Векторный потенциал

редактировать

В векторном исчислении векторный потенциал - это векторное поле, curl - заданное векторное поле. Это аналогично скалярному потенциалу, который представляет собой скалярное поле, градиент которого является заданным векторным полем.

Формально, учитывая векторное поле v ​​, векторный потенциал - это векторное поле A, такое что

v = ∇ × A. {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}\ mathbf {v} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.

Содержание

  • 1 Следствие
  • 2 Теорема
  • 3 Неединственность
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки

Следствие

Если векторное поле v ​​допускает векторный потенциал A, то из равенства

∇ ⋅ (∇ × A) = 0 { \ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0}\ nabla \ cdot ( \ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0

(дивергенция из curl равна нулю) получаем

∇ ⋅ v = ∇ ⋅ (∇ × A) = 0, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0,}\ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0,

что означает, что v должно быть соленоидальным векторным полем.

Теорема

Пусть

v: R 3 → R 3 {\ displaystyle \ mathbf {v}: \ mathbb {R} ^ {3 } \ to \ mathbb {R} ^ {3}}\ mathbf {v}: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}

быть соленоидальным векторным полем, которое дважды непрерывно дифференцируемо. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при || x || → ∞. Определим

A (x) = 1 4 π ∫ R 3 ∇ y × v (y) ‖ x - y ‖ d 3 y. {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {\ nabla _ { y} \ times \ mathbf {v} (\ mathbf {y})} {\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ |}} \, d ^ {3} \ mathbf {y }.}\ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb { R} ^ {3}} {\ frac {\ nabla _ {y} \ times \ mathbf {v} (\ mathbf {y})} {\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ |}} \, d ^ {3} \ mathbf {y}.

Тогда A - это векторный потенциал для v ​​, то есть

∇ × A = v. {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {A} = \ mathbf {v}.}\ nabla \ times \ mathbf {A} = \ mathbf {v}.

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, в котором говорится, что любое векторное поле может быть разложено в виде суммы соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неединственность

Векторный потенциал, допускаемый соленоидальным полем, не уникален. Если A - векторный потенциал для v ​​, то также и

A + ∇ f, {\ displaystyle \ mathbf {A} + \ nabla f,}{\ displaystyle \ mathbf {A} + \ nabla f,}

где f - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это следует из того, что ротор градиента равен нулю.

Эта неоднозначность приводит к определенной степени свободы в формулировке электродинамики или калибровочной свободы и требует выбора калибровки.

См. Также

Ссылки

  • Основы инженерной электромагнетизма Дэвида К. Ченга, Addison-Wesley, 1993.
Последняя правка сделана 2021-06-18 10:28:46
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте