Средняя аномалия

редактировать
Площадь выметания за единицу времени   объектом на эллиптической орбите, и  воображаемым объектом на круговой орбите (с тем же периодом обращения). Обе модели охватывают равные площади за одинаковое время, но угловая скорость развертки варьируется для эллиптической орбиты и постоянна для круговой орбиты. Показаны средняя аномалия и истинная аномалия для двух единиц времени. (Обратите внимание, что для визуальной простоты схематически изображена неперекрывающаяся круговая орбита, таким образом, эта круговая орбита с одинаковым периодом обращения не показана в истинном масштабе с этой эллиптической орбитой: чтобы масштаб соответствовал двум орбитам с равным периодом, эти орбиты должен пересекаться.)

В небесной механике, то средняя аномалия представляет собой фракция из двух величин эллиптической орбиты периода, прошедшее с момента орбитального тела прошло перицентр, выраженный как угол, который может быть использован при вычислении положения этого тела в классической задаче два тел. Это угловое расстояние от перицентра, которое было бы у фиктивного тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с постоянной скоростью за тот же период обращения, что и фактическое тело по своей эллиптической орбите.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 формулы
  • 3 См. Также
  • 4 ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Определение

Определите T как время, необходимое для того, чтобы конкретное тело совершило один оборот по орбите. В время Т, то радиус - вектор заметает 2 л радиан, или 360 °. Тогда средняя скорость развертки n равна

п знак равно 2 π Т знак равно 360 Т   , {\ displaystyle n = {\ frac {\, 2 \, \ pi \,} {T}} = {\ frac {\, 360 ^ {\ circ} \,} {T}} ~,}

которое называется средним угловым движением тела с размерами в радианах в единицу времени или градусах в единицу времени.

Определим τ как время, в которое тело находится в перицентре. Из приведенных выше определений можно определить новую величину M, среднюю аномалию.

M знак равно п ( т - τ )   , {\ Displaystyle М = п \, (т- \ тау) ~,}

что дает угловое расстояние от перицентра в произвольный момент времени t. с размерами в радианах или градусах.

Поскольку скорость увеличения n является постоянной средней, средняя аномалия увеличивается равномерно (линейно) от 0 до 2 π радиан или от 0 ° до 360 ° на каждой орбите. Он равен 0, когда тело находится в перицентре, π радиан (180 °) в апоцентре и 2 π радиан (360 °) после одного полного оборота. Если средняя аномалия известна в любой данный момент времени, он может быть рассчитан в любом позже (или ранее) момент путем простого добавления (или вычитания) n⋅δt, где amp; delta ; t представляет разницу во времени небольшой.

Средняя аномалия не измеряет угол между какими-либо физическими объектами. Это просто удобная единообразная мера того, как далеко продвинулось тело по своей орбите от перицентра. Средняя аномалия - это один из трех угловых параметров (известных исторически как «аномалии»), которые определяют положение на орбите, два других - это эксцентрическая аномалия и истинная аномалия.

Формулы

Средняя аномалия M может быть вычислена из эксцентрической аномалии E и эксцентриситета e с помощью уравнения Кеплера :

M знак равно E - е грех E   . {\ Displaystyle M = Ee \, \ sin E ~.}

Средняя аномалия также часто рассматривается как

M знак равно M 0 + п ( т - т 0 )   , {\ Displaystyle М = М_ {0} + п \ влево (т-т_ {0} \ вправо) ~,}

где M 0 - средняя аномалия в эпоху, а t 0 - эпоха, эталонное время, к которому относятся элементы орбиты, которое может совпадать или не совпадать с τ, временем прохождения перицентра. Классический метод определения положения объекта на эллиптической орбите из набора орбитальных элементов состоит в том, чтобы вычислить среднюю аномалию по этому уравнению, а затем решить уравнение Кеплера для эксцентрической аномалии.

Определите ϖ как долготу перицентра, угловое расстояние перицентра от опорного направления. Определите ℓ как среднюю долготу, угловое расстояние до тела от того же исходного направления, предполагая, что оно движется с равномерным угловым движением, как и при средней аномалии. Таким образом, средняя аномалия также

M знак равно - ϖ   . {\ Displaystyle M = \ ell - \ varpi ~.}

Среднее угловое движение также может быть выражено,

п знак равно μ а 3   , {\ displaystyle n = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {\; a ^ {3} \,}} \,}} ~,}

где μ - гравитационный параметр, который изменяется в зависимости от масс объектов, а a - большая полуось орбиты. Затем средняя аномалия может быть расширена,

M знак равно μ а 3 ( т - τ )   , {\ displaystyle M = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {\; a ^ {3} \,}} \,}} \, \ left (t- \ tau \ right) ~,}

и здесь средняя аномалия представляет собой равномерное угловое движение по окружности радиуса a  .

Средняя аномалия может быть выражена в виде разложения в ряд по эксцентриситета е и истинной аномалией е  ,

M знак равно ж + п знак равно 1 ( - 1 ) п { 1 п + 1 - е 2 } β п грех п ж {\ displaystyle M = f + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ Big \ {} {\ frac {1} {n}} + {\ sqrt {1- e ^ {2}}} {\ Big \}} \ beta ^ {n} \ sin {nf}}
с участием β знак равно 1 - 1 - е 2 е {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {e}}}
M знак равно ж - 2 е грех ж + ( 3 4 е 2 + 1 8 е 4 ) грех 2 ж - 1 3 е 3 грех 3 ж + 5 32 е 4 грех 4 ж + О ( е 5 ) {\ displaystyle M = f-2 \, e \ sin f + \ left ({\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {1} {8}} e ^ {4} \ right) \ sin 2f - {\ frac {1} {3}} e ^ {3} \ sin 3f + {\ frac {5} {32}} e ^ {4} \ sin 4f + \ operatorname {\ mathcal {O}} \ left (e ^ {5} \ right)}

Аналогичная формула дает истинную аномалию непосредственно через среднюю аномалию:

ж знак равно M + ( 2 е - 1 4 е 3 ) грех M + 5 4 е 2 грех 2 M + 13 12 е 3 грех 3 M + О ( е 4 ) {\ displaystyle f = M + \ left (2 \, e - {\ frac {1} {4}} e ^ {3} \ right) \ sin M + {\ frac {5} {4}} e ^ {2} \ sin 2M + {\ frac {13} {12}} e ^ {3} \ sin 3M + \ operatorname {\ mathcal {O}} \ left (e ^ {4} \ right)}

Общая формулировка приведенного выше уравнения может быть записана как уравнение центра  :

ж знак равно M + 2 s знак равно 1 1 s { J s ( s е ) + п знак равно 1 β п ( J s - п ( s е ) + J s + п ( s е ) ) } грех ( s M ) {\ displaystyle f = M + 2 \ sum _ {s = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {s}} {\ Big \ {} J_ {s} (se) + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} \ beta ^ {p} {\ big (} J_ {sp} (se) + J_ {s + p} (se) {\ big)} {\ Big \}} \ sin ( sM)}

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2024-01-02 04:10:45
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте