Параметризованный постньютоновский формализм

редактировать

Основные концепции

Явления

Пространство-время
Проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационные волны Перетаскивание кадра Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра
Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Мост Эйнштейна – Розена

Уравнения
Формализмы

Уравнения
Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн
Формализмы
ADM БССН Постньютоновский
Продвинутая теория
Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация

Решения

Ученые

В физике, именно при изучении общей теории относительности и многих альтернатив ей, постньютоновский формализм представляет собой вычислительный инструмент, который выражает (нелинейные) уравнения гравитации Эйнштейна в терминах отклонений низшего порядка от универсального закона Ньютона. гравитация. Это позволяет делать приближения к уравнениям Эйнштейна в случае слабых полей. Члены более высокого порядка могут быть добавлены для повышения точности, но для сильных полей может быть предпочтительнее решать полные уравнения численно. Некоторые из этих постньютоновских приближений представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости материи, формирующей гравитационное поле, к скорости света, которую в данном случае лучше назвать скоростью гравитации. В пределе, когда фундаментальная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону тяготения Ньютона.

Параметризованный постньютоновский формализм или ППН формализм, версия этой формулировки, которые явно подробно параметры, в которых общая теория гравитации может отличаться от ньютоновской гравитации. Он используется как инструмент для сравнения ньютоновской и эйнштейновской гравитации в пределе, когда гравитационное поле является слабым и создается объектами, движущимися медленно по сравнению со скоростью света. В общем, формализм PPN может применяться ко всем метрическим теориям гравитации, в которых все тела удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна (EEP). Скорость света остается постоянной в формализме PPN и предполагается, что метрический тензор всегда симметричен.

СОДЕРЖАНИЕ

1 История
2 бета-дельта-запись
3 Обозначение альфа-дзета
4 Как применять PPN
5 Сравнение теорий гравитации
6 Точность экспериментальных испытаний
7 См. Также
8 ссылки

История

Самые ранние параметризации постньютоновского приближения были выполнены сэром Артуром Стэнли Эддингтоном в 1922 году. Однако они имели дело исключительно с гравитационным полем вакуума вне изолированного сферического тела. Кен Нордтведт (1968, 1969) расширил это понятие, включив в него семь параметров, в статьях, опубликованных в 1968 и 1969 годах. Клиффорд Мартин Уилл представил описание небесных тел с помощью напряженной непрерывной материи в 1971 году.

Описанные здесь версии основаны на Wei-Tou Ni (1972), Will and Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (см. Gravitation (книга) ) и Will (1981, 1993) и имеют десять параметров.

Бета-дельта-запись

Десять постньютоновских параметров полностью характеризуют поведение теории в слабом поле. Формализм оказался ценным инструментом при проверке общей теории относительности. В обозначениях Уилла (1971), Ни (1972) и Миснера и др. (1973) они имеют следующие значения:

${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$	Сколько искривления пространства создается единицей массы покоя? ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g_ {ij}$
${\ displaystyle \ beta}$ $\бета$	Сколько Нелинейности есть в суперпозиции закона для гравитации ? ${\ displaystyle g_ {00}}$ $g _ {{00}}$
${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta _ {1}$	Сколько гравитации создается единицей кинетической энергии ? ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ rho _ {0} v ^ {2}}$ $\ textstyle {\ frac 12} \ rho _ {0} v ^ {2}$
${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$	Сколько гравитации создается единицей гравитационной потенциальной энергии ? ${\ displaystyle \ rho _ {0} / U}$ $\ rho _ {0} / U$
${\ displaystyle \ beta _ {3}}$ $\ beta _ {3}$	Сколько гравитации создается единицей внутренней энергии ? ${\ displaystyle \ rho _ {0} \ Pi}$ $\ rho _ {0} \ Pi$
${\ displaystyle \ beta _ {4}}$ $\ beta _ {4}$	Какую гравитацию создает единичное давление ? ${\ displaystyle p}$ $п$
${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$	Разница между радиальной и поперечной кинетической энергией силы тяжести
${\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$	Разница между радиальным и поперечным напряжением силы тяжести
${\ displaystyle \ Delta _ {1}}$ $\ Delta _ {1}$	Какое затягивание инерциальных систем отсчета производит единичный импульс ? ${\ displaystyle g_ {0j}}$ $g _ {{0j}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0} v}$ $\ rho _ {0} v$
${\ displaystyle \ Delta _ {2}}$ $\ Delta _ {2}$	Разница между радиальным и поперечным импульсом при перетаскивании инерциальных систем отсчета

