Бесконечно малое преобразование

В математике бесконечно малое преобразование - это ограничивающая форма малого преобразования. Например, можно говорить о бесконечно малом вращении твердого тела в трехмерном пространстве. Это условно представлено кососимметричной матрицей A размером 3 × 3 . Это не матрица фактического поворота в пространстве; но для малых реальных значений параметра ε преобразование

$T\; =\; I\; +\; \epsilon \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; I\; +\; \backslash \; varepsilon\; A\}$

представляет собой небольшое вращение, вплоть до величин порядка ε.

• 1 История
• 2 Примеры
• 3 Операторная версия теоремы Тейлора
• 4 Ссылки

Всесторонняя теория бесконечно малых преобразований впервые была дана в Софус Ли. Это было в основе его работы над тем, что сейчас называется группами Ли и сопровождающими их алгебрами Ли ; и определение их роли в геометрии и особенно в теории дифференциальных уравнений. Свойства абстрактной алгебры Ли являются в точности определяющими для инфинитезимальных преобразований, точно так же, как аксиомы теории групп воплощают симметрию. Термин «алгебра Ли» был введен в 1934 г. Германом Вейлем для обозначения того, что до тех пор было известно как алгебра инфинитезимальных преобразований группы Ли.

Например, в случае бесконечно малых вращений структура алгебры Ли обеспечивается перекрестным произведением после того, как была идентифицирована кососимметричная матрица. с вектором 3- . Это равносильно выбору вектора оси для вращений; Определяющее тождество Якоби является хорошо известным свойством перекрестных произведений.

Самым ранним примером бесконечно малого преобразования, которое могло быть признано таковым, была теорема Эйлера об однородных функциях. Здесь утверждается, что функция F от n переменных x 1,..., x n, однородная степени r, удовлетворяет

$\Theta \; F\; =\; r\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; F\; =\; rF\; \backslash ,\}$

с

$\Theta \; =\; \sum \; ixi\; \partial \; \partial \; xi,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; x\_\; \{i\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\_\; \{i\; \}\},\}$

Тета-оператор. То есть из свойства

$F\; (\lambda \; x\; 1,\dots ,\; \lambda \; xn)\; =\; \lambda \; r\; F\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; lambda\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; lambda\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{r\}\; F\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash ,\}$

можно дифференцировать по λ, а затем установить λ равным 1. Это затем становится необходимым условием для гладкой функции F, чтобы иметь свойство однородности; этого также достаточно (используя распределения Шварца, здесь можно сократить рассмотрение математического анализа ). Этот параметр является типичным, поскольку работает однопараметрическая группа из масштабов ; и информация кодируется в бесконечно малом преобразовании, которое является дифференциальным оператором первого порядка.

Операторное уравнение

$et\; D\; f\; (x)\; =\; f\; (x\; +\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{tD\}\; f\; (x)\; =\; f\; (x\; +\; t)\; \backslash ,\}$

где

$D\; =\; ddx\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\}$

является оператором версией теоремы Тейлора - и поэтому действителен только с оговорками о том, что f является аналитической функцией. Сосредоточившись на операторной части, он показывает, что D является бесконечно малым преобразованием, генерирующим переводы реальной линии через экспоненту . В теории Ли это очень обобщено. Любая связная группа Ли может быть построена с помощью ее инфинитезимальных образующих (основы алгебры Ли группы); с явной, если не всегда полезной информацией, приведенной в формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Sophus Ли (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, английский перевод Д.Х. Дельфениха, §8, ссылка из неоклассической физики.