Плоский морфизм

редактировать

В математике, в частности в теории схем в алгебраике geometry, плоский морфизм f из схемы X в схему Y - это такой морфизм, что индуцированное отображение на каждом стержне является плоским отображением колец, т. е.

е P: OY, f (P) → OX, P {\ displaystyle f_ {P}: {\ mathcal {O}} _ {Y, f (P)} \ to {\ mathcal {O}} _ { X, P}}

{\ displaystyle f_ {P}: {\ mathcal {O}} _ { Y, f (P)} \ to {\ mathcal {O}} _ {X, P}}

- это плоское отображение для всех P в X. Отображение колец A → B называется плоским, если это гомоморфизм, который делает B плоским А-модуль. Морфизм схем называется точно плоским, если он одновременно сюръективен и плоский.

Две основные интуиции относительно плоских морфизмов:

плоскостность - это общее свойство ; и
нарушение плоскостности происходит на скачкообразном множестве морфизма.

Первое из них происходит от коммутативной алгебры : с учетом некоторых на f, можно показать, что там - непустая открытая подсхема Y ′ схемы Y такая, что f, ограниченная на Y ′, является плоским морфизмом (общая плоскостность ). Здесь «ограничение» интерпретируется посредством волоконного произведения схем, примененного к f, и карты включения Y 'в Y.

Для второго, Идея состоит в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут иметь разрывы, которые обнаруживаются с помощью плоскостности. Например, операция продувки в бирациональной геометрии на алгебраической поверхности может дать одиночное волокно размерности 1, когда все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскостность морфизмов напрямую связана с контролем такого рода полунепрерывности или одностороннего прыжка.

Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоских топосов и плоских когомологий пучков из них. Это глубокая теория, с которой нелегко справиться. Концепция этального морфизма (и, следовательно, этальных когомологий ) зависит от концепции плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечным типом и неразветвленным.

Содержание

1 Примеры / не примеры
2 Свойства плоских морфизмов
- 2.1 Основные свойства
- 2.2 Топологические свойства
- 2.3 Плоскостность и размерность
- 2.4 Свойства спуска
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Примеры / не примеры

Рассмотрим аффинную схему

Spec ⁡ (C [x, y, t] x 2 + y 2 - t) → Spec ⁡ (С [t]) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} \ right) \ to \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [t])}

{\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} \ right) \ to \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [t])}

, индуцированный очевидным морфизмом алгебр

{C [t] → C [x, y, t] x 2 + Y 2 - tt ↦ T {\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {C} [t] \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} \\ t \ mapsto t \\\ end {cases}}}

{ \ Displaystyle {\ begin {case} \ mathbb {C} [t] \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} \\ t \ mapsto t \\\ end {case}}}

Так как доказательство плоскостности этого морфизма сводится к вычислению

Tor 1 C [t] (C [x, y, t] Икс 2 + Y 2 - T, C), {\ displaystyle {\ text {Tor}} _ {1} ^ {\ mathbb {C} [t]} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}}, \ mathbb {C} \ right),}

{\ displaystyle {\ text {Tor}} _ {1} ^ {\ mathbb {C} [t]} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}}, \ mathbb {C} \ right),}

мы разрешаем комплексные числа

0 → C [t] → ⋅ t C [t] → 0 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 → 0 → C → 0 {\ displaystyle {\ begin {array} {lcccc} 0 \ to \ mathbb {C} [t] {\ xrightarrow {\ cdot t}} \ mathbb {C} [t] \ to 0 \\\ downarrow \ downarrow \ downarrow \ downarrow \\ 0 \ to 0 \ to \ mathbb {C} \ to 0 \\\ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcccc} 0 \ в \ mathbb {C} [t] {\ xrightarrow {\ cdot t}} \ mathbb {C} [t] \ to 0 \\\ downarrow \ downarrow \ downarrow \ downarrow \\ 0 \ to 0 \ to \ mathbb {C} \ to 0 \\\ end {array}}}

и тензор от модуля, представляющего нашу схему, дающий последовательность $C [t] {\ displaystyle \ mathbb {C} [t]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C } [t]}$ -модули

0 → C [x, y, t] x 2 + y 2 - t → ⋅ t C [x, y, t] x 2 + y 2 - t → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} {\ xrightarrow {\ cdot t}} {\ frac {\ mathbb {C } [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} {\ xrightarrow {\ cdot t}} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ { 2} -t}} \ к 0}

Поскольку t не является делителем нуля, мы имеем тривиальное ядро, следовательно, группа гомологий обращается в нуль.

Другие примеры плоских морфизмов можно найти, используя «чудо-плоскостность», которая утверждает, что если у вас есть морфизм $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ между схемой когена-маколея и регулярной схемой с равноразмерными слоями она плоская. Простыми примерами этого являются эллиптические расслоения, гладкие морфизмы и морфизмы в стратифицированные многообразия, которые удовлетворяют чудо-плоскостности на каждом из слоев.

Простым не примером плоского морфизма является $k [ε] = k [x] / (x 2) → k. {\ displaystyle k [\ varepsilon] = k [x] / (x ^ {2}) \ to k.}$ ${\ displaystyle k [\ varepsilon] = k [x] / (x ^ {2}) \ to k.}$ Это потому, что если мы вычислим $k ⊗ k [ε] L k, {\ displaystyle k \ otimes _ {k [\ varepsilon]} ^ {\ mathbf {L}} k,}$ ${\ displaystyle k \ otimes _ {k [\ varepsilon]} ^ {\ mathbf {L}} k,}$ мы должны взять плоское разрешение k,

⋯ → ⋅ ε k [ ε] → ⋅ ε К [ε] → ⋅ ε К [ε] → к {\ Displaystyle \ cdots ~ {\ xrightarrow {{\ overset {} {\ cdot}} \ varepsilon}} ~ k [\ varepsilon] ~ { \ xrightarrow {\ cdot \ varepsilon}} ~ k [\ varepsilon] {\ xrightarrow {\ cdot \ varepsilon}} k [\ varepsilon] \ to k}

{\ displaystyle \ cdots ~ {\ xrightarrow {{\ overset {} {\ cdot}} \ varepsilon}} ~ k [\ varepsilon] ~ {\ xrightarrow {\ cdot \ varepsilon }} ~ k [\ varepsilon] {\ xrightarrow {\ cdot \ varepsilon}} k [\ varepsilon] \ to k}

и тензорном разрешении с k, мы находим, что

К ⊗ К [ε] L К ≃ ⨁ я знак равно 0 ∞ К [+ я] {\ Displaystyle к \ otimes _ {к [\ varepsilon]} ^ {\ mathbf {L}} к \ simeq \ bigoplus _ {я = 0} ^ {\ infty} k [+ i]}

{\ displaystyle k \ otimes _ {k [\ varepsilon]} ^ {\ mathbf {L} } к \ simeq \ bigoplus _ {я = 0} ^ {\ infty} к [+ я]}

показывает, что морфизм не может быть плоским. Другой не пример плоского морфизма - это раздутие, поскольку плоский морфизм обязательно имеет равномерные слои.

Свойства плоских морфизмов

Пусть f: X → Y - морфизм схем. Для морфизма g: Y '→ Y, пусть X' = X × Y Y 'и f' = (f, 1 Y '): X' → Y '. f является плоским тогда и только тогда, когда для каждого g откат $f ′ ∗ {\ displaystyle f '^ {*}}$ $f'^{*}$ является точным функтором из категории квазикогерентных $OY ′ {\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y '}}$ ${\mathcal {O}}_{{Y'}}$ -модули в категорию квазикогерентных $OX ′ {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X '}}$ ${\mathcal {O}}_{{X'}}$ -modules.

Предположим, что f: X → Y и g: Y → Z - морфизмы схем и f плоский в x в X. Тогда g плоский в f ( x) тогда и только тогда, когда gf плоский в x. В частности, если f строго плоский, то g плоский или точно плоский тогда и только тогда, когда gf плоский или точно плоский, соответственно.

Основные свойства

Композиция двух плоских морфизмов плоская.
Волокнистое произведение двух плоских или строго плоских морфизмов представляет собой плоский или строго плоский морфизм, соответственно.
Плоскостность и точная плоскостность сохраняются за счет замены основания: если f плоский или точно плоский и g : Y ′ → Y, то расслоенное произведение f × g: X × Y Y ′ → Y ′ является плоским или строго плоским соответственно.
Множество точек, в которых морфизм (
Если f строго плоский и конечного представления, и если gf конечного типа или конечного представления, то g имеет конечный тип или конечное представление, соответственно.

Предположим, что f: X → Y - плоский морфизм схем.