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ это 4 на 4 симметричный метрический тензор с индексами и переходя от 0 до 3. Ниже, индекс 0 будет указывать направление времени и индексы и (идущий от 1 до 3) будет указывать пространственные направления. ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ displaystyle j}$ $j$

В теории Эйнштейна значения этих параметров выбираются (1) для соответствия закону всемирного тяготения Ньютона в пределе скоростей и массы, приближающихся к нулю, (2) для обеспечения сохранения энергии, массы, импульса и углового момента и (3)), чтобы уравнения не зависели от системы отсчета. В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN и ${\ displaystyle \ gamma = \ beta = \ beta _ {1} = \ beta _ {2} = \ beta _ {3} = \ beta _ {4} = \ Delta _ {1} = \ Delta _ {2} = 1}$ $\ gamma = \ beta = \ beta _ {1} = \ beta _ {2} = \ beta _ {3} = \ beta _ {4} = \ Delta _ {1} = \ Delta _ {2} = 1$ ${\ Displaystyle \ zeta = \ eta = 0.}$ ${\ Displaystyle \ zeta = \ eta = 0.}$

Обозначение альфа-дзета

В более поздних обозначениях Уилла и Нордтведта (1972) и Уилла (1981, 1993, 2006) используется другой набор из десяти параметров PPN.

{\ displaystyle \ gamma = \ gamma}

\ gamma = \ gamma

{\ Displaystyle \ бета = \ бета}

\ beta = \ beta

{\ displaystyle \ alpha _ {1} = 7 \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} -4 \ gamma -4}

\ alpha _ {1} = 7 \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} -4 \ gamma -4

{\ displaystyle \ alpha _ {2} = \ Delta _ {2} + \ zeta -1}

\ alpha _ {2} = \ Delta _ {2} + \ zeta -1

{\ displaystyle \ alpha _ {3} = 4 \ beta _ {1} -2 \ gamma -2- \ zeta}

\ alpha _ {3} = 4 \ beta _ {1} -2 \ gamma -2- \ zeta

{\ displaystyle \ zeta _ {1} = \ zeta}

\ zeta _ {1} = \ zeta

{\ displaystyle \ zeta _ {2} = 2 \ beta +2 \ beta _ {2} -3 \ gamma -1}

\ zeta _ {2} = 2 \ beta +2 \ beta _ {2} -3 \ gamma -1

{\ displaystyle \ zeta _ {3} = \ beta _ {3} -1}

\ zeta _ {3} = \ beta _ {3} -1

{\ displaystyle \ zeta _ {4} = \ beta _ {4} - \ gamma}

\ zeta _ {4} = \ beta _ {4} - \ gamma

{\ displaystyle \ xi}

\ xi

рассчитывается из

{\ displaystyle 3 \ eta = 12 \ beta -3 \ gamma -9 + 10 \ xi -3 \ alpha _ {1} +2 \ alpha _ {2} -2 \ zeta _ {1} - \ zeta _ {2 }}

3 \ eta = 12 \ beta -3 \ gamma -9 + 10 \ xi -3 \ alpha _ {1} +2 \ alpha _ {2} -2 \ zeta _ {1} - \ zeta _ {2}

Смысл в том, что они, и измерить степень предпочтительных эффектов кадра.,,, И измерить провал сохранения энергии, импульса и углового момента. ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ $\ alpha _ {3}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}}$ $\ zeta _ {1}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ $\ zeta _ {2}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ $\ zeta _ {3}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ $\ zeta _ {4}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ $\ alpha _ {3}$

В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN

{\ Displaystyle \ гамма = \ бета = 1}

\ gamma = \ beta = 1

а также

{\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ alpha _ {2} = \ alpha _ {3} = \ zeta _ {1} = \ zeta _ {2} = \ zeta _ {3} = \ zeta _ {4 } = \ xi = 0}

\ alpha _ {1} = \ alpha _ {2} = \ alpha _ {3} = \ zeta _ {1} = \ zeta _ {2} = \ zeta _ {3} = \ zeta _ {4} = \ xi = 0

Математическая связь между метрикой, метрическими потенциалами и параметрами PPN для этого обозначения:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} g_ {00} = - 1 + 2U-2 \ beta U ^ {2} -2 \ xi \ Phi _ {W} + (2 \ gamma +2+ \ alpha _ {3 } + \ zeta _ {1} -2 \ xi) \ Phi _ {1} +2 (3 \ gamma -2 \ beta +1+ \ zeta _ {2} + \ xi) \ Phi _ {2} \\ \ +2 (1+ \ zeta _ {3}) \ Phi _ {3} +2 (3 \ gamma +3 \ zeta _ {4} -2 \ xi) \ Phi _ {4} - (\ zeta _ { 1} -2 \ xi) A - (\ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) w ^ {2} U \\\ - \ alpha _ {2} w ^ { i} w ^ {j} U_ {ij} + (2 \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) w ^ {i} V_ {i} + O (\ epsilon ^ {3}) \ end { матрица}}}

{\ begin {matrix} g _ {{00}} = - 1 + 2U-2 \ beta U ^ {2} -2 \ xi \ Phi _ {W} + (2 \ gamma +2+ \ alpha _ {3} + \ zeta _ {1} -2 \ xi) \ Phi _ {1} +2 (3 \ gamma -2 \ beta +1+ \ zeta _ {2} + \ xi) \ Phi _ {2} \\\ +2 (1+ \ zeta _ {3}) \ Phi _ {3} +2 (3 \ gamma +3 \ zeta _ {4} -2 \ xi) \ Phi _ {4} - (\ zeta _ {1 } -2 \ xi) A - (\ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) w ^ {2} U \\\ - \ alpha _ {2} w ^ {i } w ^ {j} U _ {{ij}} + (2 \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) w ^ {i} V_ {i} + O (\ epsilon ^ {3}) \ end {матрица}}

{\ displaystyle g_ {0i} = - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (4 \ gamma +3+ \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} + \ zeta _ {1} -2 \ xi) V_ {i} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ alpha _ {2} - \ zeta _ {1} +2 \ xi) W_ {i} - \ textstyle {\ гидроразрыв {1} {2}} (\ alpha _ {1} -2 \ alpha _ {2}) w ^ {i} U- \ alpha _ {2} w ^ {j} U_ {ij} + O (\ эпсилон ^ {\ frac {5} {2}})}

{\ displaystyle g_ {0i} = - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (4 \ gamma +3+ \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} + \ zeta _ {1} -2 \ xi) V_ {i} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ alpha _ {2} - \ zeta _ {1} +2 \ xi) W_ {i} - \ textstyle {\ гидроразрыв {1} {2}} (\ alpha _ {1} -2 \ alpha _ {2}) w ^ {i} U- \ alpha _ {2} w ^ {j} U_ {ij} + O (\ эпсилон ^ {\ frac {5} {2}})}

{\ displaystyle g_ {ij} = (1 + 2 \ gamma U) \ delta _ {ij} + O (\ epsilon ^ {2})}

{\ displaystyle g_ {ij} = (1 + 2 \ gamma U) \ delta _ {ij} + O (\ epsilon ^ {2})}

где суммируются повторные индексы. имеет порядок потенциалов, таких как квадратная величина координатных скоростей материи и т. д. - вектор скорости системы координат PPN относительно средней системы покоя Вселенной. - квадратная величина этой скорости. тогда и только тогда, иначе. ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ Displaystyle ш ^ {я}}$ $ш ^ {я}$ ${\ displaystyle w ^ {2} = \ delta _ {ij} w ^ {i} w ^ {j}}$ $w ^ {2} = \ delta _ {{ij}} w ^ {i} w ^ {j}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij} = 1}$ $\ delta _ {ij} = 1$ ${\ displaystyle i = j}$ $я = j$

Есть десять метрических потенциалов,,,,,,,,, и, один для каждого параметра ППН, чтобы обеспечить уникальное решение. 10 линейных уравнений с 10 неизвестными решаются путем инвертирования матрицы 10 на 10. Эти метрические потенциалы имеют такие формы, как: ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle U_ {ij}}$ $U _ {{ij}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {W}}$ $\ Phi _ {W}$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle \ Phi _ {1}}$ $\ Phi_1$ ${\ displaystyle \ Phi _ {2}}$ $\ Phi _ {2}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {3}}$ $\ Phi _ {3}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {4}}$ $\ Phi _ {4}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ $V_ {i}$ ${\ displaystyle W_ {i}}$ $W_ {i}$

