Разложение Гельмгольца

редактировать

Определенные векторные поля представляют собой сумму безвихревого и соленоидального векторного поля

В физике и математика, в области векторного исчисления, теорема Гельмгольца, также известная как фундаментальная теорема векторного исчисления, утверждает, что любое достаточно гладкое, быстро затухающее векторное поле в трех измерениях может быть разрешено в сумму безвихревого (curl -свободного) вектора поле и соленоидальное (без дивергенции ) векторное поле; это известно как разложение Гельмгольца или представление Гельмгольца . Он назван в честь Германа фон Гельмгольца.

Поскольку вихревое векторное поле имеет скалярный потенциал, а соленоидальное векторное поле имеет векторный потенциал, разложение Гельмгольца утверждает, что векторное поле (удовлетворяющее соответствующим условиям гладкости и убывания) можно разложить как сумму вида $- ∇ ϕ + ∇ × A {\ displaystyle - \ nabla \ phi + \ nabla \ times \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle - \ nabla \ phi + \ nabla \ times \ mathbf {A}}$ , где $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ - это скалярное поле, называемое «скалярным потенциалом», а A - векторное поле, называемое векторным потенциалом.

Содержание

1 Формулировка теоремы
2 Вывод
- 2.1 Другой вывод из преобразования Фурье
3 Поля с заданной дивергенцией и ротором
4 Дифференциальные формы
5 Слабая формулировка
6 Продольные и поперечные поля
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки
- 9.1 Общие ссылки
- 9.2 Ссылки на слабую формулировку
10 Внешние ссылки

Заявление теорема

Пусть $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf { F}$ будет векторным полем в ограниченной области $V ⊆ R 3 {\ displaystyle V \ substeq \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle V \ substeq \ mathbb {R} ^ {3}}$ , который дважды непрерывно дифференцируем, и пусть $S {\ displaystyle S}$ $S$ будет поверхностью, которая охватывает область $V { \ Displaystyle V}$ $V$ . Тогда $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf { F}$ можно разложить на компонент без завитков и компонент без дивергенции:

F = - ∇ Φ + ∇ × A, { \ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla \ Phi + \ nabla \ times \ mathbf {A},}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla \ Phi + \ nabla \ times \ mathbf {A},}

где

Φ (r) = 1 4 π ∫ V ∇ ′ ⋅ F (r ′) | г - г '| d V ′ - 1 4 π ∮ S ⁡ n ^ ′ ⋅ F (r ′) | г - г '| d S ′ A (r) = 1 4 π ∫ V ∇ ′ × F (r ′) | г - г '| d V ′ - 1 4 π ∮ S ⁡ n ^ ′ × F (r ′) | г - г '| d S ′ {\ Displaystyle {\ begin {align} \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {F} (\ mathbf {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, \ mathrm {d} V '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}} '\ cdot {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r}')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf { r} '|}} \, \ mathrm {d} S' \\ [8pt] \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ { V} {\ frac {\ nabla '\ times \ mathbf {F} (\ mathbf {r}')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \, \ mathrm {d} V '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}}' \ times {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \, \ mathrm {d} S' \ end {align}}}

{\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}

и $∇ ′ {\ displaystyle \ nabla '}$ $\nabla '$ - оператор набла относительно $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r '}}$ $\mathbf {r'}$ , а не $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ .

Если $V = R 3 {\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {3}}$ и, следовательно, неограничен, и $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf { F}$ исчезает быстрее, чем $1 / r {\ displaysty le 1 / r}$ $1/r$ как $r → ∞ {\ displaystyle r \ to \ infty}$ ${\ displaystyle r \ to \ infty}$ , тогда

Φ (r) = 1 4 π ∫ R 3 ∇ ′ ⋅ F (r ′) | г - г '| d V ′ A (r) = 1 4 π ∫ R 3 ∇ ′ × F (r ′) | г - г '| d В '{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} { \ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {F} (\ mathbf {r}')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \, \ mathrm {d} V' \\ [8pt] \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {\ nabla ' \ times \ mathbf {F} (\ mathbf {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, \ mathrm {d} V '\ end {align}}}

{\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}

Вывод

Предположим, у нас есть векторная функция $F (r) {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}$ , из которой мы знаем curl, $∇ × F {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F }}$ , и расхождение, $∇ ⋅ F {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {F}$ в домене и полях на границе. Запись функции с использованием дельта-функции в виде

δ 3 (r - r ′) = - 1 4 π ∇ 2 1 | г - г '|, {\ displaystyle \ delta ^ {3} (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ nabla ^ {2} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \,}

\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,

где $∇ 2: = ∇ ⋅ ∇ {\ displaystyle \ nabla ^ {2}: = \ nabla \ cdot \ nabla}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}: = \ nabla \ cdot \ nabla}$ - оператор Лапласа, имеем

F (r) = ∫ VF (r ′) δ 3 (r - r ′) d V ′ = ∫ VF (r ′) (- 1 4 π ∇ 2 1 | r - r ′ |) d V ′ = - 1 4 π ∇ 2 ∫ VF (r ′) | г - г '| d V ′ = - 1 4 π [∇ (∇ ⋅ ∫ VF (r ′) | r - r ′ | d V ′) - ∇ × (∇ × ∫ VF (r ′) | r - r ′ | d V ′)] = - 1 4 π [∇ (∫ VF (r ′) ⋅ ∇ 1 | r - r ′ | d V ′) + ∇ × (∫ VF (r ′) × ∇ 1 | r - r ′ | d V ′)] = - 1 4 π [- ∇ (∫ VF (r ′) ⋅ ∇ ′ 1 | r - r ′ | d V ′) - ∇ × (∫ VF (r ′) × ∇ ′ 1 | r - r ′ | D V ′)] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ int _ {V} \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r} ' \ right) \ delta ^ {3} (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} V' \\ = \ int _ {V} \ mathbf {F} (\ mathbf {r } ') \ left (- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ nabla ^ {2} {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ right) \ mathrm {d} V '\\ = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ nabla ^ {2} \ int _ {V} {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} V '\\ = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [\ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ int _ {V} {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V' \ right) - \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ int _ {V} {\ frac {\ mathbf {F} (\ ма thbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} V '\ right) \ right] \\ = - {\ frac { 1} {4 \ pi}} \ left [\ nabla \ left (\ int _ {V} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} ') \ cdot \ nabla {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V' \ right) + \ nabla \ times \ left (\ int _ {V} \ mathbf {F} (\ mathbf {r } ') \ times \ nabla {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} V '\ right) \ right] \\ = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [- \ nabla \ left (\ int _ {V} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} ') \ cdot \ nabla' {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V' \ right) - \ nabla \ times \ left (\ int _ {V} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} ') \ times \ nabla' {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V' \ right) \ right] \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r})=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}

где мы использовали определение векторного лапласиана :

∇ 2 a = ∇ (∇ ⋅ a) - ∇ × (∇ × a), {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {a} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {a}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {a}) \,}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {a} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {a}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {a}) \,}

дифференциация / интегрирование с r соблюдайте $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\mathbf r}'$ по $∇ ′ / d V ′, {\ displaystyle \ nabla' / \ mathrm {d} V ',}$ $\nabla '/\mathrm {d} V',$ и в последней строке линейность аргументов функции:

∇ 1 | г - г '| = - ∇ ′ 1 | г - г '|. {\ displaystyle \ nabla {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} = - \ nabla' {\ frac {1} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \.}

\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\.

Тогда, используя векторные тождества

a ⋅ ∇ ψ = - ψ (∇ ⋅ a) + ∇ ⋅ (ψ a) a × ∇ ψ знак равно ψ (∇ × a) - ∇ × (ψ a) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ cdot \ nabla \ psi = - \ psi (\ nabla \ cdot \ mathbf {a}) + \ nabla \ cdot (\ psi \ mathbf {a}) \\\ mathbf {a} \ times \ nabla \ psi = \ psi (\ nabla \ times \ mathbf {a}) - \ nabla \ times (\ psi \ mathbf {a}) \ end {align}}}

{\ begin {align} \ mathbf {a} \ cdot \ nabla \ psi = - \ psi (\ nabla \ cdot \ mathbf {a}) + \ nabla \ cdot (\ psi \ mathbf {a}) \\\ mathbf {a} \ times \ nabla \ psi = \ psi (\ nabla \ times \ mathbf {a}) - \ набла \ раз (\ пси \ mathbf {а}) \ конец {выровнено}}

получаем

F (r) = - 1 4 π [- ∇ (- ∫ V ∇ ′ ⋅ F (r ′) | r - r ′ | D V ′ + ∫ V ∇ ′ ⋅ F (r ′) | r - r ′ | d V ′) - ∇ × (∫ V ∇ ′ × F (r ′) | r - r ′ | d V ′ - ∫ V ∇ ′ × F (r ′) | r - r ′ | d V ′)]. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ bigg [} - \ nabla \ left (- \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | }} \ mathrm {d} V '+ \ int _ {V} \ nabla' \ cdot {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r} '\ right)} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V' \ right) \\ - \ nabla \ times \ left (\ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ times \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r} '\ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} V '- \ int _ {V} \ nabla '\ times {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |} } \ mathrm {d} V '\ right) {\ bigg]}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r})=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}

Благодаря теореме о расходимости уравнение можно переписать как

F (r) = - 1 4 π [- ∇ (- ∫ V ∇ ′ ⋅ F (r ′) | r - r ′ | d V ′ + ∮ S ⁡ n ^ ′ ⋅ F (r ′) | r - r ′ | d S ′) - ∇ × (∫ V ∇ ′ × F (r ′) | r - r ′ | d V ′ - ∮ S ⁡ n ^ ′ × F (r ′) | r - r ′ | d S ′)] = - ∇ [1 4 π ∫ V ∇ ′ ⋅ F (r ′) | г - г '| d V ′ - 1 4 π ∮ S ⁡ n ^ ′ ⋅ F (r ′) | г - г '| d S ′] + ∇ × [1 4 π ∫ V ∇ ′ × F (r ′) | г - г '| d V ′ - 1 4 π ∮ S ⁡ n ^ ′ × F (r ′) | г - г '| d S ′] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ bigg [} - \ nabla \ left (- \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V' + \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}} '\ cdot {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} S' \ right) \\ \ qquad \ qquad - \ nabla \ times \ left ( \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ times \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V '- \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}}' \ times {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r} '\ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} S' \ right) {\ bigg]} \\ = - \ nabla \ left [{\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V' - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}} ' \ cdot {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r} '\ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} S' \ right] \\ \ quad + \ nabla \ times \ left [{\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ times \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}}' \ times {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r} '\ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} S '\ right] \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r})=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}

с нормальной внешней поверхностью $n ^ ′ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} '}$ $\mathbf {\hat {n}} '$ .

Определение

Φ (r) ≡ 1 4 π ∫ V ∇ ′ ⋅ F (r ′) | г - г '| d V ′ - 1 4 π ∮ S ⁡ n ^ ′ ⋅ F (r ′) | г - г '| d S ′ {\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) \ Equiv {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r} '\ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} V '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}} '\ cdot {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} S'}

\Phi (\mathbf {r})\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'

A (r) ≡ 1 4 π ∫ V ∇ ′ × F (r ′) | г - г '| d V ′ - 1 4 π ∮ S ⁡ n ^ ′ × F (r ′) | г - г '| d S ′ {\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) \ Equiv {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ times \ mathbf { F} \ left (\ mathbf {r} '\ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} V '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ oint _ {S} \ mathbf {\ hat {n}} '\ times {\ frac {\ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} S'}

\mathbf {A} (\mathbf {r})\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'

окончательно получаем

F = - ∇ Φ + ∇ × A. {\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla \ Phi + \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla \ Phi + \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

$- 1 4 π | г - г '| {\ displaystyle - {\ frac {1} {4 \ pi \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}}}$ $-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}$ - это функция Грина для Лапласиан, и в более общем случае его следует заменить соответствующей функцией Грина - например, в двух измерениях его следует заменить на $1 2 π ln ⁡ | г - г '| {\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}$ ${\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|$ . Для более высокомерного обобщения см. Обсуждение разложения Ходжа ниже.

Другой вывод из преобразования Фурье

Обратите внимание, что в сформулированной здесь теореме мы наложили условие, что если $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf { F}$ не определен в ограниченном домене, тогда $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf { F}$ будет распадаться быстрее, чем $1 / r {\ displaystyle 1 / r}$ $1/r$ . Таким образом, преобразование Фурье $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf { F}$ , обозначенное как $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ $\ mathbf {G}$ , гарантировано существовать. Мы применяем соглашение

F (r) = ∭ G (k) eik ⋅ rd V K {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ iiint \ mathbf {G} (\ mathbf {k }) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ iiint \ mathbf {G} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k}}

Преобразование Фурье скалярного поля - это скалярное поле, а преобразование Фурье векторного поля - это вектор поле того же размера.

Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля:

G Φ (k) = ik ⋅ G (k) ‖ k ‖ 2 GA (k) = ik × G (k) ‖ k ‖ 2 Φ (г) знак равно ∭ G Φ (к) eik ⋅ rd V К A (r) = ∭ GA (k) eik ⋅ rd V k {\ displaystyle {\ begin {align} G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) = i {\ frac {\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {G} (\ mathbf {k})} {\ | \ mathbf {k} \ | ^ {2}}} \\\ mathbf {G } _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {k}) = i {\ frac {\ mathbf {k} \ times \ mathbf {G} (\ mathbf {k})} {\ | \ mathbf {k } \ | ^ {2}}} \\ [8pt] \ Phi (\ mathbf {r}) = \ iiint G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} \\\ mathbf {A} (\ mathbf {r}) = \ iiint \ mathbf {G} _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} \ end {align}}}

{ \ Displaystyle {\ begin {align} G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) = i {\ frac {\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {G} (\ mathbf {k})} {\ | \ mathbf {k} \ | ^ {2}}} \\\ mathbf {G} _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {k}) = i {\ frac {\ mathbf { k} \ times \ mathbf {G} (\ mathbf {k})} {\ | \ mathbf {k} \ | ^ {2}}} \\ [8pt] \ Phi (\ mathbf {r}) = \ iiint G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} \\\ mathbf {A} (\ mathbf {r}) = \ iiint \ mathbf {G} _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} \ end {выровнено}}}

Следовательно,

G (k) = - ik G Φ (k) + ik × GA ( k) F (r) знак равно - ∭ ik G Φ (k) eik ⋅ rd V k + ∭ ik × GA (k) eik ⋅ rd V k = - ∇ Φ (r) + ∇ × A (r) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {G} (\ mathbf {k}) = - i \ mathbf {k} G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) + i \ mathbf {k} \ times \ mathbf {ГРАММ} _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {k}) \\ [6pt] \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - \ iiint i \ mathbf {k} G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} + \ iiint i \ mathbf {k} \ times \ mathbf {G} _ {\ mathbf {A}} ( \ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} \\ = - \ nabla \ Phi (\ mathbf {r}) + \ nabla \ times \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {G} (\ mathbf {k}) = - я \ mathbf { k} G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) + i \ mathbf {k} \ times \ mathbf {G} _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {k}) \\ [6pt] \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - \ iiint i \ mathbf {k} G _ {\ Phi} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} + \ iiint i \ mathbf {k} \ times \ mathbf {G} _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} dV_ {k} \\ = - \ nabla \ Фи (\ mathbf {r}) + \ набла \ раз \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) \ конец {выровнено}}}

Поля с заданной дивергенцией и ротором

Термин «теорема Гельмгольца» также может относиться к следующему. Пусть C будет соленоидальным векторным полем, а d - скалярным полем на R, которые достаточно гладкие и исчезают быстрее, чем 1 / r на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

∇ ⋅ F = d и ∇ × F = C; {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = d \ quad {\ text {and}} \ quad \ nabla \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {C};}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = d \ quad {\ text {and}} \ quad \ nabla \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {C};}

если дополнительно векторное поле F исчезает при r → ∞, тогда F уникален.

Другими словами, векторное поле может быть построено как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, и если он также обращается в нуль на бесконечности, он однозначно определяется своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатике, поскольку уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей в статическом случае относятся именно к этому типу. Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: мы полагаем

F = - ∇ (G (d)) + ∇ × (G (C)), {\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla ( {\ mathcal {G}} (d)) + \ nabla \ times ({\ mathcal {G}} (\ mathbf {C})),}

\ mathbf {F} = - \ nabla ({\ mathcal {G}} (d)) + \ nabla \ times ({\ mathcal {G}} (\ mathbf {C})),

где $G {\ displaystyle {\ mathcal {G }}}$ ${\ mathcal {G}}$ представляет собой оператор ньютоновского потенциала. (При воздействии на векторное поле, например ∇ × F, определено воздействие на каждый компонент.)

Дифференциальные формы

Разложение Ходжа тесно связан с разложением Гельмгольца, обобщая векторные поля на R на дифференциальные формы на римановом многообразии M. Большинство формулировок разложения Ходжа требуют, чтобы M было компактным. Поскольку это неверно для R, теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о распаде на бесконечности задействованных дифференциальных форм, что дает надлежащее обобщение теоремы Гельмгольца.

Слабая формулировка

Разложение Гельмгольца также можно обобщить, уменьшив допущения регулярности (необходимость существования сильных производных). Предположим, что Ω - ограниченная односвязная липшицева область. Каждое суммируемое с квадратом векторное поле u ∈ (L (Ω)) имеет ортогональное разложение:

u = ∇ φ + ∇ × A {\ displaystyle \ mathbf {u} = \ nabla \ varphi + \ nabla \ times \ mathbf {A}}

\ mathbf {u} = \ nabla \ varphi + \ nabla \ times \ mathbf {A}

, где φ находится в пространстве Соболева H (Ω) интегрируемых с квадратом функций на Ω, у которых частные производные, определенные в смысле распределения, интегрируемы с квадратом, а A ∈ H (curl, Ω) - пространство векторных полей Соболева, состоящее из квадратично интегрируемых векторных полей с квадратично интегрируемым ротором.

Для более гладкого векторного поля u ∈ H (curl, Ω) выполняется аналогичное разложение:

u = ∇ φ + v {\ displaystyle \ mathbf {u} = \ nabla \ varphi + \ mathbf {v}}

\ mathbf {u} = \ nabla \ varphi + \ mathbf {v}

где φ ∈ H (Ω), v ∈ (H (Ω)).

Продольные и поперечные поля

Терминология, часто используемая в физике, относится к компоненту без завихрений векторного поля как к продольному компоненту, а к компоненту без расходимости - как поперечный компонент . Эта терминология происходит от следующей конструкции: Вычислить трехмерное преобразование Фурье $F ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {F}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {F}}}}$ вектора поле $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf { F}$ . Затем разложите это поле в каждой точке k на две составляющие, одна из которых указывает продольно, т. Е. Параллельно k, а другая - в поперечном направлении, т. Е. Перпендикулярно к . Итак, у нас есть

F ^ (k) = F ^ t (k) + F ^ l (k) {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {F}}} (\ mathbf {k}) = { \ hat {\ mathbf {F}}} _ {t} (\ mathbf {k}) + {\ hat {\ mathbf {F}}} _ {l} (\ mathbf {k})}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {F}}} (\ mathbf {k}) = {\ hat {\ mathbf {F}}} _ {t} (\ mathbf {k}) + {\ шляпа {\ mathbf {F}}} _ {l} (\ mathbf {k})}

k ⋅ F ^ T (к) = 0. {\ displaystyle \ mathbf {k} \ cdot {\ hat {\ mathbf {F}}} _ {t} (\ mathbf {k}) = 0.}

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ cdot {\ hat {\ mathbf {F}}} _ {t} (\ mathbf {k}) = 0.}

k × F ^ l (k) = 0. {\ displaystyle \ mathbf {k} \ times {\ hat {\ mathbf {F}}} _ {l} (\ mathbf {k}) = \ mathbf {0}.}

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ times {\ hat {\ mathbf {F}}} _ {l} (\ mathbf {k}) = \ mathbf {0}.}

Теперь мы применяем обратное преобразование Фурье к каждому из этих компонентов. Используя свойства преобразований Фурье, мы получаем:

F (r) = F t (r) + F l (r) {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {F} _ {T} (\ mathbf {r}) + \ mathbf {F} _ {l} (\ mathbf {r})}

\ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}) + \ mathbf {F} _ {l} (\ mathbf {r})

∇ ⋅ F t (r) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { F} _ {t} (\ mathbf {r}) = 0}

\ nabla \ cdot \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}) = 0

∇ × F l (r) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} _ {l} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {0}}

\ набла \ раз \ mathbf {F} _ {l} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {0}

Поскольку $∇ × (∇ Φ) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ Phi) = 0}$ $\ nabla \ times (\ nabla \ Phi) = 0$ и $∇ ⋅ (∇ × A) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0}$ $\ nabla \ cdot ( \ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0$ ,

мы можем получить

F t = ∇ × A = 1 4 π ∇ × ∫ V ∇ ′ × F | г - г '| d V ′ {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {t} = \ nabla \ times \ mathbf {A} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ nabla \ times \ int _ {V} {\ frac {\ nabla '\ times \ mathbf {F}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} V '}

\mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'

F l = - ∇ Φ = - 1 4 π ∇ ∫ V ∇ ′ ⋅ F | г - г '| d V ′ {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {l} = - \ nabla \ Phi = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ nabla \ int _ {V} {\ frac {\ nabla ' \ cdot \ mathbf {F}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} V'}

\mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'

так что это действительно разложение Гельмгольца.

См. Также

представление Клебша для соответствующего разложения векторных полей
Лагранжиан Дарвина для приложения
Полоидально-тороидальное разложение для дальнейшего разложения дивергенции - свободный компонент $∇ × A {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {A}}$ $\ nabla \ times \ mathbf {A}$ .
Скалярно-векторно-тензорное разложение

Примечания

Ссылки

Общие ссылки

Ссылки для слабой формулировки

Внешние ссылки

Теорема Гельмгольца на MathWorld