Если F - квазикогерентный пучок конечного представления на Y (в частности, если F когерентно), и если J - аннулятор F на Y, то $f ∗ J → OX {\ displaystyle f ^ {*} J \ to {\ mathcal {O}} _ {X}}$ $f ^ {*} J \ to {\ mathcal {O}} _ {X}$ , откат карты включения, является инъекцией, а изображение $f ∗ J {\ displaystyle f ^ {*} J}$ ${\ displaystyle f ^ {*} J}$ в $OX {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ mathcal {O}} _ {X}$ - аннигилятор $f ∗ F { \ displaystyle f ^ {*} F}$ ${\ displaystyle f ^ {*} F}$ на X.
Если f точно плоский и если G квазикогерентный $OY {\ displaystyle {\ mathcal {O} } _ {Y}}$ ${\ mathcal {O}} _ {Y}$ -модуль, затем отображение отката на глобальных участках $Γ (Y, G) → Γ (X, f ∗ G) {\ displaystyle \ Gamma (Y, G) \ to \ Gamma (X, f ^ {*} G)}$ $\ Gamma (Y, G) \ to \ Gamma (X, f ^ {*} G)$ инъективно.

Предположим, что h: S ′ → S плоский. Пусть X и Y - S-схемы, а X ′ и Y ′ - замена их базы на h.

Если f: X → Y квазикомпактен и доминантен, то его замена базы f ′: X ′ → Y ′ квазикомпактна и доминантна.
Если h строго плоский, то обратный образ map Hom S (X, Y) → Hom S ′ (X ′, Y ′) инъективно.
Предположим, что f: X → Y квазикомпактен и квази-разделенные. Пусть Z - замкнутый образ X и j: Z → Y - каноническая инъекция. Тогда замкнутая подсхема, определяемая заменой базы j ′: Z ′ → Y ′, является замкнутым образом X ′.

Топологические свойства

Если f: X → Y плоская, то она обладает всеми следующие свойства:

Для каждой точки x точки X и каждой генерализации y ′ точки y = f (x) существует обобщение x ′ точки x такое, что y ′ = f (x ′).
Для каждой точки x из X $f (Spec ⁡ OX, x) = Spec ⁡ OY, f (x) {\ displaystyle f (\ operatorname {Spec} {\ mathcal {O}} _ {X, x }) = \ operatorname {Spec} {\ mathcal {O}} _ {Y, f (x)}}$ ${\ displaystyle f (\ operatorname {Spec} {\ mathcal {O}} _ {X, x}) = \ operatorname {Spec} {\ mathcal {O}} _ {Y, f (x)}}$ .
Для любого неприводимого замкнутого подмножества Y ′ в Y каждая неприводимая компонента f (Y ′) доминирует над Y ′.
Если Z и Z ′ - два неприводимых замкнутых подмножества Y, причем Z содержится в Z ′, то для любой неприводимой компоненты T множества f (Z) существует неприводимая компонента T ′ множества f (Z ′), содержащий T.
Для любой неприводимой компоненты T множества X замыкание f (T) является неприводимой компонентой Y.
Если Y неприводимо с общей точкой y, и если f (y) неприводимо, то X неприводимо le.
Если f также замкнуто, образ каждого связного компонента X является связным компонентом Y.
Для каждого про-конструируемого подмножества Z Y, $f - 1 (Z ¯) = е - 1 (Z) ¯ {\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ bar {Z}}) = {\ overline {f ^ {- 1} (Z)}}}$ $f ^ {{- 1}} ({\ bar Z}) = \ overline {f ^ {{- 1}} (Z)}$ .

Если f плоская и локально конечного представления, то f универсально открыта. Однако, если f строго плоский и квазикомпактный, то, вообще говоря, неверно, что f открыто, даже если X и Y нётеровы. Более того, обратное к этому утверждению не имеет места: если f является каноническим отображением редуцированной схемы X red в X, то f является универсальным гомеоморфизмом, но для нередуцированного и нётерова X f никогда не является плоским..

Если f: X → Y строго плоский, то:

Топология на Y является фактор-топологией относительно f.
Если f также квазикомпактный, и если Z является подмножеством Y, то Z является локально замкнутым про-конструктивным подмножеством Y тогда и только тогда, когда f (Z) является локально замкнутым про-конструктивным подмножеством X.

Если f является плоским и локально конечным представлением, то для каждого из следующих свойств P открыто множество точек, где f имеет P :

условие Серра S k (для любого фиксированного k).
Геометрически правильный.
Геометрически нормальный.

Если дополнительно f является правильным, то то же самое верно для каждого из следующих свойств:

Геометрически уменьшено.
Геометрически редуцированный и имеющий k геометрических компонент связности (для любого фиксированного k).
Geom теоретически целочислен.

Плоскостность и размерность

Предположим, что X и Y локально нётеровы, и пусть f: X → Y.

Пусть x - точка X и y = f (x). Если f плоский, то dim x X = dim y Y + dim x f (y). И наоборот, если это равенство выполняется для всех x, X Коэна – Маколея, а Y регулярный, и, кроме того, f отображает замкнутые точки в замкнутые точки, то f является плоским.
Если f строго плоский, то для каждого замкнутого подмножества Z Y, codim Y (Z) = codim X (f (Z)).
Предположим, что f плоский и F - квазикогерентный модуль над Y. Если F имеет проективную размерность не более n, то $f ∗ F {\ displaystyle f ^ {*} F}$ ${\ displaystyle f ^ {*} F}$ имеет проективная размерность не более n.

