Теорема об универсальном коэффициенте

В алгебраической топологии, теоремы об универсальных коэффициентах устанавливают отношения между группами гомологий (или группами когомологий) с разными коэффициентами. Например, для каждого топологического пространства X его целые группы гомологий:

Hi(X; Z)

полностью определяют его группы гомологий с коэффициентами в A для любой абелевой группы A :

Hi(X; A)

Здесь H i может быть симплициальной гомологией или, в более общем смысле, сингулярной гомологией : сам результат чистый кусок гомологической алгебры о цепных комплексах из свободных абелевых групп. Форма результата такова, что другие коэффициенты A могут быть за счет использования функтора Tor.

. Например, обычно A принимается равным Z/2Z, так что коэффициенты вычисляются по модулю 2. Это становится простым при отсутствии кручения 2- в гомологии. В общем, результат указывает на взаимосвязь, которая выполняется между числами Бетти biв X и числами Бетти b i, F с коэффициентами в поле F. Они могут различаться, но только если характеристика F является простым числом p, для которого в гомологиях есть p-кручение.

• 1 Формулировка случая гомологии
• 2 Теорема об универсальном коэффициенте для когомологий
• 3 Пример: когомологии по модулю 2 реального проективного пространства
• 4 Следствия
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Рассмотрим тензорное произведение модулей Hi(X; Z ) ⊗ A. Теорема утверждает существует короткая точная последовательность, содержащая функтор Tor

$0\; \to \; H\; i\; (X;\; Z)\; \otimes \; A\; \to \; \mu \; H\; i\; (X;\; A)\; \to \; Tor\; 1\; \; (H\; i\; -\; 1\; (X;\; Z),\; A)\; \to \; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\; \backslash \; к\; H\_\; \{i\}\; (X;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; otimes\; A\; \backslash ,\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash ,\; H\_\; \{i\}\; (X;\; A)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Tor\}\; \_\; \{1\}\; (H\_\; \{i-1\}\; (X;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}),\; A)\; \backslash \; to\; 0.\}$

Кроме того, это последовательность разделяет, хотя и не естественно. Здесь μ - отображение, индуцированное билинейным отображением H i (X; Z ) × A → H i (X; A).

Если кольцо коэффициентов A равно Z/pZ, это частный случай спектральной последовательности Бокштейна.

Пусть G - модуль над область главного идеала R (например, Z или поле.)

Существует также теорема об универсальном коэффициенте для когомологии, включающая Ext функтор, который утверждает, что существует естественная короткая точная последовательность

$0\; \to \; Ext\; R\; 1\; \; (H\; i\; -\; 1\; (X;\; R),\; G)\; \to \; H\; i\; (X;\; G)\; \to \; h\; Hom\; Р\; \; (ЧАС\; я\; (X;\; R),\; G)\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Ext\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{1\}\; (H\_\; \{i-1\}\; (X;\; R),\; G)\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{i\}\; (X;\; G)\; \backslash ,\; \{\backslash \; overset\; \{h\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_\; \{R\}\; (H\_\; \{i\}\; (X;\; R),\; G)\; \backslash \; to\; 0.\}$

Как и в случае гомологии, последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

На самом деле, предположим, что

$H\; i\; (X;\; G)\; =\; ker\; \; \partial \; i\; \otimes \; G\; /\; im\; \; \partial \; i\; +\; 1\; \otimes \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{i\}\; (X;\; G)\; =\; \backslash \; ker\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; G\; /\; \backslash \; operatorname\; \{im\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; otimes\; G\}$

и определите:

$H\; \ast \; (X;\; G)\; =\; ker\; \; (Hom\; \; (\partial ,\; G))\; /\; im\; \; (Hom\; \; (\partial ,\; G)).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; (X;\; G)\; =\; \backslash \; ker\; (\backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (\backslash \; partial,\; G))\; /\; \backslash \; operatorname\; \{im\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (\backslash \; partial,\; G)).\}$

Тогда h выше - это каноническое отображение:

$h\; ([f])\; ([x])\; =\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ([f])\; ([x])\; =\; f\; (x).\}$

Альтернативная точка зрения может быть основана на представлении когомологий через пространство Эйленберга – Маклейна, где map h переводит гомотопический класс отображений из X в K (G, i) в соответствующий гомоморфизм, индуцированный в гомологиях. Таким образом, пространство Эйленберга – Маклейна является слабым правым , сопряженным с гомологическим функтором.

Пусть X = P(R), вещественное проективное пространство. Мы вычисляем особые когомологии X с коэффициентами в R = Z/2Z.

Зная, что целочисленные гомологии задаются следующим образом:

У нас есть Ext (R, R) = R, Ext (Z, R) = 0, так что приведенные выше точные последовательности дают

$\forall \; i\; =\; 0,\dots ,\; n:\; H\; я\; (Х;\; R)\; =\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; i\; =\; 0,\; \backslash \; ldots,\; n:\; \backslash \; qquad\; \backslash \; H\; ^\; \{i\}\; (X;\; R)\; =\; R.\}$

Фактически общая структура кольца когомологий

$H\; \ast \; (X;\; R)\; =\; R\; [w]\; /\; ⟨wn\; +\; 1⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; (X;\; R)\; =\; R\; [w]\; /\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; w\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\}$

Частный случай теорема вычисляет интегральные когомологии. Для конечного CW-комплекса X, H i (X; Z ) конечно порожден, и поэтому мы имеем следующее разложение.

$H\; i\; (X;\; Z)\; \cong \; Z\; \beta \; я\; (Икс)\; \oplus \; T\; я,\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\_\; \{я\}\; (X;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; ^\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; (X)\}\; \backslash \; oplus\; T\_\; \{\; i\},\}$

где β i (X) - это числа Бетти из X и $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}$- торсионная часть $H\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{i\}\}$. Можно проверить, что

$Hom\; \; (H\; i\; (X),\; Z)\; \cong \; Hom\; \; (Z\; \beta \; i\; (X),\; Z)\; \oplus \; Hom\; \; (T\; i,\; Z)\; \cong \; Z\; \beta \; i\; (X),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (H\_\; \{i\}\; (X),\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\}\; ^\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; (X)\},\; \backslash \; mathbf\; \{\; Z\})\; \backslash \; oplus\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (T\_\; \{i\},\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; ^\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; (X)\},\}$

и

$Ext\; \; (H\; i\; (X),\; Z)\; \cong \; Ext\; \; (Z\; \beta \; i\; (X),\; Z)\; \oplus \; Ext\; \; (T\; i,\; Z)\; \cong \; T\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ext\}\; (H\_\; \{i\}\; (X),\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Ext\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\}\; ^\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; (X)\},\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; oplus\; \backslash \; operatorname\; \{Ext\}\; (T\_\; \{i\},\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; T\_\; \{i\}.\}$

Это дает следующее утверждение для целочисленных когомологий:

$H\; i\; (\; X;\; Z)\; \cong \; Z\; \beta \; i\; (X)\; \oplus \; T\; i\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; ^\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; (X)\}\; \backslash \; oplus\; T\_\; \{i-1\}.\}$

Для X ориентируемое, замкнутое и связное n- многообразие, это следствие в сочетании с двойственностью Пуанкаре дает, что β i (X) = β n-i (X).

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология, Cambridge University Press, Кембридж, 2002. ISBN 0-521-79540- 0. Современное геометрическое введение в алгебраическую топологию. Книга доступна бесплатно в форматах PDF и PostScript на домашней странице автора.
• Kainen, P.C. (1971). «Слабые сопряженные функторы». Mathematische Zeitschrift. 122 : 1–9. doi : 10.1007 / bf01113560. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | coauthors =()

• Universal Теорема о коэффициентах с кольцевыми коэффициентами