Несжимаемый поток

редактировать

Поток жидкости с постоянной плотностью

В механика жидкости или в более общем смысле механика сплошной среды, несжимаемый поток (изохорный поток ) относится к потоку, в котором плотность материала является постоянным в пределах частицы жидкости - бесконечно малый объем, который движется со скоростью потока. Эквивалентное утверждение, которое подразумевает несжимаемость, состоит в том, что дивергенция скорости потока равна нулю (см. Вывод ниже, который иллюстрирует, почему эти условия эквивалентны).

Несжимаемый поток не означает, что сама жидкость несжимаема. В приведенном ниже выводе показано, что (при правильных условиях) даже сжимаемые жидкости могут - с хорошим приближением - моделироваться как поток несжимаемой жидкости. Несжимаемый поток означает, что плотность остается постоянной внутри частицы жидкости, которая движется со скоростью потока.

Содержание

1 Вывод
2 Отношение к сжимаемости
3 Отношение к соленоидальному полю
4 Отличие от материала
5 Связанные ограничения потока
6 Численные приближения
7 См. Также
8 Ссылки

Вывод

Основным требованием для несжимаемого потока является постоянство плотности $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ в пределах небольшого объема элемента., dV, который движется со скоростью потока u . Математически это ограничение подразумевает, что материальная производная (обсуждается ниже) плотности должна равняться нулю, чтобы гарантировать несжимаемый поток. Прежде чем вводить это ограничение, мы должны применить сохранение массы, чтобы сгенерировать необходимые соотношения. Масса вычисляется с помощью интеграла объема плотности, $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ :

m = ∭ V ρ d V. {\ displaystyle {m} = {\ iiint \ limits _ {V} \! \ rho \, \ mathrm {d} V}.}

{m} = {\ iiint \ limits _ {V} \! \ rho \, \ mathrm {d} V}.

Сохранение массы требует, чтобы производная массы по времени внутри контрольный объем должен быть равен потоку массы Дж через его границы. Математически мы можем представить это ограничение в виде интеграла поверхности :

∂ m ∂ t = - {\ displaystyle {\ partial m \ over \ partial t} = -}

{\ displaystyle {\ partial m \ over \ partial t} = -}

$\ oiint$

S {\ displaystyle S}

S

J ⋅ d S {\ displaystyle \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf { S}}

Знак минус в приведенном выше выражении гарантирует, что поток наружу приведет к уменьшению массы с относительно времени, используя соглашение, согласно которому вектор площади поверхности указывает наружу. Теперь, используя теорему о расходимости , мы можем вывести связь между потоком и частной производной плотности по времени:

∭ V ∂ ρ ∂ td V = - ∭ V (∇ ⋅ J) d V, {\ displaystyle {\ iiint \ limits _ {V} {\ partial \ rho \ over \ partial t} \, \ mathrm {d} V} = {- \ iiint \ limits _ {V} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {J} \ right) \, \ mathrm {d} V},}

{\ iiint \ limits _ {V} {\ partial \ rho \ over \ partial t} \, \ m athrm {d} V} = {- \ iiint \ limits _ {V} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {J} \ right) \, \ mathrm {d} V},

следовательно:

∂ ρ ∂ t = - ∇ ⋅ J. {\ displaystyle {\ partial \ rho \ over \ partial t} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {J}.}

{\ partial \ rho \ over \ partial t} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {J}.

Частная производная плотности по времени не обязательно обращается в нуль, чтобы гарантировать несжимаемый поток. Когда мы говорим о частной производной плотности по времени, мы имеем в виду эту скорость изменения в пределах контрольного объема фиксированного положения. Допуская частную производную плотности по времени, отличную от нуля, мы не ограничиваемся несжимаемыми жидкостями, потому что плотность может изменяться, наблюдая из фиксированного положения, когда жидкость течет через контрольный объем. Этот подход сохраняет общность и не требует, чтобы частная производная плотности по времени обращалась в нуль, показывает, что сжимаемые жидкости все еще могут подвергаться несжимаемому течению. Нас интересует изменение плотности контрольного объема, который движется вместе со скоростью потока, u . Поток связан со скоростью потока через следующую функцию:

J = ρ u. {\ displaystyle {\ mathbf {J}} = {\ rho \ mathbf {u}}.}

{\ mathbf {J}} = {\ rho \ mathbf {u}}.

Таким образом, сохранение массы означает, что:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = ∂ ρ ∂ T + ∇ ρ ⋅ U + ρ (∇ ⋅ U) знак равно 0. {\ Displaystyle {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {u} \ right)} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}} + {\ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)} = 0.}

{\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {u} \ right)} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}} + {\ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf { u} \ right)} = 0.

Предыдущее соотношение (где мы использовали соответствующее правило произведения ) известно как уравнение непрерывности. Теперь нам понадобится следующее соотношение для полной производной плотности (где мы применяем цепное правило ):

d ρ dt = ∂ ρ ∂ t + ∂ ρ ∂ xdxdt + ∂ ρ ∂ ydydt + ∂ ρ ∂ zdzdt. {\ Displaystyle {\ mathrm {d} \ rho \ over \ mathrm {d} t} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ partial \ rho \ over \ partial x} {\ mathrm {d} x \ over \ mathrm {d} t} + {\ partial \ rho \ over \ partial y} {\ mathrm {d} y \ over \ mathrm {d} t} + {\ partial \ rho \ over \ partial z} {\ mathrm {d} z \ over \ mathrm {d} t}.}

{\ mathrm {d} \ rho \ over \ mathrm {d} t} = {\ partial \ rho \ over \ частичный t} + {\ partial \ rho \ over \ partial x} {\ mathrm {d} x \ over \ mathrm {d} t} + {\ partial \ rho \ over \ partial y} {\ mathrm {d} y \ over \ mathrm {d} t} + {\ partial \ rho \ over \ partial z} {\ mathrm {d} z \ over \ mathrm {d} t}.

Итак, если мы выберем контрольный объем, который движется с той же скоростью, что и жидкость (т.е. (dx / dt, dy / dt, dz / dt) = u ), то это выражение упрощается до материальной производной :

D ρ D t = ∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ u. {\ displaystyle {D \ rho \ over Dt} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}}.}

{D \ rho \ over Dt} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}}.

Итак, используя уравнение неразрывности, полученное выше, видим, что:

D ρ D t = - ρ (∇ ⋅ u). {\ displaystyle {D \ rho \ over Dt} = {- \ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)}.}

{D \ rho \ over Dt} = {- \ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)}.

Изменение плотности с течением времени будет означать, что жидкость либо сжатие, либо расширенное (или что масса, содержащаяся в нашем постоянном объеме, dV, изменилась), что мы запретили. Затем мы должны потребовать, чтобы материальная производная плотности равнялась нулю, и, что эквивалентно (для ненулевой плотности), так же должно быть и расхождение скорости потока:

∇ ⋅ u = 0. {\ displaystyle {\ nabla \ cdot \ mathbf {u}} = 0.}

{\ nabla \ cdot \ mathbf {u}} = 0.

Итак, начиная с сохранения массы и ограничения, согласно которому плотность в движущемся объеме жидкости остается постоянной, было показано, что эквивалентное условие, необходимое для несжимаемого потока, заключается в том, что дивергенция скорости потока обращается в нуль.

Связь со сжимаемостью

В некоторых областях мерой несжимаемости потока является изменение плотности в результате колебаний давления. Это лучше всего выражается в терминах сжимаемости

β = 1 ρ d ρ d p. {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} p}}.}

\ beta = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} p}}.

Если сжимаемость достаточно мала, поток считается несжимаемым.

Связь с соленоидальным полем

Несжимаемый поток описывается соленоидальным полем скорости потока. Но соленоидальное поле, помимо нулевой дивергенции, также имеет дополнительную коннотацию наличия ненулевого curl (то есть вращательной составляющей).

В противном случае, если поток несжимаемой жидкости также имеет ротор, равный нулю, так что он также является безвихревым, тогда поле скорости потока фактически является лапласианским.

отличием от материала

Как определено ранее, несжимаемый (изохорный) поток - это поток, в котором

∇ ⋅ u = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0. \,}

\ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0. \,

Это эквивалентно тому, что

D ρ D t = ∂ ρ ∂ t + u ⋅ ∇ ρ = 0 {\ displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho = 0}

{\ frac {D \ rho} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho = 0

т.е. материальная производная плотности равна нулю. Таким образом, если мы проследим за материальным элементом, его массовая плотность останется постоянной. Обратите внимание, что материальная производная состоит из двух членов. Первый член $∂ ρ ∂ t {\ displaystyle {\ tfrac {\ partial \ rho} {\ partial t}}}$ ${\ tfrac {\ partial \ rho} {\ partial t}}$ описывает, как плотность материального элемента изменяется со временем. Этот термин также известен как термин неустойчивый. Второй член, $u ⋅ ∇ ρ {\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho}$ $\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho$ , описывает изменения плотности при перемещении материального элемента из одной точки в другую. Это термин адвекции (член конвекции для скалярного поля). Чтобы поток был несжимаемым, сумма этих слагаемых должна быть равна нулю.

