Функтор Tor

редактировать

В математике, функторы Tor являются производными от функторами тензорного произведения модулей над кольцом . Наряду с функтором Ext, Tor является одним из центральных понятий гомологической алгебры, в которой идеи из алгебраической топологии используются для построения инвариантов алгебраических структур. Гомологии групп, алгебр Ли и ассоциативных алгебр могут быть определены в терминах Tor. Название происходит от отношения между первой группой Tor Tor 1 и торсионной подгруппой абелевой группы .

. В частном случае абелевых групп был введен Tor Автор Эдуард Чех (1935) и назван Самуэлем Эйленбергом примерно в 1950 году. Впервые он был применен к теореме Кюннета и теореме об универсальных коэффициентах в топологии. Для модулей над любым кольцом Tor был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 г. «Гомологическая алгебра».

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Важные частные случаи
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Определение

Пусть R будет кольцом. Напишите R-Mod для категории из левых R-модулей и Mod-R для категории правых R-модулей. (Если R является коммутативным, две категории могут быть идентифицированы.) Для фиксированного левого R-модуля B, пусть T (A) = A ⊗ R B для A в Mod- Р. Это точный справа функтор из Mod-R в категорию абелевых групп Ab, поэтому он оставил производные функторы LiT. Группы Tor - это абелевы группы, определяемые формулой

Tor i R ⁡ (A, B) = (L i T) (A), {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) = (L_ {i} T) (A),}

{\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) = (L_ {i} T) (A),}

для целого числа i. По определению это означает: возьмите любое проективное разрешение

⋯ → P 2 → P 1 → P 0 → A → 0, {\ displaystyle \ cdots \ to P_ {2} \ to P_ {1} \ to P_ {0} \ to A \ to 0,}

{\ displaystyle \ cdots \ to P_ {2} \ to P_ { 1} \ к P_ {0} \ к A \ к 0,}

удалить член A и сформировать цепной комплекс :

⋯ → P 2 ⊗ RB → P 1 ⊗ RB → P 0 ⊗ RB → 0 { \ displaystyle \ cdots \ to P_ {2} \ otimes _ {R} B \ to P_ {1} \ otimes _ {R} B \ to P_ {0} \ otimes _ {R} B \ to 0}

\ cdots \ к P_2 \ otimes_R B \ to P_1 \ otimes_R B \ to P_0 \ otimes_R B \ to 0

Для каждого целого числа i Tor. i(A, B) является гомологией этого комплекса в позиции i. Это ноль для отрицательного значения i. Например, Tor. 0(A, B) - это коядро карты P 1⊗RB → P 0⊗RB, которое изоморфно A ⊗ Р Б.

В качестве альтернативы можно определить Tor, зафиксировав A и взяв левые производные функторы правого точного функтора G (B) = A ⊗ R B. То есть тензор A с проективной резольвентой B и гомологии. Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной резольвенты и что обе конструкции дают одни и те же группы Tor. Более того, для фиксированного кольца R Tor является функтором по каждой переменной (от R-модулей до абелевых групп).

Для коммутативного кольца R и R-модулей A и B Tor. i(A, B) является R-модулем (используя, что A ⊗ R B является R- модуль в этом случае). Для некоммутативного кольца R Tor. i(A, B), вообще говоря, всего лишь абелева группа. Если R - алгебра над кольцом S (что, в частности, означает, что S коммутативна), то Tor. i(A, B) является по крайней мере S-модулем.

Свойства

Вот некоторые из основных свойств и вычислений групп Tor.

Tor. 0(A, B) ≅ A ⊗ R B для любой правый R-модуль A и левый R-модуль B.

Tor. i(A, B) = 0 для всех i>0, если A или B является плоским (например, бесплатно ) как R-модуль. Фактически, можно вычислить Tor, используя плоское разрешение A или B; это более общее, чем проективное (или свободное) разрешение.

Имеется обратное к предыдущему утверждению:
- Если Tor. 1(A, B) = 0 для всех B, то A плоский (и, следовательно, Tor. i(A, B) = 0 для всех i>0).
- Если Tor. 1(A, B) = 0 для всех A, то B плоский (и, следовательно, Tor. i(A, B) = 0 для всех i>0).

По общим свойствам производных функторов любая короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 правой R-модули индуцируют длинную точную последовательность вида

⋯ → Tor 2 R ⁡ (M, B) → Tor 1 R ⁡ (K, B) → Tor 1 R ⁡ (L, B) → Tor 1 R ⁡ (M, B) → K ⊗ RB → L ⊗ RB → M ⊗ RB → 0, {\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {Tor} _ {2} ^ {R} (M, B) \ to \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (K, B) \ to \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (L, B) \ to \ operatorname {Tor} _ { 1} ^ {R} (M, B) \ to K \ otimes _ {R} B \ to L \ otimes _ {R} B \ to M \ otimes _ {R} B \ to 0,}

{\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {Tor} _ {2} ^ {R} (M, B) \ to \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (K, B) \ to \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (L, B) \ to \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, B) \ to K \ otimes _ {R} B \ to L \ otimes _ {R} B \ to M \ otimes _ {R} B \ to 0,}

для любой левый R-модуль B. Аналогичная точная последовательность верна и для Tor относительно второй переменной.

Симметрия: для коммутативного rin g R существует естественный изоморфизм Tor. i(A, B) ≅ Tor. i(B, A). (Для коммутативного R нет необходимости различать левый и правый R-модули.)

Если R является коммутативным кольцом и u в R не является делителем нуля, то для любого R- модуль B,

Tor i R ⁡ (R / (u), B) ≅ {B / u B i = 0 B [u] i = 1 0 иначе {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (R / (u), B) \ cong {\ begin {cases} B / uB i = 0 \\ B [u] i = 1 \\ 0 {\ text {else}} \ end {cases}} }

{\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (R / (u), B) \ cong {\ begin {case} B / uB i = 0 \\ B [u] i = 1 \\ 0 {\ text {else}} \ end {cases}}}

где

B [u] = {x ∈ B: ux = 0} {\ displaystyle B [u] = \ {x \ in B: ux = 0 \}}

{\ displaystyle B [ u] = \ {x \ in B: ux = 0 \}}

- u- торсионная подгруппа B. Это объяснение названия Tor. Принимая R за кольцо

Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}

\ mathbb {Z}

целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления

Tor 1 Z ⁡ (A, B) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (A, B)}

{\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (A, B)}

для любой конечно порожденной абелевой группы A.

Обобщая предыдущий пример, можно вычислить Tor группы, которые включают фактор коммутативного кольца по любой регулярной последовательности, используя комплекс Кошуля. Например, если R - кольцо полиномов k [x 1,..., x n ] над полем k, то $Tor ∗ R ⁡ (k, k) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ - это внешняя алгебра над k на n образующих в Tor 1.

$Tor i Z ⁡ (A, B) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {\ mathbb {Z}} (A, B) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {\ mathbb {Z}} ( A, B) = 0}$ для всех i ≥ 2. Причина: каждая абелева группа A имеет свободное разрешение длины 1, так как каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой.

Для любого кольцо R, Tor сохраняет прямые суммы (возможно, бесконечные) и фильтрованные копределы в каждой переменной. Например, в первой переменной это означает, что

Tor i R ⁡ (⨁ α M α, N) ≅ ⨁ α Tor i R ⁡ (M α, N) Tor i R ⁡ (lim → α ⁡ M α, N) ≅ lim → α ⁡ Tor я р ⁡ (M α, N) {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) \ cong \ bigoplus _ {\ alpha} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} \ left (\ varinjlim _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) \ cong \ varinjlim _ {\ alpha} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M _ {\ alpha}, N) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) \ cong \ bigoplus _ {\ alpha} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} \ left (\ varinjlim _ {\ alpha} M_ {\ alpha}, N \ right) \ cong \ varinjlim _ {\ alpha} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M _ {\ alpha}, N) \ end {align}}}

Замена плоской базы: для коммутативной плоской R-алгебры T, R-модулей A и B и целого числа i,

T ori R (A, B) RT ≅ T ori T (A ⊗ RT, B ⊗ RT). {\ displaystyle \ mathrm {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) \ otimes _ {R} T \ cong \ mathrm {Tor} _ {i} ^ {T} (A \ otimes _ {R } T, B \ otimes _ {R} T).}

{\ display стиль \ mathrm {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) \ otimes _ {R} T \ cong \ mathrm {Tor} _ {i} ^ {T} (A \ otimes _ {R} T, B \ otimes _ {R} T).}

Отсюда следует, что Tor коммутирует с локализацией. То есть для мультипликативно замкнутого множества S в R,

S - 1 Tor i R ⁡ (A, B) ≅ Tor i S - 1 R ⁡ (S - 1 A, S - 1 Б). {\ displaystyle S ^ {- 1} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) \ cong \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {S ^ {- 1} R} \ left (S ^ {- 1} A, S ^ {- 1} B \ right).}

{\ displaystyle S ^ {- 1} \ имя оператора {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) \ cong \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {S ^ {- 1} R} \ left (S ^ {- 1} A, S ^ {- 1} B \ right).}

Для коммутативного кольца R и коммутативных R-алгебр A и B Tor. *(A, B) имеет структуру градуированной коммутативной алгебры над R. Более того, элементы нечетной степени в алгебре Tor имеют нулевой квадрат, и есть операции деленной степени над элементами положительной четной степени.

Важные частные случаи

Гомология группы определяется следующим образом: $H ∗ (G, M) = Tor ∗ Z [G] ⁡ (Z, M), {\ displaystyle H _ {*} (G, M) = \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {\ mathbb {Z} [G]} (\ mathbb {Z}, M),}$ ${\ displaystyle H _ {*} (G, M) = \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {\ mathbb {Z} [G]} (\ mathbb {Z}, M),}$ где G - группа, M - представление группы G над целыми числами, а $Z [G] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$ - групповое кольцо группы G.

Для алгебры A над полем k и A- бимодуля M, гомология Хохшильда определяется как

HH ∗ (A, M) = Tor ∗ A ⊗ k A op ⁡ (A, M). {\ displaystyle HH _ {*} (A, M) = \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {A \ otimes _ {k} A ^ {\ text {op}}} (A, M).}

{\ displaystyle HH _ {*} (A, M) = \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {A \ otimes _ {k} A ^ {\ text {op}}} (A, M).}

Гомология алгебры Ли определяется следующим образом: $H ∗ (g, M) = Tor ∗ U g ⁡ (R, M) {\ displaystyle H _ {*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {U {\ mathfrak {g}}} (R, M)}$ ${\ displaystyle H _ {*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {U {\ mathfrak {g}}} (R, M)}$ , где $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ - это алгебра Ли над коммутативным кольцом R, M - $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -модуль, и $U g {\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$ $U {\ mathfrak g}$ - это универсальная обертывающая алгебра.

Для коммутативного кольца R с гомоморфизмом на поле k, $Tor ∗ R ⁡ (k, k) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ является градуированной коммутативной алгеброй Хопфа над k. (Если R является локальным нётеровым кольцом с полем вычетов k, то двойственная алгебра Хопфа к $Tor ∗ R ⁡ (k, k) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ равно Ext. R(k, k).) В качестве алгебры $Tor ∗ R ⁡ (k, k) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ - это свободная градуированно-коммутативная алгебра разделенных степеней в градуированном векторном пространстве π * (R). Когда k имеет характеристику ноль, π * (R) может быть идентифицировано с гомологией Андре-Квиллена D*(k / R, k).

См. также

Примечания

Литература

Аврамов, Лучезар ; Гальперин, Стивен (1986), «В зеркало: словарь между теорией рациональной гомотопии и локальной алгеброй», в J.-E. Роос (ред.), Алгебра, алгебраическая топология и их взаимодействия (Стокгольм, 1983), Конспект лекций по математике, 1183, Springer Nature, стр. 1-27, doi : 10.1007 / BFb0075446, ISBN 978-3-540-16453-1, MR 0846435
Картан, Анри ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04991-2, MR 0077480
Чех, Эдуард (1935), «Les groupes de Betti d'un complexe infini» (PDF), Fundamenta Mathematicae, 25: 33–44, doi : 10.4064 / fm-25-1-33-44, JFM 61.0609.02
Гулликсен, Тор; Левин, Герсон (1969), Гомологии локальных колец, Документы Королевы по чистой и прикладной математике, 20, Королевский университет, MR 0262227
Quillen, Daniel (1970), «О (ко-) гомологии коммутативных колец », Приложения категориальной алгебры, Proc. Symp. Pure Mat., 17, Американское математическое общество, стр. 65–87, MR 0257068
Шёдин, Гуннар (1980), «Алгебры Хопфа и их выводы», Journal of Algebra, 64: 218–229, doi : 10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-X, MR 0575792
Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.
Вейбель, Чарльз (1999), «История гомологической алгебры», История топологии (PDF), Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, MR 1721123

Внешние ссылки

Авторы проекта Stacks, Проект Stacks