Перифокальная система координат

редактировать

Система перифокальных координат (PQW ) система отсчета для орбиты. Кадр центрируется в фокусе орбиты, то есть небесном теле, вокруг которого центрируется орбита. Единичные векторы $p ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$ ${\ mathbf {{\ hat {p}}}}$ и $q ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}$ лежат в плоскости орбиты. $p ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$ ${\ mathbf {{\ hat {p}}}}$ направлен на периапсис орбиты, а $q ^ {\ displaystyle \ mathbf { \ hat {q}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}$ имеет истинную аномалию ( $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ) на 90 градусов за перицентром. Третий единичный вектор $w ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}}$ $\ mathbf {\ шляпа {w}}$ является вектором углового момента и направлен ортогонально к плоскости орбиты так, что:

w ^ = p ^ × q ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = \ mathbf {\ hat {p}} \ times \ mathbf {\ hat {q}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = \ mathbf {\ hat {p}} \ times \ mathbf {\ hat {q}}}

И, поскольку $w ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}}$ $\ mathbf {\ шляпа {w}}$ - вектор углового момента, его можно также выразить как:

w ^ = h ‖ h ‖ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = {\ frac {\ mathbf {h}} {\ | \ mathbf {h} \ |}}}

{\ mathbf {{\ hat {w}}}} = {\ frac {{\ mathbf {h}}} {\ | {\ mathbf {h}} \ |}}

где h - удельный относительный угловой импульс.

Векторы положения и скорости могут быть определены для любого местоположения орбиты. Вектор положения, r, может быть выражен как:

r = ‖ r ‖ cos ⁡ θ p ^ + ‖ r ‖ sin ⁡ θ q ^ {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ | r \ | \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + \ | r \ | \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {q}}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ | r \ | \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + \ | r \ | \ грех \ тета \ mathbf {\ hat {q}}}

где $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ является истинной аномалией, и радиус r может быть вычислен по уравнению орбиты .

Вектор скорости v находится путем взятия производной по времени вектора положения:

v = r ˙ = (r ˙ cos ⁡ θ - r θ ˙ sin ⁡ θ) p ^ + (r ˙ sin ⁡ θ + r θ ˙ cos ⁡ θ) q ^ {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ dot {r}} = ({\ dot {r}} \ cos \ theta -r {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta) \ mathbf {\ hat { p}} + ({\ dot {r}} \ sin \ theta + r {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q}}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ dot {r}} = ({\ dot {r}} \ cos \ theta -r {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta) \ mathbf {\ hat {p}} + ({\ dot {r}} \ sin \ theta + r {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q}}}

Вывод из уравнения орбиты можно показать, что:

r ˙ = μ он грех ⁡ θ {\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mu} {h}} e \ sin \ theta}

{\ dot {r}} = {\ frac {\ mu} {h}} e \ sin \ theta

где $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - это гравитационный параметр фокуса, h - удельный относительный угол импульс орбитального тела, e - это эксцентриситет орбиты, а $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ - истинная аномалия. $r ˙ {\ displaystyle {\ dot {r}}}$ $\dot{r}$ - радиальная составляющая вектора скорости (направленная внутрь к фокусу), а $r θ ˙ {\ displaystyle r {\ точка {\ theta}}}$ $r {\ dot {\ theta}}$ - тангенциальная составляющая вектора скорости. Подставляя уравнения для $r ˙ {\ displaystyle {\ dot {r}}}$ $\dot{r}$ и $r θ ˙ {\ displaystyle r {\ dot {\ theta}}}$ $r {\ dot {\ theta}}$ в уравнение вектора скорости и упрощая, окончательная форма уравнения вектора скорости получается как:

v = μ h [- sin ⁡ θ p ^ + (e + cos ⁡ θ) q ^] {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mu} {h}} [- \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + (e + \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q}} ]}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mu} {h} } [- \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + (e + \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q}}]}

Преобразование из экваториальной системы координат

Перифокальная система координат также может быть определена с помощью параметров орбиты наклон (i), прямое восхождение восходящего узла ( $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ ) и аргумент периапсиса ( $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ омега$ ). Следующие уравнения преобразуют орбиту из экваториальной системы координат в перифокальную систему координат.

pi = cos ⁡ Ω cos ⁡ ω - sin ⁡ Ω cos ⁡ i sin ⁡ ω pj = sin ⁡ Ω cos ⁡ ω + cos ⁡ Ω cos ⁡ i sin ⁡ ω pk = sin ⁡ i sin ⁡ ω qi = - cos ⁡ Ω sin ⁡ ω - sin ⁡ Ω cos ⁡ i cos ⁡ ω qj = - sin ⁡ Ω sin ⁡ ω + cos ⁡ Ω соз ⁡ я соз ⁡ ω qk знак равно грех ⁡ я соз ⁡ ω wi = грех ⁡ я грех ⁡ Ω wj = - грех ⁡ я соз ⁡ Ω wk = соз ⁡ я {\ displaystyle {\ begin {выровнено} p_ {i } = \ cos \ Omega \ cos \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ sin \ omega \\ p_ {j} = \ sin \ Omega \ cos \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ sin \ омега \\ p_ {k} = \ sin i \ sin \ omega \\ [8pt] q_ {i} = - \ cos \ Omega \ sin \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {j} = - \ sin \ Omega \ sin \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {k} = \ sin i \ cos \ omega \\ [8pt] w_ {i } = \ sin i \ sin \ Omega \\ w_ {j} = - \ sin i \ cos \ Omega \\ w_ {k} = \ cos i \ end {align}}}

{\ begin {выровнено} p_ {i} = \ cos \ Omega \ cos \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ sin \ omega \\ p_ {j} = \ sin \ Омега \ cos \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ sin \ omega \\ p_ {k} = \ sin i \ sin \ omega \\ [8pt] q_ {i} = - \ cos \ Omega \ sin \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {j} = - \ sin \ Omega \ sin \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {k} = \ sin i \ cos \ omega \\ [8pt] w_ {i} = \ sin i \ sin \ Omega \\ w_ {j} = - \ sin i \ cos \ Omega \\ w_ { к} = \ соз я \ конец {выровнено}}

где

p ^ = пи I ^ + pj J ^ + pk K ^ q ^ = qi I ^ + qj J ^ + qk K ^ w ^ = wi I ^ + wj J ^ + wk K ^ {\ displaystyle {\ begin в {выровненном} \ mathbf {\ hat {p}} = p_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + p_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + p_ {k} \ mathbf { \ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {q}} = q_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + q_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + q_ {k } \ mathbf {\ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {w}} = w_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + w_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + w_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ hat {p}} = p_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + p_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + p_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {q}} = q_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + q_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + q_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {w}} = w_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + w_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + w_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \ end {align}}}

и $I ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {I}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {I} }}$ , $J ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {J}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {J}}}$ и $K ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {K}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {K}}}$ - единичные векторы экваториальной система координат.

Приложения

Перифокальные опорные рамки чаще всего используются с эллиптическими орбитами по той причине, что $p ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$ ${\ mathbf {{\ hat {p}}}}$ координата должна быть выровнена с вектором эксцентриситета . Круговые орбиты, не имеющие эксцентриситета, не дают возможности ориентировать систему координат относительно фокуса.

Перифокальная система координат также может использоваться в качестве инерциальной системы отсчета, потому что оси не вращаются относительно неподвижных звезд. Это позволяет рассчитать инерцию любых орбитальных тел в этой системе отсчета. Это полезно при попытке решить такие проблемы, как проблема двух тел.

Ссылки