Траектория

редактировать
Путь движущегося объекта Иллюстрация, показывающая траекторию пули, выпущенной по цели, идущей вверх.

A Траектория или траектория полета - это путь, по которому объект с массой в движении следует через пробел в зависимости от время. В классической механике траектория определяется гамильтоновой механикой через канонические координаты ; следовательно, полная траектория определяется положением и импульсом одновременно. Траектория в квантовой механике не определена из-за принципа неопределенности Гейзенберга , что положение и импульс нельзя измерить одновременно.

В классической механике масса может быть снарядом или спутником. Например, это может быть орбита - путь планеты, астероида или кометы, когда она движется вокруг центральная масса.

В теории управления траектория - это упорядоченный по времени набор состояний динамической системы (см., например, карту Пуанкаре ). В дискретной математике траектория - это последовательность (fk (x)) k ∈ N {\ displaystyle (f ^ {k} (x)) _ {k \ in \ mathbb {N} }}(f ^ {k} (x)) _ {{k \ in {\ mathbb {N}}}} значений, вычисленных повторным применением сопоставления f {\ displaystyle f}f с элементом x {\ displaystyle x}x своего источника.

Содержание

  • 1 Физика траекторий
  • 2 Примеры
    • 2.1 Равномерная гравитация, ни сопротивление, ни ветер
      • 2.1.1 Вывод уравнения движения
      • 2.1.2 Дальность и высота
      • 2.1.3 Угол возвышения
    • 2.2 Орбитальные объекты
  • 3 Ловля шаров
  • 4 Примечания
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Физика траекторий

Знакомый пример траектории - это траектория снаряда, например брошенного шара или камня. В значительно упрощенной модели объект движется только под действием однородного гравитационного силового поля. Это может быть хорошим приближением для камня, брошенного с небольшого расстояния, например, на поверхность луны. В этом простом приближении траектория принимает форму параболы . Как правило, при определении траекторий может потребоваться учитывать неравномерные гравитационные силы и сопротивление воздуха (лобовое сопротивление и аэродинамика ). На этом и сосредоточена дисциплина баллистика.

. Одним из замечательных достижений механики Ньютона был вывод законов Кеплера. В гравитационном поле точечной массы или сферически-симметричной протяженной массы (такой как Солнце ) траектория движущегося объекта представляет собой коническое сечение, обычно эллипс или гипербола. Это согласуется с наблюдаемыми орбитами планет, комет и искусственных космических аппаратов в достаточно хорошем приближении, хотя если комета проходит близко к Солнцу, то на нее также влияют другие сил, таких как солнечный ветер и давление излучения, которые изменяют орбиту и заставляют комету выбрасывать материал в космос.

Теория Ньютона позже превратилась в раздел теоретической физики, известный как классическая механика. В нем используется математика дифференциального исчисления (которое также было начато Ньютоном в молодости). На протяжении столетий бесчисленные ученые внесли свой вклад в развитие этих двух дисциплин. Классическая механика стала наиболее яркой демонстрацией силы рациональной мысли, то есть разума, как в науке, так и в технике. Это помогает понять и предсказать огромное количество явлений ; траектории - лишь один пример.

Рассмотрим частицу массы m {\ displaystyle m}m , движущуюся в потенциальном поле V {\ стиль отображения V}V . С физической точки зрения масса представляет собой инерцию, а поле V {\ displaystyle V}V представляет внешние силы особого типа, известные как «консервативные». Учитывая V {\ displaystyle V}V в каждой соответствующей позиции, есть способ вывести связанную силу, которая будет действовать в этой позиции, скажем, от силы тяжести. Однако не все силы можно выразить таким образом.

Движение частицы описывается дифференциальным уравнением второго порядка

md 2 x → (t) dt 2 = - ∇ V (x → (t)) с x → = (х, у, г). {\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - \ nabla V ({\ vec {x}} (t)) {\ text {with}} {\ vec {x}} = (x, y, z).}{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - \ nabla V ({\ vec {x}} (t)) {\ text {with}} {\ vec {x}} = (x, y, z).}

В правой части сила дана в терминах ∇ V {\ displaystyle \ nabla V}\ nabla V , градиент потенциала, взятый в положениях вдоль траектории. Это математическая форма второго закона движения Ньютона: для таких ситуаций сила равна массе, умноженной на ускорение.

Примеры

Равномерная гравитация, ни сопротивление, ни ветер

Траектории массы, брошенной под углом 70 °,. без сопротивления. с Сопротивление Стокса. с Сопротивление Ньютона

Идеальный случай движения снаряда в однородном гравитационном поле в отсутствие других сил (таких как сопротивление воздуха) впервые исследовал Галилео Галилей. Пренебрежение воздействием атмосферы на формирование траектории было бы бесполезной гипотезой практичных исследователей на протяжении всего средневековья в Европе. Тем не менее, предвидя существование вакуума, которое позже будет продемонстрировано на Земле его сотрудником Евангелистой Торричелли, Галилей смог положить начало будущей науке о механика. В почти вакууме, как выясняется, например, на Луне, его упрощенная параболическая траектория оказывается по существу правильной.

В последующем анализе мы выводим уравнение движения снаряда, измеренного по инерциальной системе отсчета, покоящейся относительно земли. С рамой связана правая система координат с ее началом в точке пуска снаряда. Ось x {\ displaystyle x}x касается земли, а ось y {\ displaystyle y}y перпендикулярна ей (параллельно оси силовые линии гравитационного поля). Пусть g {\ displaystyle g}g будет ускорением свободного падения. По отношению к плоской местности пусть начальная горизонтальная скорость будет vh = v cos ⁡ (θ) {\ displaystyle v_ {h} = v \ cos (\ theta)}v_ {h} = v \ cos (\ theta) , а начальная вертикальная скорость быть vv = v sin ⁡ (θ) {\ displaystyle v_ {v} = v \ sin (\ theta)}v_ {v} = v \ sin (\ theta) . Также будет показано, что диапазон составляет 2 vhvv / g {\ displaystyle 2v_ {h} v_ {v} / g}2v_ {h} v_ {v} / g , а максимальная высота составляет vv 2/2 g {\ displaystyle v_ {v} ^ {2} / 2g}v_{v}^{2}/2g. Максимальный диапазон для данной начальной скорости v {\ displaystyle v}v получается, когда vh = vv {\ displaystyle v_ {h} = v_ {v}}v_ {h} = v_ {v} , т.е. начальный угол равен 45 ∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}^ \ circ . Этот диапазон равен v 2 / g {\ displaystyle v ^ {2} / g}v ^ {2} / g , а максимальная высота в максимальном диапазоне составляет v 2 / (4 g) {\ displaystyle v ^ {2} / (4g)}{\ displaystyle v ^ {2} / (4g)} .

Вывод уравнения движения

Предположим, что движение снаряда измеряется из кадра свободного падения, который находится на (x, y) = (0,0) при t = 0. Уравнение движения снаряда в этом кадре (по принципу эквивалентности ) будет y = x tan ⁡ (θ) {\ Displaystyle у = х \ загар (\ тета)}y = x \ tan (\ theta) . Координаты этой рамки свободного падения по отношению к нашей инерциальной системе отсчета были бы y = - g t 2/2 {\ displaystyle y = -gt ^ {2} / 2}y = -gt ^ {2} / 2 . То есть y = - g (x / vh) 2/2 {\ displaystyle y = -g (x / v_ {h}) ^ {2} / 2}y=-g(x/v_{h})^{2}/2.

Теперь перевод обратно в инерциальную систему отсчета координаты снаряда становятся y = x tan ⁡ (θ) - g (x / vh) 2/2 {\ displaystyle y = x \ tan (\ theta) -g (x / v_ {h})) ^ {2} / 2}y = x \ tan (\ theta) -g (x / v_ {h}) ^ {2} / 2 То есть:

y = - g sec 2 ⁡ θ 2 v 0 2 x 2 + x tan ⁡ θ, {\ displaystyle y = - {g \ sec ^ {2} \ theta \ over 2v_ {0} ^ {2}} x ^ {2} + x \ tan \ theta,}{\ displaystyle y = - {g \ sec ^ {2} \ theta \ over 2v_ {0} ^ {2}} x ^ {2} + x \ tan \ theta,}

(где v 0 - начальная скорость, θ {\ displaystyle \ theta}\ theta - угол подъема, а g - ускорение свободного падения).

Дальность и высота

Траектории снарядов, выпущенных с разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м / с в вакууме и однородном нисходящем гравитационном поле 10 м / с. Точки расположены с интервалом 0,05 с, и длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время от запуска, T = время полета, R = дальность и H = самая высокая точка траектории (обозначена стрелками).

дальность, R, это наибольшее расстояние, по которому проходит объект ось x в секторе I. Начальная скорость, v i, представляет собой скорость, с которой упомянутый объект запускается из исходной точки. Начальный угол, θ i - это угол, при котором упомянутый объект отпускается. G - это гравитационное притяжение объекта в нулевой среде.

R = vi 2 sin ⁡ 2 θ ig {\ displaystyle R = {v_ {i} ^ {2} \ sin 2 \ theta _ {i} \ over g}}R = {v_ {i} ^ {2} \ sin 2 \ theta _ {i} \ over g}

Высота, h - наибольшая параболическая высота, которую достигает объект в пределах своей траектории

h = vi 2 sin 2 ⁡ θ i 2 g {\ displaystyle h = {v_ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {i} \ over 2g}}h = {v_ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {i} \ over 2g}

Угол возвышения

В терминах угла возвышения θ {\ displaystyle \ theta}\ theta и начальной скорости v {\ displaystyle v}v :

vh = v cos ⁡ θ, vv = v sin ⁡ θ {\ displaystyle v_ {h} = v \ cos \ theta, \ quad v_ {v} = v \ sin \ theta \; }v_ {h} = v \ cos \ theta, \ quad v_ {v} = v \ sin \ theta \;

, задающий диапазон как

R = 2 v 2 cos ⁡ (θ) sin ⁡ (θ) / g = v 2 sin ⁡ (2 θ) / g. {\ displaystyle R = 2v ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) / g = v ^ {2} \ sin (2 \ theta) / g \,.}R = 2v ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) / g = v ^ {2} \ sin (2 \ theta) / g \,.

