Кососимметричная матрица

В математике, особенно в линейной алгебре, перекос -симметричная (или антисимметричная или антиметрическая ) матрица - это квадратная матрица, транспонирование которой равно ее отрицательный. То есть удовлетворяет условию

$A\; кососимметричного\; ⟺\; A\; T\; =\; -\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \{\backslash \; text\; \{кососимметричный\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; iff\; \backslash \; quad\; A\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; =\; -\; A.\}$

В терминах элементов матрицы, если $aij\; \{\backslash \; textstyle\; a\_\; \{ij\}\}$обозначает запись в $i\; \{\backslash \; textstyle\; i\}$-й строке и $j\; \{\backslash \; textstyle\; j\}$-й столбец, то условие кососимметричности эквивалентно

$Кососимметричному\; ⟺\; aji\; =\; -\; aij.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \{\backslash \; text\; \{кососимметричный\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; iff\; \backslash \; quad\; a\_\; \{ji\}\; =\; -\; a\_\; \{ij\}.\}$

• 1 Пример
• 2 Свойства
  • 2.1 Вектор пространственная структура
  • 2.2 Детерминант
  • 2.3 Перекрестное произведение
  • 2.4 Спектральная теория
• 3 Кососимметричные и чередующиеся формы
• 4 Бесконечно малые вращения
• 5 Без координат
• 6 Кососимметризуемая матрица
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Матрица

$A\; =\; [0\; 2\; -\; 45\; -\; 2\; 0\; -\; 4\; 45\; 4\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 2\; -45\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 0\; -4\; \backslash \backslash \; 45\; 4\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

асимметрично, потому что

$-\; A\; =\; [0\; -\; 2\; 45\; 2\; 0\; 4\; -\; 45\; -\; 4\; 0]\; =\; В.\; \{\backslash \; displaystyle\; -A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -2\; 45\; \backslash \backslash \; 2\; 0\; 4\; \backslash \backslash \; -\; 45\; -4\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; A\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}.\}$

На всем протяжении мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю field $F\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\}$, характеристика не равна до 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0, где 1 обозначает мультипликативную единицу, а 0 - аддитивную единицу данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица - это то же самое, что симметричная матрица.

• Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
• Скаляр кратная кососимметричной матрицы является кососимметричной.
• Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, и поэтому ее след равен нулю.
• Если $A\; \{\backslash \; textstyle\; A\}$- действительная кососимметричная матрица, а $\lambda \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$- действительное собственное значение, то $\lambda \; =\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\}$, т.е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы нереальны.
• Если $A\; \{\backslash \; textstyle\; A\}$- действительная кососимметричная матрица, тогда $I\; +\; A\; \{\backslash \; textstyle\; I\; +\; A\}$- обратимая, где $I\; \{\backslash \; textstyle\; I\}$- это единичная матрица.
• Если $A\; \{\backslash \; textstyle\; A\}$- кососимметричная матрица, то $A\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; A\; ^\; \{2\}\}$- симметричное отрицательное полу-d Конечная матрица.

Структура векторного пространства

В результате первых двух свойств выше набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство. Пространство $n\; \times \; n\; \{\backslash \; textstyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$кососимметричных матриц имеет размер $1\; 2\; n\; (n\; -\; 1).\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; n\; (n-1).\}$

Пусть $Mat\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Mat\}\}\; \_\; \{n\}\}$обозначают пространство матриц $n\; \times \; n\; \{\backslash \; textstyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$. Кососимметричная матрица определяется $1\; 2\; n\; (n\; -\; 1)\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; n\; (n-1)\}$скалярами (количество записи выше главной диагонали ); симметричная матрица определяется $1\; 2\; n\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; n\; (n\; +\; 1)\}$скалярами (количество точек на главной диагонали или над ней). Пусть $Skew\; n\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Skew\}\}\; \_\; \{n\}\}$обозначает пространство $n\; \times \; n\; \{\backslash \; textstyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$кососимметричные матрицы и $Sym\; n\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Sym\}\}\; \_\; \{n\}\}$обозначают пространство $n\; \times \; n\; \{\backslash \; textstyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$симметричные матрицы. Если $A\; \in \; Mat\; n\; \{\backslash \; textstyle\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Mat\}\}\; \_\; \{n\}\}$, то

$A\; =\; 1\; 2\; (A\; -\; AT)\; +\; 1\; 2\; (A\; +\; В).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (AA\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (A\; +\; A\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \backslash \; right).\}$

Обратите внимание, что $1\; 2\; (A\; -\; AT)\; \in \; Skew\; n\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (AA\; ^\; \{\backslash textf\; \{\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; in\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Skew\}\}\; \_\; \{n\}\}$и $1\; 2\; (A\; +\; AT)\; \in \; Sym\; n.\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (A\; +\; A\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; in\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Sym\}\}\; \_\; \{n\}.\}$Это верно для каждой квадратной матрицы $A\; \{\backslash \; textstyle\; A\}$с записями из любого поля , характеристика которого отличается из 2. Тогда, поскольку $Mat\; n\; =\; Skew\; n\; +\; Sym\; n\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Mat\}\}\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Skew\}\}\; \_\; \{n\}\; +\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Sym\}\; \}\; \_\; \{n\}\}$и $Наклон\; n\; \cap \; Sym\; n\; =\; 0,\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Skew\}\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Sym\}\}\; \_\; \{n\; \}\; =\; 0,\}$

$Мат\; n\; =\; Наклон\; n\; \oplus \; Sym\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Mat\}\}\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Skew\}\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Sym\; \}\}\; \_\; \{n\},\}$

где $\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oplus\}$обозначает прямую сумму.

. Обозначим как $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$стандартный внутренний продукт на $R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}.\}$Настоящая $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$матрица $A\; \{\backslash \; textstyle\; A\}$является кососимметричным тогда и только тогда, когда

$⟨A\; x,\; y⟩\; =\; -\; ⟨x,\; A\; y⟩\; x,\; y\; \in \; R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; Ax,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; langle\; x,\; Ay\; \backslash \; rangle\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}.\}$

Это также эквивалентно $⟨Икс,\; A\; Икс⟩\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; langle\; x,\; Ax\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$для всех $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; \}\}$(одно значение очевидно, другое - простое следствие $⟨x\; +\; y,\; A\; (x\; +\; y)⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; langle\; x\; +\; y,\; A\; (x\; +\; y)\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$).

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса, кососимметрия - это свойство, которое зависит только от линейного оператора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \}$и выбор внутреннего произведения.

$3\; \times \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; times\; 3\}$кососимметричных матриц можно использовать для представления перекрестных произведений как матричное умножение.

Определитель

Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$будет a $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$Кососимметричная матрица. Определитель элемента $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$удовлетворяет условию

$det\; (A\; T)\; =\; det\; (-\; A)\; =\; (-\; 1)\; n\; det\; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; det\; (-A)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; det\; (A).\}$

В частности, если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$нечетно, и, поскольку базовое поле не имеет характеристики 2, определитель исчезает. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности сингулярны, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат получил название теоремы Якоби в честь Карла Густава Якоби (Eves, 1980).

Чётный случай более интересен. Оказывается, определитель $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$для $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$даже может быть записан как квадрат многочлен в элементах $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, который впервые был доказан Кэли:

$det\; (A)\; =\; Pf\; \; (A)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; \{(A)\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Pf\}\; (A)\; ^\; \{2\}.\}$

Этот многочлен называется пфаффианом из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и обозначается $Pf\; \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Pf\}\; (A)\}$. Таким образом, определитель реальной кососимметричной матрицы всегда неотрицателен. Однако этот последний факт можно элементарно доказать следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми (см. Ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии с его кратностью, сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом.

Количество различных членов $s\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (n)\}$в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$уже рассматривался Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за отмены это число довольно мало по сравнению с числом членов общей матрицы порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, что составляет $n!\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\}$. Последовательность $s\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (n)\}$(последовательность A002370 в OEIS ):

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0,…

, и он закодирован в экспоненциальной производящей функции

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; s\; (n)\; n!\; Икс\; П\; знак\; равно\; (1\; -\; Икс\; 2)\; -\; 1\; 4\; ехр\; \; (Икс\; 2\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{s\; (n)\}\; \{n!\}\}\; x\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (1-x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right).\}$

Последнее подчиняется асимптотике (для $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$даже)

$s\; (n)\; =\; \pi \; -\; 1\; 2\; 2\; 3\; 4\; \Gamma \; (3\; 4)\; (ne)\; n\; -\; 1\; 4\; (1\; +\; O\; (1\; n)).\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (n)\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; O\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right).\}$

Количество положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего числа, хотя их разница принимает все большие и большие положительные и отрицательные значения, как $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \}$увеличивается (последовательность A167029 в OEIS ).

Перекрестное произведение

Кососимметричные матрицы три на три могут использоваться для представления перекрестных произведений как умножения матриц. Рассмотрим векторы $a\; =\; (a\; 1\; a\; 2\; a\; 3)\; T\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; left\; (a\_\; \{1\}\; \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \; a\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}$и $b\; =\; (b\; 1\; b\; 2\; b\; 3)\; T.\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; left\; (b\_\; \{1\}\; \backslash \; b\_\; \{2\}\; \backslash \; b\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}.\}$Затем определение матрицы

$[a]\; \times \; =\; [0\; -\; a\; 3\; a\; 2\; a\; 3\; 0\; -\; a\; 1\; -\; a\; 2\; a\; 1\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathbf\; \{a\}]\; \_\; \{\backslash \; times\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\; \}\; \backslash ,\; \backslash ,\; 0\; \backslash !\; -\; a\_\; \{3\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\_\; \{3\}\; 0\; \backslash !\; -\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash !\; -\; a\_\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

векторное произведение можно записать как

$a\; \times \; b\; =\; [a]\; \times \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; [\backslash \; mathbf\; \{a\}]\; \_\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}.\}$

Это можно сразу проверить, вычислив обе части предыдущего уравнение и сравнение каждого соответствующего элемента результатов.

Фактически имеет

$[a\; \times \; b]\; \times \; =\; [a]\; \times \; [b]\; \times \; -\; [b]\; \times \; [a]\; \times ;\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\}]\; \_\; \{\backslash \; times\}\; =\; [\backslash \; mathbf\; \{a\}]\; \_\; \{\backslash \; times\}\; [\backslash \; mathbf\; \{b\}]\; \_\; \{\backslash \; times\}\; -\; [\backslash \; mathbf\; \{b\}\; ]\; \_\; \{\backslash \; times\}\; [\backslash \; mathbf\; \{a\}]\; \_\; \{\backslash \; times\};\}$

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с кросс-произведением трех векторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются алгеброй Ли группы вращений $SO\; (3)\; \{\backslash \; textstyle\; SO\; (3)\}$, это объясняет соотношение между трехмерным пространством $R\; 3\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$, перекрестным произведением и трехмерными вращениями. Подробнее о бесконечно малых поворотах можно найти ниже.

Спектральная теория

Поскольку матрица похожа на на собственное транспонирование, они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда входят парами ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда имеется дополнительное непарное собственное значение 0). Согласно спектральной теореме для вещественной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чистыми мнимыми и, следовательно, имеют вид $\lambda \; 1\; i,\; -\; \lambda \; 1\; i,\; \lambda \; 2\; i,\; -\; \lambda \; 2\; я,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; i,\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; i,\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; i,\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; i,\; \backslash \; ldots\}$, где каждый из $\lambda \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{k\}\}$является действительным.

Реальные кососимметричные матрицы - это нормальные матрицы (они коммутируют со своими сопряжениями ) и, таким образом, подчиняются спектральной теореме, которая гласит что любая действительная кососимметричная матрица может быть диагонализована с помощью унитарной матрицы. Поскольку собственные значения реальной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализовать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако можно привести каждую кососимметричную матрицу к блочно-диагональной форме с помощью специального ортогонального преобразования . В частности, каждая $2\; n\; \times \; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\; \backslash \; times\; 2n\}$вещественная кососимметричная матрица может быть записана в форме $A\; =\; Q\; \Sigma \; QT\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; Q\; \backslash \; Sigma\; Q\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}$где $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$ортогонально и

$\Sigma \; =\; [0\; \lambda \; 1\; -\; \lambda \; 1\; 0\; 0\; \cdots \; 0\; 0\; 0\; \lambda \; 2\; -\; \lambda \; 2\; 0\; 0\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; 0\; 0\; \cdots \; 0\; \lambda \; р\; -\; \lambda \; р\; 0\; 0\; \ddots \; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \backslash \; lambda\; \_\; \{r\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{r\}\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\; \}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash \; ddots\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

для действительного положительно определенного $\lambda \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{k\}\}$. Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ± λ k i. В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей.

В более общем смысле, каждая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в форме $A\; =\; U\; \Sigma \; UT\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; U\; \backslash \; Sigma\; U\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\}$где $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$является унитарным, а $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$имеет блочно-диагональную форму, указанную выше, с $\lambda \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{k\}\}$все еще действительный положительно определенный. Это пример разложения по Юле сложной квадратной матрицы.

A кососимметричная форма $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$в векторном пространстве $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$над field $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$произвольной характеристики определяется как билинейная форма

$\phi :\; V\; \times \; V\; \mapsto \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; V\; \backslash \; times\; V\; \backslash \; mapsto\; K\}$

такая, что для всех $v,\; вес\; \{\backslash \; displaystyle\; v,\; w\}$в $V,\; \{\backslash \; displaystyle\; V,\}$

$\phi \; (v,\; w)\; =\; -\; \phi \; (w,\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (v,\; w)\; =\; -\; \backslash \; varphi\; (w,\; v).\}$

Это определяет форму с желаемыми свойствами для векторных пространств над полями характеристики не равной 2, но в векторном пространстве над поле характеристики 2, определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является его собственным аддитивным обратным.

Если векторное пространство $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$находится над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2, мы можем определить переменную форму как билинейную форму $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$таким образом, чтобы для всех векторов $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$в $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$

$\phi \; (v,\; v)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (v,\; v)\; =\; 0.\}$

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

$0\; =\; \phi \; (v\; +\; w,\; v\; +\; w)\; =\; \phi \; (v,\; v)\; +\; \phi \; (v,\; w)\; +\; \phi \; (w,\; v)\; +\; \phi \; (w\; вес)\; знак\; равно\; \phi \; (v,\; вес)\; +\; \phi \; (вес,\; v),\; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\; =\; \backslash \; varphi\; (v\; +\; w,\; v\; +\; w)\; =\; \backslash \; varphi\; (v,\; v)\; +\; \backslash \; varphi\; (v,\; w)\; +\; \backslash \; varphi\; (w,\; v)\; +\; \backslash \; varphi\; (w,\; w)\; =\; \backslash \; varphi\; (v,\; w)\; +\; \backslash \; varphi\; (w,\; v),\}$

откуда

$\phi \; (v,\; w)\; =\; -\; \phi \; (ш,\; в).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (v,\; w)\; =\; -\; \backslash \; varphi\; (w,\; v).\}$

Билинейная форма $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$будет представлена ​​матрицей $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$такой, что $\phi \; (v,\; w)\; =\; v\; TA\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (v,\; w)\; =\; v\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; Aw\; \}$, если выбран базис из $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, и наоборот $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; раз\; n\}$матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$на $K\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{n\}\}$дает начало форма отправки $(v,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; (v,\; w)\}$на $v\; TA\; w.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; Aw.\}$Для каждой из симметричных, кососимметричных и переменных форм представляющие матрицы являются симметричными, кососимметричными и переменными соответственно.

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к действительной ортогональной группе $O\; (\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n)\}$в единичной матрице; формально специальная ортогональная алгебра Ли. В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения.

Другими словами, пространство кососимметричных матриц образует алгебру Ли $o\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; o\; (n)\}$группы Ли $O\; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n).\}$Скобка Ли на этом пространстве задается коммутатором :

$[A,\; B]\; =\; A\; B\; -\; B\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; [A,\; B]\; =\; AB-BA.\; \backslash ,\}$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

$[A,\; B]\; T\; =\; BTAT\; -\; ATBT\; =\; (-\; B)\; (-\; A)\; -\; (-\; A)\; (-\; B)\; =\; BA\; -\; AB\; =\; -\; [A,\; B].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{[\}\; A,\; B\; \{]\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; =\; B\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; A\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; -\; A\; ^\; \{\; \backslash textf\; \{T\}\}\; B\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \backslash \; =\; (-\; B)\; (-\; A)\; -\; (-\; A)\; (-\; B)\; =\; BA-AB\; =\; -\; [A,\; B]\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Тогда матричная экспонента кососимметричной матрицы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$тогда является ортогональной матрицей $R\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\}$:

$R\; =\; ехр\; \; (A)\; =\; \sum \; N\; =\; 0\; \infty \; A\; nn!.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; exp\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

Изображение экспоненциальное отображение алгебры Ли всегда лежит в компоненте связности группы Ли, содержащей единичный элемент. В случае группы Ли $O\; (n),\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n),\}$этот компонент связности является специальной ортогональной группой $SO\; (n),\; \{\backslash \; displaystyle\; SO\; (n),\}$, состоящий из всех ортогональных матриц с определителем 1. Итак, $R\; =\; exp\; \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; exp\; (A)\}$будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что любая ортогональная матрица с единичным определителем может быть записана как экспонента некоторой кососимметричной матрицы. В особенно важном случае размерности $n\; =\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2,\}$экспоненциальное представление для ортогональной матрицы сводится к хорошо известной полярной форме комплексное число единичного модуля. В самом деле, если $n\; =\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2,\}$специальная ортогональная матрица имеет вид

$[a\; -\; bba],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\; -b\; \backslash \backslash \; b\; \backslash ,\; a\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

с $a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$. Следовательно, положив $a\; =\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$и $b\; =\; sin\; \; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta,\}$можно записать

$[cos\; \theta \; -\; sin\; \theta \; sin\; \theta \; cos\; \theta ]\; =\; exp\; \; (\theta \; [0\; -\; 1\; 1\; 0]),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash ,\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; \backslash ,\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash ,\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash ,\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; theta\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -1\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash ,\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right),\}$

что в точности соответствует полярной форме $cos\; \; \theta \; +\; i\; sin\; \; \theta \; =\; ei\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\}$комплексного числа с единичным модулем.

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$также можно получить, исходя из того факта, что в измерении $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$любая специальная ортогональная матрица $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$может быть записана как $R\; =\; QSQT,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; QSQ\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\},\}$, где $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$ортогонален, а S - блочно-диагональная матрица с $\lfloor \; n\; /\; 2\; \rfloor \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lfloor\; n\; /\; 2\; \backslash \; rfloor\}$блоки порядка 2 плюс один из порядка 1, если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$нечетно; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$в приведенной выше форме, $S\; =\; exp\; \; (\Sigma ),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; Sigma),\}$так что $R\; =\; Q\; exp\; \; (\Sigma )\; QT\; =\; exp\; \; (Q\; \Sigma \; QT),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; Q\; \backslash \; exp\; (\backslash \; Sigma)\; Q\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; exp\; (Q\; \backslash \; Sigma\; Q\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}),\}$экспонента кососимметричной матрицы $Q\; \Sigma \; QT.\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash \; Sigma\; Q\; ^\; \{\backslash \; textf\; \{T\}\}.\}$И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочной диагонализацией для кососимметричных матриц подразумевает блок -диагонализация ортогональных матриц.

По сути (т. Е. Без использования координат) кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$с внутренний продукт может быть определен как бивекторы в пространстве, которые являются суммами простых бивекторов (2-лопастей ) $v\; \wedge \; w.\; \{\backslash \; textstyle\; v\; \backslash \; wedge\; w.\}$Соответствие задается картой $v\; \wedge \; w\; \mapsto \; v\; \ast \; \otimes \; w\; -\; w\; \ast \; \otimes \; v,\; \{\backslash \; textstyle\; v\; \backslash \; wedge\; w\; \backslash \; mapsto\; v\; ^\; \{*\}\; \backslash \; otimes\; ww\; ^\; \{*\}\; \backslash \; otimes\; v,\}$где $v\; \ast \; \{\backslash \; textstyle\; v\; ^\; \{*\}\}$- ковектор, двойственный вектору $v\; \{\backslash \; textstyle\; v\}$; в ортонормированных координатах это и есть элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации curl векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малое вращение или "завиток", отсюда и название.

Матрица $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$$A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$называется кососимметризуемым, если существует обратимая диагональная матрица $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$такая, что $DA\; \{\backslash \; displaystyle\; DA\}$кососимметричен. Для матриц real$n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$иногда условие для $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$равно с положительными элементами.

• Преобразование Кэли
• Симметричная матрица
• Косоэрмитова матрица
• Симплектическая матрица
• Симметрия в математике

• Eves, Howard (1980). Теория элементарной матрицы. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Супруненко Д.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Эйткен, AC (1944). «О числе различных членов в разложении симметричных и косых определителей». Edinburgh Math. Примечания.

• «Антисимметричная матрица». Wolfram Mathworld.
• Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. «HAPACK - Программное обеспечение для (косо-) гамильтоновых задач на собственные значения».
• Ward, R.C.; Грей, Л. Дж. (1978). «Алгоритм 530: алгоритм вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]». Транзакции ACM на математическом ПО. 4 (3): 286. doi :10.1145/355791.355799.Fortran Fortran90