Когомология

редактировать

Последовательности абелевых групп, прикрепленных к топологическому пространству

В математике, особенно в теория гомологии и алгебраическая топология, когомология - общий термин для абелевых групп, связанных с топологическим пространством, часто определяемый из коцепного комплекса. Когомологии можно рассматривать как метод приписывания пространству более богатых алгебраических инвариантов, чем гомологии. Некоторые варианты когомологий возникают в результате дуализации конструкции гомологий. Другими словами, коцепи - это функции на группе цепей в теории гомологий.

С самого начала в топологии эта идея стала доминирующим методом в математике второй половины двадцатого века. Изначальной идеи гомологии как построения алгебраических инвариантов топологических пространств диапазона приложений теорий гомологии и когомологий распростлся на геометрию и алгебру. Терминология тенденцию скрывать тот факт, что когомологии, контравариантная теория, более естественны, чем гомологии во многих приложениях. На базовом уровне это связано с функциями и откатами в геометрических ситуациях: заданные пространства X и Y и некоторая функция F на Y для любого отображения f: X → Y, композиция с f порождает функцию F ∘ f на X. Наиболее важные теории когомологий имеют произведение, чашечное произведение, которое дает им преобразование кольцо. Из-за этой особенности когомологии обычно более сильный инвариант, чем гомологии.

Содержание

1 Сингулярные когомологии
2 Примеры
3 Диагональ
4 Двойственность Пуанкаре
5 Характеристические классы
6 Пространства Эйленберга - Маклейна
7 Cap product
8 История, к рождению сингулярных когомологий
9 Когомологии пучков
10 Когомологии многообразий
11 Аксиомы и теории обобщенных когомологий
12 Другие теории когомологий
13 См. Также
14 Примечания
15 Список литературы

Сингулярные когомологии

Особые когомологии - мощный инвариант в топологии, связывающий градиентно-коммутативное кольцо с любым топологическим пространством. Каждое непрерывное отображение f: X → Y определяет гомоморфизм из кольца когомологий Y в кольцо X; это накладывает сильные ограничения на отображение из X в Y. В отличие от более тонких инвариантов, таких как гомотопические группы, кольцо когомологий имеет тенденцию быть вычислимым на практике для интересующих пространств.

Определение сингулярных когомологий начинается с сингулярного цепного комплекса :

⋯ → C i + 1 → ∂ i + 1 C i → ∂ i C i - 1 → ⋯ {\ Displaystyle \ cdots \ к C_ {я + 1} {\ stackrel {\ partial _ {i + 1}} {\ to}} C_ {i} {\ stackrel {\ partial _ {i}} {\ to}} \ C_ { i-1} \ to \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ to C_ {i + 1} {\ stackrel {\ partial _ {i + 1}} {\ to}} C_ {i} {\ stackrel {\ partial _ {i}} {\ to}} \ C_ {i-1} \ to \ cdots}

По определению, особые гомологии множество X являются гомологиями этого цепного комплекса (ядра одного гомоморфизма по модулю образа предыдущего один). Более подробно, C i - это свободная абелева группа на множестве непрерывных отображений из стандартного i-симплекса в X (называемых «сингулярными i-симплексами в X»), и ∂ i - граничный гомоморфизм i. Группы C i равны нулю для i отрицательного значения.

Теперь зафиксируем абелеву группу A и заменим каждую группу C i ее дуальной группой $C i ∗: = H om (C i, A), { \ displaystyle C_ {i} ^ {*}: = \ mathrm {Hom} (C_ {i}, A),}$ ${\ displaystyle C_ {i} ^ {*}: = \ mathrm {Hom} (C_ {i}, A),}$ и $∂ i {\ displaystyle \ partial _ {i}}$ $\ partial _ {i}$ по его дуальному гомоморфизму

di - 1: C i - 1 ∗ → C i ∗. {\ displaystyle d_ {i-1}: C_ {i-1} ^ {*} \ to C_ {i} ^ {*}.}

{\ displaystyle d_ {i-1}: C_ {i-1} ^ {*} \ в C_ {i} ^ {*}.}

Это дает эффект "переворачивания всех стрелок" исходного комплекса, оставляя комплекс коцепей

⋯ ← C i + 1 ∗ ← di C i ∗ ← di - 1 C i - 1 ∗ ← ⋯ {\ displaystyle \ cdots \ leftarrow C_ {i + 1} ^ {*} {\ stackrel {d_ {i}} {\ leftarrow}} \ C_ {i} ^ {*} {\ stackrel {d_ {i-1}} {\ leftarrow}} C_ {i-1} ^ {*} \ leftarrow \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ leftarrow C_ {i + 1} ^ {*} {\ stackrel {d_ {i}} {\ leftarrow}} \ C_ {i} ^ {*} {\ stackrel {d_ {я-1}} {\ leftarrow}} C_ {i-1} ^ {*} \ leftarrow \ cdots}

Для целого числа i группа когомологий i элемента X с коэффициентами в A определяется как ker (d i) / im (d i - 1) и обозначается Н (Х, А). Группа H (X, A) равна нулю при отрицательном i. Элементы $C i ∗ {\ displaystyle C_ {i} ^ {*}}$ ${\ displaystyle C_ {i} ^ {*}}$ называются сингулярными i-коцепями с коэффициентами в A. (эквивалентно i- коцепь на X может быть отождествлена с функцией из множества особых i-симплексов в X в A.) Элементы ker (d) и im (d) называются коциклами и кограницами соответственно, а элементы ker (d) / im (d) = H (X, A) называются классами когомологий (поскольку они являются классами эквивалентности коциклов).

В дальнейшем группа коэффициентов A иногда не записывается. Обычно в качестве A принимают коммутативное кольцо R; то группы когомологий являются R- модулями. Стандартный выбор - кольцо Z из целых чисел.

Некоторые формальные свойства когомологий являются лишь второстепенными вариантами свойств гомологии:

Непрерывное отображение $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ определить прямой переход гомоморфизм $f ∗: H i (X) → H i (Y) {\ displaystyle f_ {*}: H_ {i} ( X) \ к H_ {i} (Y)}$ ${\ displaystyle f _ {*}: H_ {i} (X) \ to H_ {i} (Y)}$ на гомологии и откат гомоморфизм $f ∗: H i (Y) → H i (X) {\ displaystyle f ^ {*}: H ^ {i} (Y) \ to H ^ {i} (X)}$ ${\ displaystyle f ^ {*}: H ^ {i} (Y) \ to H ^ {i} (X)}$ на когомологиях. Это превращает когомологии в контравариантный функтор от топологических пространств до абелевых групп (или R-модулей).

Два гомотопических изображений из X в Y индуцируют тот же гомоморфизм на когомологиях (просто как по гомологии).

Последовательность Майера - Виеториса является важным важным инструментом в когомологии, как и в гомологиях. Отметим, что граничный гомоморфизм увеличивает (а не убывает) степень в когомологиях. То есть, если пространство X является объединением открытых подмножеств U и V, то существует длинная точная последовательность :

⋯ → H i (X) → H i (U) ⊕ ЧАС я (В) → ЧАС я (U ∩ В) → ЧАС я + 1 (Икс) → ⋯ {\ Displaystyle \ cdots \ к Н ^ {я} (Х) \ к Н ^ {я} (U) \ oplus H ^ {i} (V) \ to H ^ {i} (U \ cap V) \ to H ^ {i + 1} (X) \ to \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ к H ^ {i} (X) \ к H ^ {i} (U) \ oplus H ^ {i} (V) \ to H ^ {i} (U \ ок п V) \ к Н ^ {я + 1} (Х) \ к \ cdots}

Есть относительных когомологий групп H (X, Y; A) для любого подпространства Y пространства X. Они связаны с обычными когомологией длинной точной последовательностью:

⋯ → H i (X, Y) → ЧАС я (Икс) → ЧАС я (Y) → ЧАС я + 1 (Икс, Y) → ⋯ {\ Displaystyle \ cdots \ к Н ^ {я} (X, Y) \ к Н ^ {я} (X) \ к H ^ {i} (Y) \ to H ^ {i + 1} (X, Y) \ to \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ к H ^ {i} (X, Y) \ к H ^ {i} (X) \ к H ^ {i} (Y) \ к H ^ {я + 1} (X, Y) \ к \ cdots}

Теорема об универсальных коэффициентах услуг когомологии в терминах гомологии, используя Внешние группы. А именно, существует короткая точная последовательность

0 → Ext Z 1 ⁡ (H i - 1 ⁡ (X, Z), A) → H i (X, A) → Hom Z ⁡ (H i (Икс, Z), А) → 0. {\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {Z}} ^ {1} (\ operatorname {H} _ {i-1} (X, \ mathbf { Z}), A) \ to H ^ {i} (X, A) \ to \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Z}} (H_ {i} (X, \ mathbf {Z}), A) \ to 0.}

{\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {Z}} ^ {1} (\ operatorname {H} _ {i -1} (X, \ mathbf {Z}), A) \ to H ^ {i} (X, A) \ to \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Z}} (H_ {i} (X, \ mathbf {Z}), A) \ до 0.}

Связанное утверждение в том, что для поля F, H (X, F) является в точности двойным пространством внутренним пространством Hi(X, F).

Если X - топологическое многообразие или CW-комплекс, то группы когомологий H (X, A) равны нулю для i, большего, чем размерность X. Если X - компактное многообразие (возможно, с краем) или CW-комплекс с конечным числом ячеек в каждом измерении, и R - коммутативное нётерово кольцо, то R-модуль H (X, R) конечно порожден для каждого i.

С другой стороны, когомологии имеют решающую структуру, которая содержит у гомологий: для любых топологических пространств X и коммутативный rin g R существует билинейное отображение, называемое чашечным продуктом :

H я (Икс, R) × ЧАС J (Икс, R) → H я + J (X, R), {\ Displaystyle Н ^ {я} (X, R) \ раз H ^ {J} (X, R) \ to H ^ {i + j} (X, R),}

{\ displaystyle H ^ {i} (X, R) \ times H ^ {j} (X, R) \ to H ^ {i + j} (X, R),}

определенная явная формула на сингулярных коцепях. Произведение классов когомологий u и v записывается как u ∪ v или просто как uv. Этот продукт составляет прямую сумму

H ∗ (X, R) = ⨁ i H i (X, R) {\ displaystyle H ^ {*} (X, R) = \ bigoplus _ {i} H ^ {i} (X, R)}

{\ displaystyle H ^ {*} (X, R) = \ bigoplus _ {i} H ^ {i} (X, R)}

в градуированное кольцо, называемое кольцом когомологий X. Оно градуировано- коммутативным в том смысле, что:

uv = (- 1) ijvu, u ∈ H i (X, R), v ∈ H j (X, R). {\ displaystyle uv = (- 1) ^ {ij} vu, \ qquad u \ in H ^ {i} (X, R), v \ in H ^ {j} (X, R).}

{\ displaystyle uv = (- 1) ^ {ij} vu, \ qquad u \ in H ^ {i} (X, R), v \ in H ^ {j} (X, R).}

Для любая непрерывная карта $f: X → Y, {\ displaystyle f: X \ to Y,}$ ${\ displaystyle f: X \ to Y,}$ pullback $f ∗: H ∗ (Y, R) → H ∗ (X, R) {\ displaystyle f ^ {*}: H ^ {*} (Y, R) \ to H ^ {*} (X, R)}$ ${\ displaystyle f ^ {*}: H ^ {*} (Y, R) \ к H ^ {*} (X, R)}$ является гомоморфизмом градуированных R- алгебры. Отсюда следует, что если два пространства гомотопически эквивалентны, то их кольца когомологий изоморфны.

Вот некоторые из геометрических интерпретаций чаши. В указанном значении не указаны крайние элементы. замкнутое многообразие означает компактное многообразие (без края), тогда как замкнутое подмногообразие Многообразие M подмногообразие, которое является замкнутым подмножеством в M, не обязательно компактный ( N автоматически компактно, если M является).

Пусть X - замкнутое ориентированное многообразие размерности n. Тогда двойственность Пуанкаре дает изоморфизм HX ≅ H n - i X. В результате замкнутое ориентированное подмногообразие S коразмерности i в X определяет класс когомологий в HX, называемый [S]. В этих терминах чашечное произведение пересечения подмногообразий. А именно, если S и T - подмногообразия коразмерности i и j, которые пересекают трансверсально, то

[S] [T] = [S ∩ T] ∈ H i + j (X), { \ displaystyle [S] [T] = [S \ cap T] \ in H ^ {i + j} (X),}

{\ displaystyle [S] [T] = [S \ cap T] \ в ЧАС ^ {я + J} (Х),}

где пересечение S ∩ T является подмногообразием коразмерности i + j со специфической ориентацией ориентаций S, T и X. В гладких разнообразий, если S и T не пересекаются поперечно, эту формулу все же можно использовать для вычислений чашеобразного произведения [S] [T], возмущая S или T, чтобы сделать пересечение поперечным.

В более общем смысле, не предполагая, что X имеет ориентацию, замкнутое подмноеобразие X с ориентацией на его нормальном расслоении определяет класс когомологий на X.Если X - некомпактное разнообразие, то замкнутое подмногообразие (не обязательно компактное)) определяет класс когомологий на X. В обоих случаях чашеобразное снова может быть описано в терминах пересечений подмногообразий.

Обратите внимание, что Том построил интегральные когомологии класс 7 на гладком 14-многообразии, являющийся классом любого гладкого подмногообразия. Он показал, что каждый интегральный класс когомологий положительной степени на гладком множестве имеет положительное кратное кратное гладкое подмногообразия. Кроме того, любой класс целочис когомологий на множестве представленных «псевдомногообразием», является симплициальным комплексом, который является множеством вне замкнутого подмножества коразмерности не менее 2.

Для гладкого разнообразия X, Теорема де Рама гласит, что особые когомологии X с действующими коэффициентами изоморфны когомологии де Рама X, определенным с помощью дифференциальных форм. Чашечное изделие соответствует произведению дифференциальных форм. Эта интерпретация имеет то преимущество, что произведение на дифференциальных формах является градуированно-коммутативным, тогда как произведение на особых коцепях является только градуированно-коммутативным до цепной гомотопии. Фактически невозможно определение сингулярных коцепей с помощью механизмов в целых числах Z или в Z / p для простого числа p, чтобы сделать произведение градуированно-коммутативным на нос. Неудача градуированной коммутативности на уровне коцепи приводит к операциям Стинрода на когомологиях mod p.

Очень неформально, для любого топологического пространства X элементы HX можно рассматривать как представленные коразмерностью- i подпространств X, которые могут свободно перемещаться по X. Например, один из способов определения элемента HX - задать непрерывное отображение f из X в многообразие M и замкнутое подмногообразие N коразмерности i в M с ориентацией на нормальный комплект. Неформально мы думаем о получившемся классе $f ∗ ([N]) ∈ H i (X) {\ displaystyle f ^ {*} ([N]) \ in H ^ {i} (X)}$ ${\ displaystyle f ^ {*} ([N]) \ in H ^ {i} (X)}$ как лежащее в подпространстве $f - 1 (N) {\ displaystyle f ^ {- 1} (N)}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (N)}$ X; это оправдано тем, что класс $f ∗ ([N]) {\ displaystyle f ^ {*} ([N])}$ ${\ displaystyle f ^ {*} ([N])}$ ограничивается нулем в когомологии открытого подмножества $X - f - 1 (N). {\ displaystyle Xf ^ {- 1} (N).}$ ${\ displaystyle Xf ^ {- 1} (N).}$ Класс когомологий $f ∗ ([N]) {\ displaystyle f ^ {*} ([N])}$ ${\ displaystyle f ^ {*} ([N])}$ может свободно перемещаться по X в том смысле, что N можно заменить любой непрерывной деформацией N внутри M.

В следующих когомологии Примеры берутся с коэффициентами в целых числах Z, если не указано.

Кольцо когомологий точки - это кольцо Z степени 0. По гомотопической инвариантности это также кольцо когомологий любого стягиваемого пространства, такого как евклидово пространство R.
Первая группа когомологий двумерного тора имеет базис, заданный классами двух показанных окружностей. Для положительного целого числа n кольцо когомологий сфера S равно Z [x] / (x) (факторкольцо кольца полиномов по заданному идеалу ) с x в степени н. В терминах двойственности Пуанкаре, как указано выше, x - это класс точки на сфере.
Кольцо когомологий тора (S) - это внешняя алгебра над Z на n образующих в степени 1. Например, пусть P обозначает точку в окружности S, а Q - точка (P, P) в 2-мерном торе (S). Тогда когомологии (S) имеют базис как свободный Z -модуль вида: элемент 1 в степени 0, x: = [P × S] и y: = [S × P] в степени 1 и xy = [Q] в степени 2. (Здесь неявно зафиксированы ориентации тора и двух окружностей.) Обратите внимание, что yx = −xy = - [Q], градуированной коммутативностью.
В более общем смысле, пусть R - коммутативное кольцо, а X и Y - любые топологические пространства, такие что H (X, R) - конечно порожденный свободный R-модуль в каждой степени. (Никакого предположения относительно Y не требуется.) Тогда формула Кюннета дает, что кольцо когомологий пространства произведения X × Y тензорным произведением R- алгебры:

H ∗ (X × Y, R) ≅ H ∗ ( X, R) ⊗ RH ∗ (Y, R). {\ displaystyle H ^ {*} (X \ times Y, R) \ cong H ^ {*} (X, R) \ otimes _ {R} H ^ {*} (Y, R).}

{\ displaystyle H ^ {*} (X \ times Y, R) \ cong H ^ {*} (X, R) \ otimes _ {R} H ^ {*} (Y, R).}

кольцо когомологий вещественного проективного пространства RPс коэффициентами Z / 2 равно Z / 2 [x] / (x), с x в степени 1. Здесь x - класс гиперплоскости RPв RP ; это имеет смысл, даже если RP не ориентируем для четного и положительного j, потому что двойственность Пуанкаре с коэффициентами Z / 2 работает для произвольных разнообразий.

С целыми коэффициентами ответ будет немного сложнее. Z -когомологии RP имеют такой элемент y степени 2, что вся когомология является прямой суммой копии Z, натянутой на элемент 1 в степени 0 вместе с копиями Z / 2, натянутыми элементами y для i = 1,..., a. Z -когомологии RP одинаковы вместе с дополнительной копией Z в степени 2a + 1.

Кольцо когомологий комплексное проективное пространство CPравно Z [x] / (x), где x имеет степень 2. Здесь x - класс гиперплоскости CP в CP . В более общем смысле, x - это класс линейного подпространства CP в CP.
Кольцо когомологий замкнутой ориентированной поверхности X рода g ≥ 0 имеет базис в качестве свободного Z -модуль вида: элемент 1 в степени 0, A 1,..., A g и B 1,..., B g в степени 1, и класс P точки в степени 2. Произведение определяется следующим образом: A iAj= B iBj= 0 для всех i и j, A iBj= 0, если i ≠ j, и A iBi= P для всех i. Из градуированной коммутативности следует, что B iAi= −P.
На любом топологическом исследовании из градуированной коммутативности кольца когомологий следует, что 2x = 0 для всех классов когомологий нечетной степени x. Отсюда следует, что для кольца R, содержащего 1/2, все элементы нечетной степени H (X, R) нулевой квадрат. С другой стороны, элементы нечетной степени не обязательно должны иметь нулевой квадрат, если R равно Z / 2 или Z, как можно увидеть в примере RP (с коэффициентами Z / 2) или RP× RP(с коэффициентами Z ).

Диагональ

Чашечное изделие на когомологии можно рассматривать как происходящее из диагональное отображение Δ: X → X × X, x ↦ (x, x). А именно, для любых пространств X и Y с классами когомологий u ∈ H (X, R) и v ∈ H (Y, R) существует внешнее произведение (или перекрестное произведение ) класс когомологий u × v ∈ H (X × Y, R). Чашечное произведение классов u ∈ H (X, R) и v ∈ H (X, R) можно определить как откат внешних произведений по диагонали:

uv = ∆ ∗ (u × v) ∈ H я + j (X, R). {\ displaystyle uv = \ Delta ^ {*} (u \ times v) \ in H ^ {i + j} (X, R).}

{\ displaystyle uv = \ Delta ^ {*} (u \ times v) \ в H ^ {i + j} (X, R).}

В качестве альтернативы, внешний продукт может быть определен в терминах продукта чашки. Для пространств X и Y напишите f: X × Y → X и g: X × Y → Y для двух проекций. Тогда внешнее произведение классов u ∈ H (X, R) и v ∈ H (Y, R) есть:

u × v = (f ∗ (u)) (g ∗ (v)) ∈ H i + j ( X × Y, R). {\ displaystyle u \ times v = (f ^ {*} (u)) (g ^ {*} (v)) \ in H ^ {i + j} (X \ times Y, R).}

{\ displaystyle u \ times v = (f ^ {*} (u)) (g ^ {*} (v)) \ in H ^ {i + j} (X \ times Y, R).}

Двойственность Пуанкаре

Другая интерпретация двойственности Пуанкаре состоит в том, что кольцо когомологий замкнутого ориентированного многообразия самодвойственно в сильном смысле. А пусть, X - замкнутое связное ориентированное именно размерности n, а F - поле. Тогда H (X, F) изоморфен F, и произведение

H i (X, F) × H n - i (X, F) → H n (X, F) ≅ F {\ displaystyle H ^ {i} (X, F) \ times H ^ {ni} (X, F) \ to H ^ {n} (X, F) \ cong F}

{\ displaystyle H ^ {i} (X, F) \ раз H ^ {ni} (X, F) \ к H ^ {n} (X, F) \ cong F}

является идеальным спариванием для каждого целого числа i. В особенности, пространство пространства H (X, F) и H (X, F) имеют одинаковую (конечную) размерность. Аналогично, продукт интегральных когомологий по модулю кручения со значениями в H (X, Z ) ≅ Z является идеальным спариванием по Z.

классам характеристик

Ориентированное вещественное векторное расслоение E ранга r над топологическим пространством X определяет класс когомологий на X, класс Эйлера χ (E) ∈ H (X, Z ). Неформально класс Эйлера - это класс нулевого множества общего раздела многообразия E. Эту интерпретацию можно сделать более явной, если E - гладкое векторное расслоение над гладким многообразием X, поскольку тогда общее гладкое сечение X исчезает на подмногообразии коразмерности r в X.

Существует несколько других типов характеристических классов для векторных расслоений, которые принимают значения в когомологиях, включая классы Черна, классы Штифеля – Уитни и классы Понтрягина.

пространства Эйленберга – Маклейна

Для каждой абелевой группы A и натурального числа j существует пространство K (A, j) у которого j-я гомотопическая группа изоморфна A, а остальные гомотопическиеразновидностей топологической K-теории, основанной на изучении пространства с учетом всех векторных связок над ним: $КО * (Икс) {\ displaystyle KO ^ {*} (X)}$ ${\ displaystyle KO ^ {*} (X)}$ (реальная периодическая K-теория), $ко * (X) {\ displaystyle ko ^ {*} (X) }$ ${\ displaystyle ko ^ {*} (X)}$ (действительная соединительная K-теория), $K ∗ (X) {\ displaystyle K ^ {*} (X)}$ ${\ displaystyle K ^ {*} (X)}$ (комплексный периодическая K-теория), $ку * (Икс) {\ Displaystyle ку ^ {*} (Х)}$ ${\ displaystyle ku ^ {*} (X)}$ (комплексная связная K-теория) и т. д.

Браун - Петерсон когомологии, Теория Моравы, Электронная теория Моравы и другие теории, построенные на сложном кобордизме.

Различные разновидности эллиптических когомологий.

Многие из этих теорий несут более богатую информацию, чем обычные когомологии, но их труднее вычислить.

Теория когомологий E называется мультипликативной, если $E ∗ (X) {\ displaystyle E ^ {*} (X)}$ $E ^ {*} (X)$ имеет структуру градуированного кольца для каждого X. На языке спектров существует несколько более точных понятий кольцевого пространства, например, E∞кольцевой спектр, где коммуативно и ассоциативный в сильном смысле.

Другие теории когомологий

Теории когомологий в более широком смысле (инварианты других алгебраических или геометрических структур, а не топологических пространств) включают:

См. также

комплексно-ориентированная теория когомологий

Примечания

Ссылки

Дьедонне, Жан (1989), История алгебраических и Дифференциальная топология, Биркхойзер, ISBN 0-8176-3388-X, MR 0995842
Дольд, Альбрехт (1972), Лекции по Алгебраическая вершина ology, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602
Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман (1952), Основы алгебраической топологии, Princeton University Press, ISBN 9780691627236, MR 0050886
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 0-387 - 90244-9, MR 0463157
Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0 -521-79540-0, MR 1867354
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994].
Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278
Свитцер, Роберт (1975), Алгебраическая топология - гомология и гомотопия, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836
Том, Рене (1954), «Quelques propriétés globales des varétés différentiables», Commentarii Mathematici He lvetici, 28: 17–86, doi : 10.1007 / BF02566923, MR 0061823