Войти
В математика, в общей топологии, компактификация - это процесс или результат преобразования топологического пространства в компактное пространство. Компактное пространство - это пространство, в котором каждое открытое покрытие пространства содержит конечное подпокрытие. Способы компактификации различны, но каждый из них представляет собой способ управления точками от «ухода в бесконечность» путем добавления «точек на бесконечности» или предотвращения такого «ухода».
Рассмотрим вещественную прямую с ее обычной топологией. Это пространство не компактно; в некотором смысле точки могут уходить на бесконечность влево или вправо. Можно превратить действительную прямую в компактное пространство, добавив единственную «бесконечно удаленную точку», которую мы обозначим как ∞. Результирующую компактификацию можно представить как круг (который компактен как замкнутое и ограниченное подмножество евклидовой плоскости). Каждая последовательность, уходящая в бесконечность в реальной прямой, затем сходится к ∞ в этой компактификации.
Интуитивно процесс можно изобразить следующим образом: сначала сжать реальную линию до открытого интервала (-π, π) по оси x; затем согните концы этого интервала вверх (в положительном направлении оси y) и двигайте их друг к другу, пока не получите круг с одной точкой (самой верхней), которой не хватает. Эта точка - наша новая точка ∞ «на бесконечности»; добавление завершает компактный круг.
Более формально: мы представляем точку на единичной окружности ее углом, в радианах, идущим от -π до π для простоты. Отождествите каждую такую точку θ на окружности с соответствующей точкой на вещественной прямой tan (θ / 2). Эта функция не определена в точке π, так как tan (π / 2) не определена; мы отождествим эту точку с нашей точкой ∞.
Поскольку касательные и обратные касательные являются непрерывными, наша идентификационная функция является гомеоморфизмом между действительной прямой и единичной окружностью без ∞. То, что мы построили, называется одноточечной компактификацией по Александрову вещественной прямой, которая обсуждается в более общем виде ниже. Также возможно компактифицировать реальную линию, добавив две точки, + ∞ и -∞; это приводит к расширенной вещественной строке.
вложение топологического пространства X как плотное подмножество компактного пространства называется компактификация X. Часто бывает полезно встраивать топологические пространства в компактные пространства из-за особых свойств, которыми обладают компактные пространства.
Вложения в компактные хаусдорфовы пространства могут представлять особый интерес. Поскольку каждое компактное хаусдорфово пространство является тихоновским пространством, и каждое подпространство тихоновского пространства является тихоновским, мы заключаем, что любое пространство, обладающее хаусдорфовой компактификацией, должно быть тихоновским пространством. На самом деле верно и обратное; быть тихоновским пространством необходимо и достаточно для обладания хаусдорфовой компактификацией.
Тот факт, что большие и интересные классы некомпактных пространств действительно имеют компактификации определенного типа, делает компактификацию обычным методом в топологии.
Для любого некомпактного топологического пространства X (Александрофф ) одноточечная компактификация αX X получается добавлением одна дополнительная точка ∞ (часто называемая точкой на бесконечности) и определение открытых множеств нового пространства как открытых множеств X вместе с множествами вида G ∪ {∞}, где G - открытое подмножество X такое, что X \ G замкнуто и компактно. Одноточечная компактификация X является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда X хаусдорфова, некомпактная и локально компактная.
Особый интерес представляют компактификации Хаусдорфа, т. Е. Компактификации, в которых компактное пространство - это Хаусдорф. Топологическое пространство имеет компактификацию Хаусдорфа тогда и только тогда, когда оно Тихонов. В этом случае существует уникальная (от до гомеоморфизма ) «самая общая» компактификация Хаусдорфа, компактификация Стоуна – Чеха X, обозначаемая βX; формально это демонстрирует категорию компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений как рефлексивную подкатегорию категории тихоновских пространств и непрерывных отображений.
