Этальный морфизм

редактировать

В алгебраической геометрии, этальна морфизм ( французский: [идр] ) морфизм схем, который формально этальна и локально конечной презентации. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в комплексной аналитической топологии. Они удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции, но поскольку открытые множества в топологии Зарисского настолько велики, они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, этальные отображения сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны при определении алгебраической фундаментальной группы и этальной топологии.

Слово étale - французское прилагательное, которое означает «слабый», как в «слабом приливе», или, образно говоря, спокойный, неподвижный, что-то, что нужно уладить.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 свойства
4 Теорема об обратной функции
5 См. Также
6 Ссылки
7 Библиография

Определение

Пусть - гомоморфизм колец. Это делает в алгебру. Выберите унитарный многочлен в и полином в таком, что производная от является единицей. Мы говорим, что это стандартная эталь, если и может быть выбрана так, чтобы она была изоморфна как -алгебра и была каноническим отображением. ${\ displaystyle \ phi: R \ to S}$ $\ phi: R \ в S$ ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle R [х]}$ $R [x]$ ${\ displaystyle g}$ $г$ ${\ Displaystyle R [х]}$ $R [x]$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$ $(R [x] / fR [x]) _ {g}$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle g}$ $г$ ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$ $(R [x] / fR [x]) _ {g}$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$

Позвольте быть морфизм схем. Мы говорим, что это этально тогда и только тогда, когда она имеет какую - либо из следующих эквивалентных свойств: ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

${\ displaystyle f}$ $ж$ является плоским и неразветвленным.
${\ displaystyle f}$ $ж$ является гладким морфизмом и неразветвлен.
${\ displaystyle f}$ $ж$ плоский, локально конечного представления, и для каждого in слой представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых является спектром конечного сепарабельного расширения поля вычетов. ${\ displaystyle y}$ $y$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$ $f ^ {- 1} (у)$ ${\ Displaystyle \ каппа (у)}$ $\ каппа (у)$
${\ displaystyle f}$ $ж$ плоский, локально конечного представления, и для любого in и каждого алгебраического замыкания поля вычетов геометрический слой представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых изоморфна. ${\ displaystyle y}$ $y$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle k '}$ $k '$ ${\ Displaystyle \ каппа (у)}$ $\ каппа (у)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) \ otimes _ {\ kappa (y)} k '}$ $f ^ {{- 1}} (y) \ otimes _ {{\ kappa (y)}} k '$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Spec}} к '}$ ${\ t_dv {Spec}} k '$
${\ displaystyle f}$ $ж$ является гладким морфизмом относительной размерности нуль.
${\ displaystyle f}$ $ж$ является гладким морфизмом и локально квазиконечным морфизмом.
${\ displaystyle f}$ $ж$ локально конечного представления и локально является стандартным этальным морфизмом, т. е.
Для каждого в, пусть. Тогда существует открытая аффинная окрестность Spec R из и аффинной окрестности открытой Spec S из таких, что F (Spec S) содержатся в Spec R и таким образом, что кольцевой гомоморфизм R → S, индуцированный является стандартным этально. ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle у = е (х)}$ $у = f (х)$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle f}$ $ж$
${\ displaystyle f}$ $ж$ локально конечного представления и формально этальна.
${\ displaystyle f}$ $ж$ локально конечного представления и формально этальна для отображений из локальных колец, то есть:
Пусть A - локальное кольцо и J - идеал кольца A такой, что J ² = 0. Установите Z = Spec A и Z 0 = Spec A / J, и пусть i : Z 0 → Z будет каноническим замкнутым погружением. Пусть z обозначает замкнутую точку Z 0. Пусть h : Z → Y и g 0 : Z 0 → X - морфизмы такие, что f ( g 0 ( z )) = h ( i ( z )). Тогда существует единственный Y -морфизм g : Z → X такой, что gi = g 0.

Предположим, что она локально нётерова, а f локально конечного типа. Для in, пусть и пусть будет индуцированное отображение на завершенных локальных кольцах. Тогда следующие эквиваленты: ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle у = е (х)}$ $у = f (х)$ ${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathcal {O}}} _ {Y, y} \ to {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x}}$ ${\ hat {{\ mathcal O}}} _ {{Y, y}} \ to {\ hat {{\ mathcal O}}} _ {{X, x}}$

${\ displaystyle f}$ $ж$ эталь.
Для каждого in индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах формально является этальным для адической топологии. ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$
Для каждого дюйма, является свободным модулем и волокно представляет собой поле, которое является конечным разъемным расширением поля вычетов поля. (Вот максимальный идеал.) ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x}}$ ${\ hat {{\ mathcal O}}} _ {{X, x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {Y, y}}$ ${\ hat {{\ mathcal O}}} _ {{Y, y}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x} / m_ {y} {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x}}$ ${\ hat {{\ mathcal O}}} _ {{X, x}} / m_ {y} {\ hat {{\ mathcal O}}} _ {{X, x}}$ ${\ Displaystyle \ каппа (у)}$ $\ каппа (у)$ ${\ displaystyle m_ {y}}$ $м_ {у}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {Y, y}}$ ${\ hat {{\ mathcal O}}} _ {{Y, y}}$
f формально этальна для отображений локальных колец со следующими дополнительными свойствами. Локальное кольцо A можно считать артиновым. Если m - максимальный идеал A, то можно считать, что J удовлетворяет mJ = 0. Наконец, морфизм на полях вычетов κ ( y ) → A / m можно считать изоморфизмом.

Если, кроме того, все отображения на полях вычетов являются изоморфизмами или если они сепарабельно замкнуты, то они этальны тогда и только тогда, когда для каждого in индуцированное отображение на завершенных локальных кольцах является изоморфизмом. ${\ Displaystyle \ каппа (у) \ к \ каппа (х)}$ $\ каппа (у) \ к \ каппа (х)$ ${\ Displaystyle \ каппа (у)}$ $\ каппа (у)$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Примеры

Любое открытое погружение является этальным, потому что это локальный изоморфизм.

Накрывающие пространства образуют примеры этальных морфизмов. Например, если в кольце обратимое целое число, то ${\ displaystyle d \ geq 1}$ ${\ displaystyle d \ geq 1}$ ${\ displaystyle R}$ $р$

{\ displaystyle {\ text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}, y] / (y ^ {d} -t)) \ to {\ text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}])}

{\ displaystyle {\ text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}, y] / (y ^ {d} -t)) \ to {\ text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}])}

является морфизмом этальной степени. ${\ displaystyle d}$ $d$

Любое разветвленное покрытие имеет неразветвленный локус ${\ displaystyle \ pi: от X \ до Y}$ $\ pi: X \ в Y$

{\ displaystyle \ pi: X_ {un} \ to Y_ {un}}

{\ displaystyle \ pi: X_ {un} \ to Y_ {un}}

который является эталоном.

Морфизмы

{\ displaystyle {\ text {Spec}} (L) \ to {\ text {Spec}} (K)}

{\ displaystyle {\ text {Spec}} (L) \ to {\ text {Spec}} (K)}

индуцированные конечными сепарабельными расширениями полей являются этальными - они образуют арифметические накрывающие пространства с группой преобразований колоды, задаваемой. ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (L / K)}$ ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (L / K)}$

Любой кольцевой гомоморфизм вида, где все являются многочленами, а определитель Якоби является единицей в, является этальным. Например, морфизм этальный и соответствует степени покрытия пространства группой преобразований колоды. ${\ Displaystyle R \ к S = R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] _ {g} / (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}$ $От R \ до S = R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] _ {g} / (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ $е_ {я}$ ${\ displaystyle \ det (\ partial f_ {i} / \ partial x_ {j})}$ $\ det (\ partial f_ {i} / \ partial x_ {j})$ ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [t, t ^ {- 1}] \ to \ mathbb {C} [x, t, t ^ {- 1}] / (x ^ {n} -t)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [t, t ^ {- 1}] \ to \ mathbb {C} [x, t, t ^ {- 1}] / (x ^ {n} -t)}$ ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ in Sch / \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ in Sch / \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п}$ $\ mathbb {Z} / п$

Продолжая предыдущий пример, предположим, что у нас есть морфизм гладких комплексных алгебраических многообразий. Поскольку задается уравнениями, мы можем интерпретировать его как карту комплексных многообразий. Всякий раз, когда якобиан ненулевого, является локальным изоморфизмом комплексных многообразий по теореме о неявной функции. В предыдущем примере иметь ненулевой якобиан - это то же самое, что быть этальным. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

Пусть - доминантный морфизм конечного типа с X, Y локально нётеровым, неприводимым и Y нормальным. Если е является неразветвленным, то этальна. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$

Для поля K любая K -алгебра A обязательно плоская. Следовательно, A является этальной алгеброй тогда и только тогда, когда она неразветвлена, что также эквивалентно

{\ displaystyle A \ otimes _ {K} {\ bar {K}} \ cong {\ bar {K}} \ oplus... \ oplus {\ bar {K}},}

Иногда _ {{K}} {\ bar {K}} \ cong {\ bar {K}} \ oplus... \ oplus {\ bar {K}},

где - сепарабельное замыкание поля K, а правая часть - конечная прямая сумма, все слагаемые которой равны. Эта характеристика этальных K -алгебр является ступенькой в переосмыслении классической теории Галуа (см . Теорию Галуа Гротендика ). ${\ displaystyle {\ bar {K}}}$ ${\лай}}$ ${\ displaystyle {\ bar {K}}}$ ${\лай}}$

Свойства

Этальные морфизмы сохраняются при изменении состава и основы.
Этальные морфизмы локальны на источнике и на основании. Другими словами, является этальным тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами ограничение на каждую из открытых подсхем покрытия является этальным, а также тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами индуцированный морфизм этален для каждой подсхемы покрытия. В частности, можно проверить свойство быть этальным на открытых аффинах. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle f _ {(U)}: X \ times _ {Y} U \ to U}$ $f _ {{(U)}}: X \ times _ {Y} U \ to U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ Displaystyle V = \ OperatorName {Spec} (B) \ to U = \ operatorname {Spec} (A)}$ $V = \ operatorname {Spec} (B) \ to U = \ operatorname {Spec} (A)$
Продукт конечного семейства этальных морфизмов этален.
Для конечного семейства морфизмов дизъюнктное объединение является этальным тогда и только тогда, когда каждый из них этален. ${\ displaystyle \ {е _ {\ alpha}: от X _ {\ alpha} \ до Y \}}$ $\ {f _ {\ alpha}: X _ {\ alpha} \ to Y \}$ ${\ displaystyle \ coprod f _ {\ alpha}: \ coprod X _ {\ alpha} \ to Y}$ $\ coprod f _ {\ alpha}: \ coprod X _ {\ alpha} \ to Y$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha}}$ $f_ \ alpha$
Пусть и, и предположим, что это неразветвленный и этальный. Тогда это эталь. В частности, если и этальны, то любой -морфизм между и этален. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$ ${\ displaystyle g: Y \ to Z}$ $g: от Y \ до Z$ ${\ displaystyle g}$ $г$ ${\ displaystyle gf}$ $gf$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X '}$ $ИКС'$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X '}$ $ИКС'$
Квазикомпактные этальные морфизмы квазиконечны.
Морфизм является открытым погружением тогда и только тогда, когда он этален и радиален. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$
Если этально и сюръективно, то (конечно или иначе). ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$ ${\ Displaystyle \ тусклый X = \ тусклый Y}$ $\ dim X = \ dim Y$

Теорема об обратной функции

Этальные морфизмы

е : X → Y

являются алгебраическим аналогом локальных диффеоморфизмов. Более точно, морфизм между гладкими многообразиями является этальным в точке тогда и только тогда, когда дифференциал между соответствующими касательными пространствами является изоморфизмом. Это, в свою очередь, именно условие, необходимое для того, чтобы карта между многообразием является локальным диффеоморфизмом, т.е. для любой точки у ∈ Y, существует открытая окрестность U от х, таких, что сужение F на U является диффеоморфизмом. Этот вывод неверен в алгебраической геометрии, потому что топология слишком грубая. Например, рассмотрим проекцию п о параболы

у = х ²

к оси Y. Этот морфизм этален во всех точках, кроме начала координат (0, 0), потому что дифференциал задается как 2 x, которое не обращается в нуль в этих точках.

Однако не существует (по Зарисскому ) локальной обратной функции f просто потому, что квадратный корень не является алгебраическим отображением и не задается полиномами. Однако есть выход из этой ситуации, используя этальную топологию. Точное утверждение таково: если является этальным и конечным, то для любой точки y, лежащей в Y, существует этальный морфизм V → Y, содержащий y в своем образе ( V можно рассматривать как этальную открытую окрестность y), таким образом, что, когда мы замена базы F до V, то (первый член будет на прообраз V по F, если V были Зарискому открытая окрестность) является конечным объединением непересекающихся открытых подмножеств изоморфно V. Другими словами, этально-локально в Y морфизм f является топологическим конечным покрытием. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$ ${\ displaystyle X \ times _ {Y} от V \ до V}$ $X \ times _ {Y} V \ to V$

Для гладкого морфизма относительной размерности n, этально-локально в X и в Y, f является открытым погружением в аффинное пространство. Это эталонный аналог структурной теоремы о субмерсиях. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {Y} ^ {n}}$ ${\ mathbb A} _ {Y} ^ {n}$

Смотрите также

Чистота (алгебраическая геометрия)

Рекомендации

Библиография

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Гротендик, Александр ; Жан Дьедонна (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрический подход algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна). IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première партии Специального ", Публикации Mathématiques де l'IHES, 20 : 5-259, DOI : 10.1007 / bf02684747, S2CID 118147570
Гротендик, Александр ; Dieudonné, Жан (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première PARTIE.", Публикации Mathématiques де l'IHES, 20 : 5-259, DOI : 10.1007 / bf02684747, S2CID 118147570
Гротендик, Александр; Dieudonné, Жан (1967), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Quatrième PARTIE.", Публикации Mathématiques де l'IHES, 32 : 5-333, DOI : 10.1007 / BF02732123, S2CID 189794756
Гротендик, Александр ; Рейно, Michèle (2003) [1971], семинария Geometrie Algébrique Дюбуа Мари - 1960-61 - Revêtements étales и др GROUPE fondamental - (SGA 1) (Документы Mathématiques 3 ), Париж: Société Mathematique - де - Франс, XVIII + 327, Arxiv : math.AG/0206203, ISBN 978-2-85629-141-2
Дж. С. Милн (1980), Étale cohomology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3
Дж. С. Милн (2008). Лекции по этальным когомологиям