{\ Displaystyle U (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x}' |} d ^ {3 }Икс'}

U ({\ mathbf {x}}, t) = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}}' | } d ^ {3} x '

это просто еще один способ записать ньютоновский гравитационный потенциал,

{\ Displaystyle U_ {ij} = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) (x-x') _ {i} (x-x ') _ {j} \ over | \ mathbf {x } - \ mathbf {x} '| ^ {3}} d ^ {3} x'}

U _ {{ij}} = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) (x-x') _ {i} (x-x ') _ {j} \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '| ^ {3}} d ^ {3} x'

{\ Displaystyle \ Phi _ {W} = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) \ rho (\ mathbf {x}' ', t) (x-x') _ {i} \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '| ^ {3}} \ left ({(x'-x' ') ^ {i} \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x}' |} - {(x-x '') ^ {i} \ over | \ mathbf {x} '- \ mathbf {x}' '|} \ right) d ^ {3} x'd ^ {3} x ''}

\ Phi _ {W} = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) \ rho ({\ mathbf {x}}' ', t) (x-x') _ {i} \ над | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '| ^ {3}} \ left ({(x'-x' ') ^ {i} \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '|} - {(x-x' ') ^ {i} \ over | {\ mathbf {x}}' - {\ mathbf {x}} '' |} \ right) d ^ {3} x'd ^ {3} x ''

{\ displaystyle A = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) \ left (\ mathbf {v} (\ mathbf {x}', t) \ cdot (\ mathbf {x} - \ mathbf { x} ') \ right) ^ {2} \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x}' | ^ {3}} d ^ {3} x '}

A = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) \ left ({\ mathbf {v}} ({\ mathbf {x}}', t) \ cdot ({\ mathbf {x}) } - {\ mathbf {x}} ') \ right) ^ {2} \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}}' | ^ {3}} d ^ {3} x '

{\ Displaystyle \ Phi _ {1} = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) \ mathbf {v} (\ mathbf {x}', t) ^ {2} \ over | \ mathbf { x} - \ mathbf {x} '|} d ^ {3} x'}

\ Phi _ {1} = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) {\ mathbf {v}} ({\ mathbf {x}}', t) ^ {2} \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '|} d ^ {3} x'

{\ Displaystyle \ Phi _ {2} = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) U (\ mathbf {x}', t) \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|} d ^ {3} x'}

\ Phi _ {2} = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) U ({\ mathbf {x}}', t) \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '|} d ^ {3} x'

{\ Displaystyle \ Phi _ {3} = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) \ Pi (\ mathbf {x}', t) \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x } '|} d ^ {3} x'}

\ Phi _ {3} = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) \ Pi ({\ mathbf {x}}', t) \ over | {\ mathbf {x}} - { \ mathbf {x}} '|} d ^ {3} x'

{\ Displaystyle \ Phi _ {4} = \ int {p (\ mathbf {x} ', t) \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x}' |} d ^ {3} x '}

\ Phi _ {4} = \ int {p ({\ mathbf {x}} ', t) \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}}' |} d ^ {3} x '

{\ Displaystyle V_ {я} = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) v (\ mathbf {x}', t) _ {i} \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf { x} '|} d ^ {3} x'}

V_ {i} = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) v ({\ mathbf {x}}', t) _ {i} \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '|} d ^ {3} x'

{\ Displaystyle W_ {я} = \ int {\ rho (\ mathbf {x} ', t) \ left (\ mathbf {v} (\ mathbf {x}', t) \ cdot (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ') \ right) (x-x') _ {i} \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '| ^ {3}} d ^ {3} x'}

W_ {i} = \ int {\ rho ({\ mathbf {x}} ', t) \ left ({\ mathbf {v}} ({\ mathbf {x}}', t) \ cdot ({\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} ') \ right) (x-x') _ {i} \ over | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '| ^ {3 }} d ^ {3} x '

где - плотность массы покоя, - внутренняя энергия на единицу массы покоя, - давление, измеренное в локальной свободно падающей системе отсчета, мгновенно сопутствующей с веществом, и - координатная скорость вещества. ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ${\ displaystyle \ Pi}$ $\Пи$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$

Тензор энергии-напряжения для идеальной жидкости принимает вид

{\ displaystyle T ^ {00} = \ rho (1+ \ Pi + \ mathbf {v} ^ {2} + 2U)}

T ^ {{00}} = \ rho (1+ \ Pi + {\ mathbf {v}} ^ {2} + 2U)

{\ Displaystyle T ^ {0i} = \ rho (1+ \ Pi + \ mathbf {v} ^ {2} + 2U + p / \ rho) v ^ {i}}

T ^ {{0i}} = \ rho (1+ \ Pi + {\ mathbf {v}} ^ {2} + 2U + p / \ rho) v ^ {i}

{\ Displaystyle T ^ {ij} = \ rho (1+ \ Pi + \ mathbf {v} ^ {2} + 2U + p / \ rho) v ^ {i} v ^ {j} + p \ delta ^ { ij} (1-2 \ gamma U)}

T ^ {{ij}} = \ rho (1+ \ Pi + {\ mathbf {v}} ^ {2} + 2U + p / \ rho) v ^ {i} v ^ {j} + p \ delta ^ {{ij}} (1-2 \ gamma U)

Как применять PPN

Примеры процесса применения формализма PPN к альтернативным теориям гравитации можно найти в Will (1981, 1993). Это процесс из девяти шагов:

Шаг 1: Определите переменные, которые могут включать: (а) динамические гравитационные переменные, такие как метрика, скалярное поле, векторное поле, тензорное поле и так далее; (б) априорно-геометрические переменные, такие как метрика плоского фона, космическая функция времени и так далее; (c) материя и переменные негравитационного поля. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ${\ displaystyle K _ {\ mu}}$ $К_ \ му$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ $\ eta _ {\ mu \ nu}$ ${\ displaystyle t}$ $т$
Шаг 2: Установите космологические граничные условия. Предположите однородную изотропную космологию с изотропными координатами в системе покоя Вселенной. Полное космологическое решение может понадобиться, а может и не потребоваться. Вызов результатов,,,. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)} = \ operatorname {diag} (-c_ {0}, c_ {1}, c_ {1}, c_ {1})}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)} = \ operatorname {diag} (-c_ {0}, c_ {1}, c_ {1}, c_ {1})}$ ${\ displaystyle \ phi _ {0}}$ $\ phi _ {0}$ ${\ Displaystyle К _ {\ mu} ^ {(0)}}$ ${\ Displaystyle К _ {\ mu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$
Шаг 3: Получить новые переменные из, с, или в случае необходимости. ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} = g _ {\ mu \ nu} -g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} = g _ {\ mu \ nu} -g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle \ phi - \ phi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ phi - \ phi _ {0}}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu} -K _ {\ mu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu} -K _ {\ mu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} -B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} -B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$
Шаг 4: Подставьте эти формы в уравнения поля, оставив только те члены, которые необходимы для получения окончательного согласованного решения для. Замените источники материи на идеальный тензор напряжений жидкости. ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$
Шаг 5: Решите для к. Предполагая, что это стремится к нулю вдали от системы, можно получить форму где - ньютоновский гравитационный потенциал и может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную». Ньютонов метрика имеет вид,,. Работайте в единицах, где гравитационная «постоянная», измеренная сегодня вдали от гравитирующей материи, равна единице. ${\ displaystyle h_ {00}}$ $ч_ {00}$ ${\ Displaystyle O (2)}$ ${\ Displaystyle O (2)}$ ${\ displaystyle h_ {00} = 2 \ альфа U}$ ${\ displaystyle h_ {00} = 2 \ альфа U}$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\альфа$ ${\ displaystyle G}$ $грамм$ ${\ displaystyle g_ {00} = - c_ {0} +2 \ alpha U}$ ${\ displaystyle g_ {00} = - c_ {0} +2 \ alpha U}$ ${\ displaystyle g_ {0j} = 0}$ ${\ displaystyle g_ {0j} = 0}$ ${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} c_ {1}}$ ${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} c_ {1}}$ ${\ displaystyle G _ {\ mathrm {сегодня}} = \ alpha / c_ {0} c_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle G _ {\ mathrm {сегодня}} = \ alpha / c_ {0} c_ {1} = 1}$
Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений решения для к и к. ${\ displaystyle h_ {ij}}$ $h_ {ij}$ ${\ Displaystyle O (2)}$ ${\ Displaystyle O (2)}$ ${\ displaystyle h_ {0j}}$ ${\ displaystyle h_ {0j}}$ ${\ Displaystyle O (3)}$ ${\ Displaystyle O (3)}$
Шаг 7: Решите для к. Это самый запутанный шаг, связанный со всеми нелинейностями в уравнениях поля. Тензор энергии-импульса также необходимо разложить до достаточного порядка. ${\ displaystyle h_ {00}}$ $ч_ {00}$ ${\ Displaystyle O (4)}$ ${\ Displaystyle O (4)}$
Шаг 8: Преобразование в локальные квазидекартовы координаты и стандартную шкалу PPN.
Шаг 9: Сравнивая результат для с уравнениями, представленными в PPN с параметрами альфа-дзета, считайте значения параметра PPN. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$

Сравнение теорий гравитации

Основная статья: Альтернативы общей теории относительности § Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

Таблицу, в которой сравниваются параметры PPN для 23 теорий гравитации, можно найти в « Альтернативах общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий».

Большинство метрических теорий гравитации можно разделить на категории. Скалярные теории гравитации включают конформно плоские теории и стратифицированные теории с ортогональными во времени пространственными срезами.

В конформно-плоских теориях, таких как теория гравитации Нордстрема, метрика задается этой метрикой и для нее, что резко расходится с наблюдениями. В стратифицированных теориях, таких как теория гравитации Йилмаза, метрика задается этой метрикой и для нее, что также резко расходится с наблюдениями. ${\ Displaystyle \ mathbf {g} = е {\ boldsymbol {\ eta}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {g} = е {\ boldsymbol {\ eta}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = -1}$ ${\ displaystyle \ gamma = -1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} = f_ {1} \ mathbf {d} t \ otimes \ mathbf {d} t + f_ {2} {\ boldsymbol {\ eta}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} = f_ {1} \ mathbf {d} t \ otimes \ mathbf {d} t + f_ {2} {\ boldsymbol {\ eta}}}$ ${\ Displaystyle \ альфа _ {1} = - 4 (\ гамма +1)}$ ${\ Displaystyle \ альфа _ {1} = - 4 (\ гамма +1)}$

Другой класс теорий - это квазилинейные теории, такие как теория гравитации Уайтхеда. Для этих. Относительные величины гармоник земных приливов зависят от и, и измерения показывают, что квазилинейные теории не согласуются с наблюдениями за земными приливами. ${\ Displaystyle \ xi = \ бета}$ ${\ Displaystyle \ xi = \ бета}$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$

Другой класс метрических теорий - биметрическая теория. Для всех это не ноль. Мы знаем это по прецессии вращения Солнца, и это фактически исключает биметрические теории. ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} lt;4 \ times 10 ^ {- 7}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} lt;4 \ times 10 ^ {- 7}}$

Другой класс метрических теорий - это скалярные тензорные теории, такие как теория Бранса – Дике. Для всего этого. Предел средств, который должен быть очень большим, поэтому эти теории выглядят все менее и менее вероятными по мере повышения точности экспериментов. ${\ displaystyle \ gamma = \ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}}$ ${\ displaystyle \ gamma -1 lt;2,3 \ times 10 ^ {- 5}}$ ${\ displaystyle \ gamma -1 lt;2,3 \ times 10 ^ {- 5}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$

Последний основной класс метрических теорий - это векторно-тензорные теории. Для всего этого гравитационная «постоянная» меняется со временем и не равна нулю. Эксперименты по лазерной локации Луны жестко ограничивают изменение гравитационной «постоянной» со временем, поэтому эти теории также выглядят маловероятными. ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} lt;4 \ times 10 ^ {- 7}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} lt;4 \ times 10 ^ {- 7}}$

Есть несколько метрических теорий гравитации, которые не попадают в вышеперечисленные категории, но имеют схожие проблемы.