Свойства спуска

Предположим, что f является плоским в точке x в X. Если X уменьшен или нормален в точке x, то Y уменьшен или нормален, соответственно, в точке f (x). И наоборот, если f также имеет конечное представление и f (y) редуцирована или нормальна, соответственно, в x, то X уменьшена или нормальна, соответственно, в x.
В частности, если f точно плоский, то X редуцированный или нормальный означает, что Y редуцированный или нормальный соответственно. Если f строго плоский и имеет конечное представление, то все слои f редуцированы или нормальны, что означает, что X редуцированный или нормальный, соответственно.
Если f плоский в x в X, и если X целое или интегрально замкнуто в x, то Y цело или интегрально замкнуто, соответственно, в f (x).
Если f точно плоский, X локально целочислен, а топологическое пространство Y локально нётерово, то Y является локально целым.
Если f точно плоский и квазикомпактный, и если X локально нётерово, то Y также локально нётерово.
Предположим, что f плоский, а X и Y локально Нётериан. Если X регулярно в x, то Y регулярно в f (x). Наоборот, если Y регулярен в f (x) и f (f (x)) регулярен в x, то X регулярен в x.
Предположим, что f плоский, а X и Y локально нётеровы. Если X нормален в x, то Y нормален в f (x). Наоборот, если Y нормален в f (x) и f (f (x)) нормален в x, то X нормален в x.

Пусть g: Y ′ → Y строго плоский. Пусть F - квазикогерентный пучок на Y, и пусть F ′ - обратный образ F на Y ′. Тогда F плоский над Y тогда и только тогда, когда F ′ плоский над Y ′.

Предположим, что f строго плоский и квазикомпактный. Пусть G - квазикогерентный пучок на Y, и пусть F обозначает его обратный путь к X. Тогда F конечного типа, конечного представления или локально не имеет ранга n тогда и только тогда, когда G обладает соответствующим свойством.

Предположим, что f: X → Y - S-морфизм S-схем. Пусть g: S ′ → S строго плоский и квазикомпактный, и пусть X ′, Y ′ и f ′ обозначают замену базы через g. Затем для каждого из следующих свойств P, если f 'имеет P, тогда f имеет P.

Open.
Closed.
Quasi -компакт и гомеоморфизм на его образ.
Гомеоморфизм.

Кроме того, для каждого из следующих свойств P, f имеет P тогда и только тогда, когда f 'имеет P.

универсально открытый.
универсально закрытый.
универсальный гомеоморфизм.
квазикомпактный.
квазикомпактный и доминантный.
Квазикомпактный и универсально двунепрерывный.
Разделенный.
Квази-разделенный.
Локально конечного типа.
Локально из Конечное представление.
Конечное представление.
Конечное представление.
Собственное.
Изоморфизм.
Мономорфизм.
Открытое погружение.
Квази-компактное погружение.
Закрытое погружение.
Аффинное.
Квазиаффинное.
Finite.
Quasi-finite.
Integral.

Для f 'может быть локальный изоморфизм, даже если f не является даже локальным погружением.

Если f квазико mpact и L - обратимый пучок на X, то L является f-обильным или f-очень обильным тогда и только тогда, когда его подъём L ′ является f′-обильным или f′-очень обильным, соответственно. Однако неверно, что f проективен тогда и только тогда, когда f ′ проективен. Неверно даже, что если f собственно, а f ′ проективно, то f квазипроективно, потому что на X ′ может быть f′-обильный пучок, который не спускается до X.

См. Также

морфизм fpqc
Относительный эффективный делитель Картье, пример плоского морфизма
Вырождение (алгебраическая геометрия)

Примечания

Ссылки

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978- 0-387-94268-1, MR 1322960, ISBN 978-0-387-94269-8, раздел 6.
Серр, Жан-Пьер (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Annales de l'Institut Fourier, 6: 1–42, doi : 10.5802 / aif.59, ISSN 0373-0956, MR 0082175
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi : 10.1007 / bf02684778. MR 0217083.
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). "Элементы альгебриков: IV. Локальный этюд схемов и морфизмов, вторая партия". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi : 10.1007 / bf02684322. MR 0199181.
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). "Элементы альгебриковой геометрии: IV. Локальный этюд схемов и морфизмов схемов, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi : 10.1007 / bf02684343. MR 0217086.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157