«Наиболее общее» или формально «отражающее» означает, что пространство βX характеризуется универсальным свойством, что любая непрерывная функция из X в компактное хаусдорфово пространство K продолжается до непрерывной функции от βX до K единственным способом. Более явно, βX - это компактное хаусдорфово пространство, содержащее X такое, что индуцированная топология на X посредством βX такая же, как заданная топология на X, и для любого непрерывного отображения f: X → K, где K есть компактное хаусдорфово пространство, существует единственное непрерывное отображение g: βX → K, для которого g, ограниченный на X, тождественно f.
Компактификацию Стоуна – Чеха можно явно построить следующим образом: пусть C - множество непрерывных функций из X в отрезок [0,1]. Тогда каждая точка в X может быть идентифицирована с оценочной функцией на C. Таким образом, X может быть идентифицирован с подмножеством [0,1], пространством всех функций от C до [0,1]. Поскольку последнее компактно по теореме Тихонова, замыкание X как подмножества этого пространства также будет компактным. Это компактификация Стоуна – Чеха.
Уолтер Бенц и Исаак Яглом показали, как стереографическая проекция на единый лист гиперболоид может использоваться для обеспечения компактификации для разделенных комплексных чисел. Фактически, гиперболоид является частью квадрики в реальном проективном четырехмерном пространстве. Метод аналогичен методу, который используется для создания базового многообразия для группового действия конформной группы пространства-времени.
Реальное проективное пространство RP- это компактификация евклидова пространства. R . Для каждого возможного «направления», в котором точки в R могут «уходить», добавляется одна новая точка на бесконечности (но каждое направление идентифицируется со своей противоположностью). Одноточечная компактификация Александрова R, которую мы построили в приведенном выше примере, фактически гомеоморфна RP . Однако обратите внимание на то, что проективная плоскость RPне является одноточечной компактификацией плоскости R, поскольку добавлено более одной точки.
Комплексное проективное пространство CPтакже является компактификацией C ; одноточечная компактификация Александрова плоскости C является (гомеоморфной) комплексной проективной прямой CP, которую, в свою очередь, можно отождествить со сферой, сферой Римана.
Переход к проективному пространству - распространенный инструмент в алгебраической геометрии, потому что добавленные точки на бесконечности приводят к более простым формулировкам многих теорем. Например, любые две разные строки в RP пересекаются ровно в одной точке, утверждение, которое неверно в R . В более общем плане теорема Безу, которая является фундаментальной в теории пересечений, верна в проективном пространстве, но не в аффинном пространстве. Это отличное поведение пересечений в аффинном и проективном пространствах отражено в алгебраической топологии в кольцах когомологий - когомологии аффинного пространства тривиальны, в то время как когомологии проективного пространства не- тривиален и отражает ключевые особенности теории пересечений (размерность и степень подмногообразия, причем пересечение является двойственным по Пуанкаре к произведению чашки ).
Компактификация пространств модулей обычно требует разрешения определенных вырождений - например, разрешения определенных особенностей или приводимых многообразий. Это, в частности, используется в компактификации Делиня – Мамфорда пространства модулей алгебраических кривых.
При изучении дискретных подгрупп группы Группы Ли, факторное пространство из смежных классов часто является кандидатом на более тонкую компактификацию для сохранения структуры на более высоком уровне, чем просто топологический.
Например, модульные кривые компактифицируются путем добавления отдельных точек для каждого выступа, что делает их римановыми поверхностями (и так, поскольку они компактные, алгебраические кривые ). Здесь точки возврата существуют по уважительной причине: кривые параметризуют пространство решеток, и эти решетки могут вырождаться (`` уходить в бесконечность ''), часто несколькими способами (с учетом некоторых вспомогательных структура уровня). Куспиды заменяют эти разные «направления в бесконечность».
Вот и все о решетках на плоскости. В n-мерном евклидовом пространстве можно задавать те же вопросы, например, о SO (n) \ SL n(R) / SL n(Z). Это сложнее компактифицировать. Есть множество компактификаций, таких как the, the и the, которые могут быть сформированы.
