В векторном исчислении векторный потенциал - это векторное поле, curl - заданное векторное поле. Это аналогично скалярному потенциалу, который представляет собой скалярное поле, градиент которого является заданным векторным полем.
Формально, учитывая векторное поле v , векторный потенциал - это векторное поле A, такое что
Если векторное поле v допускает векторный потенциал A, то из равенства
(дивергенция из curl равна нулю) получаем
что означает, что v должно быть соленоидальным векторным полем.
Пусть
быть соленоидальным векторным полем, которое дважды непрерывно дифференцируемо. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при || x || → ∞. Определим
Тогда A - это векторный потенциал для v , то есть
Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, в котором говорится, что любое векторное поле может быть разложено в виде суммы соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.
Векторный потенциал, допускаемый соленоидальным полем, не уникален. Если A - векторный потенциал для v , то также и
где f - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это следует из того, что ротор градиента равен нулю.
Эта неоднозначность приводит к определенной степени свободы в формулировке электродинамики или калибровочной свободы и требует выбора калибровки.