Это уравнение может быть переставлен, чтобы найти угол для требуемого диапазона

θ = 1 2 sin - 1 ⁡ (g R v 2) {\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {gR} {v ^ {2}}} \ right)}{ \ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {gR} {v ^ {2}}} \ right)} (Уравнение II: угол запуска снаряда)

Обратите внимание, что функция синус так что есть два решения для θ {\ displaystyle \ theta}\ theta для заданного диапазона dh {\ displaystyle d_ {h}}d_ {h} . Угол θ {\ displaystyle \ theta}\ theta , дающий максимальный диапазон, можно найти, рассматривая производную или R {\ displaystyle R}R относительно θ {\ displaystyle \ theta}\ theta и установив его на ноль.

d р d θ знак равно 2 v 2 g соз ⁡ (2 θ) = 0 {\ displaystyle {\ mathrm {d} R \ over \ mathrm {d} \ theta} = {2v ^ {2} \ over g } \ cos (2 \ theta) = 0}{{\ mathrm {d}} R \ над {\ mathrm {d}} \ theta} = {2v ^ {2} \ над g} \ cos (2 \ theta) = 0

, который имеет нетривиальное решение при 2 θ = π / 2 = 90 ∘ {\ displaystyle 2 \ theta = \ pi / 2 = 90 ^ {\ circ} }2 \ theta = \ pi / 2 = 90 ^ {\ circ} или θ = 45 ∘ {\ displaystyle \ theta = 45 ^ {\ circ}}\ theta = 45 ^ {\ circ} . Тогда максимальный диапазон равен R max = v 2 / g {\ displaystyle R _ {\ max} = v ^ {2} / g \,}{\ displaystyle R _ {\ max} = v ^ {2} / g \,} . Под этим углом sin ⁡ (π / 2) = 1 {\ displaystyle \ sin (\ pi / 2) = 1}\ sin (\ pi / 2) = 1 , поэтому максимальная полученная высота составляет v 2 4 g { \ displaystyle {v ^ {2} \ over 4g}}{v ^ {2} \ over 4g} .

Чтобы найти угол, дающий максимальную высоту для заданной скорости, вычислите производную максимальной высоты H = v 2 sin 2 ⁡ (θ) / ( 2 g) {\ displaystyle H = v ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) / (2g)}H = v ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) / (2g) по отношению к θ {\ displaystyle \ theta}\ theta , то есть d H d θ = v 2 2 cos ⁡ (θ) sin ⁡ (θ) / (2 g) {\ displaystyle {\ mathrm {d} H \ over \ mathrm {d} \ theta} = v ^ {2} 2 \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) / (2g)}{ {\ mathrm {d}} H \ over {\ mathrm {d}} \ theta} = v ^ {2} 2 \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) / (2g) который равен нулю, когда θ = π / 2 = 90 ∘ {\ displaystyle \ theta = \ pi / 2 = 90 ^ {\ circ}}\ theta = \ pi / 2 = 90 ^ {\ circ} . Таким образом, максимальная высота H max = v 2 2 g {\ displaystyle H _ {\ mathrm {max}} = {v ^ {2} \ over 2g}}H_ \ mathrm {max} = {v ^ 2 \ более 2g} достигается при выстреле снаряда прямо вверх.

Объекты, движущиеся по орбите

Если вместо однородной гравитационной силы, направленной вниз, мы рассмотрим два тела , вращающихся по орбите с взаимной гравитацией между ними, мы получим законы движения планет Кеплера.. Их создание было одной из основных работ Исаака Ньютона и во многом послужило мотивацией для разработки дифференциального исчисления.

Ловля шаров

Если снаряд, то такой как мяч для бейсбола или крикета, он движется по параболической траектории с незначительным сопротивлением воздуха, и если игрок расположен так, чтобы поймать его при спуске, он видит, что угол его подъема постоянно увеличивается на протяжении всего полета. Тангенс угла возвышения пропорционален времени, прошедшему с момента, когда мяч был поднят в воздух, обычно в результате удара битой. Даже когда мяч действительно опускается, ближе к концу полета его угол подъема, который видит игрок, продолжает увеличиваться. Таким образом, игрок видит его, как если бы он поднимался вертикально с постоянной скоростью. Поиск места, из которого кажется, что мяч постоянно поднимается, помогает игроку правильно расположиться, чтобы поймать мяч. Если он находится слишком близко к игроку с битой, который ударил по мячу, будет казаться, что он будет подниматься с ускорением. Если он находится слишком далеко от игрока с битой, будет казаться, что он быстро замедлится, а затем начнет снижаться.

Примечания

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

The Wikibook Физика средней школы есть страница по теме: Движение снаряда

Последняя правка сделана 2021-06-11 09:27:46
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте