Теорема о неявной функции

Преобразование отношений в функции нескольких вещественных переменных

В математике, более конкретно в исчислении с несколькими переменными, теорема о неявной функции - это инструмент, который позволяет преобразовывать отношения в функции нескольких вещественных переменных. Это достигается путем представления отношения в виде графика функции. Может не быть единственной функции, график которой может представлять все отношение, но такая функция может существовать в ограничении области отношения. Теорема о неявной функции дает достаточное условие, чтобы гарантировать, что такая функция существует.

Точнее, учитывая систему m уравнений f i(x1,..., x n, y 1,..., y m) = 0, i = 1,..., m (часто сокращенно F (x, y) = 0), теорема утверждает, что при мягком условии на частных производных (относительно y i s) в точке, m переменных y i являются дифференцируемыми функциями x j в некоторой окрестности по сути. Поскольку эти функции, как правило, не могут быть выражены в закрытой форме, они неявно определяются уравнениями, и это послужило причиной названия теоремы.

Другими словами, при мягком условии на частные производные, набор нулей системы уравнений - это локально график функции.

Содержание

• 1 История
• 2 Первый пример
• 3 Определения
• 4 Формулировка теоремы
  • 4.1 Высшие производные
• 5 Доказательство для двумерного случая
• 6 Пример круга
• 7 Применение: изменение координат
  • 7.1 Пример: полярный координаты
• 8 Обобщения
  • 8.1 Версия в банаховом пространстве
  • 8.2 Неявные функции из недифференцируемых функций
• 9 См. также
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература

История

Августин- Луи Коши (1789–1857) приписывают первую строгую форму теоремы о неявной функции. Улисс Дини (1845–1918) обобщил версию теоремы о неявных функциях для вещественных переменных на контекст функций любого числа действительных переменных.

Первый пример

Единичный круг может быть задан как линия уровня f (x, y) = 1 функции $f\; (x,\; y)\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}.\}$Около точки A y может быть выражено как функция y (x). В этом примере эту функцию можно явно записать как $g\; 1\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\};\}$во многих случаях такого явного выражения не существует, но все же можно ссылаться на неявную функцию у (х). Такой функции не существует около точки B.

Если мы определим функцию $f\; (x,\; y)\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{\; 2\}\}$, тогда уравнение f (x, y) = 1 вырезает единичный круг как набор уровней {(x, y) | f (x, y) = 1}. Невозможно представить единичный круг как график функции одной переменной y = g (x), потому что для каждого выбора x ∈ (−1, 1) есть два варианта y, а именно $\pm \; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Однако можно представить часть круга как график функции одной переменной. Если мы положим $g\; 1\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$для −1 ≤ x ≤ 1, то график $y\; =\; g\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\_\; \{1\}\; (x)\}$дает верхнюю половину круга. Аналогично, если $g\; 2\; (x)\; =\; -\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{2\}\; (x)\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$, тогда график $y\; =\; g\; 2\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\_\; \{2\}\; (x)\}$дает нижнюю половину круга.

Цель теоремы о неявной функции - сообщить нам о существовании таких функций, как $g\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\; (x)\}$и $g\; 2\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{2\}\; (x)\}$, даже в ситуациях, когда мы не можем записать явные формулы. Он гарантирует, что $g\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\; (x)\}$и $g\; 2\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{2\}\; (x)\}$дифференцируемы, и это работает даже в ситуациях, когда у нас нет формулы для f (x, y).

Определения

Пусть $f:\; R\; n\; +\; m\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; m\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$быть непрерывно дифференцируемой функцией. Мы думаем о $R\; n\; +\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; m\}\}$как о декартовом произведении $R\; n\; \times \; R\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\},\}$и запишем точку этого продукта как $(x,\; y)\; =\; (\; x\; 1,\dots ,\; xn,\; y\; 1,\dots \; ym).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\})\; =\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\},\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; y\_\; \{m\}).\}$Начиная с заданной функции f, наша цель - построить функцию $g:\; R\; n\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\; \}$, график которого (x, g (x )) является в точности набором всех (x, y) таких, что f (x, y) = 0.

Как отмечалось выше, это не всегда возможно. Поэтому мы зафиксируем точку (a, b) = (a 1,..., a n, b 1,..., b m), который удовлетворяет f (a, b) = 0, и мы запросим ag, который работает около точки (a, b). Другими словами, нам нужен открытый набор $U\; \subset \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, содержащий a, открытое множество $V\; \subset \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$, содержащее b, и функция g: U → V такое, что график g удовлетворяет соотношению f = 0 на U × V, и что никакие другие точки в пределах U × V этого не делают. В символах

$\{(x,\; g\; (x))\; \mid \; x\; \in \; U\}\; =\; \{(x,\; y)\; \in \; U\; \times \; V\; \mid \; f\; (x,\; y)\; =\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{(\backslash \; mathbf\; \{x\},\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}))\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; in\; U\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{(\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\})\; \backslash \; in\; U\; \backslash \; times\; V\; \backslash \; mid\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \backslash \}.\}$

Чтобы сформулировать теорему о неявной функции, нам понадобится матрица Якоби функции f, которая является матрицей частных производных функции f. Сокращение (a 1,..., a n, b 1,..., b m) до (a, b) матрица Якоби имеет вид

$(D f) (a, b) = [∂ f 1 ∂ x 1 (a, b) ⋯ ∂ f 1 ∂ xn (a, b) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ fm ∂ x 1 (a, b) ⋯ ∂ fm ∂ xn (a, b) | ∂ f 1 ∂ y 1 (a, b) ⋯ ∂ f 1 ∂ y m (a, b) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ y 1 (a, b) ⋯ ∂ f m ∂ y m (a, b)] = [X | Y] {\ displaystyle (Df) (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}} } (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ cdots {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ vdots \ ddots \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ cdots {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ end {matrix}} \ right | \ left. {\ begin {matrix } {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial y_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ cdots {\ frac {\ partial f_ {1}} { \ partial y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ vdots \ ddots \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial y_ {1 }}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ cdots {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf { b}) \\\ end {matrix}} \ right] = [X | Y]}$

где X - матрица частных производных от переменных x i, а Y - матрица частичных производные по переменным y j. Теорема о неявной функции гласит, что если Y - обратимая матрица, то есть U, V и g по желанию. Запись всех гипотез вместе дает следующее утверждение.

Формулировка теоремы

Пусть $f:\; R\; n\; +\; m\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; m\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{\; R\}\; ^\; \{m\}\}$будет непрерывно дифференцируемой функцией, и пусть $R\; n\; +\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; m\}\}$имеют координаты (x, y). Зафиксируйте точку (a, b) = (a 1,..., a n, b 1,..., b m) с f (a, b) = 0, где $0\; \in \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$- нулевой вектор. Если матрица Якоби (это правая панель матрицы Якоби, показанной в предыдущем разделе):

$J\; f,\; y\; (a,\; b)\; =\; [\partial \; fi\; \partial \; yj\; (a,\; б)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\_\; \{е,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{a\},\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{j\; \}\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{a\},\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; \backslash \; right]\}$

обратимый, тогда существует открытое множество $U\; \subset \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; подмножество\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, содержащее a такое, что существует уникальная непрерывно дифференцируемая функция $g:\; U\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; U\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$так, что

$g\; (a)\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{a\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$

и

$f\; (x,\; g\; (x))\; =\; 0\; для\; всех\; x\; \in \; U.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}))\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; in\; U.\}$

Более того, частные производные g в U даются матричным произведением

$\partial \; g\; \partial \; xj\; (x)\; =\; -\; [J\; f,\; y\; (x,\; g\; (x))]\; m\; \times \; m\; -\; 1\; [\partial \; f\; \partial \; xj\; (x,\; g\; (x))]\; м\; \times \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; -\; \backslash \; left\; [J\_\; \{f,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}))\; \backslash \; right]\; \_\; \{m\; \backslash \; times\; m\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}))\; \backslash \; right]\; \_\; \{m\; \backslash \; times\; 1\}.\}$

Старшие производные

Если, кроме того, f является аналитическим или непрерывно дифференцируемым k раз в окрестности (a, b), то можно выбрать U, чтобы то же самое было верно для g внутри U. В аналитическом случае это называется теоремой об аналитической неявной функции .

Доказательство для двумерного случая

Предположим, что $F:\; R\; 2\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- непрерывно дифференцируемая функция, определяющая кривая $F\; (x,\; y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; 0.\}$Пусть $(x\; 0,\; y\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{\; 0\},\; y\_\; \{0\})\}$- точка на кривой. Утверждение теоремы выше для этого простого случая можно переписать следующим образом:

Если

$\partial \; F\; \partial \; y\; |\; (Икс\; 0,\; Y\; 0)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{(x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\}\; \backslash \; neq\; 0\}$

тогда для кривой вокруг $(x\; 0,\; y\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\}$мы можем написать $y\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x)\}$, где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- вещественная функция.

Доказательство. Поскольку F - дифференцируемые, запишем дифференциал F через частные производные:

$d\; F\; =\; grad\; \; F\; \cdot \; dx\; \to \; =\; \partial \; F\; \partial \; xdx\; +\; \partial \; F\; \partial \; ydy.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; F\; =\; \backslash \; operatorname\; \{grad\}\; F\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; partial\; F\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; +\; \{\backslash \; partial\; F\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y.\}$

Поскольку мы ограничены движением по кривой $d\; F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; F\; =\; 0\}$и по предположению $\partial \; F\; \partial \; Y\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; neq\; 0\}$вокруг точки $(x\; 0,\; у\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\}).\}$Следовательно, мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка :

$\partial \; x\; F\; dx\; +\; \partial \; y\; F\; dy\; =\; 0,\; Y\; (Икс\; 0)\; знак\; равно\; Y\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; F\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; F\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; y\; (x\_\; \{0\})\; =\; y\_\; \{0\}\}$

Теперь мы ищем решение этого ODE в открытом интервале вокруг точки $(x\; 0,\; y\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\}$, для которого в каждой точке $\partial \; y\; F\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; F\; \backslash \; neq\; 0\}$. Поскольку F непрерывно дифференцируема и по предположению

Из этого мы знаем, что $\partial \; x\; F\; \partial \; y\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; F\}\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; F\}\}\}$непрерывный и ограниченный с обоих концов. Отсюда мы знаем, что $-\; \partial \; x\; F\; \partial \; y\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; F\}\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; F\}\}\}$липшицево непрерывна как по x, так и по y. Следовательно, по теореме Коши-Липшица существует единственное y (x), которое является решением данного ОДУ с начальными условиями. ∎

Пример круга

Вернемся к примеру с единичной окружностью. В этом случае n = m = 1 и $f\; (x,\; y)\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1\}$. Матрица частных производных - это просто матрица размером 1 × 2, заданная формулой

$(D\; f)\; (a,\; b)\; =\; [\partial \; f\; \partial \; x\; (a,\; b)\; \partial \; f\; \partial \; y\; (a,\; b)]\; =\; [\; 2\; a\; 2\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; (Df)\; (a,\; b)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (a,\; b)\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\; \backslash \; partial\; y\}\}\; (a,\; b)\; \backslash \; right]\; =\; [2a\; \backslash \; \backslash \; 2b]\}$

Таким образом, здесь Y в формулировке теоремы - это просто число 2b; линейное отображение, определяемое им, обратимо тогда и только тогда, когда b ≠ 0. По теореме о неявной функции мы видим, что мы можем локально записать окружность в форме y = g (x) для всех точек, где y ≠ 0. Для (± 1, 0) мы столкнемся с проблемой, как отмечалось ранее. Теорема о неявной функции все еще может быть применена к этим двум точкам, записав x как функцию от y, то есть $x\; =\; h\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; h\; (y)\}$; теперь график функции будет $(h\; (y),\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (h\; (y),\; y\; \backslash \; right)\}$, поскольку где b = 0, мы имеем = 1, и условия локального выражения функции в таком виде выполнены.

Неявная производная y по x и производная x по y может быть найдена путем полного дифференцирования неявной функции $x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1\}$и приравнивая к 0:

$2\; xdx\; +\; 2\; ydy\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2xdx\; +\; 2ydy\; =\; 0,\}$

, что дает

$dy\; /\; dx\; =\; -\; x\; /\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; /\; dx\; =\; -x\; /\; y\}$

и

$dx\; /\; dy\; =\; -\; y\; /\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; /\; dy\; =\; -y\; /\; x.\}$

Приложение: изменение координат

Предположим, у нас есть m-мерное пространство, параметризованное набором координат $(x\; 1,\dots ,\; xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\}$. Мы можем ввести новую систему координат $(x\; 1\; \prime ,\dots ,\; xm\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\text{'}\; \_\; \{m\})\}$, указав m функций $h\; 1\dots \; hm\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{1\}\; \backslash \; ldots\; h\_\; \{m\}\}$, каждая из которых непрерывно дифференцируема. Эти функции позволяют нам вычислять новые координаты $(x\; 1\; \prime ,\dots ,\; xm\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\text{'}\; \_\; \{m\})\}$точки с учетом старых координат точки $(x\; 1,\dots ,\; xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\}$с использованием $x\; 1\; \prime \; =\; Час\; 1\; (x\; 1,\dots ,\; xm),\dots ,\; xm\; \prime \; =\; hm\; (x\; 1,\dots ,\; xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}\_\; \{1\}\; =\; h\_\; \{1\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\}),\; \backslash \; ldots,\; x\; \text{'}\_\; \{m\}\; =\; h\_\; \{m\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\}$. Можно проверить, возможно ли обратное: с учетом координат $(x\; 1\; \prime ,\dots ,\; xm\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\text{'}\; \_\; \{m\})\}$, можем ли мы «вернуться назад» и вычислить исходные координаты той же точки $(x\; 1,\dots ,\; xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\}$? Теорема о неявной функции даст ответ на этот вопрос. (Новые и старые) координаты $(x\; 1\; \prime ,\dots ,\; xm\; \prime ,\; x\; 1,\dots ,\; xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\text{'}\; \_\; \{m\},\; x\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\}$связаны соотношением f = 0 с

$f\; (x\; 1\; \prime ,\dots ,\; xm\; \prime ,\; x\; 1,\dots ,\; xm)\; =\; (h\; 1\; (x\; 1,\dots ,\; xm)\; -\; x\; 1\; \prime ,\dots ,\; hm\; (x\; 1,\dots ,\; xm)\; -\; xm\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\text{'}\; \_\; \{m\},\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\; =\; (h\_\; \{1\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\; -\; x\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; h\_\; \{m\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\; -\; x\text{'}\; \_\; \{m\}).\}$

Теперь якобиан матрица f в определенной точке (a, b) [где $a\; =\; (x\; 1\; \prime ,\dots ,\; xm\; \prime ),\; b\; =\; (x\; 1,\dots ,\; xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; (x\; \text{'}\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; x\; \text{'}\_\; \{m\}),\; b\; =\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\}$] задается как

$(D\; f)\; (a,\; б)\; =\; [-\; 1\; \cdots \; 0\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; 0\; \cdots \; -\; 1\; |\; \partial \; h\; 1\; \partial \; x\; 1\; (b)\; \cdots \; \partial \; h\; 1\; \partial \; x\; m\; (b)\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; \partial \; h\; m\; \partial \; x\; 1\; (b)\; \cdots \; \partial \; h\; m\; \partial \; x\; m\; (b)]\; =\; [-\; I\; m\; |\; J].\; \{\backslash \; displaystyle\; (Df)\; (a,\; b)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; -1\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; cdots\; -1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; (b)\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{m\}\}\}\; (b)\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; (b)\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{m\}\}\}\; (b)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\; \backslash \; right]\; =\; [-\; I\_\; \{m\}\; |\; J].\}$

где I m обозначает единичную матрицу размера m × m , а J - матрица частных производных размера m × m, вычисленная в (a, b). (Выше эти блоки были обозначены X и Y. Как оказалось, в этом конкретном приложении теоремы ни одна матрица не зависит от a.) Теорема неявной функции теперь утверждает, что мы можем локально выразить $(x\; 1,\dots ,\; Xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\})\}$как функция от $(x\; 1\; \prime ,\dots ,\; xm\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; x\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\text{'}\; \_\; \{m\})\}$, если J обратим. Требование обратимости J эквивалентно det J ≠ 0, таким образом, мы видим, что мы можем вернуться от координат со штрихом к координатам без штриха, если определитель якобиана J не равен нулю. Это утверждение также известно как теорема обратной функции.

Пример: полярные координаты

В качестве простого приложения вышеизложенного рассмотрим плоскость, параметризованную полярными координатами (R, θ). Мы можем перейти в новую систему координат (декартовы координаты ), определив функции x (R, θ) = R cos (θ) и y (R, θ) = R sin (θ). Это позволяет для любой точки (R, θ) найти соответствующие декартовы координаты (x, y). Когда мы можем вернуться и преобразовать декартовы координаты в полярные? В предыдущем примере достаточно, чтобы det J ≠ 0, причем

$J\; =\; [\partial \; x\; (R,\; \theta )\; \partial \; R\; \partial \; x\; (R,\; \theta )\; \partial \; \theta \; \partial \; y\; (R,\; \theta )\; \partial \; R\; \partial \; y\; (R,\; \theta )\; \partial \; \theta ]\; =\; [cos\; \; \theta \; -\; R\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \theta \; R\; cos\; \; \theta ].\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; (R,\; \backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; (R,\; \backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; (R,\; \backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; (R,\; \backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -R\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; R\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Поскольку det J = R, преобразование обратно в полярные координаты возможно, если R ≠ 0. Поэтому остается проверить случай R = 0. Легко видеть, что в случае R = 0 наше преобразование координат необратимо: в начале координат значение θ не определен точно.

Обобщения

версия для банаховых пространств

На основании теоремы об обратной функции в банаховых пространствах можно расширить Теорема о неявной функции для отображений со значениями в банаховом пространстве.

Пусть X, Y, Z являются банаховыми пространствами. Пусть отображение f: X × Y → Z непрерывно дифференцируемо по Фреше. Если $(x\; 0,\; y\; 0)\; \in \; X\; \times \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\; \backslash \; in\; X\; \backslash \; times\; Y\}$, $f\; (x\; 0,\; y\; 0)\; =\; 0\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; f\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\; =\; 0\}$и $y\; \mapsto \; D\; f\; (x\; 0,\; y\; 0)\; (0,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; mapsto\; Df\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\; (0,\; y)\}$является изоморфизмом банахова пространства Y на Z, тогда существуют окрестности U точек x 0 и V y 0 и дифференцируемой по Фреше функции g: U → V такой, что f (x, g (x)) = 0 и f (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда y = g (x) для всех $(x,\; y)\; \in \; U\; \times \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; \backslash \; in\; U\; \backslash \; times\; V\}$.

Неявные функции от недифференцируемых функций

Различные формы Теорема о неявной функции существует для случая, когда функция f не дифференцируема. Стандартно, что локальной строгой монотонности достаточно в одном измерении. Следующая более общая форма была доказана Кумагаем на основе наблюдения Джитторнтрума.

Рассмотрим непрерывную функцию $f:\; R\; n\; \times \; R\; m\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; R\; ^\; \{n\}\; \backslash \; умножить\; на\; R\; ^\; \{m\}\; \backslash \; to\; R\; ^\; \{n\}\}$так, чтобы $f\; (x\; 0,\; y\; 0)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\; =\; 0\}$. Существуют открытые окрестности $A\; \subset \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; subset\; R\; ^\; \{n\}\}$и $B\; \subset \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; subset\; R\; ^\; \{m\}\}$из x 0 и y 0, соответственно, такие, что для всех y в B $f\; (\cdot ,\; y):\; A\; \to \; R\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; cdot,\; y):\; A\; \backslash \; to\; R\; ^\; \{n\}\}$локально взаимно однозначно тогда и только тогда, когда существуют открытые окрестности $A\; 0\; \subset \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\}\; \backslash \; subset\; R\; ^\; \{n\}\}$и $B\; 0\; \subset \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\; \backslash \; subset\; R\; ^\; \{m\}\}$из x 0 и y 0, такие, что для всех $y\; \in \; B\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; B\_\; \{0\}\}$уравнение f (x, y) = 0 имеет единственное решение

$x\; =\; g\; (y)\; \in \; A\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; g\; (y)\; \backslash \; in\; A\_\; \{0\}\}$,

где g - непрерывная функция из B 0 в A 0.

См. Также

• Теорема об обратной функции
• Теорема о постоянном ранге : и теорема о неявной функции, и теорема об обратной функции могут рассматриваться как частные случаи константы теорема о рангах.

Литература

Дополнительная литература

• Все endoerfer, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемые многообразия. Нью-Йорк: Макмиллан. С. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Бинмор, К.Г. (1983). «Неявные функции». Исчисление. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Лумис, Линн Х. ; Штернберг, Шломо (1990). Advanced Calculus (Revised ed.). Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 164–171. ISBN 0-86720-122-3.
• Проттер, Мюррей Х. ; Морри, Чарльз Б. мл. (1985). «Теоремы о неявных функциях. Якобианы». Промежуточный исчисление (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 390–420. ISBN 0-387-96058-9.