. также

  • значок Физический портал
  • Космический портал

Примечания

Дополнительные сведения

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Викицитатник содержит цитаты, относящиеся к: Пространство-время
В Викиучебнике есть книга по темам: Специальная теория относительности

Последняя правка сделана 2021-06-09 01:22:27
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте