Геометрическое преобразование

В математике, геометрическое преобразование - это любое биекция из множества самому себе (или другому подобному множеству) с некоторой заметной геометрической основой. Более конкретно, это функция, домен и диапазон которой являются наборами точек - чаще всего оба $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$или оба $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$- такая, что функция инъективная, так что существует ее обратный. К изучению геометрии можно подойти через изучение этих преобразований.

Геометрические преобразования можно классифицировать по размерности их наборов операндов (таким образом, различая, скажем, плоские преобразования и пространственные преобразования). Их также можно классифицировать по свойствам, которые они сохраняют:

• Смещения сохраняют расстояния и углы ориентации (например, переводы );
• Изометрии сохранять углы и расстояния (например, евклидовы преобразования );
• подобия сохраняют углы и соотношения между расстояниями (например, изменение размера);
• аффинные преобразования сохраняют параллелизм (например, масштабирование, сдвиг );
• Проективные преобразования сохраняют коллинеарность ;

Каждый из этих классов содержит предыдущий.

• Преобразования Мебиуса с использованием комплексных координат на плоскость (а также инверсия окружности ) сохраняет набор всех линий и окружностей, но может менять местами линии и окружности.

• 

  Исходное изображение (на основе карты Франции)

• 

  Изометрия

• 

  Сходство

• 

  Аффинное преобразование

• 

  Проективное преобразование

• 

  инверсия

• Диффеоморфизмы (двудифференцируемые преобразования) - это преобразования, аффинные в первых t заказ; они содержат предыдущие как особые случаи и могут быть дополнительно уточнены.
• Конформные преобразования сохраняют углы и являются, в первом порядке, подобиями.
• Эквиареальные преобразования сохраняют области на плоскости корпус или объемы в трехмерном случае. и являются в первом порядке аффинными преобразованиями детерминанта 1.
• гомеоморфизмов (бинепрерывные преобразования), сохраняющими окрестности точек.

• 

  Конформное преобразование

• 

  Эквиареалистическое преобразование

• 

  Диффеоморфизм

• 

  Гомеоморфизм

Преобразования одного типа образуют группы, которые могут быть подгруппами других групп преобразований.

• Программа Erlangen
• Отражение
• Жесткое преобразование
• Вращение
• Топология
• Матрица преобразования

Викискладе есть медиафайлы по теме Преобразования (геометрия).

• Адлер, Ирвинг (2012) [1966], Новый взгляд на геометрию, Дувр, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Голдинг, Э. У. (1967). Геометрия через преобразования (3 тома): геометрия искажения, геометрия конгруэнтности, а также группы и координаты. Нью-Йорк: Гердер и Гердер.
• Дэвид Ганс - Преобразования и геометрии.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN 0-8284-1087-9.
• Джон МакКлири - Геометрия с отличительной точки зрения.
• Моденов, П.С.; Пархоменко, А. С. (1965). Геометрические преобразования (2 тома): евклидовы и аффинные преобразования и проективные преобразования. Нью-Йорк: Academic Press.
• А. Н. Прессли - Элементарная дифференциальная геометрия.
• Яглом, И. М. (1962, 1968, 1973, 2009). Геометрические преобразования (4 т.). Рэндом Хаус (I, II и III), MAA (I, II, III и IV).