Отображение сдвига

Горизонтальный сдвиг плоскости с коэффициентом m = 1,25, показанный его эффектом (зеленым цветом) на прямоугольной сетке и некоторых рисунках (в синем). Черная точка - начало координат.

В геометрии плоскости, отображение сдвига - это линейная карта, которая смещает каждую точку в фиксированном направлении на определенную величину. пропорционально его подписанному расстоянию от линии , которое параллельно этому направлению и проходит через начало координат. Этот тип сопоставления также называется преобразованием сдвига, трансвекцией или просто сдвигом .

Примером является отображение, которое принимает любую точку с координатами $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$до точки $(x\; +\; 2\; y,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 2y,\; y)\}$. В этом случае смещение является горизонтальным, фиксированная линия - это ось $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, а расстояние со знаком - это $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$координата. Обратите внимание, что точки на противоположных сторонах опорной линии смещаются в противоположных направлениях.

Сопоставления сдвига не следует путать с поворотами. Применение карты сдвига к набору точек плоскости изменит все углы между ними (кроме прямых углов ) и длину любого отрезка линии, который не параллельна направлению смещения. Поэтому он обычно искажает форму геометрической фигуры, например, превращая квадраты в неквадратные параллелограммы и круги в эллипсы. Однако при сдвиге сохраняется область геометрических фигур, а также выравнивание и относительные расстояния коллинеарных точек. Картирование сдвига - основное различие между вертикальным и наклонным (или курсивным) стилями букв.

В гидродинамике отображение сдвига отображает поток жидкости между параллельными пластинами в относительное движение.

То же определение используется в трехмерной геометрии, за исключением того, что расстояние измеряется от фиксированной плоскости. Преобразование трехмерного сдвига сохраняет объем твердых фигур, но изменяет площади плоских фигур (кроме тех, которые параллельны смещению). Это преобразование используется для описания ламинарного потока жидкости между пластинами, одна из которых движется в плоскости выше и параллельно первой.

В общем $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерное декартово пространство $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; \}\}$, расстояние измеряется от фиксированной гиперплоскости, параллельной направлению смещения. Это геометрическое преобразование является линейным преобразованием $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, которое сохраняет $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерная мера (гиперобъем) любого набора.

• 1 Определение
  • 1.1 Горизонтальный и вертикальный сдвиг плоскости
  • 1.2 Общие сопоставления сдвига
• 2 Применения
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Горизонтальный и вертикальный сдвиг плоскости

Посредством отображения сдвига закодированный в SVG,. a прямоугольник становится параллелограммом.

в плоскость $R\; 2\; =\; R\; \times \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, горизонтальный сдвиг (или сдвиг параллельно оси x) - это функция, которая принимает общую точку с координатами $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$в точку $(x\; +\; my,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; my,\; y)\}$; где $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- фиксированный параметр, называемый фактором сдвига .

. Эффект этого сопоставления заключается в смещении каждой точки по горизонтали на величину, пропорциональную ее $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$координата. Любая точка над осью $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$смещается вправо (увеличивается $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$), если $m>0\; \{\backslash \; displaystyle\; m>0\}$и влево, если . Точки ниже оси $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$перемещаются в противоположном направлении, а точки на оси остаются неизменными.

Прямые линии, параллельные оси $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, остаются на месте, в то время как все остальные линии поворачиваются под разными углами относительно точки пересечения ось $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Вертикальные линии, в частности, становятся наклонными линиями с наклоном $1\; /\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; m\}$. Следовательно, коэффициент сдвига $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$является котангенсом угла $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$, по которому вертикальная линия es tilt, называемый углом сдвига .

Если координаты точки записаны как вектор-столбец (матрица 2 × 1 ), отображение сдвига может быть записано как умножение матрицей 2 × 2 :

$(x\; \prime \; y\; \prime )\; =\; (x\; +\; myy)\; =\; (1\; m\; 0\; 1)\; (xy).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \backslash \; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; +\; my\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; m\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

A вертикальный сдвиг (или сдвиг параллельно $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$-axis) линий аналогична, за исключением того, что роли $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$поменяны местами. Это соответствует умножению вектора координат на транспонированную матрицу :

$(x\; \prime \; y\; \prime )\; =\; (x\; m\; x\; +\; y)\; =\; (1\; 0\; m\; 1)\; (x\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \backslash \; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; mx\; +\; y\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; m\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Вертикальный сдвиг смещает точки вправо от $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$- ось вверх или вниз, в зависимости от знака $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Он оставляет вертикальные линии неизменными, но наклоняет все остальные линии относительно точки, где они пересекаются с осью $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$. В частности, горизонтальные линии наклоняются под углом сдвига $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$, чтобы стать линиями с наклоном $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$.

Общие сопоставления сдвига

Для векторного пространства V и подпространства W фиксирующий сдвиг W переводит все векторы в направлении, параллельном W.

Чтобы быть более точным, если V является прямой суммой W и W ′, и мы записываем векторы как

v = w + w ′

соответственно, типичное фиксирование сдвига W - это L, где

L ( v) = (Mw + Mw ′) = (w + Mw ′)

где M - линейное отображение из W ′ в W. Следовательно, в блочной матрице члены L могут быть представлены как

$(IM\; 0\; I)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; IM\; \backslash \backslash \; 0\; I\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Следующие применения карты сдвига были отмечены Уильямом Кингдоном Клиффордом :

«Последовательность сдвигов позволит нам уменьшить любую фигуру, ограниченную прямыми линиями, до треугольника равной площади.»

«... мы можем разрезать любой треугольник в прямоугольный t riangle, и это не изменит его площадь. Таким образом, площадь любого треугольника составляет половину площади прямоугольника на том же основании и с высотой, равной перпендикуляру на основании под противоположным углом ».

Свойство сохранения площади при отображении сдвига может быть использовано для получения результатов Например, теорема Пифагора была проиллюстрирована с помощью отображения сдвига, а также связанная с ней теорема о среднем геометрическом.

. Алгоритм, разработанный Аланом У. Пэтом, использует последовательность из трех сопоставлений сдвига (горизонтальное, вертикальное, затем снова горизонтальное) для поворота цифрового изображения на произвольный угол. Алгоритм очень прост в реализации и очень эффективен, поскольку на каждом этапе обрабатывается только один столбец или по одной строке пикселей за раз.

В типографике обычный текст, преобразованный с помощью сдвига, приводит к наклонному типу.

. Эйнштейна теория относительности Галилея, преобразования между системами отсчета являются сдвиговыми отображениями, называемыми преобразованиями Галилея. иногда это можно увидеть при описании движущихся опорных кадров относительно «предпочтительного» кадра, иногда называемого абсолютным временем и пространством.

• Матрица сдвига
• Матрица преобразования

Wikimedia В Commons есть материалы, относящиеся к Сдвиг (геометрия).