С другой стороны, однородный несжимаемый материал - это материал, который имеет постоянную плотность на всем протяжении. Для такого материала $ρ = constant {\ displaystyle \ rho = {\ text {constant}}}$ $\ rho = {\ text {constant}}$ . Это означает, что

∂ ρ ∂ T = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0

∇ ρ = 0 {\ displaystyle \ nabla \ rho = 0}

\ nabla \ rho = 0

независимо.

Из уравнения неразрывности следует, что

D ρ D t = ∂ ρ ∂ t + u ⋅ ∇ ρ = 0 ⇒ ∇ ⋅ u = 0 {\ displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho = 0 \ \ Rightarrow \ \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf { u} \ cdot \ nabla \ rho = 0 \ \ Rightarrow \ \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}

Таким образом, однородные материалы всегда испытывают несжимаемый поток, но обратное неверно. То есть сжимаемые материалы могут не испытывать сжатия в потоке.

Связанные ограничения потока

В гидродинамике поток считается несжимаемым, если дивергенция скорости потока равна нулю. Однако иногда можно использовать родственные составы, в зависимости от моделируемой системы потока. Некоторые версии описаны ниже:

Несжимаемый поток: $∇ ⋅ u = 0 {\ displaystyle {\ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}}$ ${\ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}$ . Это может предполагать либо постоянную плотность (строгая несжимаемость), либо поток переменной плотности. Набор с изменяющейся плотностью принимает решения, включающие небольшие возмущения в плотности, давлении и / или температуре, и может учитывать стратификацию давления в области.
Неупругий поток: $∇ ⋅ (ρ ou) = 0 {\ displaystyle {\ nabla \ cdot \ left (\ rho _ {o} \ mathbf {u} \ right) = 0}}$ ${\ nabla \ cdot \ left (\ rho _ {o} \ mathbf {u} \ right) = 0}$ . Неупругое ограничение, используемое в основном в области атмосферных наук, расширяет достоверность несжимаемого потока до стратифицированной плотности и / или температуры, а также давления. Это позволяет термодинамическим переменным релаксировать до «атмосферного» основного состояния, наблюдаемого в нижних слоях атмосферы, например, при использовании в области метеорологии. Это условие также может использоваться для различных астрофизических систем.
Течение с малым числом Маха или псевдосжимаемость: $∇ ⋅ (α u) = β {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ \ альфа \ mathbf {u} \ right) = \ beta}$ $\ nabla \ cdot \ left (\ alpha \ mathbf {u} \ right) = \ beta$ . Ограничение с низким числом Маха может быть получено из сжимаемых уравнений Эйлера с использованием масштабного анализа безразмерных величин. Ограничение, как и предыдущее в этом разделе, позволяет удалять акустические волны, но также допускает большие возмущения плотности и / или температуры. Предполагается, что поток остается в пределах числа Маха (обычно менее 0,3), чтобы любое решение, использующее такое ограничение, было действительным. Опять же, в соответствии со всеми потоками несжимаемой жидкости отклонение давления должно быть небольшим по сравнению с исходным состоянием давления.

Эти методы делают различные предположения о потоке, но все они принимают во внимание общий вид ограничения $∇ (α u) = β {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ alpha \ mathbf {u} \ right) = \ beta}$ $\ nabla \ cdot \ left (\ alpha \ mathbf {u} \ right) = \ beta$ для общих функций, зависящих от потока $α {\ displaystyle \ alpha }$ $\ alpha$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ .

Численные приближения

Строгий характер уравнений потока несжимаемой жидкости означает, что для их решения были разработаны специальные математические методы. Некоторые из этих методов включают:

метод проецирования (приблизительный и точный)
метод искусственной сжимаемости (приблизительный)
предварительное кондиционирование сжимаемости

см. также

Ссылки