Точность экспериментальных испытаний

Границы параметров PPN из Will (2006) и Will (2014)

Параметр	Граница	Эффекты	Эксперимент
${\ displaystyle \ gamma -1}$ $\ гамма -1$	2,3 × 10 ^{- 5}	Задержка по времени, отклонение света	Кассини отслеживание
${\ displaystyle \ beta -1}$ $\ beta -1$	8 × 10 ^{- 5}	Сдвиг перигелия	Сдвиг перигелия
${\ displaystyle \ beta -1}$ $\ beta -1$	2,3 × 10 ^{- 4}	Эффект Нордтведта с допущением ${\ displaystyle \ eta _ {N} = 4 \ beta - \ gamma -3}$ $\ eta _ {N} = 4 \ beta - \ gamma -3$	Эффект Нордтведта
${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$	4 × 10 ^{- 9}	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$	1 × 10 ^{- 4}	Орбитальная поляризация	Лазерная локация Луны
${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$	4 × 10 ^{- 5}	Орбитальная поляризация	PSR J1738 + 0333
${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	2 × 10 ^{- 9}	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ $\ alpha _ {3}$	4 × 10 ^{- 20}	Самоускорение	Статистика замедления вращения пульсара
${\ displaystyle \ eta _ {N}}$ $\ eta _ {N}$	9 × 10 ^{- 4}	Эффект Нордтведта	Лазерная локация Луны
${\ displaystyle \ zeta _ {1}}$ $\ zeta _ {1}$	0,02	Комбинированные границы PPN	-
${\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ $\ zeta _ {2}$	4 × 10 ^{- 5} †	Двойное пульсарное ускорение	ПСР 1913 + 16
${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ $\ zeta _ {3}$	1 × 10 ^{- 8}	3-й закон Ньютона	Лунное ускорение
${\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ $\ zeta _ {4}$	0,006 ‡	-	Крейцеровский эксперимент

† Уилл, CM (10 июля 1992 г.). «Сохраняется ли импульс? Тест в двоичной системе PSR 1913 + 16». Письма в астрофизический журнал. 393 (2): L59 – L61. Bibcode : 1992ApJ... 393L..59W. DOI : 10.1086 / 186451. ISSN 0004-637X.

‡ По материалам Will (1976, 2006). Теоретически возможно обойти это ограничение в альтернативной модели гравитации, и в этом случае оценка взята из Ni (1972). ${\ displaystyle 6 \ zeta _ {4} = 3 \ alpha _ {3} +2 \ zeta _ {1} -3 \ zeta _ {3}}$ ${\ displaystyle 6 \ zeta _ {4} = 3 \ alpha _ {3} +2 \ zeta _ {1} -3 \ zeta _ {3}}$ ${\ displaystyle | \ zeta _ {4} | lt;0,4}$ ${\ displaystyle | \ zeta _ {4} | lt;0,4}$

Смотрите также

использованная литература

Эддингтон, А.С. (1922) Математическая теория относительности, Cambridge University Press.
Миснер, К.У., Торн, К.С. и Уиллер, Дж. А. (1973) Gravitation, WH Freeman and Co.
Нордтведт, Кеннет (1968-05-25). «Принцип эквивалентности массивных тел. II. Теория». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 169 (5): 1017–1025. DOI : 10.1103 / Physrev.169.1017. ISSN 0031-899X.
Нордтведт, К. (1969-04-25). «Принцип эквивалентности массивных тел, включая энергию вращения и радиационное давление». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 180 (5): 1293–1298. DOI : 10.1103 / Physrev.180.1293. ISSN 0031-899X.
Уилл, Клиффорд М. (1971). «Теоретические основы для проверки релятивистской гравитации. II. Параметризованная постньютоновская гидродинамика и эффект Нордтведта». Астрофизический журнал. IOP Publishing. 163: 611-628. DOI : 10.1086 / 150804. ISSN 0004-637X.
Уилл, CM (1976). «Активная масса в релятивистской гравитации - Теоретическая интерпретация эксперимента Крейцера». Астрофизический журнал. IOP Publishing. 204: 224-234. DOI : 10,1086 / 154164. ISSN 0004-637X.
Уилл К.М. (1981, 1993) Теория и эксперимент в гравитационной физике, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6.
Уилл, К.М., (2006) Противостояние общей теории относительности и эксперимента, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
Уилл, Клиффорд М. (11.06.2014). «Противостояние общей теории относительности и эксперимента». Живые обзоры в теории относительности. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 17 (1): 4. DOI : 10.12942 / lrr-2014-4. ISSN 2367-3613.
Уилл, Клиффорд М.; Нордтведт, Кеннет-младший (1972). "Законы сохранения и предпочтительные системы отсчета в релятивистской гравитации. I. Теории предпочтительных систем отсчета и расширенный формализм PPN". Астрофизический журнал. IOP Publishing. 177: 757. DOI : 10,1086 / 151754. ISSN 0004-637X.