Гипотезы Вейля

Производящие функции из подсчета точек на алгебраических многообразиях над конечными полями

В математике, гипотезы Вейля были очень влиятельными предложениями Андре Вейля (1949), которые привели к успешной многолетней программе их доказательства, в которой многие ведущие исследователи разработали основу современной алгебраической геометрии и теории чисел.

. Предположения касаются производящих функций (известных как локальные дзета-функции ), полученных от подсчета количества точек на алгебраических многообразиях над конечными полями. Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек (с координатами в исходном поле), а также точек с координатами в любом конечном расширении исходное поле. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N k точек над полем расширения с q элементами.

Вейль предположил, что такие дзета-функции для гладких многообразий должны быть рациональными функциями, должны удовлетворять форме функционального уравнения и должны иметь свои нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на основе дзета-функции Римана, своего рода производящей функции для простых целых чисел, которая подчиняется функциональному уравнению и (предположительно) имеет свои нули, ограниченные гипотезой Римана. Рациональность была доказана Бернардом Дворком (1960), функциональным уравнением Александра Гротендика (1965) и аналогом Гипотеза Римана Пьера Делиня (1974).

• 1 Предпосылки и история
• 2 Формулировка гипотез Вейля
• 3 Примеры
  • 3.1 Проективная прямая
  • 3.2 Проективное пространство
  • 3.3 Эллиптические кривые
• 4 Когомологии Вейля
• 5 Доказательства Гротендика трех из четырех гипотез
• 6 Первое доказательство Делиня гипотезы гипотезы Римана
  • 6.1 Использование карандашей Лефшеца
  • 6.2 Ключевая оценка
  • 6.3 Завершение доказательства
• 7 Второе доказательство Делиня
• 8 Приложения
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Самым ранним предшественником гипотез Вейля является Карл Фридрих Гаусс и фигурирует в разделе VII его Disquisitiones Arithmeticae (Mazur 1974), касающегося корней единства и гауссовских периодов. В статье 358 он переходит от периодов строительства башен квадратичной формы к построению правильных многоугольников; и предполагает, что p - такое простое число, что p - 1 делится на 3. Тогда существует циклическое кубическое поле внутри кругового поля корней p-й степени из единицы и нормальный интегральный базис периодов для целых чисел этого поля (пример теоремы Гильберта – Шпейзера ). Гаусс конструирует периоды порядка 3, соответствующие циклической группе (Z/pZ) ненулевых вычетов по модулю p при умножении и ее единственной подгруппе индекса три. Гаусс позволяет $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\}$, $R\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\; \text{'}\}$и $R\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\; \text{'}\text{'}\}$быть его смежными классами. Взяв периоды (суммы корней из единицы), соответствующие этим смежным классам, примененные к exp (2πi / p), он отмечает, что эти периоды имеют таблицу умножения, доступную для вычисления. Продукты представляют собой линейные комбинации периодов, и он определяет коэффициенты. Он устанавливает, например, $(RR)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\})\}$равным количеству элементов Z/pZ, которые в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\}$и которые после увеличения на единицу также находятся в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\}$. Он доказывает, что это число и связанные с ним являются коэффициентами произведений периодов. Чтобы увидеть связь этих множеств с гипотезами Вейля, заметьте, что если α и α + 1 оба находятся в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\}$, то существуют x и y в Z/pZтакой, что x = α и y = α + 1; следовательно, x + 1 = y. Следовательно, $(RR)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\})\}$- это количество решений x + 1 = y в конечном поле Z/pZ. Остальные коэффициенты имеют аналогичную интерпретацию. Таким образом, определение Гауссом коэффициентов произведений периодов подсчитывает количество точек на этих эллиптических кривых, и в качестве побочного продукта он доказывает аналог гипотезы Римана.

Гипотезы Вейля в частном случае алгебраических кривых были высказаны Эмилем Артином (1924). Случай кривых над конечными полями был доказан Вейлем, завершившим проект, начатый теоремой Хассе об эллиптических кривых над конечными полями. Их интерес был достаточно очевиден изнутри теории чисел : они подразумевали верхние границы для экспоненциальных сумм, что является основной проблемой в аналитической теории чисел (Moreno 2001) harv error: нет цели: CITEREFMoreno2001 (help ).

Что действительно привлекало внимание с точки зрения других математических областей, так это предлагаемая связь с алгебраической топологией. Учитывая, что конечные поля дискретны по своей природе, а топология говорит только о непрерывности, подробная формулировка Вейля (основанная на разработке некоторых примеров) была поразительной и новой. Он предположил, что геометрия над конечными полями должна соответствовать хорошо известным шаблонам, относящимся к числам Бетти, теореме Лефшеца о неподвижной точке и так далее.

Аналогия с топологией предложила создать новую гомологическую теорию, применимую в рамках алгебраической геометрии. На это ушло два десятилетия (это была центральная цель работы и школы Александра Гротендика ), основанных на первоначальных предложениях от Серра. Часть гипотез о рациональности была впервые доказана Бернардом Дворком (1960) с использованием p-адических методов. Гротендик (1965) и его сотрудники установили гипотезу рациональности, функциональное уравнение и связь с числами Бетти, используя свойства этальных когомологий, новой теории когомологий, разработанной Гротендиком и Артином. для атаки на гипотезы Вейля, изложенные в Grothendieck (1960). Из четырех гипотез труднее всего было доказать аналог гипотезы Римана. Руководствуясь доказательством Серра (1960) аналога гипотез Вейля для кэлерова многообразия, Гротендик представил доказательство, основанное на своих стандартных гипотезах об алгебраических циклах (Клейман 1968). Однако стандартные гипотезы Гротендика остаются открытыми (за исключением жесткой теоремы Лефшеца, которая была доказана Делинем путем расширения его работы над гипотезами Вейля), а аналог гипотезы Римана был доказан Делинем. (1974), используя теорию этальных когомологий, но обходя использование стандартных гипотез остроумным аргументом.

Deligne (1980) нашел и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивая веса прямого движения пучка.

Предположим, что X - неособое n-мерное проективное алгебраическое многообразие над полем Fqс q элементов. дзета-функция ζ (X, s) для X по определению

$\zeta \; (X,\; s)\; =\; exp\; \; (\sum \; m\; =\; 1\; \infty \; N\; mmq\; -\; ms)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (X,\; s)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{N\_\; \{m\}\}\; \{m\}\}\; q\; ^\; \{-\; ms\}\; \backslash \; right)\}$

где N m - количество точек X, определенных над расширением степени m Fqэлемента Fq.

. Гипотезы Вейля утверждают:

1. (Рациональность) ζ (X, s) является рациональным функция от T = q. Точнее, ζ (X, s) можно записать как конечное знакопеременное произведение

   $\prod \; i\; =\; 0\; 2\; n\; P\; i\; (q\; -\; s)\; (-\; 1)\; i\; +\; 1\; =\; P\; 1\; (T)\; \cdots \; P\; 2\; n\; -\; 1\; (T)\; п\; 0\; (T)\; \cdots \; п\; 2\; n\; (T),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{2n\}\; P\_\; \{i\}\; (q\; ^\; \{-\; s\})\; ^\; \{(-\; 1)\; ^\; \{i\; +\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{1\}\; (T)\; \backslash \; dotsb\; P\_\; \{2n-1\}\; (T)\}\; \{P\_\; \{0\}\; (T)\; \backslash \; dotsb\; P\_\; \{2n\}\; (T)\}\; \},\}$

   , где каждый P i (T) является целым многочленом. Кроме того, P 0 (T) = 1 - T, P 2n (T) = 1 - qT, и для 1 ≤ i ≤ 2n - 1, P i (T) множители на C как $\prod \; j\; (1\; -\; \alpha \; ij\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\}\; (1-\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\; T)\}$для некоторых чисел α ij.
2. (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет условию

   $\zeta \; (X,\; n\; -\; s)\; =\; \pm \; qn\; E\; 2\; -\; E\; s\; \zeta \; (X,\; s)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (X,\; ns)\; =\; \backslash \; pm\; q\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{nE\}\; \{2\}\}\; -\; Es\}\; \backslash \; zeta\; (X,\; s)\}$

   или эквивалентно

   $\zeta \; (X,\; q\; -\; n\; T\; -\; 1)\; знак\; равно\; \pm \; qn\; E\; 2\; TE\; \zeta \; (X,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (X,\; q\; ^\; \{-\; n\}\; T\; ^\; \{-\; 1\})\; =\; \backslash \; pm\; q\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{nE\}\; \{\; 2\}\}\; T\; ^\; \{E\}\; \backslash \; zeta\; (X,\; T)\}$

   где E - эйлерова характеристика X. В частности, для каждого i числа α 2n − i, 1, α 2n − i, 2,… равны числам q / α i, 1, q / α i, 2,… в некотором порядке.
3. (гипотеза Римана) | α i, j | = q для всех 1 ≤ i ≤ 2n - 1 и всех j. Это означает, что все нули P k (T) лежат на «критической линии» комплексных чисел s с действительной частью k / 2.
4. (числа Бетти) Если X является ( хорошо) «модуль редукции p » неособого проективного многообразия Y, определенного над числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, тогда степень P i - это i число Бетти пространства комплексных точек Y.

Проективная прямая

Простейший пример (кроме точки) означает считать X проективной прямой. Количество точек X над полем с q элементами равно N m = q + 1 (где «+ 1» происходит от «бесконечно удаленной точки »). Дзета-функция равна просто

1 / (1 - q) (1 - q).

Легко проверить все части гипотез Вейля напрямую. Например, соответствующее сложное многообразие - это сфера Римана, и ее начальные числа Бетти равны 1, 0, 1.

Проективное пространство

Это не намного сложнее. n-мерное проективное пространство. Число точек X над полем с q элементами равно N m = 1 + q + q + ⋯ + q. Дзета-функция равна

1 / (1 - q) (1 - q) (1 - q) ⋯ (1 - q).

Опять же, легко проверить все части гипотез Вейля напрямую. (Комплексное проективное пространство дает соответствующие числа Бетти, которые почти определяют ответ.)

Количество точек на проективной прямой и проективном пространстве так легко вычислить, потому что они могут быть записаны как непересекающиеся объединения конечного числа копий аффинных пространств. Также легко доказать гипотезы Вейля для других пространств, таких как грассманианы и многообразия флагов, которые обладают тем же свойством «прокладывания».

Эллиптические кривые

Они дают первые нетривиальные случаи гипотез Вейля (доказанных Хассе). Если E - эллиптическая кривая над конечным полем с q элементами, то количество точек E, определенных над полем с q элементами, равно 1 - α - β + q, где α и β комплексно сопряжены с модулем √q. Дзета-функция равна

ζ (E, s) = (1 - αq) (1 - βq) / (1 - q) (1 - q).

Вейль предположил, что гипотезы вытекают из существования подходящей «теории когомологий Вейля » для многообразий над конечными полями, аналогичной обычным когомологиям с рациональными коэффициентами для комплексных многообразий. Его идея заключалась в том, что если F - автоморфизм Фробениуса над конечным полем, то количество точек многообразия X над полем порядка q равно количеству неподвижных точек F (действующих на все точки многообразие X, определенное над алгебраическим замыканием). В алгебраической топологии количество неподвижных точек автоморфизма может быть вычислено с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке, заданной как альтернированная сумма следов на группах когомологий. Итак, если бы существовали похожие группы когомологий для многообразий над конечными полями, то дзета-функция могла бы быть выражена через них.

Первая проблема заключается в том, что поле коэффициентов для теории когомологий Вейля не может быть рациональными числами. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим случай суперсингулярной эллиптической кривой над конечным полем характеристики p. Кольцо эндоморфизмов этого является порядком в кватернионной алгебре над рациональными числами и должно действовать на первую группу когомологий, которая должна быть двумерным векторным пространством над полем коэффициентов по аналогии со случаем сложная эллиптическая кривая. Однако кватернионная алгебра над рациональными числами не может действовать в двумерном векторном пространстве над рациональными числами. Тот же аргумент исключает возможность того, что поле коэффициентов является действительным или p-адическим числом, потому что алгебра кватернионов по-прежнему является алгеброй с делением над этими полями. Однако это не исключает возможности того, что поле коэффициентов является полем l-адических чисел для некоторого простого l ≠ p, потому что над этими полями алгебра с делением разделяется и становится матричной алгеброй, которая может действовать в 2-мерном векторном пространстве. Гротендику и Майклу Артину удалось построить подходящие теории когомологий над полем l-адических чисел для каждого простого l ≠ p, названные l-адическими когомологиями.

К концу 1964 года Гротендик вместе с Артином и Жан-Луи Вердье (и более ранняя работа Дворка 1960 года) доказали гипотезы Вейля, не считая самой сложной третьей гипотезы, приведенной выше (" Гипотеза Римана "гипотеза") (Grothendieck 1965). Общие теоремы об этальных когомологиях позволили Гротендику доказать аналог формулы неподвижной точки Лефшеца для l-адической теории когомологий, и, применив ее к автоморфизму Фробениуса F, он смог доказать предполагаемую формулу для дзета-функции:

$\zeta \; (s)\; знак\; равно\; п\; 1\; (T)\; \cdots \; п\; 2\; n\; -\; 1\; (T)\; п\; 0\; (T)\; п\; 2\; (T)\; \cdots \; п\; 2\; n\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; P\_\; \{1\}\; (T)\; \backslash \; cdots\; P\_\; \{2n-1\}\; (T)\}\; \{P\_\; \{0\}\; (T)\; P\_\; \{2\}\; (T)\; \backslash \; cdots\; P\_\; \{2n\}\; (T)\}\}\}$

где каждый многочлен P i является определителем I - TF на l-адической группе когомологий H.

Рациональность дзета-функции следует немедленно. Функциональное уравнение для дзета-функции следует из двойственности Пуанкаре для l-адических когомологий, а связь с комплексными числами Бетти лифта следует из теоремы сравнения l-адических и обычных когомологий для комплексных многообразий.

В более общем плане Гротендик доказал аналогичную формулу для дзета-функции (или «обобщенной L-функции») пучка F 0:

$Z\; (X\; 0,\; F\; 0,\; t)\; =\; \prod \; x\; \in \; |\; X\; 0\; |\; det\; (1\; -\; F\; Икс\; *\; t\; град\; \; (Икс)\; |\; F\; 0)\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; (X\_\; \{0\},\; F\_\; \{0\},\; t)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; |\; X\_\; \{0\}\; |\; \}\; \backslash \; det\; (1-F\_\; \{x\}\; ^\; \{*\}\; t\; ^\; \{\backslash \; deg\; (x)\}\; |\; F\_\; \{0\})\; ^\; \{-\; 1\}\}$

как произведение по группам когомологий:

$Z\; (\; Икс\; 0,\; F\; 0,\; T)\; знак\; равно\; \prod \; я\; Det\; (1\; -\; F\; *\; t\; |\; H\; ci\; (F))\; (-\; 1)\; я\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (X\_\; \{0\},\; F\_\; \{0\},\; t)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\}\; \backslash \; det\; (1-F\; ^\; \{*\}\; t\; |\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{i\}\; (F))\; ^\; \{(-\; 1)\; ^\; \{i\; +\; 1\}\}\}$

Особый случай постоянного пучка дает обычную дзета-функцию.

Вердье (1974), Серр (1975), Кац (1976) и Freitag Kiehl (1988) представили пояснительные отчеты о первом доказательстве Deligne (1974). Большая часть предыстории l-адических когомологий описана в (Deligne 1977).

Первое доказательство Делиня оставшейся третьей гипотезы Вейля («гипотеза гипотезы Римана») состояло из следующих шагов:

Использование карандашей Лефшеца

• Гротендик выразил дзета-функцию в терминах след Фробениуса на l-адических группах когомологий, поэтому гипотезы Вейля для d-мерного многообразия V над конечным полем с q элементами зависят от доказательства того, что собственные значения α Фробениуса, действующего на i-й l-адической группе когомологий H (V) множества V имеют абсолютные значения | α | = q (для вложения алгебраических элементов Qlв комплексные числа).
• После раздува V и расширения базового поля, можно считать, что многообразие V имеет морфизм на проективную прямую P с конечным числом особых слоев с очень мягкими (квадратичными) особенностями. Теория монодромии пучков Лефшеца, введенная для комплексных многообразий (и обычных когомологий) Лефшецем (1924) и расширенная Гротендиком (1972) и Deligne Katz (1973) с l-адическими когомологиями связывает когомологии V с когомологиями его слоев. Отношение зависит от пространства E x из исчезающих циклов, подпространства когомологий H (V x) неособого слоя V x, порожденный классами, которые обращаются в нуль на особых слоях.
• Спектральная последовательность Лере связывает среднюю группу когомологий V с когомологиями слоя и базы. Сложнее всего иметь дело с группой H (P, j * E) = H. c(U, E), где U - это точки проективной прямой с неособыми слоями, j - включение U в проективную прямую, а E - пучок со слоями пространств E x исчезающих циклов.

Ключевая оценка

Сердце Делиня Доказательство состоит в том, чтобы показать, что пучок E над U является чистым, другими словами, найти абсолютные значения собственных значений Фробениуса на его стеблях. Это делается путем изучения дзета-функций четных степеней E числа E и применения формулы Гротендика для дзета-функций как альтернированных произведений над группами когомологий. Решающая идея рассмотрения четных k степеней E была вдохновлена ​​статьей Ранкин (1939), который использовал аналогичную идею с k = 2 для ограничения тау-функции Рамануджана.. Лэнглендс (1970, раздел 8) указал, что обобщение результата Ранкина для более высоких четных значений k приведет к гипотезе Рамануджана, и Делинь понял, что в случае дзета-функций многообразий, теория дзета-функций пучков Гротендика дала аналог этого обобщения.

• Полюсы дзета-функции E находятся с помощью формулы Гротендика

$Z\; (U,\; E\; k,\; T)\; =\; det\; (1\; -\; F\; \ast \; T\; |\; H\; c\; 1\; (E\; k))\; det\; (1\; -\; F\; \ast \; T\; |\; ЧАС\; с\; 0\; (E\; К))\; det\; (1\; -\; F\; \ast \; T\; |\; ЧАС\; с\; 2\; (E\; k))\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (U,\; E\; ^\; \{k\},\; T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; det\; (\; 1-F\; ^\; \{*\}\; T\; |\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{1\}\; (E\; ^\; \{k\}))\}\; \{\backslash \; det\; (1-F\; ^\; \{*\}\; T\; |\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{0\}\; (E\; ^\; \{k\}))\; \backslash \; det\; (1-F\; ^\; \{*\}\; T\; |\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\; (E\; ^\; \{k\}))\}\}\}$

и явно вычислить группы когомологий в знаменателе. Член H. cобычно равен 1, поскольку U обычно не является компактным, и H. cможно вычислить явно следующим образом. Двойственность Пуанкаре связывает H. c(E) с H. (E), которое, в свою очередь, является пространством ковариантов группы монодромии, которая является геометрической фундаментальной группой U, действующей на слой E в точке. Волокно E имеет билинейную форму, индуцированную чашечным произведением, которое антисимметрично, если d четно, и превращает E в симплектическое пространство. (Это немного неточно: Делинь позже показал, что E∩E = 0, используя жесткую теорему Лефшеца, для этого требуются гипотезы Вейля, а для доказательства гипотез Вейля действительно нужно использовать немного больше сложный аргумент с E / E∩E, а не E.) Рассуждение Каждана и Маргулиса показывает, что образ группы монодромии, действующей на E, задаваемый формулой Пикара – Лефшеца, плотен по Зарисскому в симплектическая группа и поэтому имеет те же инварианты, которые хорошо известны из классической теории инвариантов. Отслеживание действия Фробениуса в этом вычислении показывает, что все его собственные значения равны q, поэтому дзета-функция Z (E, T) имеет полюсы только при T = 1 / q.

• Произведение Эйлера для дзета-функции E равно

$Z\; (E\; K,\; T)\; =\; \prod \; Икс\; 1\; Z\; (E\; xk,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (E\; ^\; \{k\},\; T)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; Z\; (E\_\; \{x\}\; ^\; \{k\},\; T)\}\}\}$

Если k четное, то все коэффициенты множителей справа (рассматриваемые как степенные ряды в T) неотрицательный ; для этого следует записать

$1\; det\; (1\; -\; T\; deg\; \; (x)\; F\; x\; |\; E\; k)\; =\; exp\; \; (\sum \; n>0\; T\; nn\; Trace\; (F\; xn\; |\; E)\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; det\; (1-T\; ^\; \{\backslash \; deg\; (x)\}\; F\_\; \{x\}\; |\; E\; ^\; \{k\})\}\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n>0\}\; \{\backslash \; frac\; \{T\; ^\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; \{\backslash \; text\; \{Trace\}\}\; (F\_\; \{x\}\; ^\; \{n\}\; |\; E)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right)\}$

и используя тот факт, что следы степеней F рациональны, поэтому их k-степени неотрицательны поскольку k четно. Делинь доказывает рациональность следов, связывая их с количеством точек многообразия, которые всегда являются (рациональными) целыми числами.

• Ряд степеней для Z (E, T) сходится для T меньше абсолютного значение 1 / q его единственного возможного полюса.Когда k - четное, коэффициенты всех его факторов Эйлера неотрицательны, так что каждый из факторов Эйлера имеет коэффициенты, ограниченные константой, умноженной на коэффициенты Z (E, T) и поэтому сходится в той же области и не имеет полюсов в этой области. Таким образом, для k даже многочлены Z (E. x, T) не имеют нулей в этой области, или, другими словами, собственные значения Фробениуса на стеблях E имеют абсолютное значение не более q.
• Эта оценка можно использовать для нахождения модуля любого собственного значения α Фробениуса на слое E следующим образом. Для любого целого k α является собственным значением Фробениуса на стержне E, которое для четного k ограничено q. Итак

$|\; \alpha \; k\; |\; \le \; qk\; (d\; -\; 1)\; /\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; ^\; \{k\}\; |\; \backslash \; leq\; q\; ^\; \{k\; (d-1)\; /\; 2\; +\; 1\}\}$

Поскольку это верно для произвольно больших даже k, это означает, что

$|\; \alpha \; |\; \le \; q\; (d\; -\; 1)\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; leq\; q\; ^\; \{(d-1)\; /\; 2\}.\}$

Двойственность Пуанкаре тогда подразумевает, что

$|\; \alpha \; |\; =\; q\; (d\; -\; 1)\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; |\; =\; q\; ^\; \{(d-1)\; /\; 2\}.\}$

Завершение доказательства

Вывод гипотезы Римана из этой оценки в основном представляет собой довольно прямое использование стандартными приемами и делается следующим образом.

• Собственные значения Фробениуса на H. c(U, E) теперь можно оценить, поскольку они являются нулями дзета-функции пучка E. Эта дзета-функция может быть записана как произведение Эйлера дзета-функций стеблей E, и использование оценки собственных значений на этих стеблях показывает, что это произведение сходится для | T |
• Из этого следует вывод, что собственные значения α матрицы Фробениуса множества четной размерности d на средняя группа когомологий удовлетворяет

$|\; \alpha \; |\; \le \; q\; d\; /\; 2\; +\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; leq\; q\; ^\; \{d\; /\; 2\; +\; 1/2\}\}$

Чтобы получить гипотезу Римана, нужно исключить 1/2 из экспоненты. Это можно сделать следующим образом. Применение этой оценки к любой четной степени V числа V и использование формулы Кюннета показывает, что собственные значения Фробениуса на средних когомологиях многообразия V любой размерности d удовлетворяют условию

$|\; \alpha \; k\; |\; \le \; qkd\; /\; 2\; +\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; ^\; \{k\}\; |\; \backslash \; leq\; q\; ^\; \{kd\; /\; 2\; +\; 1/2\}\}$

Поскольку это верно для произвольно большого четного k, это означает, что

$|\; \alpha \; |\; \le \; q\; d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; leq\; q\; ^\; \{d\; /\; 2\}\}$

двойственность Пуанкаре тогда означает, что

$|\; \alpha \; |\; =\; q\; д\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; |\; =\; q\; ^\; \{d\; /\; 2\}.\}$

• Это доказывает гипотезы Вейля для средних когомологий многообразия. Гипотезы Вейля для когомологий ниже среднего измерения вытекают из этого путем применения слабой теоремы Лефшеца, а гипотезы для когомологий выше среднего измерения затем следуют из двойственности Пуанкаре

Делинь (1980) нашел и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивая веса толкающего пучка. На практике именно это обобщение, а не исходные гипотезы Вейля в основном используются в приложениях, таких как жесткая теорема Лефшеца. По большей части второе доказательство представляет собой перестройку идей его первого доказательства. Основная необходимая дополнительная идея - это аргумент, тесно связанный с теоремой Жака Адамара и Шарля Жана де ла Валле Пуссен, используемый Делинем, чтобы показать, что различные L-серии не имеют нулей. с вещественной частью 1.

Конструктивный пучок на многообразии над конечным полем называется чистым с весом β, если для всех точек x собственные значения пучка Фробениуса в x имеют абсолютное значение N (x) и являются называется смешанным с весом ≤β, если его можно записать как повторное расширение чистыми пучками с весом ≤β.

Теорема Делиня утверждает, что если f является морфизмом схем конечного типа над конечным полем, то Rf ! переводит смешанные пучки веса ≤β в смешанные пучки веса ≤β + i.

Исходные гипотезы Вейля вытекают из того, что f рассматривается как морфизм гладкого проективного многообразия в точку и рассматривается постоянный пучок Qlна многообразии. Это дает верхнюю границу абсолютных значений собственных значений Фробениуса, а двойственность Пуанкаре показывает, что это также нижняя граница.

Обычно Rf ! не переводит чистые связки в чистые связки. Однако это происходит, когда имеет место подходящая форма двойственности Пуанкаре, например, если f гладкая и правильная, или если кто-то работает с извращенными пучками, а не с пучками, как в Бейлинсон, Бернштейн и Делин (1982).

Вдохновленный работой Виттена (1982) по теории Морса, Лаумон (1987) нашел другое доказательство, используя l-адику Делиня. Преобразование Фурье, которое позволило ему упростить доказательство Делиня, избегая использования метода Адамара и де ла Валле Пуссен. Его доказательство обобщает классический расчет абсолютного значения сумм Гаусса с использованием того факта, что норма преобразования Фурье имеет простую связь с нормой исходной функции. Киль и Вайссауэр (2001) использовали доказательство Лаумона в качестве основы для изложения теоремы Делиня. Кац (2001) дал дальнейшее упрощение доказательства Лаумона, используя монодромию в духе первого доказательства Делиня. Кедлая (2006) дал другое доказательство, используя преобразование Фурье, заменив этальные когомологии на жесткие когомологии.

• Делинь (1980) смог доказать жесткие когомологии. Теорема Лефшеца над конечными полями, используя его второе доказательство гипотез Вейля.
• Делинь (1971) ранее показал, что гипотеза Рамануджана-Петерсона следует из гипотез Вейля.
• Делинь (1974, раздел 8) использовал гипотезы Вейля для доказательства оценок экспоненциальных сумм.
• Ник Кац и Уильям Мессинг (1974) смогли доказать Стандартная гипотеза типа Кюннета над конечными полями с использованием доказательства Делиня гипотез Вейля.

• Артин, Эмиль (1924), «Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil», Mathematische Zeitschrift, 19(1): 207–246, doi : 10.1007 / BF01181075, ISSN 0025-5874
• Бейлинсон, Александр А. ; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982), «Faisceaux pervers», Анализ и топология сингулярных пространств, I (Luminy, 1981), Astérisque, 100, Париж: Société Mathématique de France, pp. 5–171, MR 0751966
• Deligne, Pierre (1971), "Formes modulaires et représentations l-adiques", Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363, Lecture Notes in Mathematics, 179, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0058801, ISBN 978-3-540-05356-9
• Делинь, Пьер (1974), "La conjecture de Weil. I", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43(43): 273–307, doi : 10.1007 / BF02684373, ISSN 1618-1913, MR 0340258
• Делинь, Пьер, изд. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5), Конспект лекций по математике (на французском языке), 569, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0091516, ISBN 978-0-387-08066-6, заархивировано с оригинал от 15.05.2009, извлечен 03.02.2010
• Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil. II", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 52(52): 137–252, doi : 10.1007 / BF02684780, ISSN 1618-1913, MR 0601520
• Делинь, Пьер ; Кац, Николас (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Конспект лекций по математике, Том. 340, 340, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0060505, ISBN 978-3-540-06433-6, MR 0354657
• Дворк, Бернард (1960), «О рациональности дзета-функции алгебраического разнообразия», Американский журнал математики, Американский журнал математики, Vol. 82, № 3, 82 (3): 631–648, doi : 10.2307 / 2372974, ISSN 0002 -9327, JSTOR 2372974, MR 0140494
• Фрейтаг, Эберхард; Киль, Рейнхард (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 13, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-02541-3, ISBN 978-3-540-12175-6, MR 0926276
• Гротендик, Александр (1960), «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий», Proc. Междунар. Congress Math. (Эдинбург, 1958), Cambridge University Press, pp. 103–118, MR 0130879
• Grothendieck, Alexander (1995) [1965], «Formule de Lefschetz etrationalité des fonctions. L ", Séminaire Bourbaki, 9, Paris: Société Mathématique de France, pp. 41–55, MR 1608788
• Grothendieck, Alexander (1972), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. I, Конспект лекций по математике, Vol. 288, 288, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0068688, ISBN 978-3-540-05987-5, MR 0354656
• Кац, Николас М. (1976), «Обзор доказательства Делиня гипотезы Римана для многообразий над конечными полями», Математические разработки вытекающие из проблем Гильберта, Proc. Симпозиумы. Pure Math., XXVIII, Providence, RI: Американское математическое общество, стр. 275–305, MR 0424822
• Katz, Nicholas (2001), «L-функции и монодромия: четыре лекции о Вейле II», Adv. Math., 160 (1): 81–132, doi : 10.1006 / aima.2000.1979, MR 1831948
• Katz, Nicholas M. ; Мессинг, Уильям (1974), «Некоторые следствия гипотезы Римана для многообразий над конечными полями», Inventiones Mathematicae, 23: 73–77, Bibcode : 1974InMat..23...73K, doi :10.1007/BF01405203, ISSN 0020-9910, MR 0332791
• Kedlaya, Kiran S. (2006), "Fourier transforms and p-adic 'Weil II'", Compositio Mathematica, 142(6): 1426–1450, arXiv :math/0210149, doi :10.1112/S0010437X06002338, ISSN 0010-437X, MR 2278753
• Kiehl, Reinhardt; Weissauer, Rainer (2001), Weil conjectures, perverse sheaves and l'adic Fourier transform, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 42, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 978-3-540-41457-5, MR 1855066
• Kleiman, Steven L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix esposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838
• Langlands, Robert P. (1970), "Problems in the theory of automorphic forms", Lectures in modern analysis and applications, III, Lecture Notes in Math, 170, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 18–61, doi :10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
• Laumon, Gérard (1987), "Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 65(65): 131–210, doi :10.1007/BF02698937, ISSN 1618-1913, MR 0908218
• Lefschetz, So lomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (in French), Paris: Gauthier-VillarsReprinted in Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447
• Mazur, Barry (1974), "Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over finite fields", in Hartshorne, Robin (ed.), Algebraic Geometry, Arcata 1974, Proceedings of symposia in pure mathematics, 29, ISBN 0-8218-1429-X
• Moreno, O. (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Rankin, Robert A. ; Hardy, G. H. (1939), "Contributions to the theory of Ramanujan's function τ and similar arithmetical functions. II. The order of the Fourier coefficients of integral modular forms", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 35(3): 357–372, Bibcode :1939PCPS...35..357R, doi :10.1017/S0305004100021101, MR 0000411
• Serre, Jean-Pierre (1960), "Analogues kählériens de certaines conjectures de Weil", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 71, No. 2, 71(2): 392–394, doi :10.2307/1970088, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970088, MR 0112163
• Serre, Jean-Pierre (1975), "Valeurs propers des endomorphismes de Frobenius [d'après P. Deligne]", Séminaire Bourbaki vol. 1973/74 Exposés 436–452, Lecture Notes in Mathematics, 431, pp. 190–204, doi :10.1007/BFb0066371, ISBN 978-3-540-07023-8
• Verdier, Jean-Louis (1974), "Indépendance par rapport a ℓ des polynômes caractéristiques des endomorphismes de frobenius de la cohomologie ℓ-adique", Séminaire Bourbaki vol. 1972/73 Exposés 418–435, Lecture Notes in Mathematics, 383, Springer Berlin / Heidelberg, pp. 98–115, doi :10.1007/BFb0057304, ISBN 978-3-540-06796-2
• Weil, André (1949), "Numbers of solutions of equations in finite fields", Bulletin of the American Mathematical Society, 55(5): 497–508, doi :10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904, MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
• Witten, Edward (1982), "Supersymmetry and Morse theory", Journal of Differential Geometry, 17(4): 661–692, doi :10.4310/jdg/1214437492, ISSN 0022-040X, MR 0683171, archived from the original on 2013-04-16