В математике, особенно в гомологической алгебре и алгебраической топологии, теорема Кюннета, также называемая формулой Кюннета, представляет собой утверждение, связывающее гомологии двух объектов с гомологиями их произведения. Классическая формулировка теоремы Кюннета связывает особые гомологии двух топологических пространств X и Y и их пространство произведения. В простейшем возможном случае это отношение тензорного произведения, но для приложений очень часто необходимо применять определенные инструменты гомологической алгебры, чтобы выразить ответ.
Теорема Кюннета или формула Кюннета верна во многих различных теориях гомологии и когомологий, и это название стало общим. Эти многие результаты названы в честь немецкого математика Германа Кюннета.
Пусть X и Y - два топологических пространства. Обычно используются особые гомологии; но если X и Y являются CW-комплексами, то это можно заменить клеточными гомологиями, потому что они изоморфны сингулярным гомологиям. Простейший случай, когда кольцо коэффициентов для гомологии является полем F. В этой ситуации теорема Кюннета (для сингулярных гомологий) утверждает, что для любого целого k,
Кроме того, изоморфизм является естественным изоморфизмом. Отображение суммы в группу гомологий произведения называется перекрестным произведением. Точнее, существует операция перекрестного произведения, с помощью которой i -цикл на X и j -цикл на Y могут быть объединены для создания -цикла на ; так что существует явное линейное отображение, определенное из прямой суммы в.
Следствие этого результата является то, что числа Бетти, размеры гомологии с коэффициентами, из могут быть определены из тех, X и Y. Если - производящая функция последовательности чисел Бетти пространства Z, то
Здесь, когда существует конечное число чисел Бетти X и Y, каждое из которых является натуральным числом, а не, это читается как тождество на многочленах Пуанкаре. В общем случае это формальные степенные ряды с возможно бесконечными коэффициентами, и их следует интерпретировать соответствующим образом. Более того, это утверждение справедливо не только для чисел Бетти, но и для производящих функций размерностей гомологий над любым полем. (Если целочисленные гомологии не свободны от кручения, то эти числа могут отличаться от стандартных чисел Бетти.)
Вышеупомянутая формула проста, потому что векторные пространства над полем имеют очень ограниченное поведение. По мере того, как кольцо коэффициентов становится более общим, взаимосвязь усложняется. Следующий простейший случай - это случай, когда кольцо коэффициентов является областью главных идеалов. Этот случай особенно важен, потому что целые числа являются PID.
В этом случае приведенное выше уравнение больше не всегда верно. Поправочный коэффициент, по-видимому, учитывает возможность торсионных явлений. Этот поправочный коэффициент выражается в терминах функтора Tor, первого производного функтора тензорного произведения.
Когда R является PID, то правильная формулировка теоремы Кюннета состоит в том, что для любых топологических пространств X и Y существуют естественные короткие точные последовательности
Более того, эти последовательности разделяются, но не канонически.
Короткие точные последовательности, описанные только могут быть легко использованы для вычисления группы гомологии с целыми коэффициентами продукта два вещественных проективных плоскостей, другими словами,. Эти пространства представляют собой комплексы CW. Обозначив группу гомологии по для краткости, один знает из простого расчета с клеточной гомологией, что
Единственная ненулевая группа Tor (произведение кручения), которая может быть образована из этих значений, - это
Следовательно, короткая точная последовательность Кюннета сводится во всех степенях к изоморфизму, потому что в каждом случае есть нулевая группа либо слева, либо справа в последовательности. Результат
а все остальные группы гомологий равны нулю.
Для общего коммутативного кольца R гомологии X и Y связаны с гомологиями их произведения спектральной последовательностью Кюннета
В описанных выше случаях эта спектральная последовательность схлопывается, давая изоморфизм или короткую точную последовательность.
Цепной комплекс пространства X × Y связан с цепными комплексами X и Y естественным квазиизоморфизмом
Для особых цепей это теорема Эйленберга и Зильбера. Для клеточных цепей на комплексах CW это прямой изоморфизм. Тогда гомологии тензорного произведения справа задаются спектральной формулой Кюннета гомологической алгебры.
Свобода цепных модулей означает, что в этом геометрическом случае нет необходимости использовать какие-либо гипергомологии или полное производное тензорное произведение.
Имеются аналоги приведенных выше утверждений для особых когомологий и когомологий пучков. Для когомологий пучков на алгебраическом многообразии Александр Гротендик нашел шесть спектральных последовательностей, связывающих возможные группы гипергомологий двух цепных комплексов пучков и группы гипергомологий их тензорного произведения.
Существует множество обобщенных (или «необычных») теорий гомологий и когомологий для топологических пространств. K-теория и кобордизм - самые известные. В отличие от обычных гомологий и когомологий, они обычно не могут быть определены с помощью цепных комплексов. Таким образом, теоремы Кюннета нельзя получить указанными выше методами гомологической алгебры. Тем не менее теоремы Кюннета в одной и той же форме во многих случаях доказывались различными другими методами. Первыми были теорема Кюннета Майкла Атьи для комплексной K-теории и результат Пьера Коннера и Эдвина Э. Флойда о кобордизме. Возник общий метод доказательства, основанный на гомотопической теории модулей над высокоструктурированными кольцевыми спектрами. Гомотопическая категория таких модулей очень похожа на производную категорию в гомологической алгебре.