Войти
В алгебраической геометрии, то этальна топология является топологией Гротендика на категории схем, который имеет свойства, аналогичные евклидовой топологии, но в отличие от евклидовой топологии, он также определяется в положительной характеристике. Этальная топология была первоначально введена Гротендиком для определения этальных когомологий, и до сих пор это наиболее известное использование этальной топологии.
Для любой схемы X, пусть ЕТ ( X ) категория всех этальных морфизмов из схемы к X. Это аналог категории открытых подмножеств X (то есть категории, объекты которой являются многообразиями, а морфизмы - открытыми погружениями ). Его объекты можно неофициально рассматривать как этальные открытые подмножества X. Пересечение двух объектов соответствует их волокнистого продукта над X. Ét ( X ) - большая категория, что означает, что ее объекты не образуют множество.
Этальна Предпучок на X является контравариантный функтор из ЕТ ( X ) в категорию множеств. Предпучок F называется этальным пучком, если он удовлетворяет аналогу обычного условия склейки пучков на топологических пространствах. То есть F является этальным пучком тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие. Предположим, что U → X является объектом ЕТ ( X ), и что U я → U является совместно сюръективны семейство этальных морфизмов над X. Для каждого i выберите секцию x i из F над U i. Отображение проекции U i × U j → U i, грубо говоря, включение пересечения U i и U j в U i, индуцирует отображение ограничения F ( U i ) → F ( U i × U j ). Если для всех i и j ограничения x i и x j на U i × U j равны, то должна существовать уникальная секция x группы F над U, которая ограничивается до x i для всех i.
Предположим, что X - нетерова схема. Абелевой этальный пучка, F на X называется конечным локально постоянным, если это представима функтор, который может быть представлен этальным покровом X. Он называется конструктивным, если X можно покрыть конечным семейством подсхем, на каждой из которых ограничение F конечно локально постоянное. Это называется кручением, если F ( U ) является группой кручения для всех этальных покрытий U от X. Конечные локально постоянные пучки являются конструктивными, а конструктивные пучки - кручением. Каждый торсионный пучок является фильтрованным индуктивным пределом конструктивных пучков.
Гротендик первоначально представил машину гротендиковых топологий и топосов определить Этальную топологию. На этом языке определение этальной топологии сжато, но абстрактно: это топология, порожденная претопологией, покрывающие семейства которой являются совместно сюръективными семействами этальных морфизмов. Небольшой этальна сайт X является категорией О ( Х ЕТ ), объекты которой являются схемы U с фиксированным этальна морфизм U → Х. Морфизмами морфизмы схем, совместимых с фиксированными карт на X. Большой этальна сайт X является категорией ЕТ / X, то есть категория схем с фиксированной картой к X, рассматриваемой с этальной топологией.
Этальную топологию можно определить с использованием немного меньшего количества данных. Во-первых, обратите внимание, что этальная топология более тонкая, чем топология Зарисского. Следовательно, чтобы определить этальное покрытие схемы X, достаточно сначала покрыть X открытыми аффинными подсхемами, т. Е. Взять покрытие Зарисского, а затем определить этальное покрытие аффинной схемы. Этальное покрытие аффинной схемы X можно определить как совместно сюръективное семейство { u α : X α → X } такое, что множество всех α конечно, каждое X α аффинно и каждое u α этальное. Тогда этальная крышка X представляет собой семейство { у amp; alpha ; : Х amp; alpha ; → X }, которая становится этальной крышкой после основания изменяется на любую открытую аффинной подсхему X.
Пусть X является схема с этальной топологией, и зафиксируем точку х из X. В топологии Зарисского слой X в точке x вычисляется путем прямого предела секций структурного пучка по всем открытым окрестностям Зарисского точки x. В этальной топологии существует строго больше открытых окрестностей точки x, поэтому правильный аналог локального кольца в точке x образуется путем перехода к пределу по строго большему семейству. Правильный аналог локального кольца в точке x для этальной топологии оказывается строгой генселизацией локального кольца. Обычно это обозначается.
![{\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} ({\ mathcal {O}} _ {X} [t, t ^ {- 1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f26c126d0795eae8bc48f0e14b1eec46a934d)